2011-2020年高考数学真题分专题训练专题12三角函数图象与性质（教师版含解析）_初高中资料库_高中资料库（转存避免链接过期失效）_高中数学

专题 12
三角函数图象与性质
十年大数据*全景展示
年 份
题号
考 点
考 查 内 容
课标
理 11 三角函数性质
文 11 三角函数性质
三角函数的周期性、奇偶性、单调性
2011
三角公式、诱导公式、三角函数的性质及分析处理问题
能力．
课标
课标
课标
卷 2
卷 1
理 9
文 9
三角函数性质
三角函数性质
三角函数的单调性
2012
三角函数的对称轴等性质
三角函数图像平移变换
2013
2014
文 16 三角函数图像变换
文 7
理 8
文 8
三角函数图像
本三角函数的周期性．
2015
卷 1
三角函数图像
已知三角函数图像求解析式及三角函数的单调性．
卷 3
卷 1
卷 2
卷 3
卷 1
理 14 三角函数图像变换
两角和与差的三角公式及图像平移变换．
三角函数周期、三角函数的平移变换．
已知三角函数图像求解析式
文 6
文 3
三角函数图像变换
三角函数图像
2016
文 14 三角函数图像
辅助角公式及三角函数平移变换．
诱导公式、三角函数图像变换，化归与转化思想
三角函数周期、对称性、零点与单调性．
三角函数周期性
理 9
理 6
文 3
三角函数图像变换
2017 
卷 3
卷 2
三角函数性质
三角函数性质
辅助角公式、三角函数的单调性，运算求解能力与化归
与转化思想．
卷 2
卷 3
卷 2
理 10 三角函数性质
理 15 三角函数性质
文 10 三角函数性质
三角函数的零点、转化与化归思想与运算求解能力
辅助角公式、三角函数的单调性，运算求解能力与化归
与转化思想．
2018
同角三角函数基本关系 
同角三角函数基本关系与三角函数的周期，运算求解能
卷 3
卷 2
文 6
理 9
三角函数性质
力与化归与转化思想．
含绝对值的三角函数的周期性与单调性，转化与化归思
想．
三角函数性质
含绝对值的三角函数的周期性、单调性、极值与零点，
转化与化归思想．
2019 
卷 3
理 12 三角函数性质
文 15 三角函数性质
卷 1
卷 2
诱导公式、三角函数的最值，转化与化归思想．
三角函数的极值、周期等性质．
文 8
理 7
文 7
三角函数性质
三角函数图象及其性质 
三角函数的图象，三角函数的周期性
三角函数图象及其性质 
三角函数的图象，三角函数的周期性
卷 1
2020
理 16 三角函数图象及其性质 
三角函数最值，三角函数图象的对称性
文 12 三角函数图象及其性质 
三角函数最值，三角函数图象的对称性
卷 3
大数据分析*预测高考
考 点
出现频率
2021 年预测
三角函数性质
三角函数图像
14/21
7/21
2021 年高考仍将重点考查三角函数的图像与性质及三
角函数变换，特别是这些知识点的组合考查是考查的
热点，题型仍为选择题或填空题，难度可以为基础题
或中档题，也可以是压轴题．
三角函数图像变换 
4/21
十年试题分类*探求规律
考点 39 三角函数性质
1
 
 

1．(2020 全国Ⅲ文 12 理 16)已知函数 f x 
sinx
，则 (
)
sinx
 

 
B． f x 的图像关于 y 轴对称
A． f x 的最小值为2

 

 对称
D． f x 的图像关于直线
x 
 

C． f x 的图像关于直线 x
对称
2
【答案】D
【思路导引】根据基本不等式使用条件可判断 A；根据奇偶性可判断 B；根据对称性判断 C，D．
1
【解析】sin x 可以为负，所以
A
Q
错；
sin x 0 , x k 
k
 
    Z Q   
sin x 
, 
f
x
   

f x
，
sin x
1
1
  关于原点对称；Q f (2  x)  sin x 
f x
 f (x), f (  x)  sin x 
 f (x),故 B 错；
sin x
sin x

 f (x) 关于直线 x 对称，故 C 错，D 对，故选 D．
2



2．(2019•新课标Ⅱ，理 9)下列函数中，以 
为周期且在区间( ， ) 单调递增的是(
)
2
4
2
A． f (x) | cos2x |
B． f (x) | sin 2x |
C． f (x)  cos | x |
D． f (x) sin | x |
【答案】A
【解析】 f (x) sin | x | 不是周期函数，可排除 D 选项； f (x)  cos | x | 的周期为 2 ，可排除 C 选
项；



f (x) | sin 2x | 在 
处取得最大值，不可能在区间( ， ) 单调递增，可排除 B 
．
4
4
2
故选 A ．

3．(2019•新课标Ⅲ，理 12)设函数 f (x)  sin(x  )(  0) ，已知 f (x) 在[0 ，2] 有且仅有 5 个零点．下
5
述四个结论：
① f (x) 在(0, 2) 有且仅有 3 个极大值点
② f (x) 在(0, 2) 有且仅有 2 个极小值点

③ f (x) 在(0, 
) 单调递增
10
12
5
29
10
④ 的取值范围是[
，
)
其中所有正确结论的编号是(
)
A．①④
B．②③
C．①②③
D．①③④
【答案】D



