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完全平方公式（提高）
责编：杜少波
【学习目标】
1. 能运用完全平方公式把简单的多项式进行因式分解.
2. 会综合运用提公因式法和公式法把多项式分解因式；
3．发展综合运用知识的能力和逆向思维的习惯.
【要点梳理】
要点一、公式法——完全平方公式
两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2 倍，等于这两个数的和（差）的平方．
即
2
2
2
2
a
ab
b
a
b
，
2
2
2
2
a
ab
b
a
b
.
形如
2
2
2
a
ab
b
，
2
2
2
a
ab
b
的式子叫做完全平方式.
要点诠释：（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式；
（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）
这两数之积的2 倍. 右边是两数的和（或差）的平方.
（3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件.
（4）套用公式时要注意字母a 和b 的广泛意义，a 、b 可以是字母，也可以是
单项式或多项式.
【高清课堂400108 因式分解之公式法 知识要点】
要点二、因式分解步骤
（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；
（2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；
（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解（以后会学到）．
要点三、因式分解注意事项
（1）因式分解的对象是多项式；
（2）最终把多项式化成乘积形式；
（3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止．
【典型例题】
类型一、公式法——完全平方公式
【高清课堂400108 因式分解之公式法 例4】
1、分解因式：
（1）
2
2
3
6
3
ax
axy
ay
； （2）
4
2
2
4
2
a
a b
b
；
（3）
2
2
2
2
2
16
(
4
)
x y
x
y
； （4）
4
2
2
4
8
16
a
a b
b
．
【答案与解析】
解：（1）
2
2
2
2
2
3
6
3
3 (
2
)
3 (
)
ax
axy
ay
a x
xy
y
a x
y
．
（2）
4
2
2
4
2
2
2
2
2
2
2
(
)
[(
)(
)]
(
) (
)
a
a b
b
a
b
a
b a
b
a
b
a
b
．
（3）
2
2
2
2
2
16
(
4
)
x y
x
y
2
2
2
2
2
2
2
2
(4
)
(
4
)
(4
4
)(4
4
)
xy
x
y
xy
x
y
xy
x
y
2
2
2
2
2
(
2 ) [ (
4
4
)]
(
2 ) (
2 )
x
y
x
xy
y
x
y
x
y
．
（4）
4
2
2
4
2
2
2
2
2
2
8
16
(
4
)
[(
2 )(
2 )]
(
2 ) (
2 )
a
a b
b
a
b
a
b a
b
a
b
a
b
．
【总结升华】（1）提公因式法是因式分解的首选法．多项式中各项若有公因式，一定要先提公
因式，常用思路是：①提公因式法；②运用公式法．（2）因式分解要分解到每一个因式不能再
分解为止．
举一反三：
【变式】分解因式：
（1）
2
2
4(
)
12(
)(
)
9(
)
x
a
x
a x
b
x
b
．
（2）
2
2
2
2
4(
)
4(
)
(
)
x
y
x
y
x
y
．
【答案】
解：（1）原式
2
2
[2(
)]
2
2(
) 3(
)
[3(
)]
x
a
x
a
x
b
x
b
2
2
[2(
)
3(
)]
(5
2
3 )
x
a
x
b
x
a
b
．
（2）原式
2
2
[2(
)]
2
2(
) (
)
(
)
x
y
x
y
x
y
x
y
2
2
[2(
)
(
)]
(
3 )
x
y
x
y
x
y
．
2、（2016•大庆）已知a+b=3，ab=2，求代数式a3b+2a2b2+ab3．
【思路点拨】先提公因式ab，再根据完全平方公式进行二次分解，然后带入数据进行计算即可
得解．
【答案与解析】
解：a3b+2a2b2+ab3
= ab（a2+2ab+b2）
= ab（a+b）2
将a+b=3，ab=2 代入得，ab（a+b）2=2×32=18．
故代数式a3b+2a2b2+ab3的值是18．
【总结升华】在因式分解中要注意整体思想的应用，对于式子较复杂的题目不要轻易去括号．
举一反三：
【变式】若x ，y 是整数，求证：
4
2
3
4
x
y
x
y
x
y
x
y
y
是一个完全平方数.
