重难点17：破解圆锥曲线定值：圆锥曲线
中定值问题
（培优固本提能讲义）
知识网络·核心根基深扎牢....................................................................................1
实战演练·能力进阶攀高峰....................................................................................4
题型一、斜率和（积）为定值........................................................................4
题型二、斜率之比为定值................................................................................7
题型三、角度型定值......................................................................................11
题型四、距离型定值......................................................................................16
题型五、面积型定值......................................................................................20
题型六、数量积为定值..................................................................................27
题型七、系数型定值......................................................................................29
题型精析・方法突破提能力..............................................................................35
圆锥曲线的定值问题是解析几何中的核心题型，其本质是在图形的某些元素（如点、
直线、斜率、距离等）运动变化时，证明某个几何量（如斜率、面积、乘积、比值等）保
持恒定。解题的核心思路是 “化动为静”，即通过代数运算消去变化参数，最终得到与参
数无关的常数。定值问题的求解可遵循 “设参→表达→化简→定值” 的通用流程，具体
步骤如下：
步骤 1：设定参数 —— 参数是描述 “运动变化” 的变量，选择参数的原则是 **“少而
精”**，即能用 1 个参数表示的绝不设 2 个。常见参数类型：
点 参 数：若动点在曲线上，可设其坐标（如椭圆上的点可设为
(acosθ,bsinθ)，利用参数方程简化运算）；
知识网络・核心根基深扎牢
一、解题思路
斜率参数：若动直线过定点，可设其斜率k（需注意斜率不存在的特殊情况）；
截距参数：若动直线有固定纵 / 横截距，可设截距为t；
比例参数：若涉及线段比例，可设比例系数λ（如分点坐标用定比分点公式表示）。
步骤 2：表达几何量 —— 根据题目要求，将需要证明为定值的几何量（如斜率、面积、
乘积等）用第一步设定的参数表示出来。此步骤需熟练运用以下知识点：
直线方程（点斜式、斜截式、两点式）；点与曲线的位置关系（代入方程验证）；韦
达定理（联立直线与曲线方程，求两根之和、两根之积）；斜率公式（k=y2−y1
x2−x1
）；距
离公式（两点间距离、点到直线距离）；面积公式（底×高/2）。
步骤 3：化简消参 —— 这是最关键的一步，目标是通过代数变形（因式分解、通分、利
用曲线方程代换、韦达定理代入等）消去所有参数，得到一个常数。
步骤 4：验证特殊情况 —— 参数设定时可能隐含限制（如斜率不存在、直线与曲线相切
等），需单独验证这些特殊情况是否满足定值结论，确保逻辑严谨。
知识点
1 ：斜率和（积）为定值
1.与斜率有关的定值问题常见类型是斜率之积商或斜率之和差为定值，求解时一般先
利用斜率公式写出表达式，再利用题中条件或韦达定理化简。
2.题目必然隐含或明确给出一个固定点（记为P(x0,y0)），该点通常具备以下属
性：
位置特征：多在坐标轴上（如P(0,t)或P(t,0)），或为椭圆、抛物线等圆锥曲线的顶
点、焦点、中心，少数为曲线外的已知点。
角色功能：作为斜率计算的基准点，所有动点与该点的连线斜率（\(k_{PA}\)、\(k_{PB}