【解析】当 x[0，2]时，x  
[ ，2  ]， f (x) 在[0 ，2]有且仅有 5 个零点，
5
5
5

12
29
10
5„2  
 6 ， 
„ 
，故④正确，因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案，下面
5
5



(  2)

(  2)

判断③是否正确，当 x(0, 
) 时，x  
[ ，
10
]，若 f (x) 在(0, 
) 单调递增，则
10
，
5
5
10
10
2
12
即  3 ， 
„ 29
10 ，故③正确，故选 D ．
5

3
4．(2019•新课标Ⅱ，文 8)若 x1  
， x2 
是函数 f (x)  sinx(  0) 两个相邻的极值点，则  (
)
4
4
3
2
1
2
A．2
B．
C．1
D．
【答案】A

3
3

2

【解析】x1  
，x2 
是函数 f (x)  sinx(  0) 两个相邻的极值点，T  2( 
 )  
，  
2 ，
4
4
4
4
故选 A ．
5．(2018•新课标Ⅱ，理 10)若 f (x)  cosx sin x 在[a ，a] 是减函数，则a 的最大值是(
)


3
A．
B．
C．
D．
4
2
4
【答案】A

 

4 
2

【解析】 f (x)  cosx sin x  (sin x cosx)   2 sin(x  ) ，由 
2k ≤ x  
 
2k ，k Z ，
4
2

3
的一个减区间为[
，3] ，由f (x)
在[a ，a]
 
2k  x 
2k ，k Z ，取k  0 ，得
f (x)
得
4
4
4
4


a  


4

是减函数，得
，∴a  
，则 a 的最大值是 
，故选 A ．
3
4
4
a 


4
6．(2018•新课标Ⅱ，文 10)若 f (x)  cosx sin x 在[0 ，a] 是减函数，则a 的最大值是(
)


3
A．
B．
C．
D．
4
2
4
【答案】C




【解析】 f (x)  cosx sin x  (sin x cosx)   2 sin(x  ) ，由 
2k  x  
 2k  
， k Z ，
4
2
4
2

3

3
得 
2k  x  2k 
，k Z ，取k  0 ，得 f (x) 的一个减区间为[ ， 
] ，由 f (x) 在[0 ，a] 是
4
4
4
4
3
3
减函数，得a 
，则a 的最大值是
，故选C ．
4
4
tan x
7．(2018•新课标Ⅲ，文 6)函数 f (x) 
的最小正周期为(
C．
)
1tan 2x


A．
B．
D．2
2
4
2
【答案】C
tan x
1tan
sin xcosx
1
【解析】函数 f (x) 

 sin 2x 的最小正周期为
 
，
2x
cos2 x sin 2 x
2
2
故选C ．
π
8．(2017 新课标卷3，理6)设函数 f (x)  cos(x 
3) ，则下列结论错误的是()

8π
3
A． f (x) 的一个周期为2π
C． f (x ) 的一个零点为 x
B． y  f (x) 的图像 关于直线 x 
对称
π
6
π

f (x)在( , π) 单调递减
D．
2
【答案】D


π 
π
 π


  


y  cosx
 

f x
f x 
cos x
,π
 上
【解析】函数

的图象可由
3 
向左平移 个单位得到，如图可知，
在
 2
3
先递减后递增，D 选项错误，故选 D．

9．(2017 新课标卷 2，文 3)函数 
 
x 
= sin（ 2x+
）的最小正周期为
f
3

A．4
B．2
C． 
D．2
【答案】C
2
【解析】由题意T 
 ，故选 
C．
2


10．(2014 新课标 I，文 7)在函数① y  cos | 2x |，② y | cos x | ，③ y  cos(2x  ) ，④ y  tan(2x  
)
6
4
中，最小正周期为 的所有函数为
A． ②④
B． ①③④
C． ①②③
D． ①③
【答案】C
2
【解析】∵ y  cos | 2x | = cos 2x ，∴T =
= ；由 y | cos x | 图像知其周期为 ，由周期公式知，
2



y  cos(2x  ) 为 ， 
y tan(2x
) 为
，故选 C．
6
4
2


11．(2012 全国新课标，理 9)已知＞0，函数 f (x) =sin( x
是( )
 
， )单调递减，则

的取值范围
) 在(
4
2
1
5
1
3
1
2
A ．[ 
， 
]
B ．[ 
， 
]
C ．(0，
]
D ．(0，2]
2
4
2
4
【答案】A
【解析】∵＞0， x ∈( 
， )，∴x  
∈(

 

，  
)，∵ f (x) =sin(x  ) 在( 
，
 )



2
4
2
4
4
4
2
 



3

 


3
1
5

， ) 
(


且 

，解得 
≤ 
≤ 
，
单调递减，∴(
故选 A．
，
)，∴
≤
≤
2
4
4
2
2
2
2
4
4
2
2
4

5
12．(2012 全国新课标，文 9)已知>0，0   ，直线 x = 
和 x =
是函数 f (x)  sin(x ) 图像
4
4
的两条相邻的对称轴，则 =( )
π
π
π
3π
4
(A)4
(B)3
(C)2
(D)
【答案】A
 
