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2025 年高考数学全真模拟卷02（新高考专用）
（考试时间：120 分钟；满分：150 分）
注意事项：
1.本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填
写在答题卡上。
2.回答第I 卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1．（5 分）（2024·山西晋中·模拟预测）若(1−i) z =2，则|z +1|=（ ）
A．√5
B．√3
C．1
D．5
【解题思路】先由(1−i) z =2求出复数z，从而可求出z +1，进而求出|z +1|.
【解答过程】由(1−i) z =2，得z =
2
1−i =
2(1+i)
(1−i)(1+i) =1+i，
所以z +1=2+i，
所以|z +1|=√2
2+1
2=√5，
故选：A.
2．（5 分）（2024·陕西咸阳·模拟预测）下列命题中，真命题是（ ）
A．“a>1,b>1”是“ab>1”的必要条件
B．∀x>0,e
x>2
x
C．∀x>0,2
x≥x
2
D．a+b=0的充要条件是a
b =−1
【解题思路】举反例来判断ACD，利用指数函数的性质判断B.
【解答过程】对于A，当a=2,b=1时，满足ab>1，但不满足a>1,b>1，故“a>1,b>1”不是“ab>1
”的必要条件，故错误；
1
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对于B，根据指数函数的性质可得，对于∀x>0,(
e
2)
x
>1，即e
x>2
x，故正确；
对于C，当x =3时，2
x< x
2，故错误；
对于D，当a=b=0时，满足a+b=0，但a
b =−1不成立，故错误.
故选：B.
3．（5 分）（2024·黑龙江·模拟预测）已知向量|⃗a|=3,|⃗a−⃗b|=|⃗a+2⃗b|，则|⃗a+⃗b|=（ ）
A．√3
B．2
C．√5
D．3
【解题思路】对|⃗a−⃗b|=|⃗a+2⃗b|两边平方化简可得⃗b
2+2⃗a⋅⃗b=0，再对|⃗a+⃗b|平方化简后再开方即可.
【解答过程】由|⃗a−⃗b|=|⃗a+2⃗b|两边平方得，⃗a
2+⃗b
2−2⃗a⋅⃗b=⃗a
2+ 4⃗b
2+ 4⃗a⋅⃗b，
所以⃗b
2+2⃗a⋅⃗b=0，
所以|⃗a+⃗b|
2= ⃗a
2+⃗b
2+2⃗a⋅⃗b=|⃗a|
2=9，
所以|⃗a+⃗b|=3，
故选：D.
4．（5 分）（2024·四川宜宾·模拟预测）为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党知史爱国的
､
热情，某校举办了“学党史育新人”的党史知识竞赛，并将
､
1000 名师生的竞赛成绩（满分100 分，成绩
取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法错误的是（ ）
A．a的值为0.005
B．估计这组数据的众数为75 分
C．估计成绩低于60 分的有250 人
D．估计这组数据的中位数为235
3 分
【解题思路】对A，根据频率和为1 求解即可；对B，根据频率分布直方图的众数判断即可；对C，计算
成绩低于60 分的频率，进而可得人数；对D，根据成绩低于中位数的频率为0.5 计算即可.
【解答过程】对A，由题意，10×(2a+3a+3a+6a+5a+a)=1，解得a=0.005，故A 正确；
对B，由直方图可得估计这组数据的众数为70+80
2
=75分，故B 正确；
对C，由直方图可得成绩低于60 分的频率为10×(0.01+0.015)=0.25，故估计成绩低于60 分的有
2
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1000×0.25=250人，故C 正确；
对D，由A 可得区间[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]的频率分别为
0.1,0.15,0.15,0.3,0.25,0.05，
因为0.1+0.15+0.15+0.3>0.5，0.1+0.15+0.15<0.5，故中位数位于[70,80)内.
设中位数为x，则0.1+0.15+0.15+0.03×(x−70)=0.5，解得x = 220
3 ，故D 错误.
故选：D.
5．（5 分）（2024·贵州贵阳·三模）过点A(−3,−4)的直线l与圆C :( x −3)
2+( y −4)
2=9相交于不同的
两点M，N，则线段MN 的中点P的轨迹是（ ）
A．一个半径为10 的圆的一部分
B．一个焦距为10 的椭圆的一部分
C．一条过原点的线段
D．一个半径为5 的圆的一部分
【解题思路】设 P( x , y), 根据垂径定理得到CP⊥AP，再转化为⃗CP⋅⃗AP =0，写出相关向量，代入化
简即可.