\)）是核心研究对象。
3.存在两个在同一圆锥曲线上的动点（记为A(x1,y1)、B(x2,y2)），且动点满足
以下关联条件：
运动约束：两点均在给定的圆锥曲线（椭圆、抛物线、双曲线）上，其坐标满足曲线方
程。
直线关联：两点通常共线，即直线AB为动直线，是后续推导中需代入韦达定理的关键载
体。
4.倘若定点P(0,t)，在椭圆上的动点A(x1,y1)，(B(x2,y2)，那么：
①kPA⋅kPB=y1−t
x1
⋅y2−t
x2
=y1y2−t(y1+y2)+t
2
x1x2
，此时已经凑出韦达定理的形式，就
无需再解点，可直接代入韦达定理求解。
二、方法技巧
②kPA+kPB=y1−t
x1
+y2−t
x2
=x1y2+x2y1−t(x1+x2)
x1x2
，这里对交叉项x1y2+x2y1的处理可
进
一
步
代
入
直
线
方
程
：
AB:y=kx+ m，
化
简
可
得
：
x1y2+x2y1=x1(kx2+ m )+x2(kx1+ m )=2kx1x2+ m (x1+x2))(kPA+kPB)=x1y2+x2y1−t(x1+x2)
x1x2
=2k+(
x
，再代入韦达定理。
③1
kPA
+1
kPB
=x1
(y1−t) +x2
(y2−t) =x1y2+x2y1−t(x1+y2)
(y1−t)(y2−t)
。可进一步代入直线方程：
AB:x= my+n，
化
简
可
得
：
x1y2+x2y1=(m y1+n)y2+(m y2+n)y1=2m y1y2+n(y1+y2)
知识点
2 ：斜率之比为定值（采用非对称韦达定理）
在处理斜率比值的时候：kPA
kPB
=
y1−t
x1
y2−t
x2
=x2y1−tx2
x1y2−tx1
=kx1x2+( m −t)x2
kx1x2+( m −t)x1
，这时我们
就需要通过所求得的韦达定理找到x1+x2和x1∙x2之间的关系，将其中一个替换，常用手段
是把乘法的替换成加法。
这样的非对称形式，即韦达定理无法直接代入，可以通过韦达定理构造互化公式，先局部
互化，然后可整理成对称型。具体办法：
联立方程后得到韦达定理：{
x1+x2=f(t)
x1x2=g(t) ⇒m(t)(x1+x2)=n(t)x1x2
代入之后进行代
换消元解题。
知识点
3 ：圆锥曲线和（积
/ 商）为定值结论
椭 圆：
（1）P(x0,y0)是椭圆x
2
a
2 +y
2
b
2 =1(a>b>0)上一点，若A，B是椭圆上的两个动点，且
满足kPA+kPB=λ是定值，则当λ=0时，直线AB的斜率为定值；当λ≠0时，直线AB
恒过定点。
（2）P(x0,y0)是椭圆x
2
a
2 +y
2
b
2 =1(a>b>0)上一点，若A，B是椭圆上的两个动点，且
满足kPAkPB=λ是定值，则当λ=b
2
a
2 时，直线AB的斜率为定值；当λ≠b
2
a
2 时，直线AB
横过定点。
双曲线：
（3）P(x0,y0)是双曲线x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>，b>0)上一点，若A，B是双曲线上的两个动
点，且满足kPA+kPB=λ是定值，则当λ=0时，直线AB的斜率为定值；当λ≠0时，直
线AB 恒过定点。
（4）P(x0,y0)是双曲线x
2
a
2 +y
2
b
2 =1(a>0，b>0)上一点，若A，B是双曲线上的两个
动点，且满足kPAkPB=λ是定值，则当λ=b
2
a
2 时，直线AB的斜率为定值；当λ≠b
2
a
2
时，直线AB 横过定点。
抛物线：
（5）P(x0,y0)是抛物线y
2=2px（p>0）上一点，若A，B是抛物线上的两个动点，
且满足kPA+kPB=λ是定值，则当λ=0时，直线AB的斜率为定值；当λ≠0时，直线
AB 恒过定点。
知识点
4 ：中点弦斜率为定值
椭 圆：则弦AB的斜率kAB与线段OM（O为原点）的斜率kOM之积为定值−b
2
a
2 ，即：
kAB·kOM=−b
2
a
2 ∙x0
y0
×y0
x0
=−b
2
a
2
双曲线：则弦AB的斜率kAB与线段OM（O为原点）的斜率kOM之积为定值b
2
a
2 ，即：
kAB·kOM= b
2
a
2 ∙x0
y0
×y0
x0
= b
2
a
2
抛物线：则弦AB的斜率kAB与线段OM（O为原点）的斜率kOM之积为定值b
2
a
2 ，即：
kAB·kOM=p
y0
×y0
x0
=p
x0
知识点
5 ：距离为定值
1.设椭圆方程为x
2
a
2 +y
2
b
2 =1，a>b>0，焦点为F1(−c,0)、F2(c,0)，过焦点的直
线A,B 与椭圆交于A,B 点，则：1
|A F1| +1
|BF1| = 2a
b
2 为定值。
2.