5 




【解析】由题设知， =
，∴=1，∴ 
 =k  
(k Z )，∴ =k  
(k Z )，∵0   
，

4
4
4
2
4
∴ = 
，故选 A．
4
13．(2011 全国课标，理 11)设函数 f (x) =sin(x ) cos(x ) (＞0，| | ＜
)的最小正周期为 ，
2
且 f (x) = f (x) ，则 f (x)

(B)在( 
3
(A)在(0， 
)单调递减
，
)单调递减
2
4
4

(D)在( 
3
(C) 在(0， 
)单调递增
，
)单调递增
2
4
4
【答案】A

2 = 且+ 


【解析】∵ f (x) = 2 sin(x + ) ，由题意知
=k  
，解得=2， = k  
，又
4

4
2
4




∵| | ＜ 
，∴ = 
，∴ f (x) = 2 sin(2x+ ) = 2 cos2x ，当 x ∈(0， 
)时，2x ∈(0， )，故 f 
(x)
2
4
2
2
在(0，
)单调递减，故选 A．
2


14．设函数 f (x) =sin(2x  ) cos(2x  ) ，则 y = f (x)
4
4
(A)在(0， 
)单调递增，其图像关于直线 x = 
对称
2
4
(B) 在(0，
)单调递增，其图像关于直线 x = 
对称

2
2
(C) 在(0，
)单调递减，其图像关于直线 x = 
对称

2
4
(D) 在(0， 
)单调递减，其图像关于直线 x = 
对称
2
2
【答案】D



【解析】 f (x) =sin(2x  ) cos(2x  ) = 2 sin(2x  ) = 2 cos2x ，
4
4
2

∵u  2x 在(0， 
)上是增函数，值域为(0,) ， y  2 cosu 在(0,) 是减函数，
2

∴ f (x) 在(0， 
)是减函数，
2




又∵ f ( ) = 2 cos(2 ) =0
f ( ) = 2 cos(2 ）=
，不是最值，
 2
是最小值，
4
4
2
2

∴ f (x) 图像关于直线 x = 
对称，故选 D．
2
5


15．(2017 天津)设函数 f (x)  2sin(x ) ，xR ，其中  0 ，| | ．若 f ( 
)  2 ，f 
(
)  0 ，且 f (x)
8
8
的最小正周期大于2，则
2

2


A．  
， 

B．  
， 
 
3
12
3
12
1


1

C．  ， 
 
D．  ， 

3
24
3
24
【答案】A
【解析】由题意 x
5π
11π
8
11 
5 
3 
T 
3T

取最大值，x 
与 相交，设
x
f (x)周期为 ，所以
T


或
，
8
8
8
4
4
4
2 
2
所以T 3 或T  ，又
f (x) 的最小正周期大于2π，所以T 3 ，所以 
，排除 C、D；由
T
3
5π
f ( 
)  2 ，即2sin( 
3 
8
2 5
10



)  2 ，
  2k  
，即  2k  
，令k 0 ， 

．选 A．
8
24
2
12
12
16．(2015 四川)下列函数中，最小正周期为 且图象关于原点对称的函数是


A． y  cos(2x  )
B． y  sin(2x  )
2
2
C． y  sin 2x cos 2x
D． y  sin x cosx
【答案】A

【解析】由 y = cos(2x + ) = -sin 2x ，可知该函数的最小正周期为 且为奇函数，故选 A．
2
2
 
 
 

Αsin 
x
( Α ， ， 均为正的常数)的最小正周期为 ，当 x 



17．(2015 安徽)已知函数 f x
3
 

时，函数 f x 取得最小值，则下列结论正确的是
   
  
   
  
B． f 0 
f 2 
f 
2
A． f 2
f 
2 
f 0
   
  
   
  
D． f 2 
f 0 
f 
2
C． f 
2
f 0 
f 2
【答案】A
2
【解析】∵ f (x)  Asin(x ) 的最小正周期为 ，且 x 
是经过函数 f (x) 最小值点的一条对称轴，
3
2  

 
 
是经过函数 f (x) 最大值的一条对称轴．∵| 2  
|
2 
6
 
12

5 12
∴ x 
，|( 2) 
|
，
，
3
6
6
6
6






2

2

2
| 0  
| 
，∴| 2  
||( 2) 
|| 0  
|，且 
 2 
， 
 
2 
， 
 0 

6
6
6
6
6
3
3
3
3
3
3
∴ f (2)  f ( 2)  f (0)，即 f (2)  f (2)  f (0)，故选 A．
  

 3 
 
 
 3 2 
f (x)  sinx 
0,
,

18．(2011 山东)若函数
( 
>0)在区间
上单调递增，在区间
上单调递减，则 
=




2
3
2
A．
B．
C．2
D．3
3
【答案】B

f (x)  sinx
2 
4
【解析】由于
的图象经过坐标原点，根据已知并结合函数图象可知， 
为函数f (x)
的四分
3
3
2

，解得 
之一周期，故
．

3

19．(2011 安徽)已知函数 f (x)  sin(2x ) ，其中 为实数，若 f (x)  f ( ) 对 xR 恒成立，且
6

f ( )  f () ，则 f (x) 的单调递增区间是
2



 

