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第05讲 指数与指数函数
1．根式
(1)如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根．
(2)式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数．
(3)()n＝a. 当n为奇数时，＝a，
当n为偶数时，＝|a|＝
2．分数指数幂
正数的正分数指数幂， ＝(a>0，m，n∈N*，n>1)．
正数的负分数指数幂， ＝ ＝(a>0，m，n∈N*，n>1)．
0的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂没有意义．
3．指数幂的运算性质(a>0，b>0，r，s∈R)
aras＝ar＋s； ； (ar)s＝ars； (ab)r＝arbr ．
4．指数函数及其性质
(1)概念：函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数．
(2)指数函数的图象与性质
a>1 0<a<1
图象
定义域 R
值域 (0，＋∞)
过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1
当x>0时，y>1； 当x<0时，y>1；
性质
当x<0时，0<y<1 当x>0时，0<y<1
在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数一．指数幂的运算
例1．（1）化简 （其中 ）的结果是（ ）
A． B． C． D．
（2） =_____________.
（3）计算：
（4）计算
（5）已知am＝4，an＝3，求的值．
（6）已知 ＝3，求下列各式的值．
①a＋a－1；②a2＋a－2；③a2－a－2；④
【复习指导】：(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注
意：
①必须同底数幂相乘，指数才能相加．
②运算的先后顺序．
(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．
(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．二．指数函数的图象及应用
例2．（1）函数 的图像如图所示，其中 为常数，则下列结论正确的是（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
（2）如图所示，函数 的图像是（ ）
A． B． C． D．
（3）函数 与 ，其中 ，且 ，它们的大致图象在同一直角坐标系中有可能是（
）
A． B． C． D．
（4）如图是指数函数① ，② ，③ ，④ 的图像，则a，b，c，d与0和1的大小关
系是（ ）A． B．
C． D．
（5）若函数 （ 且 ）的图像过第一、三、四象限，则必有（ ）．
A． B． C． D．
【复习指导】：(1)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、
伸缩、对称变换得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
(2)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．
三．指数函数的性质及应用
命题点1 比较指数式的大小
例3．（1）已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
（2）下列各式比较大小，正确的是（ ）
A．1.72.5＞1.73 B． C．1.70.3＞0.93.1 D．
（3）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．（4）设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是( )
A．a>b>c B．b>c>a
C．b>a>c D．a<b<c
（5）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【复习指导】：
(1)利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间
量．
(2)某些数或式大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的内在联系，抓住其本质，
构造函数，分析并运用函数的单调性解题，它能起到化难为易、化繁为简的作用.
(3)比较幂值大小的3种类型及处理方法
命题点2 解简单的指数方程或不等式
例4．（1）设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
（2）函数 的定义域是（ ）.
A． B． C． D．
（3）方程 的解为______.（4）若 ，则函数 的值域为________．
（5）设0<a<1，则使不等式 成立的x的集合是________．
（6）已知指数函数 f(x)的图象过点 P(3,8)，且函数 g(x)的图象与 f(x)的图象关于 y 轴对称，又 g(2x－
1)<g(3x)，求x的取值范围．
【复习指导】：解指数不等式的基本方法是先化为同底指数式，再利用指数函数单调性化为常规的不等式
来解，注意底数对不等号方向的影响．
命题点3 指数函数性质的综合应用
例5．（1）若函数 的值域是 ，则 的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
（2）（多选）已知函数 ，则（ ）
A．函数 的定义域为R B．函数 的值域为
C．函数 在 上单调递增 D．函数 在 上单调递减
【复习指导】：函数y＝af(x)(a>0，且a≠1)的单调性的处理方法
(1)关于指数型函数y＝af(x)(a>0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a>1还是0<a<1；二是f(x)的单调性，它由两个函数y＝au，u＝f(x)复合而成．
(2)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通过考察f(u)和
φ(x)的单调性，借助“同增异减”这一性质分析判断出y＝f(φ(x))的单调性．
（3）若函数 满足 ，且 在 单调递增，则实数 的最小值等于
_______．
（4）已知函数 （e为自然对数的底数），且 ，则实数a的取值范围为_____．
（5）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是 ，空气的温度是 ，那么 后物体的温
度 （单位： ）可由公式 求得，其中k是一个随着物体与空气的接触情况而定的正常
数．现有 的物体，放在 的空气中冷却，60分钟以后物体的温度是 ．要使物体的温度变为 ，
还要经过__________分钟．
（6）求下列函数的定义域和值域，并写出其单调区间.
① ；
② ；
③ ；
④ .
【复习指导】：指数型函数的定义域、值域的求法
(1)求与指数函数有关的函数的定义域时，首先观察函数是y＝ax型还是y＝af(x)型，前者的定义域是R，后者的定义域与f(x)的定义域一致，而求y＝型函数的定义域时，往往转化为解指数不等式(组)．
(2)求与指数函数有关的函数的值域时，在运用前面介绍的求函数值域的方法的前提下，要注意指数函数的
值域为(0，＋∞)，切记准确运用指数函数的单调性．
1．化简 (a>0，b>0)的结果是（ ）
A． B． C． D．
2．函数 的图像可能是（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数 的图象经过定点P，则点P的坐标是（ ）
A．(－1，5) B．(－1，4) C．(0，4) D．(4，0)
4．函数 的图像的大致形状是（ ）
A． B． C． D．5．函数 的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知曲线 且 过定点 ，若 且 ，则 的最小值为（
）.