设
A,B,C是椭圆x
2
a
2 +y
2
b
2 =1(a>b>0)上
不
同
3
点
，
B,C关于x轴对称，直线AC,BC与x轴分别交于点M,N ，则|OM||ON|=a
2。
3.点A,B是椭圆C:x
2
a
2 +y
2
b
2 =1(a>b>0)上动点，O为坐标原点，若OA⊥OB，则
1
|OA|
2 +1
|OB|
2 =1
a
2 +1
b
2 （即点O到直线AB为定值）。
实战演练・能力进阶攀高峰
题型一、斜率和（积）为定值
【1-1】若椭圆C : x
2
4 + y
2
3 =1的左、右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆C 上一点，且P在第
一象限，△P F1 F2的内心为I，直线I F1与直线I F2的斜率分别为k1、k2，则k1⋅k2=
（ ）
A．−1
3
B．−1
4
C．−3
4
D．−4
3
【1-2】过原点O 的直线l与双曲线C：x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)交于A，B 两点，D 为C的右
顶点，若C的渐近线方程为y =±2 x，则直线DA与直线DB的斜率之积为（ ）
A．1
B．3
C．4
D．9
【1-3】已知O为坐标原点，双曲线C : x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的离心率为2，虚轴长为
2❑√3,Q为圆O：x
2+ y
2=1上一点，过点Q作C的两条切线，切点分别为A ,B，记直线
QA ,QB ,OQ的斜率分别为k1,k2,k3，则(k1+k2)k3=（ ）
A．−1
B．−2
C．−3
D．−4
典例探究
【典型例题】已知椭圆C : x
2
4 + y
2
2 =1的左、右顶点分别为A，B，位于x轴上方的点P是C
上的一点，坐标原点为O，直线AP与过点B且垂直于x轴的直线交于点Q，则直线OQ与直
线BP的斜率之积为（ ）
A．1
B．−1
2
C．1
2
D．−1
举一反三
【2-1】如图，已知抛物线y
2= 4 x的焦点为F，过点P(4,0)的直线交抛物线
A(x1, y1),B(x2, y2)两点，直线AF ,BF分别与抛物线交于M , N点，记直线MN的斜率为
k1，直线AB的斜率为k2，则k1
k2
=（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【2-2】已知F为抛物线y
2= 4 x的焦点，M点的坐标为(4,0)，过点F作斜率为k1的直线与
抛物线交于A、B两点，延长AM、BM交抛物线于C、D两点设直线CD的斜率为k2，则
题型二、斜率之比为定值
典例探究
【典型例题】已知椭圆E：x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)经过点(2,❑√2)，右焦点为F (2,0)，A，
B分别为椭圆E的上顶点和下顶点，若过(0,1)且斜率存在的直线l与椭圆E交于C , D两
点，直线BD与直线AC的斜率分别为k1和k2，则
k1
k2
的值为（ ）
A．1
B．3
C．2
D．2
3
举一反三
k1
k2
=（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【2-3】已知抛物线C : y
2=2 px，过点M (a,0)任作一条直线与抛物线C交于A，B两点，
设点G (b,0)，连接AG，BG并延长，分别与抛物线C交于点A1，B1，则直线A1B1过定点
，k AB
k A1B1
= ．
【3-1】已知椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的左顶点为A，左焦点为F，离心率为1
2
，过点F
的直线l交C于P ,Q两点，当l的斜率为1 时，点A到l的距离为
❑√2
2
.
(1)求C的方程；
(2)若直线AP , AQ分别交直线x =−4于点M , N，证明：∠MFN =90°.
题型三、角度型定值
典例探究
【典型例题】已知抛物线C ：y
2=2 px，经过T (2 p,0)的动直线l 交C 于A，B 两点，O 为
坐标原点，则∠AOB为（ ）
A．锐角
B．直角
C．钝角
D．随着直线l 的变化，∠AOB可能是锐角、
直角或钝角
举一反三
【3-2】已知椭圆E1: x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)与抛物线E2: y
2= 4 x在第一象限的交点为P，椭
圆E1的左、右焦点分别为F1, F2，其中F2也是抛物线E2的焦点，且|P F2)= 5
3
.