6 


 
k,k  
(k Z)
k  ,k  (k Z)
A．
B． 
3
2 



2 
3 





k  ,k 
(k Z)
k  ,k (k Z)
C．
D．



6
2
【答案】C




【解析】因为当 xR 时， f (x)≤| f ( ) | 恒成立，所以 f ( )  sin( )  1，可得  2k 或
6
6
3
6
5

  2k 
，k Z ，因为 f ( )  sin( )  sin  f ()  sin(2 )  sin ，故sin  0，
6
2
5
5

5

所以   2k 

，所以 f (x)  sin(2x  
) ，由  2k ≤2x 

≤ 2k ( k Z ) ，得
6
6
2
6
2

2
k  ≤ x≤k 
(k Z )，故选 C．
6
3
3
20．(2019•新课标Ⅰ，文 15)函数 f (x)  sin(2x  
) 3cosx 的最小值为
．
2
【答案】4
3
【解析】 f (x)  sin(2x  
) 3cosx  cos 2x 3cos x  2 cos x 3cos x 1 ，令t  cosx ，则1t 1，
2
2
3
 f (t)  2t
故当t 1 即cosx 1 时，函数有最小值4 ．
21．(2018•新课标Ⅲ，理 15)函数 f (x)  cos(3x  ) 在[0 ，] 的零点个数为
2 3t 1 的开口向上，对称轴t   ，在[1，1]上先增后减，
4

．
6
【答案】3
【解析】 f (x)  cos(3x  )  0 ，3x 

 k ，k Z ，x  
 1 k ，k Z ，


6
6
2
9 
3

4
7
10
当k  0 时， x  
，当k 1 时， x   ，当k  2 时， x   ，当k  3 时， x  
 ，
9
9
9
9

4
7
x[0 ，] ，x  
，或 x   ，或 x   ，故零点的个数为 3．
9
9
9
π
6
π
22．(2018 北京)设函数 f (x) cos( x

 )(  0)，若
f (x)≤ f ( ) 对任意的实数 都成立，则 
的最小

x
4
值为___．
2
【答案】
3
π


【解析】由于对任意的实数都有 f (x)≤ f ( ) 成立，故当 x  
时，函数 f (x) 有最大值，故 f ( ) 1，
4
4
4
 

2
2
3
 
 2k (k Z )，∴ 8k  (k Z )，又 0 ，∴ 

．
min
4
6
3



23．(2018 江苏)已知函数 y  sin(2x )(   ) 的图象关于直线 x  
对称，则 的值是
．
2
2
3
π
6
【答案】 



2
【解析】由函数 y  sin(2x )(   ) 的图象关于直线 x  
对称，得 sin(
)  1，因为
2
2
3
3


 
2
7
2
，  
．
   
，所以 

 

，则
 

2
2
6
3
6
3
2
6
24．(2011 安徽)设 f (x) = asin 2x bcos 2x ，其中a,bR ，ab  0 ，若

f (x)≤ f ( ) 对一切则 xR 恒成立，则
6
11
① f (
)  0
12
7

② f ( 
) ＜ f ( )
10
5
③ f (x) 既不是奇函数也不是偶函数



2 
(k Z)
3 
④ f (x) 的单调递增区间是 k  ,k 

6
⑤存在经过点(a,b)的直线与函数 f (x) 的图像不相交
以上结论正确的是 
(写出所有正确结论的编号)．
【答案】①③
b
f (x)  asin 2x bcos 2x  a2 b 2 sin(2x  ) ( 其 中 tan  
) ， 因 此 对 一 切 xR 
，
【 解 析 】
a


f (x)≤| f ( )| 恒成立，所以sin( )  1，
6
可得
  k 
11
3


(k Z) ，故

f (x)  a 2 b sin(2x  )
2
．
6
6
11 

而f (
)   a 2 b 2 sin(2
47
 )  0 ，所以①正确；
12
12
6
| f (7 )|| a
b
sin
|| a b sin17| ，| f ( )|| a

b sin17|，
2
2
2
2
2
2
12
30
30
5
30
所以| f (7
)|| f ( ) | ，故②错；③明显正确；④错误：

10
5


f (x)  a 2 b 2 sin(2x  ) 和 f (x)   a 2 b sin(2x  ) 的图象(图略)可知，不存在经过点
2
由函数
6
6
(a,b)的直线与函数 f (x) 的图象不相交，故⑤错误．
f (x)  sin2 x cos x 2 3 sin xcosx (xR) ．
2
25．(2017 浙江)已知函数
2
(Ⅰ)求 f ( 
) 的值；
3
(Ⅱ)求 f (x) 的最小正周期及单调递增区间．
2
3
2
1
【解析】(Ⅰ)由sin

，cos
  
，
3
2
3
2
f (2 )  ( 3) ( )1
2 3
3 ( )1
2
2
3
2
2
2
2
2
得 f ( 
)  2 ．
3

(Ⅱ)由cos 2x  cos2 x sin x 与sin 2x  2sin xcosx 得 f (x)  cos 2x  3sin 2x  2sin(2x  )
2
6
所以 f (x) 的最小正周期是
由正弦函数的性质得


3
2k ≤2x  ≤
2k ，k Z
2
6
2

2
  ≤ 
≤
k
x
k ，
  
k Z
解得
6
3

2
k ](
  k Z
所以 f (x) 的单调递增区间是[ k,
)．
6
3
1
f (x)  (2 cos2 x 1)sin 2x  cos 4x
26．(2013 北京)已知函数
2
f (x)
(1)求
(2)若
的最小正周期及最大值；

