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25.3 实际问题与一元二次方程
（第1 课时 代数数字、图形面积问题）（教学设计）
1.教学内容
本节课时是人教版2024 版九年级上册第二十五章《一元二次方程》，第三节《实际问题与一元二次方程》
第1 课时，是以代数数字关系、几何图形面积为核心背景的一元二次方程应用课.本节课聚焦两类基础必考
模型：一是连续整数、连续偶数、两位数数位数字关系问题；二是矩形、正方形等规则图形的边长变化、
空地留白、裁剪拼接面积问题.核心教学内容为：提炼数字、几何面积情境中的等量关系，建立一元二次
方程求解，规范“审、设、列、解、验、答”解题流程，结合整数特征、图形边长正数的实际意义取舍方
程根，是一元二次方程几何与代数综合应用的基础课时.
2. 内容解析
本节课承接一元二次方程的解法，是方程建模思想在代数数字、几何图形领域的具体应用.此前学生已掌
握一元一次方程解决简单数字、面积问题，本节课因问题中存在平方关系、两变量乘积关系，必须借助一
元二次方程求解，是一次方程应用的进阶升级.同时，本节课的面积建模思路，为后续二次函数几何最值
问题、复杂动态几何问题奠定核心思维基础，是章节重点衔接课，也是中考基础应用题核心考点.本节课
以静态基础等量关系为蓝本，情境简洁、模型固定.数字问题核心依托“数位数值表示、连续整数差值规
律”，面积问题核心依托“规则图形面积公式、整体减局部等量关系”，题型经典、规律性强，适合学生
掌握标准化建模方法，规避复杂变式，夯实方程应用核心能力.通过数字、几何双情境建模，培养学生数
学抽象、直观想象、数学建模核心素养，让学生体会代数与几何的融合思想，养成严谨审题、规范解题、
验证取舍的数学学习习惯.
基于以上分析，本节课的教学重点为：掌握连续整数、两位数数字问题的设元方法与等量关系构建；利用
矩形、正方形面积公式建立一元二次方程，规范解题步骤.
1. 教学目标
（1）掌握连续整数、两位数数字问题的数量表示方法；熟练利用规则图形面积公式建立一元二次方程；
完整掌握一元二次方程解应用题的六步流程，能根据整数属性、边长为正的实际条件检验并舍去不合理根.
（2）经历“数字/图形情境→梳理等量关系→建立方程模型→运算求解→验证实际意义”的探究过程，提
升文字信息转化、几何图形量化、代数建模的能力.
（3）感受数学知识的关联性与实用性，体会数形结合的数学魅力，克服应用题畏难情绪，提升数学解题
的严谨性与自信心.
2.目标解析
目标1 立足教材基础题型，精准落实数字、面积两类核心模型，区别于增长率模型，聚焦整数特征、几何
边长取值限制，夯实一元二次方程基础应用体系，贴合新教材课时分层编排要求.
目标2 通过梯度探究、变式训练，突破“数字设元错误、面积等量关系找错、忽略实际验根”三大痛点，
固化建模思维与规范解题流程.
目标3 渗透数形结合、模型思想、分类验证思想，实现从“会解方程”到“会用方程解决实际问题”的能
力升级，契合初中数学核心素养培养要求.
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九年级学生已熟练掌握一元二次方程各类解法，熟悉矩形、正方形面积公式，小学及初一已接触连续整数、
两位数数位的基础知识点，具备方程解应用题的基本思路，为本节课学习提供充足基础.学生对单一计算
熟练，但代数式表示实际量的能力薄弱，易混淆两位数“数位数字”与“数值大小”；几何面积问题中，
难以快速拆解图形、梳理增减面积关系；普遍存在重计算、轻验证的问题，容易出现解出小数边长、非整
数数字等不合理答案.数字、面积问题情境直观、贴近基础，相较于利润、动态问题更易理解，学生接受
度高，适合通过基础探究+小幅变式，逐步突破难点、规范习惯.
基于以上分析，本节课的教学难点确定为：准确用代数式表示多位数、连续整数类未知量；复杂图形（留
白、裁剪问题）中提炼“整体面积、局部面积”的隐性等量关系；结合整数、边长为正数的实际条件，精
准取舍方程的两个根.
创设情景，引入新课
前面我们学习了一元一次方程、二元一次方程(组)解决实际问题，同一元一次方程、二元一次方程(组)等
一样，一元二次方程也可以作为反映某些实际问题中数量关系的数学模型，本节课继续讨论如何利用一元
二次方程解决实际问题.
(设计意图：提出问题引入新课)
探究点1 代数数字关系问题
活动1：已知两个连续正整数的乘积为132，求这两个连续正整数.
师生活动：引导审题：明确未知量为两个连续正整数，核心特征：后一个数比前一个数大1；
规范设元：设较小的正整数为x，则较大的正整数为x+1；
提炼等量关系：较小数×较大数=132；
列方程求解：x(x+1)=132，整理得x ²+x-132=0，因式分解求解；
验根取舍：解得
，结合正整数条件，舍去负根，得出答案.
