重难点13：破解圆锥曲线长度与弦长：圆
锥曲线中有关弦长、长度类问题题型归纳
（培优固本提能讲义）
知识网络·核心根基深扎牢....................................................................................1
实战演练·能力进阶攀高峰....................................................................................3
题型一、已知直线与圆锥曲线方程求弦长....................................................3
题型二、已知弦长求直线或圆锥曲线的参数................................................4
题型三、已知弦中点坐标求弦长....................................................................5
题型四、圆锥曲线焦点弦长问题....................................................................6
题型五、圆锥曲线长度/弦长：“和差”型...................................................7
题型六、圆锥曲线长度/弦长：“比值”型...................................................9
题型七、圆锥曲线长度/弦长：“倒数和”型.............................................10
题型八、圆锥曲线长度/弦长：“杂糅”型.................................................11
题型九、圆锥曲线：证明“长度比值/乘积相等”.....................................13
题型十、圆锥曲线弦长/长度最值（范围）问题.........................................15
题型十一、圆锥曲线弦长/长度：成“等差”型.........................................16
题型十二、圆锥曲线弦长/长度：成“等比”型.........................................18
题型精析・方法突破提能力..............................................................................19
知识点
1 ：弦长公式（韦达定理）
|AB|=
❑√1+k
2∙
❑√(x1+x2)
2
4
−x1x2；（直线y=kx+ m与圆锥曲线联立消y）
|AB|= ❑√1+(
1
k)
2
∙
❑√( y1+ y2)
2
4
−y1 y2；（直线y=kx+ m与圆锥曲线联立消x）
知识网络・核心根基深扎牢
|AB|= ❑√1+(
1
t)
2
∙
❑√(x1+x2)
2
4
−x1x2；（直线x=ty+n与圆锥曲线联立消y）
|AB|=
❑√1+t
2∙
❑√( y1+ y2)
2
4
−y1 y2；（直线x=ty+n与圆锥曲线联立消x）
知识点
2 ：弦长公式（硬解定理）
|AB|=
❑√1+k
2∙
❑√∆
|a| ；（直线y=kx+ m与圆锥曲线联立消y）
|AB|=
❑√1+(
1
k)
2
∙
❑√∆
|a| ；（直线y=kx+ m与圆锥曲线联立消x）
|AB|= ❑√
1+(
1
t)
2
∙
❑√∆
|a| ；（直线x=ty+n与圆锥曲线联立消y）
|AB|=
❑√1+t
2∙
❑√∆
|a| ；（直线x=ty+n与圆锥曲线联立消x）
知识点
3 ：弦中点坐标求弦长
步骤1：设弦的两个端点为A(x1,y1)、B(x2,y2)，已知弦中点为M(x0,y0)，
则x1+x2=2x0、y1+y2=2y0，设弦所在直线斜率为k（斜率不存在时单独讨论）；
步骤2：将A、B 坐标代入对应圆锥曲线标准方程，两式相减，结合x1+x2=2x0、
y1+y2=2y0和k=y1−y2
x1−x2
，用点差法求出斜率k；
步骤3：若斜率k存在，用点斜式y−y0=k(x−x0)写出弦所在直线方程；若斜率不
存在，直线方程为x=x0；
步骤4 ：将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y（或x）得一元二次方程
A x
2+ Bx+C=0（或Ay
2+ By+C=0），计算判别式Δ（需Δ>0保证弦存在）；
步骤5：由韦达定理得x1+x2=−B
A 、x1x2=C
A （或对应y的关系），代入弦长公式
L=
❑√1+k
2⋅
❑√(x1+x2)
2
4
−x1x2（斜率不存在时用L=|y1−y2|），计算得弦长。
知识点
4 ：长度
/ 弦长和差、比值、倒数和、杂糅
步骤1：明确核心已知条件：记录圆锥曲线标准方程（含参数如a、b、p）、弦的
关联条件（如过定点、中点坐标、斜率范围等）、待求目标（弦长和差、比值、倒数和或
杂糅关系），标记未知量（如弦端点坐标、直线斜率）。
步骤2 ：设线设点：设弦所在直线方程（斜率存在时用
y=kx+ m ，斜率不存在时用x=x₀，过定点时代入定点简化）；设弦的两个端点为
A(x ,₁ y )、
₁
B(x ,
₂ y )
₂ ，若有中点M(x ,
₀ y )
₀ 则记x +₁ x =2
₂
x 、
₀
y +₁ y =2
₂
y₀。
步骤3：联立方程求韦达定理：将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y（或x）得到
关于x （或y ）的一元二次方程Ax ²+ Bx+C=0（或Ay ²+ By+C=0），计算判别式
Δ= B ² 4
−AC，确保Δ>0（弦存在的前提，含参数时需据此求参数范围）；由韦达定理得
x +₁ x
=
₂ −B/ A、x₁ x =
₂ C/ A（或y +₁ y
=