2
 ( ,)
f () 

，求 
的值．
，且
2
2
1
f (x)  (2 cos2 x 1)sin 2x  cos 4x
【解析】：(1)
2
1
1
1
 cos 2xsin 2x  cos 4x  sin 4x  cos 4x
2
2
2
2


sin(4x  )
2
4
2 

所以，最小正周期T 

4
2


k 

2
4x  
 2k  
( k Z
x 

( k Z
f (x)max

)时，
当
)，即

．
4
2
2 
16
2
2
2
2

f () 
sin(4  ) 
sin(4  ) 1
(2)因为
，所以
，
2
4
4

9
 
17
 4  

 

因为
所以
，所以
，
2
4
4
4
 
5
4  

9
，即 
．
4
2
16

27．(2012 广东)已知函数 f (x)  2 cos(x  ) ，(其中 
x  R

)的最小正周期为 10 ．
0 ，
6

(1)求 
的值；

5
6
5
5
16
17
(2)设, [0, ] ，f (5  )  
f (5  ) 
，
，求cos(  ) 的值．
2
3
6
2

1
【解析】(1)T 
5
10   ．5
6

3
3
4
5
(2) f (5  
)    cos(  )    sin  , cos 
3
5
2
5
5
5
f (5  
) 16
17
8
15
17
 cos  
,sin 
17
．
6
cos(  )  cos cos sin sin  4  8  315  13
5 17 5 17 
85 ．
28．(2018 上海)设常数aR ，函数f (x)  asin 2x 2 cos2 x
．
(1)若 f (x) 为偶函数，求a 的值；

(2)若 f ( )3 1，求方程f (x) 1 2
［，］
在区间 
上的解．
4
【解析】(1)若 f (x) 为偶函数，则对任意 xR ，均有 f (x)  f (x) ；
即asin 2x 2 
cos
2 x  asin 2(x)2 cos2(x)
，
化简得方程asin 2x 0 对任意 xR 成立，故a 0 ；



f ( )  asin(2 ) 2 cos 2( )  a 1 3 1，所以a  3 ，
(2)
4
4
4
f (x)  3sin 2x 2 cos2 x ．
故
则方程 f (x) 1 2 ，即3sin 2x 2 cos2 x 1 2 ，

3sin 2x 2 cos2 x 1  2
2sin(2x  )   2
，
所以
，化简即为
6

2
11
x  5
即sin(2x  )  
，解得 x  
k 或
k ，k,k 
Z



6
2
24
24
13 35
19 29
若求该方程在[,]上有解，则k [ 
, 
]，k 
[ 

, 
] ，
24 24
24 24
即k 0 或 1；k 
0 或 1，


11
13
24
5
19
24
对应的 x 的值分别为：
、
、
、

．
24
24
考点 40 三角函数图像


π 
  

 
,  
 
的图像大致如下图，则 f x 的最小正周期
1．(2020 全国Ⅰ文理 7)设函数 f x 
cos x
 在
6 
为
(
)
10π
9
7π
6
4π
3
3π
2
A．
B．
C．
D．
【答案】C
 4 

,0
 4
 
9
 

6 
 4 

0 ，结合
,0
是
【思路导引】由图可得：函数图像过点
 
9
，即可得到cos  





 
9

4


3
2
 

f x
x
  
  
，即可
求得 
函数
图像与 轴负半轴的第一个交点即可得到
，再利用三角函
9
6
2
数周期公式即可得解．
 4 

,0
 4
 
9
 

6 
【解析】由图可得：函数图像过点
 
9
，将它代入函数f x可得：cos  


0 ，

 4 

,0
4


3

f x图像与 轴负半轴的第一个交点，∴
x
  
  
，解
得： 
又
是函数
，∴函
 
9

9
6
2
2
2 
2 
4
T 


 

f x
3
2
数
的最小正周期为

3 ，故选 C．
2．(2020 浙江 4)函数 y  xcosx sin x 在区间, 
的图像大致为
(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】A
x 
【思路导引】首先确定函数的奇偶性，然后结合函数在
处的函数值排除错误选项即可确定函数的图像．
   
 
 
  
【解析】 f 
x 
x cos x 
sin 
x
xcosx sinx
f x ， x
    
,
，
  
∴函数是奇函数，故排除 C，D，当 x0, 时， xcosx sinx 0，∴排除 B，故选 A．
 
2 
3．(2020 山东 10)右图是函数 y  sin(x ) 的部分图像，则sin(x )=
(
)
π
π
π
5π
D．cos( 
 2x)
A．sin(x  )
B．sin(  2x)
C．cos(2x  )
3
3
6
6
【答案】BC


【思路导引】首先利用周期确定 
的值，然后确定 的值即可确定函数的解析式，最后利用诱导公式可得
正确结果．
T 
2
   
 
，则
 
2 
3 
6 
2
 

2 
2
【解析】由函数图像可知：

 2，所以不选 A，
T

2
3

 

y  125
3
2
5
 

2k 
k Z
 
  
 
  2k   k Z
当
6
时，
，解得：
，
x 

12
2
3
2
12


2




  

6 
2 


 

6 


 3


y sin 2x   2k sin 2x  
cos 2x 
sin
2x
即函数的解析式为：






，
3


 