【答案】
解：
4
2
3
4
x
y
x
y
x
y
x
y
y
4
4
2
3
x
y
x
y
x
y
x
y
y
2
2
2
2
4
(
5
4
)(
5
6
)
x
xy
y
x
xy
y
y
令
2
2
5
4
x
xy
y
u
∴上式
2
4
2
2
2
2
2
(
2
)
(
)
(
5
5
)
u u
y
y
u
y
x
xy
y
即
4
2
2
2
2
3
4
(
5
5
)
x
y
x
y
x
y
x
y
y
x
xy
y
类型二、配方法分解因式
3、用配方法来解决一部分二次三项式因式分解的问题，如：
2
2
2
2
8
2
1
1 8
1
9
1 3
1 3
2
4
x
x
x
x
x
x
x
x
x
那该添什么项就可以配成完全平方公式呢？
我们先考虑二次项系数为1 的情况：如
2x
bx
添上什么就可以成为完全平方式？
2
2
2
2
(
)
2
2
2
2
b
b
b
x
bx
x
x
x
因此添加的项应为一次项系数的一半的平方.
那么二次项系数不是1 的呢？当然是转化为二次项系数为1 了.分解因式：
2
3
5
2
x
x
.
【思路点拨】提出二次项的系数3，转化为二次项系数为1 来解决.
【答案与解析】
解：如
2
2
5
2
3
5
2
3
3
3
x
x
x
x
2
2
2
5
5
5
2
3
3
6
6
3
x
x
2
5
49
3
6
36
x
2
2
5
7
3
6
6
x
5
7
5
7
3
6
6
6
6
x
x
1
3
2
3
x
x
【总结升华】配方法，二次项系数为1 的时候，添加的项应为一次项系数的一半的平方. 二次
项系数不是1 的时候，转化为二次项系数为1 来解决.
类型三、完全平方公式的应用
4、（2015 春•娄底期末）先仔细阅读材料，再尝试解决问题：
完全平方公式x2±2xy+y2=（x±y）2及（x±y）2的值恒为非负数的特点在数学学习中有
着广泛的应用，比如探求多项式2x2+12x﹣4 的最大（小）值时，我们可以这样处理：
解：原式=2（x2+6x﹣2）
=2（x2+6x+9﹣9﹣2）
=2[（x+3）2﹣11]
=2（x+3）2﹣22
因为无论x 取什么数，都有（x+3）2的值为非负数
所以（x+3）2的最小值为0，此时x=﹣3
进而2（x+3）2﹣22
的最小值是2×0﹣22=﹣22
所以当x=﹣3 时，原多项式的最小值是﹣22.
解决问题：
请根据上面的解题思路，探求多项式3x2﹣6x+12 的最小值是多少，并写出对应的x 的取
值．
【答案与解析】
解：原式=3（x2﹣2x+4）
=3（x2﹣2x+1﹣1+4）
=3（x﹣1）2+9，
∵无论x 取什么数，都有（x﹣1）2的值为非负数，
∴（x﹣1）2的最小值为0，此时x=1，
∴3（x﹣1）2+9 的最小值为：3×0+9=9，
则当x=1 时，原多项式的最小值是9．
【总结升华】此题考查了完全平方公式，非负数的性质，以及配方法的应用，熟练掌握完全平
方公式是解本题的关键．
举一反三：
【变式1】若△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ,且满足
2
2
2
16
6
10
0
a
b
c
ab
bc
，
求证：
2
a
c
b
.
【答案】
解：
2
2
2
16
6
10
a
b
c
ab
bc
2
2
2
2
2
2
6
9
25
10
3
5
a
ab
b
b
bc
c
a
b
b
c
所以
2
2
3
5
0
a
b
b
c
2
2
3
5
a
b
b
c
所以
3
(5
)
a
b
b
c
所以
2
8
a
c
b
b
c
a
或
因为△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，c
a
b
，
所以8b
c
a
b
，矛盾，舍去.
所以
2
a
c
b
.
【变式2】
（2015 春•萧山区期中）若（2015﹣x）（2013﹣x）=2014，则（2015﹣x）2+（2013﹣x）2=
．
【答案】4032．
解：∵（2015﹣x）（2013﹣x）=2014，
∴[（2015﹣x）﹣（2013﹣x）]2=（2015﹣x）2+（2013﹣x）2﹣2（2015﹣x）（2013﹣x）=4，
则（2015﹣x）2+（2013﹣x）2=4+2×2014=4032．