₂ −B/ A、y₁y =
₂ C/ A）。
步骤4 ：计算单条弦长：代入弦长公式得单弦长|AB|，斜率存在时用
|AB|= ❑√(1+k ²)·❑√[(x +₁ x
)² 4
₂
−x₁ x₂]（或❑√(1+1/k ²)·❑√[(y +₁ y
)² 4
₂
−y₁y ]
₂
），斜率不存在时用|AB|=|y₁−y |
₂ （或|x₁−x |
₂ ）；若有两条弦
AB、CD，同理求出|CD|。
步骤5：转化目标表达式：根据待求目标（和差、比值、倒数和等），将|AB|、|CD|
代入构建表达式，用韦达定理的x +₁ x 、
₂
x₁ x₂（或y 的关联式）替换表达式中的端点坐标
关系，消去未知量（如x 、
₁
x₂）。
步骤6：化简求解与验证：对转化后的表达式进行代数化简（如通分、因式分解、代
入参数值），得到待求结果；若含参数，结合Δ>0 的范围验证结果有效性，确保无增根或
不符合条件的解。
知识点
5 ：长度
/ 弦长成等比等差数列
步骤1：明确核心条件与数列类型：记录圆锥曲线标准方程（含a、b、p等参
数）、弦的共性条件（如共定点、共斜率、中点关联等）、弦的数量及顺序、待求目标
（如数列公差/公比、参数值、弦长本身）；标注等差/等比数列的关键定义（等差：
2l =
₂ l +₁ l₃；等比：l ²=
₂
l₁l₃，l 、
₁
l 、
₂
l₃为弦长）。
步骤2：统一设线设点：根据弦的共性条件设直线方程（如共定点P(x ,
₀ y₀)设为
y−y =
₀ k(x−x )
₀ ，斜率不同设为k 、
₁
k …；共斜率设为
₂
y=kx+ m 、
₁
y=kx+ m …
₂
）；设各弦端点为A (₁ x ,₁ y )₁ B (₁ x ,
₂ y )、
₂
A (
₂ x ,
₃ y )
₃ B (
₂ x ,
₄ y )…
₄
，若有中点则记
录中点与端点和的关系。
步骤3：联立求韦达定理与判别式：分别将每条弦的直线方程与圆锥曲线联立，消元
得一元二次方程（如A ₁ x ²+ B₁ x+C =0、
₁
A ₂x ²+ B₂x+C =0…
₂
）；计算每条弦对应的判
别式Δ₁
，确保Δ>0
ᵢ
（弦存在的前提）；由韦达定理得各弦端点横（纵）坐标的
和与积（如x +₁ x
=
₂ −B /₁ A 、
₁
x₁ x =
₂ C /₁ A …
₁
）。
步骤4：计算各弦长并表示为参数表达式：代入弦长公式计算每条弦长（斜率存在时
l= ❑√(1+k ²)·❑√[(x +₁ x
)² 4
₂
−x₁ x₂]，斜率不存在时l=|y₁−y |
₂ ），将弦长表示为直
线参数（如k 、
₁
k ₂或m 、
₁
m ₂）的函数，即l =₁ f
(参数)、
₁
₁
l =
₂ f
(
₂
。
步骤5：结合数列定义建立方程：根据等差（2l =
₂ l +₁ l 或
₃
l −
−₊ ₁ₙ
l =
ₙ d）或等比
（l ²=
₂
l₁l₃或l
/
ₙ ₊ ₁l =
ₙ q）的定义，将步骤6 得到的弦长表达式代入，构建关于未知参
数（公差d、公比q 或直线参数）的方程。
步骤6：求解参数并验证：化简方程求解目标参数（如d、q 或直线斜率、截距），过
程中需结合各弦的Δ>0
ᵢ
筛选有效解；若需具体弦长，将参数代入弦长表达式计算。
步骤7：特殊场景处理：若弦长与曲线焦点、准线相关（如焦点弦），可利用曲线定
义（如椭圆焦点弦到两焦点距离和为2a）简化弦长计算；若数列含n条弦，需归纳弦长的
通用表达式后结合数列通项公式求解。
实战演练・能力进阶攀高峰
【例题1】经过椭圆x
2
2 + y
2=1的左焦点F1作倾斜角为60
∘的直线l，直线l与椭圆相交于A，
B两点，则线段AB的长为（ ）
A．4
7
B．8 ❑√2
7
C．2
D．16 ❑√2
7
【1-1】直线y = x被椭圆x
2+ y
2
2 =1截得的线段长为（ ）
A．2❑√3
3
B．4 ❑√3
3
C．❑√3
D．3 ❑√3
2
【1-2】若直线l: x−y −1=0与椭圆C : x
2+ y
2
2 =1交于A 、B两点,则| AB|=( )
A．2❑√2
3
B．3 ❑√2
2
C．3 ❑√2
4
D．4 ❑√2
3
【1-3】已知椭圆M ：x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)与椭圆x
2
4 + y
2
2 =1的焦点相同，且M的长轴长
是短轴长的❑√3倍．
(1)求M的方程；
(2)若过点(1,0)且斜率为1
2的直线l与M交于A ,B两点，求|AB)．
题型一、已知直线与圆锥曲线方程求弦长
典例探究
举一反三
题型二、已知弦长求直线或圆锥曲线的参数
【例题2】已知椭圆C : x
2+2 y
2=2b
2(b>0)．
(1)求椭圆C 的离心率e；
(2)若b=1，斜率为1 的直线l 与椭圆交于A、B 两点，且|AB)= 4
3 ，求直线l 的方程．
【2-1】已知椭圆C：x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)，a
2= 4
3 b
2，P 是椭圆C 上任意一点，F 是椭圆C
的右焦点，且|PF)的最小值是1．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)过点F 的直线l 与椭圆C 相交于A，B 两点，若|AB)= 16
5 ，求直线l 的方程．
【2-2】已知椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的离心率e =
❑√3
2 ，且椭圆的长轴长为4.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点(1,0)的直线l与椭圆C交于A ,B两点，且|AB)= 8
5
❑√2，求直线l的方程.
【2-3】已知双曲线E: x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的离心率为❑√3，且过点(
❑√6
2 ,1).
(1)求E的方程；
(2)直线l过(❑√3,0)且交E于A ,B两点，若弦AB的长度为E的实轴长的两倍，求l的方
典例探究
举一反三
程.
