文档文本内容
第 05 讲 正弦定理和余弦定理的应用
(精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：典型例题剖析
高频考点一：解三角形应用举例
角度1：测量距离问题
角度2：测量高度问题
角度3：测量角度问题
高频考点二：求平面几何问题
高频考点三：三角函数与解三角形的交汇问题
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
1、基线
在测量过程中,我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线.为使测量具有较高的精确度,应
根据实际需要选取合的基线长度.一般来说,基线越长,测量的精确度越高.
2、仰角与俯角
在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰
角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角
3、方位角
从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角．方位角 的范围是
.
4、方向角
正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西) ，
例：(1)北偏东 ：(2)南偏西 ：
5、坡角与坡比
坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角(θ为坡角)；坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比(坡度)，即 .
第二部分：典 型 例 题 剖 析
高频考点一：解三角形应用举例
角度1：测量距离问题
典型例题
例题1．（2022·北京大兴·高一期末）如图， 两点在河的两岸，在 同侧的河岸边选取点 ，测得
的距离 ，则 两点间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为 ，故 ，由正弦定理，
，故 m
故选：D
例题2．（2022·河南南阳·高一阶段练习）如图，在一场足球比赛中，甲同学从点 处开始做匀速直线
运动，到达点 时，发现乙同学踢着足球在点 处正以自己速度的 向 做匀速直线运动，已知
．若忽略甲同学转身所需的时间，甲同学最快拦截乙同学的点是线段
上的点D，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A【详解】如图，连接 ，设 ，则 ，
在 中，由余弦定理得， ，
代入整理可得 ，即
解得 或 （舍去）．
所以 .
故选：A
例题3．（2022·河南河南·高一期末）开封铁塔是宋都开封具有代表性的文物，是文物价值最高、份量
最重的宝物之一．1961年，被国务院定为中国首批国家重点保护文物之一．某司机驾车行驶到M处，测得
铁塔S在汽车的北偏东15°，与铁塔S相距20公里，汽车继续沿正西方向航行30分钟到达N处后，又测
得铁塔在汽车的北偏东45°，则汽车的速度为________公里/时．
【答案】
【详解】如图所示，由题意可知∠SMN＝15°+90°＝105°，∠SNM＝45°，SM＝20，∴∠NSM＝30°，
在 中，由正弦定理可得 ，
即 ，解得 ，
∴汽车的速度为 （公里/时）．
故答案为： ．题型归类练
1．（2022·全国·高三专题练习）现只有一把长为 的尺子，为了求得某小区草坪边缘 两点的距离
（ 大于 ），在草坪坛边缘找到点 与 ，已知 ，且 ，测得
， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为 ，所以 .
因为 ，所以 ，
所以 .
故选：C
2．（2022·河南·高一期末）如图，小明同学在山顶A处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行
驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC＝135°．若山高AD＝150m，汽车
从C点到B点历时25s，则这辆汽车的速度为______m/s．
【答案】
【详解】由题意可知，AB＝300m， m，由余弦定理可得（m），这辆汽车的速度为
（m/s），
故答案为： ．
3．（2022·新疆·和硕县高级中学高一阶段练习）如图， ， 两点分别在河的两侧，为了测量 ， 两点
之间的距离，在点 的同侧选取点 ，测得 ， ， 米，求 ， 两点之间
的距离．
【答案】 米.