【解答过程】设P( x , y)，根据线段MN的中点为P，则CP⊥MN，即CP⊥AP，
所以⃗CP⋅⃗AP =0，又A(−3,−4),C(3,4),⃗AP =( x +3, y + 4),⃗CP =( x−3, y −4)，
所以( x +3)( x−3)+( y + 4)( y −4)=0，即x
2+ y
2=25，
所以点P的轨迹是以(0,0)为圆心，半径为5 的圆在圆C内的一部分，
故选：D.
6．（5 分）（2024·全国·模拟预测）若函数f ( x)=√6sin ωx(ω>0)的图象与函数g( x)=√6cosωx的图象
的任意三个连续交点都是一个正三角形的三个顶点，则ω=（ ）
A．π
2
B．π
4
C．π
6
D．π
8
【解题思路】解法一，令f ( x)= g( x)，可得ωx =k π+π
4 (k ∈Z )，不妨取k =0，1，2，得三个连续的
3
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交点依次为A(
π
4 ω ,√3)，B(
5π
4 ω −√3)，C(
9π
4 ω ,√3)，求得△ABC的高，再根据f (x)与g(x)图象求得
△ABC的高，建立方程求得结果.
解法二，在同一平面直角坐标系中，作出函数f ( x)=√6sin ωx和g( x)=√6cosωx的图象，求得△ABC的
高为2√3，可得△ABC的边长为4 即f (x)的周期为4，得解.
【解答过程】解法一 由¿，令f ( x)= g( x)，得tan ωx =1，
所以ωx =k π+π
4 (k ∈Z )，不妨取k =0，1，2，得三个连续的交点依次为A(
π
4 ω ,√3)，
B(
5π
4 ω −√3)，C(
9π
4 ω ,√3)，
因为△ABC为正三角形，9π
4 ω −π
4 ω为△ABC的边长，√3
2 (
9π
4 ω −π
4 ω)为△ABC的高，
由正弦函数、余弦函数的图象可知在f ( x)=√6sin ωx和g( x)=√6cosωx的图象的交点处
sin ωx =cosωx =± √2
2
，
所以△ABC的高为2×√6× √2
2 =2√3，
所以√3
2 (
9π
4 ω −π
4 ω)=2√3，
解得ω=π
2
．
故选：A．
解法二：如图，在同一平面直角坐标系中，作出函数f ( x)=√6sin ωx和g( x)=√6cosωx的图象，
设两图象的三个连续交点分别为A，B，C，连接AB，AC，BC，
则△ABC为正三角形，过点B作BD⊥AC，垂足为D，
由正弦函数、余弦函数的图象可知在f ( x)=√6sin ωx和g( x)=√6cosωx的图象的交点处
4
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sin ωx =cosωx =± √2
2
，
所以|BD|=2×√6× √2
2 =2√3，
所以| AC |= 4，所以f ( x)=√6sin ωx的最小正周期T = 4，即2π
ω = 4，所以ω=π
2 ．
故选：A．
7．（5 分）（2024·内蒙古包头·一模）如图，底面ABCD是边长为2 的正方形，半圆面APD⊥底面
ABCD，点P 为圆弧AD上的动点.当三棱锥P−BCD的体积最大时，PC与半圆面APD所成角的余弦值为
（ ）
A．√2
3
B．√3
6
C．√6
6
D．√3
3
【解题思路】过点P作OP⊥AD于点O，易得点P位于圆弧AD的中点时，V P−BCD最大，证明CD⊥面
PAD，则∠CPD即为PC与半圆面APD所成角的平面角，再解Rt△PCD即可.
【解答过程】过点P作OP⊥AD于点O，
因为面APD⊥底面ABCD，面APD∩底面ABCD = AD，OP⊂面PAD，
所以OP⊥平面ABCD，
则V P−BCD= 1
3 × 1
2 ×2×2⋅OP = 2
3 OP≤2
3
，
当且仅当OP =1，即点P位于圆弧AD的中点时，V P−BCD最大，此时O为AD的中点，
因为面APD⊥底面ABCD，面APD∩底面ABCD = AD ,CD⊥AD ,CD⊂面ABCD，
所以CD⊥面PAD，
所以∠CPD即为PC与半圆面APD所成角的平面角，
在Rt△PCD中，CD =2, PD =√1+1=√2, PC =√4+2=√6，
所以cos∠CPD = PD
PC = √3
3
，
即PC与半圆面APD所成角的余弦值为√3
3
.