【例题3】若椭圆x
2
16 + y
2
4 =1的弦AB 的中点P(2,1)则弦长| AB|=（ ）
A．4
B．5 ❑√2
C．2
D．2❑√5
【3-1】若椭圆x
2
4 + y
2
2 =1的弦AB的中点为(−1,−1)，则弦AB的长为（ ）
A．
❑√30
3
B．2❑√6
3
C．
❑√10
3
D．
❑√15
3
【3-2】已知椭圆C : x
2
8 + y
2
4 =1，过点P(2,1)的直线交椭圆于A，B 两点，若P 为线段AB
中点，则| AB|=（ ）
A．4 ❑√11
3
B．2❑√15
3
C．4 ❑√6
3
D．4 ❑√3
3
【3-3】已知椭圆E: x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的右焦点为F (3,0)，过点F的直线交椭圆E于
A ,B两点，若AB的中点坐标为（1，-1），则弦长|AB|=（ ）
A．5 ❑√2
B．2❑√5
C．5 ❑√2
2
D．❑√10
题型三、已知弦中点坐标求弦长
典例探究
举一反三
【例题4】已知椭圆C : x
2
9 + y
2=1的左焦点为F，过坐标原点的直线与椭圆C交于A ,B两点，
若|AF)=2|BF)，则|AB)=（ ）
A．2❑√2
B．4 ❑√2
C．2❑√3
D．4 ❑√3
【4-1】已知椭圆x
2
4 + y
2
3 =1的焦点为F，椭圆上M，N 满足：⃗MF =2⃗FN，则|MN )=
（ ）
A．2❑√3
B．3
C．9 ❑√3
8
D．27
8
【4-2】已知椭圆C : x
2
6 + y
2
5 =1的左、右焦点分别为F1、F2，过点F2的直线l交椭圆C于A、
B两点.
（1）若△F1 AB的面积为20 ❑√3
11
，求直线l的方程；
（2）若⃑B F2=2⃑F2 A，求|AB).
【4-3】以F1(−❑√3,0)，F2(❑√3,0)为焦点的椭圆C：x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)过点(
❑√3, 1
2).
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点F1作斜率为1 的直线l交椭圆C于A，B两点，求|A F2)+|B F2)的值.
题型四、圆锥曲线焦点弦长问题
典例探究
举一反三
【5-1】双曲线x
2
a
2 −y
2
b
2 =1，左、右顶点分别为A，B，曲线上有点M (2,1)，满足
k MA⋅k MB= 1
2.
(1)求双曲线方程；
(2)Q 是双曲线上的动点，QA，QB 分别交椭圆x
2
4 + y
2
2 =1于点E，N，S，T，证明：
|EN )+|ST )为定值.
【5-1】已知平面上一半径小于4 的动圆C与定圆M :(x + ❑√3)
2+ y
2=16相内切，且过定点
N (❑√3,0)．
(1)求动圆圆心C的轨迹方程．
(2)设直线l: y = x +t与（1）中轨迹交于不同的两点A ,B，点O为坐标原点．
①求|AB)的最大值．
②当直线l不过原点O时，记△AOB外接圆的圆心为E，则平面上是否存在两定点
题型五、圆锥曲线长度/弦长：“和差”型
典例探究
举一反三
P ,Q，使得||EP)−|EQ))为定值，若存在，求出定点坐标和定值；若不存在，请说明理由．
【5-2】已知椭圆C1: x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的长轴长为2❑√2，且C1经过点(1,
❑√2
2 )．椭圆C2
的对称中心为原点O，焦点在x轴上，且C2的离心率与C1的离心率相等，C2的短轴长与C1
的长轴长相等．
(1)求椭圆C1与C2的标准方程．
(2)若H (x0, y0)(x0≠± ❑√2, y0≠±1)为C2上的点，过点H作C1的切线，设切点分别为
M，N，试问直线HM与HN的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说
明理由．
(3)若T（异于C1的左、右顶点A1，A2）为椭圆C1上的点，直线T A1与C2交于点E，
F，直线T A2与C2交于点P，Q，求|EF)+|PQ)的值．
【5-3】已知椭圆Γ : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1 (a>b>0)，右焦点为F，动直线l与圆O: x
2+ y
2=b
2相切于
点Q，与椭圆交于A(x1, y1)、B(x2, y2)两点，其中点Q在y轴右侧.
（1）若直线l: x−y −2=0过点F，求椭圆方程；
（2）求证：|AF)+|AQ)为定值.
【例题6】如图，已知椭圆C : x
2
2 + y
2=1的左焦点为F，设过点F且斜率存在的直线l与椭
圆C相交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点P．试判断|PF)
|AB)是否为定值．若
是定值，求出该定值；若不是定值，说明理由．
【6-1】已知椭圆C：x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的短轴长等于2❑√3，离心率e = 1
2．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过右焦点F的直线l与椭圆C交于A、B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点P，
证明：|PF)
|AB)为定值．
【6-2】已知椭圆Γ: x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1和A2，且|A1 A2)= 4，
题型六、圆锥曲线长度/弦长：“比值”型
典例探究
举一反三
直线l: y =kx −4 k(k >0)经过定点B．若直线l与椭圆Γ相切，记切点为P，则△P A1 A2的
面积为3．
(1)求椭圆Γ的标准方程；
(2)若直线l与椭圆Γ交于C , D两点，直线A1C和A2 D分别与直线x = 4交于E , F两点，
证明|BE)
|BF)是定值，并求出该定值．
【6-3】已知椭圆C：x
2
a
2 + y
2
b
2 =1 (a>b>0)的长轴长为4，且离心率为1
2.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)设过点F (1,0)且斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于A，B 两点，线段AB 的垂直平分线
交x 轴于点D.求证：|AB)
|DF)为定值.
【例题7】已知F1，F2是椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1（a>b>0）的左，右焦点，焦距为2，离心率
e = 1
2，过左焦点F1的直线交椭圆C于A ,B两点.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)求证
1
|A F1)
+
1
|B F1)为定值.