（1）求椭圆E1的方程；
（2）过F2的直线l（不与x轴重合）交椭圆E1于M 、N两点，点A为椭圆E1的左顶
点，直线AM 、AN分别交直线x = 4于点B、C，求证：∠B F2C为定值.
【3-3】设抛物线C : y
2=2 px( p>0)的焦点为F，已知点F到圆E:(x + 1
2)
2
+ y
2=1上一点
的距离的最大值为2．
(1)求抛物线C的方程；
(2)已知F1, F2是双曲线x
2
2 −y
2
2 =1左右焦点，过右焦点F2的直线l与C交于M , N两点．
证明：∠F2 F1 M =∠F2 F1 N．
【4-1】已知P ,Q是椭圆3 x
2+6 y
2=1上满足∠POQ =90
∘的两个动点(O为坐标原点），
题型四、距离型定值
典例探究
【典型例题】已知椭圆方程为x
2
4 + y
2
3 =1(a>b>0)，AB为过椭圆的左焦点F1的弦，则
1
|A F1)
+
1
|F1B)的值为（ ）
A．
❑√3
2
B．
❑√2
2
C．4
3
D．3
4
举一反三
则
1
|OP|
2 +
1
|OQ|
2 等于（ ）
A．45
B．9
C．1
2
D．45
324
【4-2】已知双曲线C : x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的虚轴长为4，C 的一条渐近线与曲线
y =sin x在x = 3
4 π处的切线垂直，M，N 为C 上不同两点，且以MN 为直径的圆经过坐标
原点O，则
1
|OM )
2 +
1
|ON )
2 =（ ）
A．1
4
B．4
C．1
2
D．2
【4-3】数学美的表现形式多种多样，其中美丽的黄金分割线分出的又岂止身材的绝妙配置，
我们称e = 1
ω
（其中ω=
❑√5−1
2
）的双曲线(
x
2
a
2 −y
2
b
2 =1)
为黄金双曲线，若P 为黄金双曲线
上除实轴端点外任意一点，以原点O 为圆心，实轴长为直径作⊙O，过P 作⊙O的两条切
线，切点分别为A，B，直线AB与x，y 轴分别交于M，N 两点，则
b
2
|OM |
2 −
a
2
|ON |
2 =
（ ）
A．ω
B．1
ω
C．−ω
D．−1
ω
题型五、面积型定值
典例探究
【5-1】已知O 为坐标原点，M 是椭圆C1: x
2
4 + y
2=1上的一个动点，点N 满足⃗
ON = ❑√3⃗OM，设点N 的轨迹为曲线C2．
(1)求曲线C2的方程．
(2)若点A，B，C，D 在椭圆C1上，且⃗CD =2⃗AB , AC与BD交于点P，点P 在C2上．
证明：△PCD的面积为定值．
【5-2】已知椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)经过点D(2,1)，且a=2b．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)椭圆C 的右顶点和上顶点分别为A，B，P 为椭圆C 上位于第三象限内的动点，直
线PA 与y 轴交于点M，直线PB 与x 轴交于点N，探究四边形ABNM 的面积是否为定值．
若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【5-3】已知F1, F2
为双曲线C ：x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点，点P(2❑√2,❑√5)在
双曲线上，过F2
的直线l交C的右支于A ,B两点，且|A F1)−|A F2)= 4．
设CD和MN是椭圆E: x
2
4 + y
2
3 =1的两条经过坐标原点O的弦，且直线CD和MN的斜
率之积为−3
4 ．
(1)求O D
2+O N
2的值；
(2)设T是线段DN的中点，求T的轨迹方程E1；
(3)设P是曲线E1上的动点，过P作E1的切线交E于A ,B两点．证明：△AOB的面积
是定值．（参考公式：椭圆x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)在其上一点(x0, y0)处的切线方程为
x0 x
a
2 + y0 y
b
2 =1
举一反三
(1)求C的方程；
(2)点A关于x轴对称点为D（异于点B），直线BD交x轴于点E，记△D F1 E，
△D F2 E的面积分别为S1,S2，求S1
S2
的值．
【6-1】已知椭圆C : x
2
4 + y
2
b