5
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故选：D.
8．（5 分）（2023·四川成都·一模）已知函数y =(2−x)(lna)
2−4lna+ x +2
，若x∈[0,2]时，y ≥0恒成
立，则实数a的取值范围为（ ）
A．(0,e]
B．[e,+∞)
C．(0,1]
D．[1,+∞)
【解题思路】当x =0时，y =2(ln a)
2−4 ln a+2=2(ln a−1)
2≥0，所以问题转化为−4 ln a+ 4≥0，求解
即可.
【解答过程】由y =(2−x)(lna)
2−4lna+ x +2可得y =[1−(lna)
2] x +2(lna)
2−4lna+2，
当a=e时，y =0符合题意；
当a≠e时，y是关于x的一次函数，此时只需区间端点的函数值不小于0即可，
又当x =0时，y =2(ln a)
2−4 ln a+2=2(ln a−1)
2≥0，
当x =2时，y =−4 ln a+ 4，
所以−4 ln a+ 4≥0，即ln a≤1，解得0<a<e，
综上，0<a≤e.
故选；A.
二、多项选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的
要求，全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分。
9．（6 分）（2024·新疆喀什·三模）已知函数f (x)=√3sin x cos x−cos
2 x + 1
2
，则下列说法正确的是
（ ）
A．f (x)=sin(2 x−π
6 )
B．函数f (x)的最小正周期为2π
C．x =π
3
是函数f (x)图象的一条对称轴
6
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D．函数f (x)的图象可由y =sin2 x的图象向右平移π
12
个单位长度得到
【解题思路】A 由降幂公式，辅助角公式可得答案；
B 由周期计算公式可得答案；
C 将x =π
3
代入由A 选项所得化简式中可得答案；
D 由函数图象平移知识可得答案．
【解答过程】Ａ选项，f (x)=√3sin x cos x−cos
2 x + 1
2 = √3
2 sin 2 x−1
2 cos2 x =sin(2 x−π
6 )，故A 正
确；
B 选项，由A 选项结合周期计算公式可知最小正周期为2π
2 =π，故B 错误；
C 选项，将x =π
3
代入2 x−π
6 =π
2
，f (x)在此时得最大值，故x =π
3
是函数f (x)图象的一条对称轴，故C
正确；
D 选项，y =sin2 x的图象向右平移π
12个单位得sin 2(x−π
12)=sin(2 x−π
6 )，故D 正确．
故选：ACD.
10．（6 分）（2024·重庆·模拟预测）已知抛物线E: y
2=8 x的焦点为F，点F与点C关于原点对称，过点C
的直线l与抛物线E交于A，B两点（点A和点C在点B的两侧），则下列命题正确的是（ ）
A．若BF为△ACF的中线，则| AF |=2|BF |
B．| AF |>4
C．存在直线使得| AC |=√2| AF |
D．对于任意直线l，都有| AF |+|BF |>2|CF |
【解题思路】取A，B两点都在第一象限, 设l: x =ky −2,k >0，A(x1, y1),B(x2, y2)，联立抛物线，利用
韦达定理以及抛物线的定义来判断各项正误.
【解答过程】不妨取A，B两点都在第一象限，过A ,B分别作抛物线准线的垂线，垂足为D , E，
设l: x =ky −2,k >0，A(x1, y1),B(x2, y2), x1> x2
，C(−2,0), F(2,0)，
联立E: y
2=8 x，得y
2−8ky +16=0且Δ=64(k
2−1)>0，即k
2>1，
所以y1+ y2=8k , y1 y2=16，
7
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则x1+ x2=k ( y1+ y2)−4 =8k
2−4 , x1 x2= ( y1 y2)
2
64
= 4
，
对于A：若BF为△ACF的中线，则y2= y1
2
，结合y1 y2=16得¿，所以¿，
所以A (4,4√2)，B(1,2√2)，
此时| AF |= 4 +2=6,|BF |=1+2=3，所以| AF |=2|BF |，A 正确；
对于B：由求根公式y1= 8k +√Δ
2
= 8k +√64(k
2−1)
2
= 4(k +√k
2−1)>4
，
则x1= y1
2
8 >2
，所以|AF|= x1+2>4，B 正确；
对于C：若| AC |=√2| AF |，即| AC |=√2| AD|，明显△ACD等腰直角三角形，
此时|CD|=| AD|，即A( y1−2, y1)，所以y1
2=8 y1−16，解得y1= 4，此时y2= 4，
此时A ,B为同一点，不合题意，C 错误；
对于D：| AF |+|BF |=| AD|+|BE| = x1+ x2+ 4 =8k
2，
又2|CF |=8，结合k
2>1，都| AF |+|BF |>2|CF |恒成立，D 正确；
故选：ABD.