题型七、圆锥曲线长度/弦长：“倒数和”型
典例探究
【7-1】已知F1，F2分别是椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0) 的左、右焦点，P 是C 上的动点，
C 的离心率是1
2，且△P F1 F2的面积的最大值是❑√3.
(1)求C 的方程；
(2)过F1作两条相互垂直的直线l1，l2，直线l1交C 于A，B 两点，直线l2交C 于D，E
两点，求证：1
|AB) +
1
|DE) 为定值.
【7-2】已知椭圆x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)经过点(❑√3,−
❑√3
2 )，且椭圆的离心率e = 1
2，过椭圆
的右焦点F作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点A ,B及C、D．
(1)求椭圆的方程；
(2)求证：
1
| AB| +
1
|CD| 为定值；
【7-3】已知椭圆x
2
a
2 + y
2
b
2 =1（a>b>0）的离心率为1
2，且过点(1, 3
2).
(1)求椭圆的标准方程
(2)分别过椭圆的左、右焦点F1、F2作两条互相垂直的直线l1和l2，l1与l2交于
P(x0, y0)，l1与椭圆交于A，B 两点，l2与椭圆交于C，D 两点
①求证：x0
2
a
2 + y0
2
b
2 <1；
②求证：1
|AB) +
1
|CD) =定值.
举一反三
【例题8】已知双曲线C : x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0), F1, F2分别是C的左、右焦点．若C的
离心率e =2，且点(4,6)在C上．
(1)求C的方程．
(2)若过点F2的直线l与C的左、右两支分别交于A ,B两点（不同于双曲线的顶点），
问：|
1
|A F2)
−
1
|B F2))是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【8-1】已知F1、F2分别为椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的左、右焦点，且右焦点F2的坐
标为(1,0)，点P(1,
❑√2
2 )在椭圆C上，O为坐标原点．
(1)求椭圆C的标准方程
题型八、圆锥曲线长度/弦长：“杂糅”型
典例探究
举一反三
(2)若过点F2的直线l与椭圆C交于A ,B两点，且| AB|= 4
3
❑√2，求直线l的方程；
(3)过椭圆C上异于其顶点的任一点Q，作圆O: x
2+ y
2=1的两条切线，切点分别为M，
N（M，N不在坐标轴上），若直线MN在x轴、y轴上的截距分别为m、n，那么1
m
2 + 2
n
2
是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．
【8-2】已知点M(1, 3
2)，N(−1,−3
2)，直线PM，PN的斜率乘积为−3
4 ，P点的轨迹为
曲线C.
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）设斜率为k的直线交x轴于T，交曲线C于A，B两点，是否存在k使得
| AT |
2+|BT |
2为定值，若存在，求出的k值；若不存在，请说明理由.
【8-3】设椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率e = 1
2，长轴
为4，且过椭圆右焦点F2的直线l与椭圆C交于M 、N两点．
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)若⃗OM ⋅⃗ON =−2，其中O为坐标原点，求直线l的斜率；
(3)若AB是椭圆C经过原点O的弦，且MN // AB，判断| AB|
2
| MN | 是否为定值？若是定
值，请求出，若不是定值，请说明理由．
【例题9】如图，椭圆Γ：x
2
4 + y
2
2 =1，F为其右焦点，过点P(0,1)的动直线l与椭圆Γ相
交于A，B两点.
题型九、圆锥曲线：证明“长度比值/乘积相
典例探究
(1)若直线l经过焦点F，求此时线段AB的长度；
(2)若焦点F不在直线l上，求△FAB周长的最大值及相应直线l的方程；
(3)在平面直角坐标系xOy中，是否存在与点P不同的定点Q，使得|QA |
|QB| =| PA |
| PB| 恒
成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
【9-1】已知椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，左、右顶点分别为
A1、A2，且右顶点和上顶点都在直线
❑√3 x +2 y −2❑√3=0上.
(1)求C的方程；
(2)若直线l经过F1交椭圆C于A、B两点，求△A2 AB面积的最大值；
(3)若过点P(4,0)的直线交C于M、N两点，点G是线段MN上异于M、N的一点，且
|G A1)=|GP)，证明：|PM )⋅|GN )=|PN )⋅|MG)
【9-2】如图，已知椭圆C：x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)过点P(2,1)，离心率e =
❑√3
2 .
举一反三
（1）求椭圆C的方程；
（2）如图，直线l2平行于OP（O为原点），且与椭圆C交于两点A、B，与直线x =2
交于点M（M介于A、B两点之间）.
（i）当△PAB面积最大时，求l2的方程；
（ii）求证：|PA)|MB)=|PB)|MA).
【9-3】已知椭圆E: x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的离心率e =
❑√5
3 ，且点M(−3 ❑√2
2
,❑√2)在椭圆E
上，直线l: y = 2
3 x +m与椭圆E 交于不同的两点A，B．
(1)求椭圆E 的标准方程；
(2)设直线OA，OB 的斜率分别为k1,k2，证明：k1k2= 4
9 ；
(3)设直线l 与两坐标轴的交点分别为P，Q，证明：| PA |⋅| PB|=|QA |⋅|QB|．
题型十、圆锥曲线弦长/长度最值（范围）问题
【例题10】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的左、右顶点分
别为A ,B，上顶点为M，且⃗AM ⋅⃗BM =−3，△MAB的面积为2.
(1)求C的方程；
(2)若直线l交C于P ,Q两点，以线段OP,OQ为直径的圆的另一个交点为G，且
|OG)=1，求|PQ)的最大值．
【10-1】在平面直角坐标系中，O为坐标原点，F，T 分别是椭圆C：x
2
a
2 + y
2=1(a>1)的左
焦点，右顶点，过F 的直线交椭圆C 于A，B 两点，当AB⊥x轴时，△TAB的面积为
1+
❑√3
2 .