【详解】根据已知条件： ， ， 米，
所以： ，
利用正弦定理：则 ，
所以 (米)．
角度2：测量高度问题
典型例题
例题1．（2022·江苏·高二期末）魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一
题是测量海岛的高.如图，点 ， ， 在水平线 上， 和 是两个垂直于水平面且等高的测量标
杆的高度，若 ， ， ， ，则海岛的高 （ ）
A．20 B．16 C．27 D．9
【答案】A
【详解】由平面相似知识可知， ， ，所以 ，解得
，从而 ．故选：A．
例题2．（2022·四川成都·高一期末（文））为了测量某塔的高度，检测员在地面 处测得塔顶 处的
仰角为30°，从 处向正东方向走210米到地面 处，测得塔顶 处的仰角为60°，若 ，则
铁塔 的高度为_______米．
【答案】
【详解】设铁塔OT的高为 ，则可得
在 中，则 ，即
解得
故答案为： ．
例题3．（2022·全国·高一期中）如下图所示，为了测量山高 ，分别选择山下平地的 处和另一座
山的山顶 处为测量观测点．从 点测得 点的仰角 ， 点的仰角 以及
，从 点测得 ，已知山高 米，则山高 __________米．
【答案】
【详解】在 ABC中，BC⊥AB，∠BAC=30°，BC=50，
所以AC=100，
△
因为 ， ，
所以∠AMC=45°，
在 ACM中，由正弦定理得： ，
△即 ，解得： ，
因为 ，MN⊥AN，
则 （米）.
故答案为：
题型归类练
1．（2022·江苏·南京二十七中高二开学考试）小明在学完《解直角三角形》一章后，利用测角仪和校园旗
杆的拉绳测量校园旗杆的高度，如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等，小明先将PB拉到 的位
置，测得 （ 为水平线），测角仪 的高度为1米，则旗杆 的高度为（ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
【答案】C
【详解】由题设， ，而 ，
所以 ，可得 米.
故选：C
2．（2022·全国·高三专题练习）公园内有一棵树， ， 是与树根处 点在同一水平面内的两个观测点，
树顶端为 .如图，观测得 ， ， ， 米，则该树的高度 大约
为（ ）
A．21米 B．18米 C．15米 D．10米
【答案】A【详解】在 中， ，
则由正弦定理可得 ，即 ，解得 米，
在直角 中， 米.
故选：A.
3．（2022·广东梅州·高一期末）某中学数学兴趣小组为了测量校园旗杆的高度，如图所示，在操场上选择
了C､D两点，在C､D处测得旗杆的仰角分别为 ，在水平面上测得 且C，D的距离为
15米，则旗杆的高度为__________米．
【答案】15
【详解】解：如图所示：
设旗杆的高度为 ，
所以 ，
在 中，由余弦定理得 ，
即 ，
即 ，
解得 或 （舍去）.
故答案为：15角度3：测量角度问题
典型例题
例题1．（2022·全国·高一课时练习）如图所示，两座灯塔 和 与海岸观察站 的距离相等，灯塔
在观察站南偏西 方向上，灯塔 在观察站南偏东 方向上，则灯塔 在灯塔 的（ ）
A．北偏东 方向上 B．北偏西 方向上 C．南偏东 方向上 D．南偏西 方向上
【答案】D
【详解】由条件及题图可知， 为等腰三角形，
所以 ，又 ，
所以 ，所以 ，
因此灯塔A在灯塔B的南偏西 方向上．
故选：D．
例题2．（2022·河北保定·高一期末）一艘船航行到点 处时，测得灯塔 与其相距30海里，如图所
示.随后该船以20海里/小时的速度，沿直线向东南方向航行1小时后到达点 ，测得灯塔 在其北偏东
方向，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：由题意可知， ， 海里，
由正弦定理可得 = ，代入数据得 .
故选：C.
例题3．（多选）（2022·全国·高一课时练习）一艘客船上午9：30在 处，此时测得灯塔 在它的北偏东 方向，之后它以每小时 的速度继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达 处，此时测
得客船与灯塔 相距 ，则灯塔 可能在 处的（ ）
A．北偏东 方向 B．南偏东 方向 C．东北方向 D．东南方向
【答案】AB
【详解】画出示意图如图所示，由题意得 ， ， ，
所以 ，解得 ，
所以 或 ．
当船在B处时， ，所以 ；
当船在 处时， ，所以 ．
综上，灯塔S在B处的北偏东 或南偏东 方向．
故选：AB.
题型归类练
1．（2022·全国·高三专题练习）如图，一轮船从A点沿北偏东 的方向行驶10海里至海岛B，又从B沿
北偏东 的方向行驶10海里至海岛 ，若此轮船从A点直接沿直线行驶至海岛 ，则此船沿__________
方向行驶__________海里至海岛C（ ）
A．北偏东 ； B．北偏东 ；
C．北偏东 ； D．北偏东 ；
【答案】C
【详解】由题意得： ， ，故 ，所以从A到C的航向
为北偏东 ，由余弦定理得：，故 .