11．（6 分）（2024·重庆·三模）已知函数f ( x)=e
2 x−a x
2(a为常数)，则下列结论正确的是（ ）
A．当a=1时，f ( x)在(0,f (0))处的切线方程为2 x−y +1=0
B．若f ( x)有3 个零点，则a的取值范围为(e
2,+∞)
C．当a=e
2时，x =1是f ( x)的极大值点
D．当a= 1
2
时，f ( x)有唯一零点x0，且−1< x0<−1
2
8
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【解题思路】根据导数的几何意义，可判定A 正确；根据题意，转化为g(x)=e
2 x
x
2 与y =a的图象有3 个交
点，利用导数求得函数g(x)的单调性与极值，可判定B 正确；当a=e
2时，得到f
′ (x)=2(e
2 x−e
2 x)，讨论
函数f (x)的单调性，结合极值点的定义，可判定C 错误.当a= 1
2
时，得到f
' (x)>0，函数f (x)单调递增，结
合f (−1)⋅f (−1
2 )<0，可判定D 正确；
【解答过程】对于A 中，当a=1时，可得f ( x)=e
2 x−x
2，则f (0)=1,f
′( x)=2e
2 x−2 x ,f
′(0)=2，所以
切线为2 x−y +1=0,A 正确：
对于B 中，若函数f ( x)=e
2 x−a x
2有3 个零点，即e
2 x =a x
2有三个解，
其中x =0时，显然不是方程的根，
当x≠0时，转化为g( x)=e
2 x
x
2 与y =a的图像有3 个交点，
又由g
′( x)= 2e
2 x x
2−2e
2 x x
x
4
= 2e
2 x( x−1)
x
3
，
令g
′( x)>0，解得x<0或x>1；令g
′( x)<0，解得0< x<1，
所以函数g( x)在(−∞,0),(1,+∞)上单调递增，在(0,1)上单调递减；
所以当x =1时，函数g( x)取得极小值，极小值为g(1)=e
2，
又由x→0时，g( x)→+∞，当x→−∞时，g( x)→0且g( x)>0，
如下图：
9
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所以a>e
2，即实数a的取值范围为(e
2,+ ∞)，所以B 正确：
对于C中，当a=e
2时，f ( x)=e
2 x−e
2 x
2，可得f
'( x)=2e
2 x−2e
2 x =2(e
2 x−e
2 x)，
令g( x)=e
2 x−e
2 x，g
'( x)=2e
2 x -e
2在R上单调递增，
且g
'(0)=2−e
2<0, g
'(1)=e
2>0,所以存在x0∈(0,1)使得g
'( x0)=0，
所以在(−∞, x0)上g
'( x)<0，g( x)单调递减，
在(x0,+ ∞)上g
'( x)>0，g(x)单调递增，又g(1)=0,
所以在(x0,1)上g( x)<0，即f
'( x)<0，f ( x)单调递减，
在(1,+∞)上g( x)>0，即f
'( x)>0，f ( x)单调递增，
所以x =1是f ( x)的极小值点，所以C错误．
对于D 中，当a= 1
2时，f
′( x)=2e
2 x−x =2(e
2 x−1
2 x)，
设h( x)=e
2 x−1
2 x，可得h
′( x)=2e
2 x−1
2
，
当x<ln 1
2时，h
′( x)<0,h( x)在(−∞,ln 1
2)单调递减；当x>ln 1
2时，h
′( x)>0,h( x)在(ln 1
2 ,+ ∞)单调
递增，
所以当x = ln 1
2
时，h( x)min=h(ln 1
2)=e
2ln 1
2 −1
2 ln 1
2 = 1
4 + 1
2 ln 2>0，所以h( x)>0，
所以f
'( x)>0，所以函数f ( x)在R上单调递增，
又因为f (−1)=e
−2−1
2 <0,f(−1
2)=e
−1−1
8 >0，即f (−1)⋅f(−1
2)<0，
所以f ( x)有唯一零点x0且−1< x0<−1
2
，所以D 正确；
故选：ABD.