活动2：是否存在三边长是三个连续正整数的直角三角形?如果存在，这样的三角形有多少个?
学生交流讨论：若存在这样的三角形，设其三边长依次为x，x+1，x+2，其中x 为正整数.
由勾股定理，得x ²+(x+1)²=(x+2)².
解方程，得
(不符合题意，舍去).
因此，三边长是三个连续正整数的直角三角形存在且只有一个，其三边长分别为3，4，5.
（设计意图：从最简单的连续整数入手，降低入门难度，让学生掌握连续数的设元技巧；延伸三个连续正
整数的直角三角形问题，贴合教材数字类核心考点，完整构建数字问题建模流程，初步强化“整数取值”
的验根意识，落实本节课重点.）
探究点2 几何图形面积问题
活动3：一个正方形的边长增加2cm，面积增加24cm ²，求原正方形的边长.
师生探究：
审题分析：图形为正方形，边长变化引发面积变化，已知变化量、求原边长；
设元：设原正方形边长为xcm，则新正方形边长为(x+2)cm；
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等量关系：新图形面积原图形面积
−
=增加的面积；
列方程求解：(x+2)²-x ²=24，整理化简为一元二次方程并求解；
验根：边长为正数，舍去负根，规范作答.
活动4：用一根长为40m 的细绳，能否围成一个面积为96m ²的矩形区域?如果能围成，这样的矩形是否唯
一?
分析讨论:
假设细绳能围成面积为96m ²的矩形区域，则矩形的周长就是细绳的长度.设矩形一边长为xm，由周长为
40m，可用含x 的式子表示出该边的邻边长，再利用面积列方程求解.
独立解答:设矩形的一边长为rm，由矩形的周长为40m，可得此边的邻边长为(20－x)m;由矩形的面积为
96m ²，得x(20-x)=96.
解方程，得
.
因此，用一根长为40m 的细绳可以围成面积为96m ²的矩形区域，这样的矩形唯一，其两邻边长分别为
8m，12m.
追问：方程有两个根，是否表示可以围成两个满足条件的矩形区域?
学生讨论：符合实际意义，可以有一个满足条件的矩形.
思考：对于上述的问题，设矩形的两邻边长的方法有多种.例如:(1)可设一边长为xm，那么其邻边长为m;
(2)可设一边长为(10+x)m，那么其邻边长为(10-x)m.能根据以上设两邻边长的方法列方程求解吗?比较这
些设法，说说它们各自的特点.
学生讨论，交流.
（设计意图：遵循“简单图形→变式图形”贴合教材面积问题编排逻辑；分析讨论过程中通过画图辅助分
析，渗透数形结合思想，帮助学生突破复杂图形等量关系提炼的难点，掌握面积问题核心建模方法.）
探究点3 归纳列一元二次方程解决实际的通用步骤
活动5：师生共同归纳以上四个问题通用步骤：
审题意→巧设元→找等量→列方程→解方程→验实际→写答案.
（设计意图：及时梳理新知，固化标准化解题流程，帮助学生构建基础知识框架，规避解题随意性.）
典型例题
例1：两个连续偶数的积为168，求这两个连续偶数.
【分析】连续偶数差值为2，设元可设x、x+2，且结果需为偶数，进一步细化验根标准.
【详解】解：设这两个连续偶数为x、x+2，根据题意得：x（x+2)=168
解得：
.
所以这分别两个连续偶数为12、14 或-12、-14.
例2.在一块长
宽
的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园所占面积为荒地面积的一半，如图
（1）所示的是小明的设计方案，其中花园四周小路的宽度相等，通过解方程，小明得到小路的宽为
或
．如图（2）所示的是小颖的设计方案，其中在荒地中每个角上的扇形都相同．
(1)你认为小明的结果对吗？为什么？
(2)你能帮小颖求出图（2）中的
吗？（
取
，结果精确到0.1）
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(3)你还有其他设计方案吗？
【分析】本题考查了一元二次方程的应用；
（1）按小明的思路，利用矩形的面积公式列方程，解答验证；
（2）花园中每个角上的扇形相同，和在一起正好是一个圆，根据圆的面积公式列方程，进行解答，从而
求出半径；
（3）答案不唯一，符合要求即可．
【详解】（1）解：设小路的宽为
，则
，
解得：
，或
(舍去)．
∴
，故小明的结果不对．
（2）解：四个角上的四个扇形可合并成一个圆，设这个圆的半径为
，
故有
，
解得：
m（负值舍去）．
（3）解：依此连结各边的中点得如图的设计方案．
（设计意图：落实本节课重点知识，规范解题书写过程，提升学生分析问题、解决问题能力.）
课本课堂练习（P21）.