(1)求a；
(2)若斜率为1
2的直线l交椭圆C 于G，H 两点，N 为以线段GH为直径的圆上一点，求
|ON )的最大值.
【10-2】已知椭圆C ：x❑
2
a❑
2 + y❑
2
b❑
2 =1(a>b>0)的离心率为
❑√6
3 ，以椭圆C的四个顶点为
顶点的四边形的周长为8．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线l是圆x❑
2+ y❑
2= 3
4
的一条切线，且直线l与椭圆C交于A，B两点，求
典例探究
举一反三
|AB)的最大值．
【10-3】已知椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的焦距为4，点E (2,3)在C上，直线
l: y =kx +m(k ≠0)与C交于M，N两点.
(1)求C的方程.
(2)若k = 1
2，求|MN )的最大值.
【例题11】设F1, F2分别是椭圆E: x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的左、右焦点，过F1斜率为1 的
直线与E相交于A ,B两点，且| A F2|,| AB|,|B F2|成等差数列．
(1)求a与b的等量关系；
(2)设点P(0，−1)满足|PA)=|PB)，求E的方程．
【11-1】已知斜率为k的直线l与椭圆C : x
2
4 + y
2
3 =1交于A，B两点，若线段AB的中点为
M (1，m)(m>0)．
(1)证明：k =−3
4 m；
(2)设F为C的右焦点，P为C上一点，且⃗FP+⃗FA +⃗FB =0．证明：|⃗FA |，|⃗FP|，
|⃗FB|成等差数列．
题型十一、圆锥曲线弦长/长度：成“等差”型
典例探究
举一反三
【11-2】设F1，F2分别是椭圆E：x
2
4 + y
2
b
2 =1(0<b<2)的左、右焦点，过F1的直线l与E
相交于A，B两点，且|A F2)，| AB|，|B F2)成等差数列．
(1)求|AB)；
(2)若直线l的斜率为1，求椭圆E的标准方程．
【11-3】已知椭圆C: x
2
a
2 + y
2
b
2 =1（a>b>0），F1、F2分别是椭圆C的左、右焦点，四点
P1(2,❑√2)，P2(−2,❑√2)，P3(0,−2)，P4(2,2)中恰有三点在椭圆上C上.
（1）求椭圆C的方程；
（2）过F1的直线l交椭圆C于A，B两点，且|A F2)，|AB)，|B F2)成等差数列.
试求：（I）|AB)；
（II）直线AB的斜率.
【12-1】如图，矩形ABCD中，|AB)= 4，|BC)=2.A1、B1、A2、B2分别是矩形四条边的
中点，设⃗OR = λ⃗O A2，⃗A2T =(1−λ)⃗A2C (0< λ<1).
题型十二、圆锥曲线弦长/长度：成“等比”型
典例探究
(1)证明：直线B1 R与B2T的交点M在椭圆K：x
2
4 + y
2=1上；
(2)已知PQ为过椭圆K的右焦点F的弦，直线MO与椭圆K的另一交点为N，若
MN // PQ，试判断|PQ)、|MN )、|A1 A2)是否成等比数列，请说明理由.
【12-1】已知直线m与椭圆C : x
2
4 + y
2
3 =1相切于点P(1, 3
2)，直线n的斜率为1
2，设直线n
与椭圆分别交于点A、B(异于点P)，与直线m交于点Q.
（1）求直线m 的方程：
（2）证明：| AQ|,| PQ|,|BQ|成等比数列
【12-2】已知椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的短轴两端点与左焦点围成的三角形面积为3，
短轴两端点与长轴一端点围成的三角形面积为2，设椭圆C的左、右顶点分别为A ,B , P是
举一反三
椭圆C上除A ,B两点外一动点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过椭圆C的左焦点作平行于直线OP（O是坐标原点）的直线l，l与曲线C交于
M , N两点，点P关于原点O的对称点为P
′，求证：| AB|,|P P
′),| MN |成等比数列．
【12-3】设F1,F2分别为椭圆C: x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的左右焦点
､
,已知椭圆C上的点(1, 3
2)
到焦点F1,F2的距离之和为4.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点F2作直线交椭圆C于M,N两点,线段MN的中点为P,连结OP并延长交椭圆于
点Q(x0, y0)(O为坐标原点),若|O F2),|OQ),|MN )等比数列,求线段MN的方程.
1．设A ,B为双曲线x
2−y
2
2 =1上的两点，线段AB的中点为M (2,2)，则|AB)=
（ ）
A．❑√5
B．2❑√5
C．❑√10
D．2❑√10
2．已知点A，B在双曲线x
2−y
2= 4上，线段AB的中点M (3,1)，则|AB|=（ ）
A．❑√2
B．2❑√2
C．❑√5
D．2❑√5
3．已知点A，B 在双曲线x
2−y
2=3上，线段AB 的中点为M (1,2)，则|AB)=（ ）
A．2❑√5
B．4 ❑√5
C．2❑√10
D．4 ❑√10
4．已知直线l: x−my −1=0与抛物线C : y
2= 4 x交于A，B 两点，若线段AB 的中点
题型精析・方法突破提能力
为(x0,2)，则| AB|=（ ）
A．4
B．6
C．8
D．10
5．已知点O为坐标原点，直线y =kx (k ≠0)与椭圆C : x
2
a + y
2=1(a>1)交于点A，点
B在C上，OA ⊥OB，若
1
|OA |
2 +
1
|OB|
2 = 4
3 ，则C的离心率为（ ）
A．
❑√3
3
B．2
3
C．
❑√6
3
D．
❑√2
3
6．已知椭圆Γ : x
2
2 + y
2=1的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线l与椭圆Γ交于A、
B两点．
(1)求Γ的短轴长及△F1 AB的周长；
(2)若直线l过点M (2, 1)，求弦长|AB)．
7．过双曲线C : x
2−y
2
3 =1的右焦点F2倾斜角为π
6 的直线与双曲线有两个交点A,B.