2 =1(0<b<2)的离心率e =
❑√3
2
，椭圆C与y轴正半轴的交点F是
抛物线D: x
2=2 py ( p>0)的焦点，过点F的直线l交抛物线D于A ,B两点，过点A ,B分别
作抛物线D的切线l1和l2，直线l1和l2相交于点M，则⃑FM ·⃑AB =
A．0
B．1
C．-1
D．不确定
【6-2】已知椭圆C：x
2
16 + y
2
8 =1，F1、F2分别为其左、右焦点，A1，A2分别为其长轴的左
右端点，动点M 满足MA2⊥A1A2，A1M 交椭圆于点P，则⃑OM ⋅⃑OP的值为（ ）
A．8
B．16
C．20
D．24
【6-3】已知抛物线x
2=2 py ( p>0)的准线为y =−1
2
，O 为坐标原点，A、B 都在此抛物线
题型六、数量积为定值
典例探究
【典型例题】已知A ,B是椭圆x
2
4 + y
2=1与x轴的交点，点P是椭圆上异于A ,B的任一点，
直线PA , PB分别于y轴交于点M , N，则⃑AN ⋅⃑BM =（ ）
A．−1
B．−2
C．−3
D．−4
举一反三
上，若直线AB过(0,2)，则⃗OA ⋅⃗OB =（ ）
A．4
B．8
C．0
D．−8
【7-1】已知椭圆x
2
8 + y
2
4 =1, F1为椭圆的左焦点，过点F1的直线l1分别交椭圆于A ,B两点，
设直线AB与y轴交于点M，⃗MA = λ⃗A F1
，⃗MB = μ⃗B F1
，试求λ+ μ的值．
【7-2】设P为椭圆C : x
2
6 + y
2
2 =1上任一点，过焦点F1, F2的弦分别为PA , PB．设⃗
P F1= λ1⃗F1 A ,⃗P F2= λ2⃗F2B，求λ1+ λ2的值．
【7-3】已知双曲线C : x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的离心率为2，过点P(1,1)的直线l与C相交
于A ,B两点，且当l的斜率为0 时，|AB)= 2❑√39
3
．
(1)求C的方程；
题型七、系数型定值
典例探究
【典型例题】已知方向向量为⃗e =(1,❑√3)的直线l过点A (0,−2❑√3)和椭圆
C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的右焦点，且椭圆C的中心O和椭圆的右准线上的点B满足⃗
OB⋅⃗e =0，|⃗AB)=|⃗AO)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设E为椭圆C上任一点，过焦点F1, F2的弦分别为ES , ET．设⃗E F1= λ1⃗F1S，⃗
E F2= λ2⃗F2T，求λ1+ λ2的值．
举一反三
(2)是否存在l，使得A ,B两点关于直线y = x +2对称？若存在，求出l的方程；若不存
在，请说明理由；
(3)l与直线l
′:3 x−y −12=0交于点Q，设⃗QA = λ⃗AP ,⃗QB = μ⃗BP，问：λ+ μ是否为定
值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．
【突破提升训练・1】已知双曲线C：x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的渐近线方程为3 x ± 4 y =0
，且焦距为10，过双曲线C中心的直线与双曲线C交于M , N两点，在双曲线C上取一点P
（异于M , N），直线PM，PN的斜率分别为k1，k2，则k1k2等于（ ）
A．3
4
B．9
16
C．4
5
D．16
25
【突破提升训练・2】已知点P(−3,3)，过点M (3,0)作直线l 与抛物线y
2= 4 x相交于A，B
两点，设直线PA，PB 的斜率分别为k1，k2，则k1+k2=（ ）
A．−1
B．−2
C．2
D．无法确定
【突破提升训练・3】已知F 为抛物线C：y
2=2 px ( p>0)的焦点，O 为坐标原点，过点F
且斜率为1 的直线l 交抛物线C 于A、B 两点，则直线OA、OB 的斜率之和为（ ）
A．－2
B．－2P
C．－4
D．－4P
【突破提升训练・4】已知曲线C : y
4=a
2 x
2(a>0)与直线y =2 x + 4有3 个公共点，点
A 、B是曲线C上关于y轴对称的两动点（点A在第一象限），点M 、N是x轴上关于原
点对称的两定点（点M在x轴正半轴上），若|AB)−|AM )−|BN )为定值，则该定值为
