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【五年高考真题分布(2020－2024)】
微专题 1 三角恒等变换
高考定位 1.三角函数的化简与求值是高考的命题热点，其中同角三角函数的基
本关系、诱导公式是解决计算问题的工具； 2.三角恒等变换是利用三角恒等式
(两角和与差、二倍角的正弦、余弦、正切公式)进行变换，“角”的变换是三角
恒等变换的核心； 3.以选择、填空题的形式出现或隐含于解答题中，难度一般
为中档偏下.
【真题体验】
1.(2021·全国乙卷)cos2－cos2＝( )
A.
B.
C.
D.
答案 D
解析 因为cos＝sin＝sin ，
所以cos2－cos2＝cos2－sin2＝cos＝cos ＝.故选D.
2.(2023·新高考Ⅱ卷)已知α 为锐角，cos α＝，则sin ＝( )
A.
B.
C.
D.
答案 D
解析 由题意，cos α＝＝1－2sin2，
得sin2＝＝＝，
又α 为锐角，
所以sin>0，
所以sin＝，故选D.
3.(2024·全国甲卷)已知＝，则tan＝( )
A.2＋1
B.2－1
C.
D.1－
答案 B
解析 根据题意有＝，
即1－tan α＝，所以tan α＝1－，
所以tan＝＝＝2－1.
4.(2024·新高考Ⅱ卷)已知α 为第一象限角，β 为第三象限角，tan α＋tan β＝4，
tan αtan β＝＋1，则sin(α＋β)＝________.
答案 －
解析 由题知tan(α＋β)＝＝＝－2，
即sin(α＋β)＝－2cos(α＋β)，
又sin2(α＋β)＋cos2(α＋β)＝1，
可得sin(α＋β)＝±.
由2kπ<α<2kπ＋，k∈Z，
2mπ＋π<β<2mπ＋，m∈Z，
得2(k＋m)π＋π<α＋β<2(k＋m)π＋2π，k＋m∈Z.
又tan(α＋β)<0，所以α＋β 是第四象限角，
故sin(α＋β)＝－.
【热点突破】
热点一 化简问题
例1 (1)(2024·宜昌联考)＝( )
A.
B.
C.
D.2
(2)(2024·西安模拟)等于( )
A.
B.
C.
D.1
答案 (1)C (2)C
解析 (1)＝＝＝.
(2)＝
＝
＝＝cos 30°＝.
规律方法 求解三角函数的化简问题常用以下原则：
一看角：通过看角之间的差别与联系，可把角进行合理转化；
二看函数名称：如果函数名称不同，那么可利用公式将函数名称进行转化，常见
的有“切化弦”；
三看结构特征：通过看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通
分”“遇到根式要升幂”等.
训练1 化简：(1)＝________；
(2)(tan 10°－)·＝________.
答案 (1)4sin α (2)－2
解析 (1)＝
＝＝4sin α.
(2)原式＝·
＝＝－2.
热点二 求值问题
例2 (1)(2024·衡阳模拟)已知cos＝，则sin 等于( )
A.－
B.
C.－
D.
(2)(2024·河南部分学校联考)若锐角α，β 满足sin(α－β)＝，cos＝，则cos＝
________.
答案 (1)D (2)
解析 (1)sin＝sin
＝－cos 2＝1－2cos2
＝1－2×＝.
(2)因为0<α<，0<β<，
则－<α－β<，<α＋<，
由sin(α－β)>0，cos>0
可得0<α－β<，<α＋<，
所以cos(α－β)＝＝，
sin＝＝，
所以cos＝cos＝coscos(α－β)＋sinsin(α－β)＝×＋×＝.
规律方法 求三角函数值的一般步骤
(1)化简条件式子或待求式子；
(2)观察条件与所求式子之间的联系，从函数名称及角入手；
(3)将已知条件代入所求式子，化简求值.
训练2 (1)(2024·新高考Ⅰ卷)已知cos(α＋β)＝m，tan αtan β＝2，则cos(α－β)＝(
)
A.－3m
B.－
C.
D.3m
(2)(2024·镇江调研)已知角θ 满足＋＋＝0，则cos 2θ 的值为( )
A.－
B.－
C.
D.
答案 (1)A (2)C
解析 (1)由cos(α＋β)＝m 得cos αcos β－sin αsin β＝m.①
由tan αtan β＝2 得＝2，②
由①②得
所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－3m.
(2)由＋＋
＝＋＋
＝＋＋
＝
＝
＝＝0，
则3sin2θ－4sin θ－4＝(3sin θ＋2)(sin θ－2)＝0，
则sin θ＝－或sin θ＝2，
由sin θ∈[－1，1]，故sin θ＝－，
则cos 2θ＝1－2sin2θ＝1－2×＝.
热点三 求角问题
例3 (1)(2024·九江模拟)已知α，β∈，cos(α－β)＝，tan α·tan β＝，
则α＋β＝( )
A.
B.
C.
D.
(2)已知α∈，且4cos α－tan ＝，则α＝________.