第II 卷（非选择题）
10
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三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．（5 分）（2024·四川宜宾·模拟预测）已知数列{an}是公差不为0 的等差数列，a1=1，且满足a2,a3,a6
成等比数列，则数列{an}前6 项的和为 −24 .
【解题思路】设数列{an}公差为d，再根据a2,a3,a6
成等比数列求解可得d =−2，进而可得{an}的通项公式
求解即可.
【解答过程】设数列{an}公差为d，由a2,a3,a6
成等比数列可得a3
2=a2a6
，
即(1+2d)
2=(1+d)(1+5d)，即d
2+2d =0，因为公差不为0，故d =−2.
故an=1−2(n−1)=−2n+3.
故{an}前6 项的和为1−1−3−5−7−9=−24.
故答案为：−24.
13．（5 分）（2024·陕西安康·模拟预测）已知α , β ∈(
π
2 ,π)，且1−cos2α =
sin2α sin(
π
2 + β)
1+sin β
，
则
tanα +tan β
2
1−tanα tan β
2
=
1
．
【解题思路】利用二倍角公式，同角关系，两角和与差的正切公式变形求解．
【解答过程】由1−cos2α =
sin2α sin(
π
2 + β)
1+sin β
得1−cos2α
sin 2α
= cos β
1+sin β
，
2sin
2α
2sin α cosα =
cos
2 β
2 −sin
2 β
2
cos
2 β
2 +sin
2 β
2 +2sin β
2 cos β
2
,
所以sin α
cosα =
cos β
2 −sin β
2
cos β
2 +sin β
2
，即tan α =
1−tan β
2
1+ tan β
2
=
tanπ
4 −tan β
2
1+ tanπ
4 tan β
2
= tan(π
4 −β
2 )，
11
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又α , β ∈(
π
2 ,π)，所以α =π
4 −β
2 +π，即α + β
2 =5π
4 ，
所以
tanα +tan β
2
1−tanα tan β
2
= tan(α + β
2 )= tan5π
4 =1．
故答案为：1.
14．（5 分）（2024·浙江台州·二模）若排一张有三首歌曲和三支舞蹈的演出节目单，共有
720
种不同
的排法（用数字作答），其中恰有两首歌曲相邻的概率为 3
5
.
【解题思路】（1）直接利用排列数计算即可；
（2）相邻问题用捆绑法，不相邻问题用插空法，计数后，利用古典概型求概率.
【解答过程】排一张有三首歌曲和三支舞蹈的演出节目单，共有A6
6=6×5×4×3×2×1=720种不同的排
法；
记事件A: 恰有两首歌曲相邻,则事件A 包含：A3
3× A3
2× A4
2 =3×2×1×3×2×4×3= 432
故P( A)= 432
720 = 3
5
.
故答案为：720；3
5
.
四、解答题：本题共5 小题，共77 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（13 分）（2024·山东青岛·三模）设三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c且
sin (B+C)=2√3sin
2 A
2
．
(1)求角A的大小；
(2)若b=3，BC边上的高为3√21
7
，求三角形ABC的周长．
【解题思路】（1）利用内角和为180
°化简sin (B+C)=sin A，利用二倍角公式化简sin
2 A
2 = 1−cos A
2
，
再利用辅助角公式化简即可求得A =π
3
；
（2）由面积公式和余弦定理，联立方程组求解三角形即可.
【解答过程】（1）因为A，B，C为△ABC的内角，所以sin (B+C)=sin A，
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因为sin
2 A
2 = 1−cos A
2
，所以sin (B+C)=2√3sin
2 A
2
可化为：sin A =√3(1−cos A)，
即sin A +√3cos A =√3，即sin(A +π
3 )= √3
2 ，
因为A +π
3 ∈(
π
3 , 4π
3 )，解得：A +π
3 =2π
3 ，即A =π
3 ．
（2）由三角形面积公式得1
2 b⋅c sin A = 1
2 × 3√21
7
a，b=3代入得：1
2 ×3⋅c sinπ
3 = 1
2 × 3√21
7
a，
所以a= √7
2 c，由余弦定理a
2=b
2+c
2−2bc cos A = 7
4 c
2得：c
2+ 4 c−12=0，
解得：c =2或c =−6舍去，即a=√7，
所以△ABC的周长为5+√7.