（ ）
A．8
B．16
C．−8
D．−16
【突破提升训练・5】已知椭圆C : x
2
4 + y
2
b
2 =1(0<b<2)的离心率e =
❑√3
2
，椭圆C与y轴正半
题型精析・方法突破提能力
轴的交点F是抛物线D: x
2=2 py ( p>0)的焦点，过点F的直线l交抛物线D于A ,B两点，过
点A ,B分别作抛物线D的切线l1和l2，直线l1和l2相交于点M，则⃑FM ·⃑AB =
A．0
B．1
C．-1
D．不确定
【突破提升训练・6】已知椭圆C：x
2
16 + y
2
8 =1，F1、F2分别为其左、右焦点，A1，A2分别
为其长轴的左右端点，动点M 满足MA2⊥A1A2，A1M 交椭圆于点P，则⃑OM ⋅⃑OP的值为
（ ）
A．8
B．16
C．20
D．24
【突破提升训练・7】已知抛物线x
2=2 py ( p>0)的准线为y =−1
2
，O 为坐标原点，A、B
都在此抛物线上，若直线AB过(0,2)，则⃗OA ⋅⃗OB =（ ）
A．4
B．8
C．0
D．−8
【突破提升训练・8】已知抛物线C：x
2= 4 y，点M 为直线y =−1上一动点，过点M 作直
线MA，MB与抛物线C 分别切于点A，B，则⃑MA ⋅⃑MB =（ ）
A．0
B．1
C．-1
D．0 或1
【突破提升训练・9】已知椭圆C : x
2
4 + y
2
3 =1的左、右焦点分别为F1，F2，
P(x0, y0)(x0 y0≠0)为椭圆C上一动点，Q为△P F1 F2的内心，若直线OP和PQ的斜率分
别为k1
，k2
，其中O为坐标原点，则k1
k2
= .
【突破提升训练・10】已知椭圆x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1, F2, P为椭圆
上不与顶点重合的任一点，C为△P F1 F2的内心，O为坐标原点，则直线PC与OP的斜率
之比k PC
kOP
= ．（用a,b表示）
【突破提升训练・11】已知椭圆x
2
2 + y
2=1的上下顶点分别为B1,B2
，过点A(0, 1
2)
的直线
交椭圆于M , N两点，记k B1 M =k1,k B2 N =k2，则k2
k1
= .
【突破提升训练・12】已知椭圆C：x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的离心率为❑√2
2
，且C过点
(2,❑√2).
(1)求C的方程；
(2)直线l：y =k (x−1)(k >0)与C交于A，B 两点，过C上的点P（与A，B 不重合且不
在坐标轴上）作x轴的平行线交线段AB于点Q（与A，B 不重合），直线OP的斜率为k
′（
O为坐标原点），△APQ的面积为S1
，△BPQ的面积为S2
，若|AP)⋅S2=|BP)⋅S1
，直线
AP，BP的斜率都存在，分别记为k AP，k BP.
（i）求证：k AP+ k BP=0；
（ii）判断k ⋅k
′是否为定值？并说明理由.
【突破提升训练・13】在平面直角坐标系xOy 中，已知点D 为双曲线E：
x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的右顶点，M (❑√2,❑√3)，N (2,−3)在双曲线E上.
(1)求双曲线E 的方程；
(2)过点G (−3,0)且斜率为k1的直线l 与双曲线E 的左支交于A，B 两点，△ABD的外
接圆的圆心为P，直线OP 的斜率为k2，证明：k1k2为定值.
【突破提升训练・14】已知椭圆E：x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)过点P(1, 3
2)
，其离心率为1
2
．
四边形ABCD的顶点均在椭圆E上，直线AB过E的左焦点F1，对角线AC，BD交点为椭
圆E的右焦点F2．
(1)求椭圆E的方程；
(2)若AB，CD的斜率存在且分别为k1
，k2
，求证：k1
k2
为定值；
(3)过点P作PH ⊥CD，垂足为H，求|PH )的最大值．
【突破提升训练・15】在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C : x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)
的左、右顶点分别为A1(−2,0), A2(2,0)，离心率为
❑√5
2
.