答案 (1)A (2)
解析 (1)因为cos(α－β)＝，tan α·tan β＝，
所以
解得
所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝，
又α，β∈，所以α＋β∈(0，π)，
所以α＋β＝.
(2)4cos α－tan＝4cos α－
＝4cos α－＝
＝＝，
所以2sin 2α＝sin α＋cos α＝2sin.
因为α∈，
所以2α∈，α＋∈，
则2α＝α＋或2α＋α＋＝π，
得α＝(舍去)或α＝.
规律方法 给值求角问题的解题策略
(1)求相关角的某一个三角函数值.
(2)由求得的三角函数值求角，如果根据求得的函数值无法唯一确定角的大小，
应根据已知角的范围和已知角的三角函数值把所求角的大小作相对精确的估计，
以排除多余的解.
训练3 (1)(2024·长春摸底)若α，β∈，且(1－cos 2α)(1＋sin β)＝sin 2αcos β，则
下列结论正确的是( )
A.2α＋β＝
B.2α－β＝
C.α＋β＝
D.α－β＝
(2)(2024· 重庆调研) 若<β<π<α< ，且cos(α ＋β) ＝－，sin 2β ＝，则α －β ＝
________.
答案 (1)A (2)
解析 (1)因为α，β∈，所以sin α≠0.
由(1－cos 2α)(1＋sin β)＝sin 2αcos β，
可得2sin2α(1＋sin β)＝2sin αcos αcos β，
即sin α(1＋sin β)＝cos αcos β.
所以sin α＝cos αcos β－sin αsin β＝cos(α＋β)，
所以cos(α＋β)＝cos，
因为α，β∈，所以π<α＋β<2π，
且－<－α<0，
根据函数y＝cos x 的图象易知α＋β＝－α＋2π，
则2α＋β＝.
(2)因为<β<π，所以<2β<2π.
sin 2β＝>0，所以<2β<π，
所以<β<，
所以－<－β<－.
因为π<α<，
所以<α－β<，<α＋β<2π.
因为<2β<π，sin 2β＝，
所以cos 2β＝－.
因为cos(α＋β)＝－，
所以sin(α＋β)＝－.
所以sin(α－β)＝sin[(α＋β)－2β]
＝sin(α＋β)cos 2β－cos(α＋β)sin 2β
＝－×－×＝，
所以α－β＝.
【精准强化练】
一、单选题
1.已知角α 的顶点为原点O，始边与x 轴非负半轴重合，终边过点(1＋tan 15°，
1－tan 15°)，则tan α 的值为( )
A.
B.－
C.－
D.
答案 D
解析 tan α＝＝＝tan(45°－15°)＝tan 30°＝.
2.(2024·烟台模拟)若cos＝，则sin 2α＝( )
A.－
B.
C.－
D.
答案 C
解析 由cos＝可得
cos＝2cos2－1＝－，
故cos＝sin 2α＝－，故选C.
3.(2024·葫芦岛质检)已知α∈，sin 2α＝cos，则cos 2α＝( )
A.0
B.
C.
D.－
答案 A
解析 因为α∈，所以2α∈(0，π)，
所以sin 2α>0.
由sin 2α＝cos 化简得sin 2α＝sin α＋cos α，
两边同时平方得2sin22α＝1＋sin 2α，
即2sin22α－sin 2α－1＝0，
解得sin 2α＝1(负根舍去)，
又sin22α＋cos22α＝1，所以cos 2α＝0.
故选A.
4.(2024·宁波调研)已知cos＋cos＝，则cos＝( )
A.－
B.
C.－
D.
答案 C
解析 因为cos＋cos＝，
所以cos－sin＝.
两边平方得1－sin＝，
则sin＝，
故cos＝cos
＝－sin＝－.故选C.
5.sin 20°(＋tan 50°)＝( )
A.
B.2
C.
D.1
答案 D
解析 原式＝
＝
＝
＝＝＝1.
6.计算：·＝( )
A.－
B.－
C.
D.
答案 C
解析 因为
＝
＝
＝
＝＝，
所以原式＝.
7.(2024·毕节模拟)若θ∈，且tan θ＝－，则cos ＝( )
A.
B.
C.±
D.±
答案 B
解析 因为θ∈，且tan θ＝－，
所以θ∈，
又
解得cos θ＝或cos θ＝－(舍去)，
又cos θ＝2cos2－1＝，
解得cos ＝或cos ＝－，
又θ∈，所以∈，
所以cos >0，
所以cos ＝.
8.若cos α＝，sin(α＋β)＝，0<α<，0<β<，则角β 的值为( )
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 ∵0<α<，0<β<，∴0<α＋β<π.
由得
若cos(α＋β)＝，
则sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α
＝×－×<0，
与sin β>0 矛盾，故舍去；
若cos(α＋β)＝－，
则cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α
＝－×＋×＝.
又∵β∈，∴β＝.
二、多选题
9.(2024·广东名校调研)若α 为第一象限角，cos＝，则( )
A.sin＝－
B.cos＝－
C.sin＝－
D.tan＝－2
答案 BD
解析 由题意得2kπ<α<＋2kπ，k∈Z，
则2kπ－<α－<＋2kπ，k∈Z.