16．（15 分）（2024·黑龙江·模拟预测）已知f ( x)=ax +bcos x在点(
π
2
,f(
π
2 ))处的切线方程为
x +2 y −π=0.
(1)求a,b的值；
(2)求f (x)在区间[0,π]的单调区间和极值.
【解题思路】（1）由题意可得¿，解方程组可求出a,b的值；
（2）由导数的正负可求出函数的单调区间，从而可求出极值.
【解答过程】（1）由f ( x)=ax +bcos x，得f
′( x)=a−bsin x，
因为f ( x)=ax +bcos x在点(
π
2
,f(
π
2 ))处的切线方程为x +2 y −π=0，
所以¿，
所以¿，所以¿，
解得a= 1
2 ,b=1；
（2）f ( x)= 1
2 x +cos x ,f
′( x)= 1
2 −sin x，令f
′( x)=0，
因为x∈[0,π]，所以x1=π
6
，或x2= 5π
6
，
当x∈(0,π
6 )时，f
′( x)>0,f ( x)单调递增，
当x∈(
π
6
, 5π
6 )时，f
′( x)<0,f ( x)单调递减，
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当x∈(
5π
6 ,π)时，f
′( x)>0,f ( x)单调递增.
所以f ( x)极大值为f(
π
6 )= 1
2 ×π
6
+cosπ
6
=π
12 + √3
2
，极小值为
f(
5π
6 )= 1
2 × 5π
6 +cos 5π
6 = 5π
12 −√3
2 ，
综上所述，f ( x)在区间[0,π]上的单调递增区间为(0,π
6 )和(
5π
6 ,π)，单调递减区间为(
π
6
, 5π
6 )；
极大值为π
12 + √3
2
，极小值为5π
12 −√3
2
.
17．（15 分）（2024·江西宜春·模拟预测）如图1，在五边形ABCDE中，AB = BD，AD⊥DC，
EA = ED且EA ⊥ED，将△AED沿AD折成图2，使得EB = AB，F为AE的中点．
(1)证明：BF //平面ECD；
(2)若EB与平面ABCD所成的角为30°，求二面角A −EB−D的正弦值．
【解题思路】（1）取AD的中点G，连接BG，FG，从而证明BG //平面ECD，FG //平面ECD，即可
得到平面BFG//平面ECD，即可得证．
（2）推导出AE⊥平面BFG，BG⊥平面EAD，平面EAD⊥平面ABCD，连接EG，以G为坐标原点，
GB，GD，GE所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A −EB−D
的正弦值．
【解答过程】（1）取AD的中点G，连接BG，FG，
∵AB = BD，G为AD的中点，∴BG⊥AD，
又AD⊥DC，∴BG//CD．
又BG⊄平面ECD，CD⊂平面ECD，∴BG//平面ECD．
∵F为AE的中点，∴FG// ED．
又FG⊄平面ECD，ED⊂平面ECD，∴FG//平面ECD，
又BG∩FG =G，BG, FG⊂平面BFG，∴平面BFG//平面ECD，
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又BF ⊂平面BFG，∴BF //平面ECD．
（2）∵EA ⊥ED，由（1）知FG// ED，∴FG⊥AE，
又EB = AB，F为AE的中点，∴BF ⊥AE，
又BF ∩FG= F，BF , FG⊂平面BFG，∴AE⊥平面BFG，
又BG⊂平面BFG，∴BG⊥AE，
又BG⊥AD，AD∩AE = A，AD , AE⊂平面EAD，∴BG⊥平面EAD，
又BG⊂平面ABCD，∴平面EAD⊥平面ABCD，
连接EG，∵EA = ED，G为AD的中点，∴EG⊥AD，
又平面EAD∩平面ABCD = AD，EG⊂平面EAD，
∴EG⊥平面ABCD，BG⊂平面ABCD，∴EG⊥BG，
以G为坐标原点，GB，GD，GE所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
∠EBG是EB与平面ABCD所成的角，即∠EBG =30°，
∵EA = ED，设EA =t(t >0)，则AD =√2t，EG = √2
2 t，EB =√2t，BG = √6
2 t，
∴G (0,0,0)，E(0,0, √2