6 
5
 cos( 
2x)
，故选 BC．
cos 2x 
而


6
4．(2016 全国新课标卷 2，文 3)函数 y=Asin(x ) 的部分图像如图所示，则


(A) y 2sin(2x



)
(B) y  2sin(2x  )
6
3

(C) y 2sin(x+ )

(D) y  2sin(x+ )
6
3
【答案】A
5．(2015 新课标Ⅰ，理 8)函数 f (x) =cos(x ) 的部分图像如图所示，则 f (x) 的单调递减区间为( )
1
3
1
3
(A)(kπ − ，kπ + ，)，k∈  
(B)(2kπ − ，2kπ + )，k∈ 
4
4
4
4
1
3
1
3
(C)(k − ，k + )，k∈ 
( D)(2k − ，2k + )，k∈ 
4
4
4
4
【答案】D
1

+ 
+ 




4
5
2
3
【 解 析 】 由 五 点 作 图 知 
， 
， 解 得 = ， = 
， 所 以 f (x)  cos(x  ) ， 
令
4
4


4
2

1
3
1
3
2k x  
 2k ,k Z ，解得2k  
＜ x ＜2k  
，k Z ，故单调减区间为( 2k  
，2k  )，
4
4
4
4
4
k Z ，故选 D．


6．(2011 辽宁)已知函数 f (x) =Atan(x+ )( 0,| | 
)，y= f (x) 的部分图像如下图，则 f ( 
) 
24
2
3
A．2+ 3
【答案】B
B． 3
C．
D．2 3
3
3 
 


3
【解析】半周期为
 
 
，即最小正周期为 
，所以  2 ．由题意可知，图象过定点( 
,0)，所
8
8 
4
3
2
8
3
3


以0  Atan(2
) ，即
  k (k Z) ，所以  k 
(k Z) ，又| | 
，所以 ，
8
4
4
2
4

又图象过定点(0,1)，所以 A 1．综上可知 f (x)  tan(2x  ) ，故有
4

 

f ( 
)  tan(2 
 )  tan 
 3 ．
24 
24 
4

3

7．(2014 江苏)已知函数 y  cos x 与 y  sin(2x ) (0≤  )，它们的图象有一个横坐标为 
的交点，则
3
的值是
．

【答案】
6
 1
【解析】由题意交点为( , ) ，所以sin(
3 2
2
1

)  ，又0≤  ，解得 
．
3
2
6
8．(2011 江苏)函数 f (x)  Asin(x ),(A,w, 是常数， A  0,  0) 的部分图象如图所 示，则
f (0)=
．
6
【答案】
2
T 
7  

【解析】由图可知： A  2 ， 
 
 
 
，所以T  ，
 
4 
12 
3 
4
2

 2 ，又函数图象经过点( ,0)，
T
3




6
所以2   ，
则 
，故f (x)  2 sin(2x  )
f (0)  2 sin 

，所以
．
3
3
3
3
2
 
y 
f (x)
9．(2012 湖南)函数 f (x)  sin(x ) 的导函数
的部分图像如图 4 所示，其中，P 为图像与 y
轴的交点，A，C 为图像与 x 轴的两个交点，B 为图像的最低点．

3 3
2
(1)若 
，点 P 的坐标为(0，
)，则 
；
6

(2)若在曲线段 ABC 与 x 轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC 内的概率为
．

【答案】(1)3；(2) 4

3 3
2
 
3 3
cos 

  
cos(x ) ，当 
y 
f (x)
,  3
；
【解析】(1)
，点 P 的坐标为(0，
)时
6
6
2




10．(2016 江苏省) 定义在区间 0, 3π 上的函数 y sin 2x 的图象与 y cosx 的图象的交点
个数是
．
【答案】7
【解析】画出函数图象草图，共 7 个交点．

11．(2012 湖南)已知函数 f (x)  Asin(x ) (xR,  0 ，0   ) 的部分图像如图所示．
2
f (x)
(Ⅰ)求函数
(Ⅱ)求函数
的解析式；


g(x)  f (x  
)  f (x  
)
的单调递增区间．
12
12
11 
5
2
【解析】(Ⅰ)由题设图像知，周期T  2(

) , 
 2
．
12 
12
T
因为点(5
在函数图像上，所以
5
5
)  0,即sin( 
)  0
．
,0)
Asin(2
12
12
5
6

5 
5
4

0   
,

 

,从而
=，即=
又
．
2
6
6
3
6
6

（0,1）
Asin 
1, A  2
又点
在函数图像上，所以
，
6

f (x)  2sin(2x  ).
故函数 f (x) 的解析式为
6




(Ⅱ) g(x) 2sin[2(x


) ] 2 sin[2(x 
) ]
12
6
12
6

 2sin 2x 2sin(2x  )3
1
3
 2sin 2x 2( sin 2x 
cos 2x)
2
2

 sin 2x  3 cos 2x  2sin(2x  ),
3




5
2k  
 2x  
 2k  , 
k  
 x  k 
得
,k z.
由
2
3
2
12
12



5 
12 
g(x)
k  
,k  
,k z.
的单调递增区间是 
12
考点 41 三角函数图像变换


 