(1)求线段AB的中点坐标；
(2)求|AB).
8．已知双曲线C：x
2
2 −y
2=1，点M的坐标为(0,1) ．设直线l 过点M，斜率为1
2，
它与双曲线C交于A、B两点，求线段AB的长．
9．已知抛物线M : y
2=2 px ( p>0)的焦点F为椭圆N : x
2
9 + y
2
5 =1的右焦点，且N的左、
右顶点分别为C，D．
(1)求M的方程；
(2)求以CF为直径的圆的标准方程；
(3)设过点D且倾斜角为135
∘的直线l与M交于A，B两点，求|AB)．
10．已知双曲线C : x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的左、右顶点分别为A，B，P(2❑√2,1)在
C上，满足k PA⋅k PB= 1
4 ．
(1)求C的方程；
(2)过点Q (3,0)的直线l（与x轴不重合）交C于M，N两点．若|MN )= 8 ❑√3
3
，求直线
l的方程．
11．双曲线C : x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是F1(−4,0)，F2(4,0)，
M (3 ❑√5,2❑√7)在双曲线C上．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)过F2作直线l与双曲线交于点A ,B，若弦AB的长为42，求直线AB的方程．
12．已知抛物线C : y
2=2 px ( p>0)与椭圆E: x
2
4 + y
2
3 =1有一个相同的焦点，过抛物
线C焦点的直线l与抛物线C相交于A、B两点，且|AB)=8.
(1)求抛物线C的方程；
(2)求直线l的方程.
14．已知抛物线y
2=2 px ( p>0)的焦点为F，点M (3,m)在抛物线上，且|MF)=5．
(1)求抛物线的方程；
(2)过焦点F 的直线l 交抛物线于A、B 两点，若|AB)=16，求直线l 的方程．
15．已知椭圆E: x
2
a
2 + y
2
3 =1(a>❑√3)的离心率为1
2．
(1)求E的方程；(2)过E的右焦点F的直线l交E于A ,B两点，若△OAB（O为坐标原
点）的面积为4 ❑√3
5
，求l的方程．
16．已知直线l过椭圆x
2
3 + y
2=1的右焦点，交椭圆于A ,B两点，且以AB为直径的圆
恰过原点，求弦AB的长和直线AB的方程．
17．已知椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)，直线l1: x
a −y
b =1被椭圆C截得的弦长为2❑√2，
且e =
❑√6
3 ，过椭圆C的右焦点且斜率为❑√3的直线l2被椭圆C截的弦长AB，求
(1)椭圆的方程；
(2)弦AB的长度.
18．已知A为抛物线C : y
2=2 px ( p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为6，到y轴的
距离为5 .
(1)求C的方程；
(2)设C的焦点为F，过点F的直线l与C交于M、N两点，⃗MF =2⃗FN，求|MN ).
19．已知抛物线G: y
2=2 px ( p>0)，过焦点F 的动直线l 与抛物线交于A，B 两点，
线段AB 的中点为M．
(1)当直线l 的倾斜角为π
4 时，|AB)=16，求抛物线G 的方程：
(2)对于（1）问中的抛物线G，若点N (3,0)，求证：|AB)−2|MN )为定值，并求出该
定值．
20．如图所示，由半椭圆C1: x
2
16 + y
2
b
2 =1( y ≤0)和两个半圆C2:( x +2)
2+ y
2= 4 ( y ≥0)、
C3:( x−2)
2+ y
2= 4 ( y ≥0)组成曲线C：F (x , y)=0，其中点A1, A2依次为C1的左、右顶
点，点B 为C1的下顶点，点F1, F2依次为C1的左、右焦点.若点F1, F2分别为曲线C2,C3的
圆心.
(1)求C1的方程；
(2)点C和点D 分别在曲线C1和曲线C2上，求出线段CD的最大值；
(3)若过点F1，F2作两条平行线l1，l2，分别与C1，C2和C1，C3交于点M，N 和点
P，Q，求|MN )+|PQ)的最小值.
21．已知抛物线y
2=2 px ( p>0)与斜率为1且过抛物线焦点F的直线l交于A、B两点，
满足弦长|AB)=8.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）已知M为抛物线上任意一点，A (3,❑√3)为抛物线内一点，求|MA)+|MF)的最
小值，以及此时点M的坐标.
22．椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的右焦点为F (1,0)，过F且斜率为k1的直线l与C交
于A，B两点，O为坐标原点，⃗OA +⃗OB =⃗OD，设直线OD的斜率为k2，且k1⋅k2=−1
2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若P为椭圆C上一点，且O为△PAB的重心，求|AB)+|PF).
23．在平面直角坐标系xOy中，已知M是一个动点，过点M且与直线l: y =−❑√3 x平
行的直线与直线l
′: y = ❑√3 x相交于点A（点A位于第一象限），过M且与直线l
′平行的直线
与直线l相交于点B（点B位于第四象限），如图，且四边形OAMB的面积为
❑√3
2 ，动点M
的轨迹为曲线C．
(1)求C的方程．
(2)过点D (2,0)的直线l1与C相交于P ,Q两点，是否存在定直线l2: x =t，使得以PQ为
直径的圆与直线l2相交于E , F两点，且|EF)
|PQ)是定值？若存在，求出t的值；若不存在，请
说明理由．
24．已知双曲线C : x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，C的一条渐
近线的倾斜角为π
3 ，直线l: x = 1
2与x轴的交点为H，且3⃗H F1+5⃗H F2=0.
