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第四章 三角函数与解三角形
§4.4 简单的三角恒等变换
【考情分析·探规律】
考点
三年考情（2021-2024）
命题趋势
二倍角公式的应用
2024·上海卷
2023·全国新Ⅱ卷
2022·北京卷
2022·浙江卷
2021·北京卷
2021·全国乙卷
能推导二倍角的正弦、余弦、正切
公式，能运用公式解决相关的求值与化
简问题，该内容是新高考卷的必考内
容，一般会考查两角和与差的正弦、余
弦、正切公式及倍角公式变形应用和半
角公式变形应用，同时也需掌握升幂公
式和降幂公式，掌握拼凑角思想，需加
强复习备考。
【知识梳理】
1.二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)公式S2α：sin 2α＝2sin
α cos
α .
(2)公式C2α：cos 2α＝cos
2 α －
sin
2 α ＝2cos
2 α －
1 ＝1 －
2sin
2 α .
(3)公式T2α：tan 2α＝2tan α
1−tan
2α .
2.半角公式(不要求记忆)
sinα
2 ＝±❑√
1−cosα
2
；cosα
2 ＝±❑√
1＋cosα
2
；tanα
2 ＝±❑√
1−cosα
1＋cosα
.符号由α
2 所在象限
决定.
3.积化和差公式
(1)cos αcos β＝1
2[cos(α＋β)＋cos(α－β)]；
(2)sin αsin β＝－1
2[cos(α＋β)－cos(α－β)]；
(3)sin αcos β＝1
2[sin(α＋β)＋sin(α－β)]；
(4)cos αsin β＝1
2[sin(α＋β)－sin(α－β)].
4.和差化积公式
(1)sin θ＋sin φ＝2sinθ＋φ
2
cosθ−φ
2
；
(2)sin θ－sin φ＝2cosθ＋φ
2
sinθ−φ
2
；
(3)cos θ＋cos φ＝2cosθ＋φ
2
cosθ−φ
2
；
(4)cos θ－cos φ＝－2sinθ＋φ
2
sinθ−φ
2
.
【随堂训练】
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角.( )
(2)半角的正切公式成立的条件是α≠(2k＋1)π(k∈Z).( )
(3)任意角α，sin 2α＝2sin α 都不成立. ( )
(4)cos2α
2 ＝1
2(1＋cos α)，cos 3α＝1－2sin23α
2 . ( )
2.cos2 π
12－cos25 π
12 等于( )
A.1
2
B.
❑√3
3
C.
❑√2
2
D.
❑√3
2
3.若α 为第二象限角，sin α＝5
13 ，则sin 2α＝ .
4.已知tan 2α＝－4
3 ，α∈(π ，3 π
2 )，则tan α＝ .
【名师点拨】
1.熟记常用的部分三角公式
(1)1－cos α＝2sin2 α
2 ，1＋cos α＝2cos2 α
2 .(升幂公式)
(2)1±sin α＝(sin α
2 ±cos α
2)
2
.(升幂公式)
(3)sin2α＝1−cos2α
2
，cos2α＝1＋cos2α
2
，
tan2α＝1−cos2α
1＋cos2α .(降幂公式)
(4)半角正切公式的有理化
tanα
2 ＝
sin α
1＋cosα ＝1−cosα
sin α
.
(5)万能公式
sin α＝
2tan α
2
1＋tan
2 α
2
，cos α＝
1−tan
2 α
2
1＋tan
2 α
2
，
tan α＝
2tan α
2
1−tan
2 α
2
.
(6)三角平方差公式
sin2α－sin2β＝sin(α＋β)sin(α－β)；
cos2α－sin2β＝cos(α＋β)cos(α－β).
2.运用倍角公式时谨记四个注意点
(1)要注意公式成立的条件；
(2)要注意和、差、倍角的相对性；
(3)要注意升幂、降幂的灵活运用；
(4)要注意“1”的各种变形.
【必练核心题型】
题型一 三角函数式的化简
【典例】1 (1)sin2(α −π
6)＋sin2(α ＋π
6)－sin2α 等于( )
A.－1
2
B.－
❑√3
2
C.1
2
D.
❑√3
2
【典例】2.化简：
(1＋cos2α )(2sin
2α −1)tan α
2
tan
2 α
2 −1
＝ .
【变式训练】
变式1.化简1＋sin 4 α −cos 4 α
1＋sin 4 α ＋cos 4 α 的结果是( )
A.
1
tan2α
B.tan 2α
C.
1
tan α
D.tan α
变式2.若3 π
2 <α<2π，化简：❑√
1
2 ＋1
2
❑√
1
2 ＋1
2 cos2α＝ .
题型二 三角函数式的求值
命题点1 给角求值
【典例】1.古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了
黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为m＝2sin 18°，则
cos18°
cos36°·❑√1−m
2
＝
.