3 
f (x)  sin x 
1．(2020 天津 8)已知函数

．给出下列结论：
f (x) 的最小正周期为2
①
；
 

 2 
f
f (x)
的最大值；
②  
是

y  sin x
y  f (x)
的图象．
③把函数
的图象上所有点向左平移 
个单位长度，可得到函数
3
其中所有正确结论的序号是
A．①
B．①③
C．②③
D．①②③
【答案】B
【思路导引】对所给选项结合正弦型函数的性质逐一判断即可．

2

f (x)  sin(x  ) ，所以周期T 
 2
，故①正确；
【解析】因为
3

 

5 
1
f ( )  sin(  )  sin
 
1
，故②不正确；
2
2 
3
6
2


y  sin x
y  sin(x  )的图象，故③正确．故选 B．
将函数
的图象上所有点向左平移 
个单位长度，得到
3
3


2π 
2．(2017 课标卷 1，理 9)已知曲线C : y cosx ，

C : y  sin 2x 
2

，则下面结论正确的是()
3 
1
π
A．把C 上各点的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得到曲
1
6
线C2
π
B．把C1 上各点的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 
个单位长度，得到
12
曲线C2
曲线C2
1
2
π
C．把C 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得到
1
6
π
D．把C1 上各点的横坐标缩短到原来的2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 
个单位长度，得到
12
曲线C2
【答案】D


2π
3 
【解析】C : y cosx ，

C : y sin 2x  
，首先曲线C 、C

C : y cosx
统一为一三角函数名，可将 
用
1
1
2
1
2


π π 
2 2 


π 
y cosx cos x   
sin x 
．横坐标变换需将 1 变成  2 
，即
2 
诱导公式处理，





π 
2 
1


π 
2 


π 
4 
C 上各点横坐标缩短它原来
y sin x 

1 y sin 2x 
sin 2 x 
 
 



2



2π
3 


π 
3 
π
4
y sin 2x 
sin 2 x  ，注意 的系数，在右平移需将  2 提到括号外面，这时 x 



平移至
π
π
π
π
π
x  ，根据“左加右减”原则，“ x  ”到“ x  ”需加上 
，即再向左平移
12
．
3
4
3
12

1
3．(2016•新课标Ⅰ，文 6)将函数 y  2sin(2x  ) 的图象向右平移 个周期后，所得图象对应的函数为( )
6
4


A． y  2sin(2x  )
B． y  2sin(2x  )
4
3


C． y  2sin(2x  )
D． y  2sin(2x  )
4
3
【答案】D

2


【解析】函数 y  2sin(2x  ) 的周期为T 
 ，由题意即为函数 y  2sin(2x  ) 的图象向右平移 
个
6
2
6
4



单位，可得图象对应的函数为 y  2sin[2(x  )  ]，即有 y  2sin(2x  ) ，故选 D ．
4
6
3


4．(2016 北京)将函数 y  sin(2x  ) 图像上的点 P( ,t) 向左平移 s ( s 0 )个单位长度得到点 P ．若 P 
位


3
4
于函数 y  sin 2x 的图像上，则
1

3 ， s 的最小值为
A．t  ， s 的最小值为
B．t 
D．t 
2
6
2
6
1

3 ， s 的最小值为
C．t  ，s 的最小值为
2
3
2
3
【答案】A


 

t  sin(2  ) 
4 
3
【解析】因为点 P( ,t) 在函数 y sin(2x

) 的图象上，所以
4
3
 
1
sin 
 
，又 P (
6 
2

1
1

 



 s) ，则
s, ) 在函数 y sin 2x 的图象上，所以
sin 2(
4
2
2
4



5

2(  s)  2k  
或2(  s)  2k 
，k Z ，得 s  k 
或
4
6
4
6
6

 ．又 s  0 ，故 s 的最小值为
，故选 A．
s  k  
，k Z
6
6
5．(2019 天津理 7)已知函数 f (x)  Asin(x )(A  0,  0,| |) 是奇函数，将 y 
f x
  的图
像上
 

 

所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，所得图像对应的函数为 g x ．若 g x 的最小正周期为
2π，
 π 
3π 
 8 
且 g    2 ，则 f  
 
 4 
A．2
【答案】C
【解析】因为 f x 是奇函数，所以
B． 2
C． 2
D．2
 

 

 
 
0 ， f x
Asinx ．将 y  f x的图像上所有点的横坐标伸长
 1


 

 

 
x  ，因为 g x
的最小正
到原来的 2 倍(纵坐标不变)，所得图像对应的函数为 g x ，即 g xAsin
 2

2
  

周期为 2，所以
 2 ，得  2 ，所以gx Asinx ， f x Asin 2x
．若 g  
 4 
2 ，即
1 
2
 

 4 

2
2
  
f x 
2sin 2x
g
f
 Asin 
A  2
，
即
A  2
，
所
以
，
 

4
3

3
8 

2
 2 sin 2
 2 sin
 2
 2 ．故选 C．



 8 

4
2

6．(2015 山东)要得到函数 y  4sin(4x  ) 的图像，只需要将函数 y  sin 4x 的图像
3


A．向左平移
个单位
B．向右平移
个单位
12
12


C．向左平移 
个单位
D．向右平移 
个单位
3
3
【答案】B


【解析】 y sin 4(x

) ，只需将函数 y  sin 4x
的图像向右平移
个单位，故选 B．
12
12
7．(2014 浙江)为了得到函数 y  sin 3x cos 3x 的图象，可以将函数 y2 cos3x 的图像