(1)求双曲线的方程；
(2)过点T (4,0)的直线l 与双曲线C 的右支交于M，N 两点．记直线A1 M，A2 N的斜
率分别为k1
，k2
，证明：k1
k2
是定值；
【突破提升训练・16】已知抛物线E: y
2=2 px ( p>0)经过点Q (4 ,−4)，过E的焦点F作斜
率为k1的直线l，与E交于A ,B两点（A在第一象限），过点P(3,0)作直线AP ,BP分别与
E交于另外两点C , D，设直线CD的斜率为k2.
(1)求E的方程；
(2)证明：k2
k1
为定值；
(3)过点D作两条相互垂直的直线DM , DN，分别与E交于另一点M , N（点M , N均
与A，C不重合），若直线AD与AB的斜率之积为−3，证明直线MN与AC相交于定点，
并求出定点的坐标.
【突破提升训练・17】已知抛物线C : y
2=8 x，焦点为F，准线为l，线段OF 的中点为G.
点P 是C 上在x 轴上方的一点，且点P 到l 的距离等于它到原点O 的距离.
(1)求P 点的坐标.
(2)过点Q (−1,0)作一条斜率为正数的直线l
′与抛物线C 从左向右依次交于A，B 两点，
求证：∠AGB =2∠AGP.
【突破提升训练・18】如图，椭圆的方程为x
2
a
2 + y
2=1，左、右焦点分别为
F1(−1,0), F2(1,0)．设A ,B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线A F1
与直线B F2
平行，
A F2与B F1交于点P．
(1)求椭圆的方程；
(2)求证：
1
|A F1)
+
1
|B F2)
是定值；
(3)求三角形P F1 F2的周长．
【突破提升训练・19】已知椭圆C：x
2
a
2 + y
2
b
2 =1 (a>b>0)的左焦点为F1(−1,0)，离心率为
1
2．
(1)求椭圆C的方程．
(2)如图，已知点M (0,m)，N (0,n)（其中m>0，n<0），满足以线段MN为直径的
圆过点F1(−1,0)，且交椭圆C的第一象限于点P．
①若m=2，求点P的纵坐标；
②若线段PN交x轴于点Q，求|PQ)
|QN )
的值．
【突破提升训练・20】如图，已知抛物线C ：y
2=2 px过点N (1,2)，过定点(2,0)的直线l
与曲线C交于A ,B两点，以AB为直径的圆M交x轴于P ,Q两点，O为原点，求证：
|OP)⋅|OQ)为定值．
【突破提升训练・21】已知双曲线C : x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的焦距为2❑√5，且双曲线的
焦点到渐近线的距离为a
2
4 b
.
(1)求双曲线C的方程；
(2)点P(x0, y0)是双曲线C右支上的动点，设直线l是双曲线C在点P处的切线，且l分
别交两条渐近线l1，l2于M、N两点，O为坐标原点，证明：△MON面积为定值，并求出
该定值.
【突破提升训练・22】已知双曲线C : x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的焦距为2❑√5，且双曲线C
右支上一动点P(x0, y0)到两条渐近线l1,l2的距离之积为4 b
2
5
．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)设直线l是曲线C在点P(x0, y0)处的切线，且l分别交两条渐近线l1,l2
于M ､N两点，
O为坐标原点，求△MON的面积．
【突破提升训练・23】过坐标原点O作圆C :( x +3)
2+ y
2=6的两条切线，切点为M，N，
直线MN恰为抛物线T : y
2=2 px( p>0)的准线.
(1)求T的方程；
(2)将抛物线T向左移4 个单位长度得到新抛物线Γ，抛物线Γ交y轴于A，B两点，E，
Q为抛物线上不重合的两点，AE交BQ于点Z.若直线EQ经过坐标原点，求证：△ABZ的
面积恒为定值.
【突破提升训练・24】已知抛物线Γ：y = x
2.
(1)若点P( x0, y0)为抛物线Γ上一点，证明：抛物线Γ在点P处的切线方程为
1
2 ( y0+ y)= x0 x；
(2)设E，F是抛物线Γ：y = x
2上两点，过点E，F分别作Γ的切线交于点C，点A，
B分别在线段EC，CF的延长线上，直线AB与抛物线Γ相切于点G.