(1)求C的方程；
(2)过点F2作斜率为k(k ≠0)的直线与C交于A，B两点，M为线段AB的中点，过点
M且与AB垂直的直线交x轴于点N，求证：
| AB|
|F2 N )为定值.
25．已知双曲线C : x
2
a
2 −y
2
b
2 =1 (a>0 , b>0)的离心率为2，左顶点为A，过右焦点
F(2 , 0)的直线交双曲线C于M , N两点.
(1)求双曲线C的方程；
(2)从下面两个结论中选择一个给出证明（多选则按照第一个给分）.
①AM ⊥AN；②若线段MN的垂直平分线交x轴于点G，则|GF)
|MN )为定值.
26．已知双曲线C 以2 x ± ❑√5 y =0为渐近线，其上焦点F 坐标为(0,3).
(1)求双曲线C 的方程；
(2)不平行于坐标轴的直线l 过F 与双曲线C 交于P ,Q两点，PQ的中垂线交y 轴于点
T，问|TF)
|PQ)是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由.
27．已知椭圆x
2
9 + y
2
8 =1．
(1)若过椭圆的一个焦点引两条互相垂直的弦AB、MN．求证：
1
|AB) +
1
|MN )是定值；
(2)若P、Q在椭圆上且OP⊥OQ．求证：
1
|OP)
2 +
1
|OQ)
2是定值．
28．已知椭圆y
2
a
2 + x
2
b
2 =1(a>b>0) 的离心率为
❑√3
2 ，若椭圆与圆E：x
2+( y −3
2)
2
=1
相交于M,N 两点，且圆E 在椭圆内的弧长为2
3 π.
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆的上焦点作两条相互垂直的直线，分别交椭圆于A，B、C，D，求证：
1
|AB) +
1
|CD)为定值.
29．已知双曲线C：x
2
4 −y
2=1的右顶点为M，过点P(2,1)的直线l 交双曲线C 于A，
B 两点，设直线MA 的斜率为k1，直线MB 的斜率为k2.
(1)求直线l 斜率的取值范围；
(2)证明：k1+ k2为定值，并求出该定值；
(3)求1
|PA) +
1
|PB)的最大值.
30．已知椭圆C：x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的一个端点为B (0,1)，且离心率为
❑√3
2 ，过椭
圆左顶点A的直线l与椭圆C交于点M，与y轴正半轴交于点N，过原点O且与直线l平行的
直线l
′交椭圆于点P，Q．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)求证：|AM )⋅|AN )
|OP)⋅|OQ) 为定值．
31．设椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)，F1，F2分别是C 的左、右焦点，C 上的点到F1
的最小距离为1，P 是C 上一点，且△P F1 F2的周长为6．
(1)求C 的方程；
(2)过点F2且斜率为k 的直线l 与C 交于M，N 两点，过原点且与l 平行的直线与C 交
于A，B 两点，求证：|AB)
2
|MN )
为定值．
32．已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,短轴长为2❑√2,离心率为
❑√3
3
(1)求椭圆C的方程;
(2)一条动直线l与椭圆C交于不同两点M , N ,O为坐标原点,△OMN的面积为
❑√6
2 ,求证:
|OM )
2+|ON )
2为定值.
33．已知椭圆x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)，过P(0, b
2 )的直线l与椭圆交于A ,B两点，过
Q( x0,0)(| x0|<a)的直线l
′与椭圆交于M , N两点.
(1)当l的斜率是k时，用a,b,k表示出| PA |⋅| PB|的值；
(2)若直线l ,l
′的倾斜角互补，是否存在实数x0，使| PA |⋅| PB|
| MN |
2
为定值，若存在，
求出该定值及x0，若不存在，说明理由.
34．已知椭圆C：x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的焦距为2❑√3，离心率为
❑√3
2 .
(1)求椭圆C 的方程；
(2)已知D(
4
3 ,0)，E 为直线x =3上一纵坐标不为0 的点，且直线DE 交C 于H，G 两
点，证明：|HD)⋅|GE)=|GD)⋅|HE).
35．在平面直角坐标系xoy中，点F1(−1,0)，F2(1,0)，|M F1)+|M F2)= 4，点M
的轨迹为C.
(1)求C 的方程：
(2)设点P 在直线x =1上，过点P 的两条直线分别交C 于A，B 两点和G，H 两点，若
直线AB 与直线GH 的斜率之和为0，证明：| PA |⋅| PB|=| PG|⋅| PH |.
36．已知椭圆C : x
2
a
2 + y
2
8 =1(a>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为C上一点，且当
P F1⊥x轴时，|P F2)= 10
3 .
(1)求C的方程；
(2)设C在点P处的切线交x轴于点Q，证明：|P F1)⋅|Q F2)=|P F2)⋅|Q F1).
37．已知双曲线C :4 x
2−y
2= λ(λ≠0)经过点A (❑√2,2)，直线y =t (t ≠±2)与C交于
M , N两点，直线AM , AN分别与y轴相交于点P ,Q.
(1)证明：以线段PQ为直径的圆恒过点R (2,0)；
(2)若|MN )<2❑√2，且|AM )
|AN ) =|AQ)
|AP) ，求t.
39．曲线C 上任一点M ( x , y)到点F1(−1,0)，F2(−1,0)距离之和为2❑√2，点
P(x0, y0)是曲线C 上一点，直线l 过点P 且与直线x0 x +2 y0 y −2=0垂直，直线l 与x 轴
交于点Q.