A．向右平移
C．向左平移
个单位
个单位
B．向右平移 
个单位
12
4


D．向左平移 
个单位
12
4
【答案】A


y  sin 3x cos 3x  2 cos(3x  )  2 cos3(x  
) ，所以将函数 y  2 cos3x 的图
象
【解析】因为
4
12


向右平移 
个单位后，可得到 y  2 cos(3x  ) 的图象，故选 A．
12
4


f (x)  sin(2x )( 
  ) 的图象向右平移(  0)
8．(2013 福建)将函数
个单位长度后得到函数
2
2
g(x)
f (x),g(x)
P(0, 3)

，则 
的值可以是
的图象，若
的图象都经过点
2
5
5


A．
B．
C．
D．
3
6
2
6
【答案】B
P(0, 3)
f (x)  sin(2x )( 
  ) ，解得 



g(x)  sin(2x  
2)
，所以 
，

【解析】把
代入
2
2
2
3
3
P(0, 3)

把
代入得，  k 或  k  ，故选 B
2
6
9．(2012 安徽)要得到函数 y  cos(2x 1)的图象，只要将函数 y  cos 2x 的图象
A．向左平移 1 个单位
B．向右平移 1 个单位
1
1
C．向左平移
个单位
D．向右平移 
个单位
2
2
【答案】C
1
1
【解析】 y  cos 2x 向左平移 
 y  cos 2(x  )  cos(2x 1)，故选 C．
2
2
10．(2012 浙江)把函数 y  cos 2x 1 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，然后向左平
移 1 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度，得到的图像是
【答案】A
【解析】 y  cos 2x 1 y  cosx 1 y  cos(x 1)1 y  cos(x 1)，故选 A．
个单位长度，所得图像经过点(3
11．(2012 天津)将函数 f (x)  sinx (其中>0)的图像向右平移
,0)，
4
4
则的最小值是
1
3
5
3
A．
B．1
C．
D．2
【答案】D




【解析】函数向右平移 
得到函数 g(x)  f (x  )  sin(x  )  sin(x 
) ，因为此时函数过点
4
4
4
4
3
3 

3 


(
,0)，所以sin(
 )  0 ，即(
 ) 
 k,所以  2k,k Z ，所以的最小值为 2，
4
4
4
4
4
2
选 D．
) 的图象向右平移 
12．(2020 江苏 10)将函数 y 3sin(2x


个单位长度，则平移后的图象中与 轴最近
y
4
6
的对称轴的方程是
．
5
【答案】 x  24



【解析】∵ f (x)  3sin(2x  ) ，将函数 f (x)  3sin(2x  ) 的图象向右平移 
个单位长度得
4
4
6

 




g(x)  f (x  )  3sin(2x  
 )  3sin(2x  
) ，则 y  g(x) 的对称轴为2x  
 
k ，k Z ，
6
3 
4
12
，k  1 时，x  
12 
2
7 
k
7
5
即 x 

，k Z ，k 0 时，x 
，∴平移后的图象中与 y 轴最近的对
24
2
24
24
5
称轴的方程是 x  
．
24
y  sin x  3cosx
y  sin x  3 cos x
13．(2016 新课标卷 3，理 14)函数
的图像可由函数
的图像至少向
右平移_____________个单位长度得到．

【答案】3
【解析】因为



y  sin x  3cosx  2sin(x  ) 
y  sin x  3cosx  2sin(x  )
，
＝
3
3

2sin[(x  ) 
]
y  sin x  3 cos x
y  sin x  3cosx
的图像可由函数 
的图像至少向右
，所以函数
3
3

平移
个单位长度得到．
3
y  sin x  3 cos x
y  2 sin x
的图像至少向右平
14．(2016 全国新课标卷 3，文 14)函数
的图像可由函数
移_____________个单位长度得到．

【答案】3

y  sin x  3cosx  2sin(x  )
y  sin x  3cosx
的的图像可由函数
【解析】因为
，所以函数
3

y  2 sin x的图像至少向右平移 
个单位长度得到 ．
3

15．(2013 新课标Ⅱ，文 16)函数 y  cos(2x )(  ) 的图象向右平移 
个单位后，与函数
2

y  sin(2x  )的图象重合，则 _________．
3
5
【答案】
6



【解析】因为 y  cos(2x ) =cos(2x ) =sin[
(2x  
sin(2x  
)
)]=
，图像向右平移
个
2
2
2


 

单位后为： y  sin(2x  
) ，与 y  sin(2x  ) 重合，所以  
 
，解得
 
2 
3
5．
2
3
6



 

2 
f x  sin x    0， 
  图象上每一点的横坐标缩短为原来的一
半，
16．(2014 重庆)将函数  



2

 

 6 
纵坐标不变，再向右平移 
个单位长度得到 y  sin x 的图像，则f   ______．

6
2
【答案】
2

【解析】把函数 y  sin x 图象向左平移
个单位长度得到 y  sin(x ) 的图象，再把函数
6

1

y  sin(x  ) 图象上每一点的横坐标伸长为原来的 2 倍，纵坐标不变，得到函数 f (x)  sin( x  ) 的
6
2
6
 

 6 
1  

2 6 
6

2
图象，所以f   sin(   )  sin 


．
4
2