故选：C
2．（2022·全国·高一课时练习）若点A在点C的北偏东60°方向上，点B在点C的南偏东30°方向上，且
AC=BC，则点A在点B的（ ）
A．北偏东 方向上 B．北偏西 方向上
C．北偏东 方向上 D．北偏西 方向上
【答案】A
【详解】由题意，点A在点C的北偏东60°方向上，点B在点C的南偏东30°方向上，且AC=BC，可得几何
位置关系如下图所示：
则 ，
所以 ,故点A在点B的北偏东 方向上
故选：A
3．（2022·全国·高三专题练习）若点 在点 的北偏东 ，点 在点 的南偏东 ，且 ，则点
在点 的（ ）
A．北偏东 B．北偏西 C．北偏东 D．北偏西
【答案】B
【详解】解：由 ，又 ，∴ ，而 ，∴ .∴点 在点 的北偏西 .
故选：B.
高频考点二：求平面几何问题
典型例题
例题1．（2022·陕西·西安铁一中滨河高级中学高三阶段练习（理））如图，在四边形ABCD中，
， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】如图，延长AD，BC相交于点P， ，可得 为等边三角形，
所以 ，
所以 .
故选：A.例题2．（2022·浙江杭州·高一期中）某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器
的垂直弹射高度： 、 、 三地位于同一水平面上，在 处进行该仪器的垂直弹射，观测点 、 两
地相距100米， ，在 地听到弹射声音的时间比在 地晚 秒. 地测得该仪器弹至最高
点 时的仰角为30°.
（1）求 、 两地的距离；
（2）求该仪器的垂直弹射高度 .(声音的传播速度为340米/秒)
【答案】(1)420m;(2)140 .
详解：（1）由题意，设AC＝x，
则BC＝x－ 340＝x－40.
在△ABC中，由余弦定理，得
BC2＝BA2＋AC2－2BAACcos∠BAC，
即(x－40)2＝10 000＋x2－100x，解得x＝420.
∴A、C两地间的距离为420m.
（2）在Rt△ACH中，AC＝420，∠CAH＝30°，
所以CH＝ACtan∠CAH＝140 .
答: 该仪器的垂直弹射高度CH为140 米．
例题3．（2022·河北邯郸·高一期中）随着我国房地产行业迅速发展和人们生活水平的不断提高，大家
对住宅区的园林绿化设计提出了更高､更新的要求，设计制“人性化，生态化､自然化”的园林式居住区，
以提高现代人的生活质量，成为当今住宅区园林绿化的设计准则.某小区有一片绿化用地，如图所示，区域四周配植修剪整齐的本土植物，中间区域合理配植有层次感的高､中､低植物， 为鹅卵石健康步道，
， ， ， .
(1)求鹅卵石健康步道 的长（单位： ）；
(2)求绿化用地总面积（单位： ）.
【答案】(1)
(2)
(1)解：在 中由余弦定理可知 ，
即 .
(2)解：在 中， .
由余弦定理可得 ，
则
因为 ， ，所以 ，在 中， ，则
，
则
所以绿化用地总面积为 .
题型归类练
1．（2022·全国·高三专题练习）随着生活水平的不断提高，人们更加关注健康，重视锻炼.通过“小步
道”，走出“大健康”，健康步道成为引领健康生活的一道亮丽风景线.如图， 为某区的
一条健康步道，其中 为线段， 三点共线， 是以 为直径的半圆， ，
.则该健康步道的长度为___________.【答案】
【详解】连接 ，因为 ，所以 ，
在 中， ，所以 ，
由直角三角形三角函数的定义知， ，
所以 ，
所以半圆 的弧长为 .
在Rt 中， ，
所以 ，
在 中，设 ，
由余弦定理可得， ，
即 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，解得： ，
所以健康步道的长度为 .