A． B．9 C．5 D．
7．已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
8．设 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
9．若集合 ， ，则 （ ）A． B． C． D．
10．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间 上单调递增，若实数a满足 ，
则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．若函数 的值域为 ，则 的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
12．若函数 的最大值是2，则 （ ）
A． B． C． D．
13．已知函数 ，则对任意实数x，有（ ）
A． B．
C． D．
14．函数 的值域为（ ）A． B． C． D．
15．下列各式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
16．函数 的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
17．函数 的图像大致为（ ）
A． B． C． D．
18．已知函数 ，则 （ ）
A． B． C．7 D．19．若函数 的定义域为R，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
20．若关于 的方程 有解，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
21．某工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的 .
已知在过滤过程中的污染物的残留数量 （单位：毫克/升）与过滤时间 （单位：小时）之间的函数关系
为 （ 为常数， 为原污染物总量）.若前 个小时废气中的污染物被过滤掉了 ，那么要能
够按规定排放废气，还需要过滤 小时，则正整数 的最小值为（ ）（参考数据：取 ）
A． B． C． D．
22．定义在R上的偶函数 满足 ，当 时， ，设函数 ，
，则 与 的图像所有交点的横坐标之和为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
23．由于盐碱化严重，某地的耕地面积在最近 年内减少了 ．如果按此规律，设2012年的耕地面积
为 ，则2017年后的耕地面积为（ ）
A． B． C． D．24．有关数据显示，中国快递行业产生的包装垃圾在 年约为 万吨， 年的年增长率为 ，有
专家预测，如果不采取措施，未来包装垃圾还将以此增长率增长，从（ ）年开始，快递业产生的包装
垃圾超过 万吨.（参考数据： ， ）
A． B． C． D．
25．（多选）已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
26． _____________.
27．不等式 的解集是___________.
28．已知(a2＋a＋2)x>(a2＋a＋2)1－x，则x的取值范围是________．
29．如果函数 定义域为 ，则函数 的定义域为__________．
30．已知函数 的图象关于原点对称，若 ，则 的取值范围为________．
31．已知常数 ，函数 的图象经过点 ， ．若 ，则
______．32．方程 的解为______.
33．已知函数 是R上的奇函数，且 的图象关于 对称，当 时， ，计算
＝________．
34．函数 的定义域为______________．
35．已知 对一切 上恒成立，则实数a的取值范围是______．
36．已知函数 ，给出下列命题：
①若 ，则 ；
②对于任意的 ， ， ，则必有 ；
③若 ，则 ；
④若对于任意的 ， ， ，则 ，其中所有正确命题的序号是_____．
37．计算下列各式：（1） .
（2） .
（3） .
38．已知x＋y＝12，xy＝9且x<y，求 的值．
39．指数函数 图像经过点 ．
(1)求函数 的解析式；
f x2 x fx3
(2)解不等式 ．
40．如果函数y＝a2x＋2ax－1(a>0且a≠1)在[－1,1]上的最大值为14，求a的值．
41．（1）已知函数 的图像恒过定点A，且点A又在函数 的图像上，求不等式 的解集；
（2）已知 ，求函数 的最大值和最小值.
42．已知函数
（1）若 ，求函数 的单调区间
（2）若 有最大值3，求a的值
（3）若 的值域是 ，求实数a的取值范围.
43．已知函数 ，且 ， 的定义域为[－1，1].
（1）求 的值及函数 的解析式；
（2）试判断函数 的单调性；
（3）若方程 ＝ 有解，求实数 的取值范围.44．若函数 是指数函数，
（1）求k，b的值；
（2）求解不等式 .
45．已知函数 （ 且 ）．
（1）求函数 的定义域；
（2）判断函数 的奇偶性；
（3）若 在其定义域上恒成立，求实数 的取值范围.
46．已知函数 ．
（1）求函数 的定义域及其值域；
（2）求方程 的解；
（3）若函数 有两个不同零点，求m的取值范围．47．已知函数 ， 分别是定义在 上的偶函数和奇函数，且 ．
（1）求函数 ， 的解析式；
（2）若对任意 ，不等式 恒成立，求实数 的最大值；
48．已知函数 ．
（1）若函数 在 ， 上有最大值 ，求实数 的值；
（2）若方程 在 ， 上有解，求实数 的取值范围．
49．若函数
（1）求 的最小值及 取最小值时所对应的 值；
（2）若对于任意 使 恒成立，求实数 的范围．50．已知定义在R上的函数f(x)＝2x－.
(1)若f(x)＝，求x的值；
(2)若2tf(2t)＋mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立，求实数m的取值范围．