2 t)
，A(0,−√2
2 t ,0)
，D(0, √2
2 t ,0)
，B(
√6
2 t ,0,0)
，
∴ ⃗EB =(
√6
2 t ,0,−√2
2 t)
，⃗AE =(0, √2
2 t , √2
2 t)
，⃗DE =(0,−√2
2 t , √2
2 t)
，
设平面ABE的法向量为n1=(x1, y1, z1)，
则¿，令x1=1，得⃗n1=(1,−√3,√3)，
设平面DBE的法向量为⃗n2=( x2, y2, z2)，
则¿，令x2=1，得⃗n2=(1,√3,√3)，
设二面角A −EB−D的平面角为θ，
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∴|cosθ|=|cos⟨⃗n1,⃗n2⟩|=|⃗n1⋅⃗n2|
|⃗n1||⃗n2|
=
1
√7×√7 = 1
7
，
所以sinθ =√1−cos
2θ = 4√3
7
，即二面角A −EB−D的正弦值为4√3
7
．
18．（17 分）（2024·全国·模拟预测）2024年九省联考后很多省份宣布高考数学采用新的结构，多选题由
4道减少到3道，分值变为一题6分，多选题每个小题给出的四个选项中有两项或三项是正确的，全部选对
得6分，有错选或全不选的得0分.若正确答案是“两项”的，则选对1个得3分；若正确答案是“三项”的，
则选对1个得2分，选对2个得4分.某数学兴趣小组研究答案规律发现，多选题正确答案是两个选项的概率
为p，正确答案是三个选项的概率为1−p(其中0< p<1)．
(1)在一次模拟考试中，学生甲对某个多选题完全不会，决定随机选择一个选项，若p= 1
3
，求学生甲该题
得2分的概率；
(2)针对某道多选题，学生甲完全不会，此时他有三种答题方案：
Ⅰ： 随机选一个选项； Ⅱ： 随机选两个选项； Ⅲ： 随机选三个选项．
①若p= 1
2
，且学生甲选择方案Ⅰ，求本题得分的数学期望；
②以本题得分的数学期望为决策依据，p的取值在什么范围内唯独选择方案Ⅰ最好?
【解题思路】（1）由全概率公式求解即可；
（2）①记X为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”，求出X的可能取值及其概率，即可求出X的分
布列，再由期望公式求出；
②记X ,Y ,Z分别为“从四个选项中随机选择一个选项、两个选项和三个选项的得分”，求出X ,Y ,Z的数
学威望，由题意可得¿，解不等式即可得出答案.
【解答过程】（1）记事件A为“正确答案选两个选项”，事件B为“学生甲得2分”．
P(B)= P( A) P(B| A)+ P( A) P(B| A)= 1
3 ×0+ 2
3 ×C3
1
C4
1 = 1
2
，
即学生甲该题得2分的概率为1
2
．
（2）①记X为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”，则X可以取0，2，3，
P(X =0)= 1
2 × 2
C4
1 + 1
2 × 1
C4
1 = 3
8
， P(X =2)= 1
2 ×0+ 1
2 ×C3
1
C4
1 = 3
8
，
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P(X =3)= 1
2 ×C2
1
C4
1 + 1
2 ×0= 1
4
，
所以X的分布列为
X
0
2
3
P
3
8
3
8
1
4
则数学期望E (X )=0× 3
8 +2× 3
8 +3× 1
4 = 3
2
．
②记X为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”，
则P(X =0)= p× 2
C4
1 +(1−p)× 1
C4
1 = 1+ p
4
，
P(X =2)= p×0+(1−p)×C3
1
C4
1 = 3
4
(1−p)，
P(X =3)= p×C2
1
C4
1 +(1−p)×0= 1
2 p，
所以E (X )=0× 1+ p
4
+2× 3
4
(1−p)+3× 1
2 p= 3
2 ；
记Y 为“从四个选项中随机选择两个选项的得分”，
则P(Y =0)= p×C4
2−1
C4
2
+(1−p)×C3
1
C4
2 = 1
3 p+ 1
2
，
P(Y = 4)= p×0+(1−p)×C4