（i）证明：| EC |
|CA | =|CF |
| FB| =| AB|
|BG|
；
（ii）记△EFG，△ABC的面积分别为S1
，S2
，求S1
S2
的值.
【突破提升训练・25】已知椭圆E：x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的焦点与双曲线2 x
2−2 y
2=1的
焦点重合，椭圆E的离心率为
❑√2
2
．
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点M (m,0)(m> 3
4)
作斜率不为0的直线l，交椭圆E于A ,B两点，点N(
5
4 ,0)
，
若⃗NA ⋅⃗NB为定值，求点M的坐标．
【突破提升训练・26】已知P是双曲线C : x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)上一动点，O为坐标原
点.设双曲线C在点P处的切线和两条渐近线的交点分别为A ,B.
(1)设P到两条渐近线的距离分别为d1,d2，求d1d2的值；
(2)证明：PA = PB；
(3)求⃗OA ⋅⃗OB的值.
【突破提升训练・27】已知双曲线C : x
2
2 −y
2=1，点M的坐标为(0,1)，过M的直线l交双
曲线C于点A ,B.
(1)若直线l又过C的左焦点F，求⃗OA ⋅⃗OB的值；
(2)若点P的坐标为(0,−2)，求证：⃗PA ⋅⃗PB为定值.
【突破提升训练・28】已知点F1
、F2
为双曲线C : x
2−y
2
b
2 =1(b>0)的左、右焦点，过F2
作垂直于x 轴的直线，在x 轴上方交双曲线C 于点M，且∠M F1 F2=30
°，圆O 的方程是
x
2+ y
2=b
2．
（1）求双曲线C 的方程；
（2）过双曲线C 上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P1、P2，
求证：⃑P P1⋅⃑P P2
为定值；
（3）若过圆O 上点Q(x0, y0)作圆O 的切线l 交双曲线C 于A、B 两点，求证：
OA ⊥OB．
【突破提升训练・29】在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线Γ: y
2= 4 x的焦点为F，直
线l1与Γ交于A ,B两点.
(1)若l1过F，另一条过F的直线l2与Γ交于D , E两点（A , D在x轴上方），直线
AE ,BD分别交直线x =1于R ,T两点，证明：F为RT的中点；
(2)若Γ上存在点C，使得⃗FA ⋅⃗BC =⃗FB⋅⃗AC =0，证明：⃗FA ⋅⃗FB为定值.
【突破提升训练・30】已知双曲线E: x
2
a
2 −y
2
b
2 =1 (a>0,b>0)的离心率为2，顶点到渐近
线的距离为
❑√3
2
．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)双曲线E 的左、右顶点分别为A1、A2，过点T (t ,0)(t >a)作斜率为k 的直线交双曲
线E 的右支于M、N 两点，直线A1 M、A2 N分别与直线l：x =t交于点P、Q，⃗TP = λ⃗TQ
，试探究λ的取值是否与k 有关？若有关，求与k 的关系式；若无关，求λ的值．
【突破提升训练・31】已知抛物线C : y
2=2 px经过点P(2,4)，过点Q (0,2)的直线l与抛物
线C有两个不同的交点A ,B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．
(1)求抛物线C的方程；
(2)①求直线l的斜率的取值范围；
②若O为原点，将上述P ,Q两点坐标改为P(
p
2 , p),Q(0, p
2)
，且满足⃗
QM = λ⃗QO ,⃗QN = μ⃗QO，其他条件不变，试探究1
λ + 1
μ是否为定值，并说明理由．
【突破提升训练・32】已知曲线C 上的任意一点到定点F (1,0)的距离与到定直线x =−1的
距离相等.P(1,2)，直线l过点Q (0,1)且与C 有两个不同的交点A(x1, y1)，B(x2, y2)，直线
PA，PB分别交y 轴于点M，N.
(1)求C 的方程；
(2)若直线AP，BP的斜率分别是k1，k2，且k1+ k2=0，求y1+ y2的值及l的斜率；
(3)设O为原点，若⃗QM = λ⃗QO ,⃗QN = μ⃗QO，判断1
λ + 1
μ
是否为定值?若是，求出该定
值；若不是，说明理由.