命题点2 给值求值
【典例】2.已知cos(
π
6 ＋α)＝1
5 ，则sin(
5 π
6 ＋2α)等于( )
A.－3
25
B. 3
25
C.－23
25
D.23
25
命题点3 给值求角
【典例】2.已知sin α＝
❑√2
10 ，cos β＝3 ❑√10
10
，且α，β 为锐角，则α＋2β＝
.
【变式训练】
变式1.(2025·成都模拟)已知α 是第一象限角，满足cos(
π
4 ＋α)＝－3
5 ，则cos 2α 等
于( )
A. 7
25
B.－24
25
C.24
25
D.－7
25
变式2.已知α 为锐角，1＋
❑√3
tan 80° ＝
1
sin α ，则α＝ .
题型三 三角恒等变换的综合应用
【典例】1.已知函数f(x)＝1
2sin xcos x－1
2cos2x＋1
4 .若f (
1
2 α)＝
❑√2
5 ，则sin 2α 的值
为 .
【变式训练】
变式1.已知f(x)＝sin xsin(x＋π
3)－1
4 ，则f(x)的值域为 .
【限时训练】（限时：60 分钟）
一、单项选择题(每小题5 分，共30 分)
1.(2025·大连模拟)设θ∈(0，π
2)，若cos θ＝3
5 ，则sin 2θ 等于( )
A.1
5
B.4
5
C.12
25
D.24
25
2. 3−sin160°
1＋sin
235° 的值等于( )
A.－2
B.2
C.－1
D.1
3.化简
2co s
2α −1
2tan(
π
4 −α)·sin
2(
π
4 ＋α)
等于( )
A.1
B.－1
C.cos α
D.－sin α
4.已知cos(α ＋π
6)＝1
4 ，则sin(2α −π
6)等于( )
A.－7
8
B.7
8
C. 7
16
D.－7
16
5.若θ∈(
π
2 ，π)，tan 2θ＝3cosθ
2−sinθ ，则cos θ 等于( )
A.－1
2
B.－
❑√3
2
C.
❑√3
2
D.1
2
6.已知π
4 <θ<π
3 ，若a＝
tanθ
tan
2θ＋1
，b＝1
2 －1
2cos 2θ，c＝
1
cosθ －cos θ，则a，b，c
的大小关系是( )
A.c>a>b
B.b>c>a
C.c>b>a
D.b>a>c
二、多项选择题(每小题6 分，共12 分)
7.(2025·中山模拟)下列选项中，与sin(−11π
6 )的值相等的是( )
A.2sin 15°cos 15°
B.cos 18°cos 42°－sin 18°sin 42°
C.2cos215°－1
D.
tan 22.5°
1−tan
222.5°
8.已知函数f(x)＝sin2(x＋π
4)，若a＝f(lg 5)，b＝f(lg 1
5)，则( )
A.a＋b＝0
B.a－b＝0
C.a＋b＝1
D.a－b＝sin(2lg 5)
三、填空题(每小题5 分，共10 分)
9.已知sin(α −π
4)＝
❑√2
3 ，则sin 2α＝ .
10.已知α，β 均为锐角，cos α＝2❑√7
7
，sin β＝3 ❑√3
14 ，则cos 2α＝ ，2α－β＝
.
四、解答题(共28 分)
11.(13 分)化简：
(1)(
1
tan α
2
−tan α
2)(1＋tan α·tan α
2)；(6 分)
(2)
2co s
4 x−2co s
2 x＋1
2
2tan(
π
4 −x)sin
2(
π
4 ＋x)
.(7 分)
12.(15 分)某城市一扇形空地的平面图如图所示，为了方便市民休闲健身，政府计划在
该扇形空地建设公园.经过测量，扇形空地的半径为600 m，∠AOB＝120°.在其中圈出
一块矩形场地CDEF 设计成林荫跑步区，且OC＝OD.
(1)求扇形空地的面积；(4 分)
(2)求矩形场地CDEF 的最大面积.(11 分)
【尖子拔高训练】每小题5 分，共10 分
13.(2025·湖北名校联盟联考)已知函数f(x)＝cos 2x＋cos 3x，x∈(0，π)，若f(x)有两个零
点x1，x2(x1<x2)，则( )
A.2π
5 ∈{x1，x2}
B.x2＝2x1
C.cos x1＋cos x2＝1
2
D.cos x1cos x2＝
❑√3
2
14.(2025·莆田模拟)中华人民共和国国旗是五星红旗，为中华人民共和国的象征和标志.
每个五角星的一个内角都是36°，利用三倍角公式等恒等变换可以求得cos 36°的值.先
利用sin 3α＝sin(2α＋α)可求得sin 3α＝___(用单角α 的正弦值表示)；再求得cos 36°＝
.