（设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的
理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略）
1.如图，某校准备一面利用墙，其余各面用篱笆围成一个矩形花辅
．已知旧墙可用的
最大长度为13m，篱笆长为24m，设垂直于墙的
边长为x．
(1)若围成的花圃面积为
时，求
的长；
(2)如图，若计划将花圃面积围成
，请你判断能否围成这样的花圃？如果能，求
的长；如果不能，
请说明理由．
【详解】（1）解：设垂直于墙的
边长为x．
根据题意得：
,
则
，
解得：
，
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当
时，
，
时，
，
墙可利用的最大长度为
，故
舍去．
答：
的长为
；
（2）解：不能围成这样的花圃．理由如下：
依题意可知：
，
即
，
，
所以方程无实数根，
答：不能围成这样的花圃．
1．(2025.来安校考)如图所示的是一张月历表，在此月历表上用一个矩形任意圈出
个数(如17，18，
24，25)，如果圈出的四个数中最小数与最大数的积为153，那么这四个数的和为（ ）
A．40
B．48
C．52
D．56
【详解】解：设最小数为
，则另外三个数为
，
根据题意可列方程，得
，
解得
(不符合题意，舍去)，
∴
，
，
，
，
∴四个数分别为9，10，16，17，
∵
，
故选：C．
2．（2025•新疆）如图，小明在数学综合实践活动中，利用一面墙（墙足够长）和24m 长的围栏围成一个
面积为40m2的矩形场地．设矩形的宽为x m，根据题意可列方程（ ）
A．x（24﹣2x）＝40
B．x（24﹣x）＝40
C．2x（24﹣2x）＝40
D．2x（24﹣x）＝40
【解答】解：∵围栏的长度为24m，矩形的宽为x m，
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∴矩形的长为（24﹣2x）m．
根据题意得：x（24﹣2x）＝40．
故选：A．
3．（2025•福建）为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5 米的篱笆，在两边都足够长的
直角围墙的一角，围出一块6 平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形的一边长为x 米，根
据题意可列方程（ ）
A．5x2＝6
B．5（1+x2）＝6
C．x（5﹣x）＝6
D．5（1+x）2＝6
【解答】解：由题意可得，x（5﹣x）＝6，
故选：C．
4．（2025•威海）如图，某校有一块长20m、宽14m 的矩形种植园．为了方便耕作管理，在种植园的四周
和内部修建宽度相同的小路（图中阴影部分）．小路把种植园分成面积均为24m2的9 个矩形地块，请
你求出小路的宽度．
【解答】解：设小路的宽度为x m，则9 块矩形地块可合成长为（20﹣4x）m，宽为（14﹣4x）m 的矩
形，
根据题意得：（20﹣4x）（14﹣4x）＝24×9，
整理得：2x2﹣17x+8＝0，
解得：x1= 1
2
，x2＝8（不符合题意，舍去）．
答：小路的宽度为1
2
m．
5．（2025.周口统考）如图，利用一面墙（长度不限），用长20 米长的篱笆围成一个矩形场地
，
并在边
上留出一个1 米宽的门
（不用篱笆），怎样围成一个面积为45 平方米的场地？
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【详解】设矩形
的边长
，则边
．
根据题意，得
．
解得
，
．
当
时，
；
当
时，
．
答：当矩形场地的长为
，宽为
或长为
，宽为
时，能围成一个面积为45 平方米的场地．
（设计意图：在学习完知识后加入中考等真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检
验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力）
1.知识技能：（1）数字问题：掌握连续整数（差1）、连续偶数（差2）、两位数数位的代数式表示方法，
能根据“整数、正数”条件取舍方程根.（2）面积问题：熟练掌握正方形、矩形边长变化、留白裁剪问题
的等量关系，依托面积公式建立一元二次方程.（3）通用技能：熟练掌握一元二次方程解应用题六步解题
法，解题格式规范完整.
2.思想方法：（1）模型思想：将数字关系、几何面积的实际问题，抽象转化为一元二次方程代数模型.
（2）数形结合思想：面积问题通过画图分析图形结构，直观梳理边长、面积等量关系，化几何问题为代
数计算.（3）转化思想：文字情境、图形信息转化为代数式、方程，实现几何与代数的互通转化.（4）严
谨验证思想：方程的数学解必须结合实际情境的取值限制筛选有效解.
3.易错提醒：（1）数字问题：设元错误，混淆连续整数、连续偶数的差值；忽略“整数、正数”要求，
不舍去不合理根；两位数数值直接用数位数字代替，计算错误.（2）面积问题：图形边长增减分析错误，
混淆单边、双边增减；误用面积公式，等量关系列写颠倒；默认所有方程解都有效，忽略边长为正数的硬
性条件.（3）通用问题：解题步骤残缺，漏检验、漏作答、无单位，解题规范性不足.
(设计意图：对本课的知识进行总结，有利于学生对增强学习的主动性与连贯性. ）
必做题：课本习题25.3 第1、2、5 题.
探究性作业：课本习题25.3 第6 题.
（设计意图：对本节课的知识进行巩固训练 ）
主板书
25.3 实际问题与一元二次方程（第1 课时）
一、核心模型：数字问题
二、核心模型：图形面积问题
三、通用解题六步法
四、核心易错点
副板书
典型例题
（预留区域，课堂书写化简、检验例题）
例题
学生练习板演
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