2−C3
1
C4
2
= 1
2
(1−p)，
P(Y =6)= p× 1
C4
2 +(1−p)×0= 1
6 p，
所以E (Y )=0×(
1
3 p+ 1
2)+ 4× 1
2
(1−p)+6× 1
6 p=2−p；
记Z为“从四个选项中随机选择三个选项的得分”，
则P(Z =0)= p×1+(1−p)×C4
3−1
C4
3
= 1
4 p+ 3
4
，
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P(Z =6)= p×0+(1−p)× 1
C4
3 = 1
4
(1−p)，
所以E (Z)=0×(
1
4 p+ 3
4)+6× 1
4
(1−p)= 3
2
(1−p)．
要使唯独选择方案Ⅰ最好，则¿，
解得：1
2 < p<1，故p的取值范围为(
1
2 ,1)．
19．（17 分）（2024·江苏苏州·模拟预测）点列，就是将点的坐标按照一定关系进行排列．过曲线
C : y = x
3上的点P1(x1, y1)作曲线C的切线l1
与曲线C交于P2(x2, y2)，过点P2
作曲线C的切线l2
与曲线C交
于点P3(x3, y3)，依此类推，可得到点列：P1(x1, y1)，P2(x2, y2)，P3(x3, y3)，…，Pn(xn, yn)，…，已
知x1=1．
(1)求数列{xn}、{yn}的通项公式；
(2)记点Pn到直线ln+1（即直线Pn+1 Pn+2）的距离为dn，
（I）求证：1
d1
+ 1
d2
+⋯+ 1
dn
> 4
9 ；
（II）求证：1
d1
+ 1
d2
+⋯+ 1
dn
> 8
9(1−1
2
n)
，若n值(n>0,n∈N
∗)与（I）相同，则求此时
1
d1
+ 1
d2
+⋯+ 1
dn
的最小值．
【解题思路】（1）根据给定条件，利用导数的几何意义求出切线方程，再联立切线方程与曲线方程求出
切点的坐标，进而可得出数列{xn}、{yn}的通项公式；
（2）（I）求出直线ln+1的方程，利用点到直线距离公式求出dn，再利用等比数列前n和公式求解即得；
（II）根据（I）再结合指数函数的性质即可得解.
【解答过程】（1）曲线C上点Pn(xn, yn)处的切线ln
的斜率为kn= y
′
x = xn=3 xn
2，
故得到的方程为y −yn=3 xn
2⋅(x−xn)，
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联立方程¿，消去y 得：x
3−3 xn
2⋅x +2 xn
3=0，
化简得：(x−xn)
2⋅(x +2 xn)=0，
所以：x = xn或x =−2 xn，
由x = xn
，得到点Pn
的坐标(xn, yn)，
由x =−2 xn，就得到点Pn+1的坐标(−2 xn,(−2 xn)
3)，
所以：xn+1=−2 xn，
故数列{xn}是首项为1，公比为−2的等比数列，
所以：xn=(−2)
n−1，yn=(−8)
n−1；
（2）（I）由（1）知：Pn+1((−2)
n,(−8)
n)，Pn+2((−2)
n+1,(−8)
n+1)，
所以直线ln+1
的方程为：y −(−8)
n= (−8)
n−(−8)
n+1
(−2)
n−(−2)
n+1 (x−(−2)
n)，
化简得：3⋅4
n x−y −2⋅(−8)
n=0，
因为dn=|3⋅4
n⋅(−2)
n−1−(−8)
n−1−2⋅(−8)
n|
√(3⋅4
n)
2+(−1)
2
= 27⋅8
n−1
√9⋅4
n+1
< 27⋅8
n−1
3⋅2
2n =9.2
n−3，
所以1
dn
> 1
9 ⋅(
1
2)
n−3，
∴1
d1
+ 1
d2
+⋯+ 1
dn
> 1
9 ×
4[1−(
1
2)
n
]
1−1
2
= 8
9(1−1
2
n)≥8
9(1−1
2)= 4
9
；
（II）1
d1
+ 1
d2
+⋯+ 1
dn
> 1
9[(
1
2)
−2
+(
1
2)
−1
+⋯+(
1
2)
n−3
]
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= 1
9 ⋅(
1
2)
−2
[1−(
1
2)
n
]
1−1
2
= 8
9(1−1
2
n)
，
与（I）中相同，当n=1时，此时最小值为4
9
．
20