故答案为：2．（2022·福建三明·高一期末）如图，某景区拟开辟一个平面示意图为五边形ABCDE的观光步行道，BE
为电瓶车专用道， ， ， ．
(1)求BE的长；
(2)若 ，求五边形ABCDE的周长．
【答案】(1) ；
(2) .
（1）由 ， ，可得： ， ，而 ，故
，在直角△ 中 ，则 .
（2）由（1）知： ，则 ，
，由 且
，则 ，所以 .所以五边形ABCDE的周长 .
3．（2022·全国·高三专题练习）如图，在圆内接四边形ABCD中， ， ， ，
的面积为 .
(1)求AC；
(2)求 .
【答案】(1)
(2)
（1）因为 的面积为 ，所以 .
又因为 ， ，所以 .
由余弦定理得， ，，所以 .
（2）因为ABCD为圆内接四边形，且 ，所以 .又 ，由正弦定理可得，
，故 .因为 ，所以
，所以 .
高频考点三：三角函数与解三角形的交汇问题
典型例题
例题1．（2022·辽宁·辽河油田第一高级中学高二期末）已知函数 .
（1）求 的单调递减区间；
（2）在锐角 中， ， ， 分别为角 ， ， 的对边，且满足 ，求
的取值范围.
【答案】（1） （2）
【详解】解：（1） ，
由 得
所以 的单调递减区间为 ；
（2）由正弦定理得 ，
∵ ∴ ，
即 ，
，
得 ，或 ，
解得 ，或 （舍），
∵ 为锐角三角形，
∴ 解得
∴∴ 的取值范围为 ．
例题2．（2022·上海浦东新·二模）已知函数
(1)若函数 为偶函数，求实数 的值；
(2)当 时，在 中（ 所对的边分别为 、 、 ），若 ，且 的面积
为 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)
(1)任取
因为函数 为偶函数.所以
（法二：特值法，再验证）由函数 为偶函数知 ，（可取不同特殊值）
得 ，t=0
又当 时， ，函数 为偶函数，
（法三：观察法，需举反例） ，
时，函数 为偶函数，
任选 ，则有
当 时，举反例，如 ，
此时 为非奇非偶函数，所以，函数 为偶函数时 ；
(2)当 时, ，
由 则有
由题意 ，
在 中， ，
则 ．
例题3．（2022·甘肃·高台县第一中学高一阶段练习）已知向量(1)求函数 的单调递增区间；
(2)已知锐角 中角 的对边分别为 ，其面积 ， ，求 的值
【答案】(1)
(2)
(1) ∴函数
的单调递增区间即为 的递减区间
，则
∴函数 的单调递增区间为
(2)
则
∵ ，则
∴ ，则
∵ ，即 ，则
，即
∴
题型归类练
1．（2022·北京八中高一阶段练习）设函数 ，其中 .
(1)若 ，且 ，求 ；
(2)设 的三边 满足 ，且边 所对的角为 ，试求 的值域.【答案】(1)
(2)
(1)
若 ，则 ，即
∵ ,
∴ .
从而 ,解得
(2)在 中， ，
，当且仅当 等式成立，
则 ， ，则 ，
又∵ ， ，
∴当 时， ，当 时， ，
∴ 的值域为 .
2．（2022·四川·射洪中学模拟预测（文））已知向量 ，记
函数 ．
(1)求 的对称轴和单调递增区间；
(2)在锐角 中，角A，B，C的对边为a，b，c，若 ，求 的取值范围．
【答案】(1)对称轴为 ，
(2)
(1)由题意
，
所以 的对称轴为 ，即 ，单调递增区间满足 ，解得 ，
所以单调递增区间为 ．
(2)由 得， ，所以 ，
所以 ，
因为 为锐角三角形，故 ，得 ，
所以 ，即 的取值范围为 ．
3．（2022·福建·漳州三中高二期末）已知函数
(1)求 的单调递增区间；
(2)三角形 的三边a，b，c满足 ，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(1)解：由题意得：
当 时，函数 单调递增，解得：
的单调递增区间：
(2)由 可知
由余弦定理得：
故可知∴
又
∴ ．