（I）求曲线C 的方程及点Q 的坐标（用点P(x0, y0)的坐标表示）；
（II）比较|P F1)
|P F2)
与|Q F1)
|Q F2)
的大小，并证明你的结论.
40．已知椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1 (a>b>0)过点(2,1)，且离心率为
❑√2
2 .
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知圆方程为x
2+ y
2=2，过圆上任意一点作圆的切线，切线与椭圆C交于A，B两
点，O为坐标原点，设Q为AB的中点，当|OQ)取最大值时，求直线AB的方程.
41．已知椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的离心率为1
2，焦距为2.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)直线l的斜率为−1，且与坐标轴的交点均在椭圆内部，直线l与椭圆交于A ,B两点，
求线段AB的长度的取值范围.
42．已知抛物线C : x
2= 4 y，过点D(0,2)的直线l 交抛物线于A，B 两点，抛物线在
点A 处的切线为l1，在点B 处的切线为l2，直线l1与l2交于点M.
(1)设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，证明：k1k2=−2；
(2)设线段AB 的中点为N，求MN
AB 的取值范围.
43．设O 为坐标原点，点M，N 在抛物线C : x
2= 4 y上，且⃗OM ⋅⃗ON =−4.
(1)证明：直线MN过定点；
(2)设C 在点M，N 处的切线相交于点P，求|MN )
|OP)
2的取值范围.
44．如图，已知椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1 (a>b>0)过点(1, 3
2)两个焦点为F1(−1,0)和
F2(1,0).圆O 的方程为x
2+ y
2=a
2.
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）过F1且斜率为k(k >0)的动直线l 与椭圆C 交于A、B 两点，与圆O 交于P、Q
两点（点A、P 在x 轴上方），当|A F2), |B F2), | AB|成等差数列时，求弦PQ 的长.
45．如图，双曲线的中心在坐标原点O，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为l1,l2，经
过右焦点F 垂直于l1的直线分别交l1,l2于A，B 两点．又已知该双曲线的离心率e =
❑√5
2 ．
（1）求证：|⃑OA |,|⃑AB|,|⃑OB|，依次成等差数列；
（2）若F (❑√5,0)，求直线AB 在双曲线上所截得的弦CD 的长度．
46．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l经过抛物线C : y
2=2 px( p>0)的焦点
F (2,0)，与C交于M , N两点，与C的准线l
′交于点P.
(1)求⃗OM ⋅⃗ON的值；
(2)若|MF),|MP),|NF)成等差数列，求|NP).
47．已知圆C : x
2+ y
2=2 x，动点P在y轴的右侧，P到y轴的距离比它到的圆心C的
距离小1．
(1)求动点P的轨迹E的方程；
(2)过圆心C作直线l与轨迹E和圆C交于四个点，自上而下依次为A，M，N，B，若
|AM )，|MN )，|NB)成等差数列，求|AB)及直线l的方程．
48．已知点A(−1,0),B(1,0)，动点P满足k PA⋅k PB=a，其中k PA ,k PB分别为直线
PA , PB的斜率，a为常数，且当a=−1时，点P的轨迹记为C1，当a=−1
4 时，P的轨迹记
为C2．
（1）求曲线C1,C2的方程；
（2）过点M(−
❑√3
2 ,0)的直线l与曲线C1,C2交于四点P1, P2, P3, P4（其中P1, P2在
x轴上方，P3, P4在x轴下方，P1, P4∈C1, P2, P3∈C2）．问：是否存在这样的直线l，
使得|P1 P2),|P2 P3),∣P3 P4|成 等差数列？若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说
明理由．
49．有一个动圆与曲线C : x
2+ y
2= 4( y >0)相外切，并且与x轴相切．
(1)求动圆的圆心N的轨迹方程；
(2)已知点A 的坐标为(−2,0)，如果直线y =k( x +2)与椭圆x
2
4 + y
2
b
2 =1(0<b<2) 交
于点C，直线y =k( x +2)与曲线N交于点B , D.求当斜率k满足什么范围时，存在这样的椭
圆使得|AB),|AC),|AD) 的长度成等比数列．
50．已知椭圆x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的离心率e =
❑√2
2 ，左顶点为A(−2,0).
（1）求椭圆E的方程；
（2）已知O为坐标原点，B ,C是椭圆E上的两点，连接AB的直线平行OC交y轴于
点D，证明：|AB),❑√2|OC),|AD)成等比数列.
51．已知椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的焦距为2❑√3，且过点(1,
❑√3
2 ).
（1）求椭圆C的方程；
（2）设过椭圆顶点B (0,b)，斜率为k的直线交椭圆于另一点D，交x轴于点E，且
|BD)、|BE)、|DE)成等比数列，求k
2的值.
52．已知抛物线y
2= 4 x，过点M (0,2)的直线l与抛物线交于A、B两点，且直线l与x
轴交于点C.（1）求证:| MA |，| MC |，| MB|成等比数列；
（2）设⃗MA =α⃗AC，⃗MB = β⃗BC，试问α + β是否为定值，若是，求出此定值；若不
是，请说明理由．
53．抛物线
在点
，
处的切线垂直相交于点
，直线
与椭圆
相交于
，
两点．
（1）求抛物线
的焦点
与椭圆
的左焦点
的距离；
（2）设点
到直线
的距离为
，试问：是否存在直线
，使得
，
，
成等比数列？若存在，求直线
的方程；若不存在，请说明理由．
54．设抛物线C : x
2=2 py ( p>0)的焦点为F，点P(1,0)，直线FP交C于A，B两点，
且|AB)= 5
2．
(1)求C的标准方程；
(2)已知M，N是抛物线上的任意两点，过点M，N分别作C在点M，N处的切线交于
点Q，
①证明：|FM )，|FQ)，|FN )成等比数列；
②证明：∠FMQ =∠FQN．