若角α－是第四象限角，
则cos>cos ＝>，
所以α－是第一象限角，
且sin＝.
对于A，sin＝sin
＝cos＝cos＝，故A 错误；
对于B，cos＝cos
＝－cos＝－，故B 正确；
对于C，sin＝sin
＝－cos＝－cos＝－，
故C 错误；
对于D，tan＝－tan
＝－＝－2，故D 正确.
10.(2024·温州二模)已知角α 的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，
P(－3，4)为其终边上一点，若角β 的终边与角2α 的终边关于直线y＝－x 对称，
则( )
A.cos(π＋α)＝
B.β＝2kπ＋＋2α(k∈Z)
C.tan β＝
D.角β 的终边在第一象限
答案 ACD
解析 因为角α 的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，
终边经过点P(－3，4)，所以|OP|＝5，
所以sin α＝，cos α＝－，
所以cos(π＋α)＝－cos α＝，故A 正确；
又sin 2α＝2sin α·cos α＝2××＝－，
cos 2α＝cos2α－sin2α＝－＝－，
所以2α 的终边与单位圆的交点坐标为，
因为角β 的终边与角2α 的终边关于直线y＝－x 对称，
所以角β 的终边与单位圆的交点为，
所以tan β＝，且β 的终边在第一象限，故C，D 正确；
又因为终边在直线y＝－x 的角为kπ－，k∈Z，
角2α 的终边与角β 的终边关于y＝－x 对称，
所以＝kπ－⇒β＝2kπ－－2α(k∈Z)，故B 错误.
11.(2024·南京、盐城模拟)已知f(θ)＝cos 4θ＋cos 3θ，且θ1，θ2，θ3是f(θ)在(0，π)
内的三个不同零点，则( )
A.∈{θ1，θ2，θ3}
B.θ1＋θ2＋θ3＝π
C.cos θ1cos θ2cos θ3＝－
D.cos θ1＋cos θ2＋cos θ3＝
答案 ACD
解析 对于A，B，由f(θ)＝0 得cos 4θ＝－cos 3θ＝cos(π－3θ)，
∴4θ＝2kπ±(π－3θ)，k∈Z，
得θ＝π，k∈Z 或θ＝2kπ－π，k∈Z.
∵θ∈(0，π)，∴θ＝或或，
故A 正确，B 错误.
cos θ1cos θ2cos θ3＝cos cos cos
＝cos cos cos
＝
＝＝
＝＝－，故C 正确.
cos θ1＋cos θ2＋cos θ3＝cos ＋cos ＋cos
＝
＝
＝＝，故D 正确.
三、填空题
12.(2024·池州模拟)已知sin β＋cos β＝，β∈(0，π)，则tan＝________.
答案 －
解析 因为sin β＋cos β＝，β∈(0，π)，
故sin2β＋cos2β＋2sin βcos β＝，
故2sin βcos β＝－<0，
而β∈(0，π)，故β∈，
故sin β>0，cos β<0，
而(sin β－cos β)2＝，
故sin β－cos β＝，
所以sin β＝，cos β＝－，
故tan β＝－，
故tan ＝＝－.
13.(2024·昆明诊断)已知α，β∈(0，π)，且tan α ＝，cos β＝－，则α＋β＝
________.
答案
解析 因为α，β∈(0，π)，且tan α＝，
cos β＝－，
所以α 为锐角，β 为钝角，
故sin β>0，sin β＝＝，
tan β＝＝－3.
由α∈，β∈，得α＋β∈.
又tan(α＋β)＝＝＝－1，
所以α＋β＝.
14.(2024·邯郸四调)正五角星是一个非常优美的几何图形，其与黄金分割有着密
切的联系，在如图所示的五角星中，以A，B，C，D，E 为顶点的多边形为正多
边形，设∠CAD＝α，则cos α＋cos 2α＋cos 3α＋cos 4α＝________，
cos αcos 2αcos 3αcos 4α＝________.
答案 0
解析 正五角星可分割成5 个三角形和1 个正五边形，
五个三角形各自角度之和180°，正五边形的内角和180°×(5－2)＝180°×3＝
540°；
每个角为＝108°，
三角形是等腰三角形，底角是五边形的外角，
即底角为180°－108°＝72°，
三角形内角和为180°，那么三角形顶角，
即五角星尖角180°－72°×2＝36°，
即∠CAD＝α＝36°.
cos α＋cos 2α＋cos 3α＋cos 4α＝cos 36°＋cos 72°＋cos 108°＋cos 144°
＝cos 36°＋cos 72°＋cos(180°－72°)＋cos(180°－36°)
＝cos 36°＋cos 72°－cos 72°－cos 36°＝0；
cos αcos 2αcos 3αcos 4α
＝cos 36°cos 72°cos 108°cos 144°
＝(cos 36°cos 72°)2
因为cos 36°·cos 72°＝
＝＝＝，
所以cos αcos 2αcos 3αcos 4α＝.
