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重难点专训04 三角函数及解三角形中的新定义问题
解题方法及技巧提炼............................................................................................................................1
题型通法及变式提升............................................................................................................................2
题型一：n 倍角公式.............................................................................................................................................2
题型二：双曲正余弦函数....................................................................................................................................3
题型三：托勒密定理............................................................................................................................................5
题型四：费马问题................................................................................................................................................6
题型五：布洛卡点问题........................................................................................................................................7
题型六：勒洛三角形、拿破仑三角形................................................................................................................9
题型七：定义新概念..........................................................................................................................................10
题型八：定义新运算..........................................................................................................................................12
题型九：定义新性质..........................................................................................................................................13
重难专题分层过关练..........................................................................................................................15
巩固过关...............................................................................................................................................................15
创新提升...............................................................................................................................................................17
1、解答新定义型创新题的基本思路是：
（1）正确理解新定义；
（2）根据新定义建立关系式；
（3）结合所学的知识、经验将问题转化为熟悉的问题；
（4）运用所学的公式、定理、性质等合理进行推理、运算，求得结果．
2、解决三角函数及解三角形新定义问题
首先，精准拆解新定义内涵。仔细研读题干，明确新定义的构成要素，如是否涉及三角函数变形、三
角形边角关系的新规则（如自定义 “类正弦定理”等），标注关键限制条件（如定义域、特殊角范围），
避免因理解偏差导致解题失误。
其次，转化为熟悉模型。将新定义与已知知识关联：若含三角函数运算，转化为同角三角函数关系、
诱导公式或恒等变换形式；若涉及解三角形，对接正弦定理、余弦定理、面积公式，或构造辅助线转化为
特殊三角形（如直角、等腰三角形）。
最后，规范运算与验证。根据转化后的模型代入数据，结合新定义规则计算，利用三角函数值域、三
角形边角不等关系（如两边之和大于第三边）验证结果合理性，确保符合定义隐含条件。
题型一：n 倍角公式
典例1-1．由倍角公式
，可知
可以表示为
的二次多项式，对于
，我们
有
，可见
也可以表示为
的三次多项式.一般地，存在一个
次多项式
，使得
，这些
多项式
称为切比雪夫
多项式.（提示：
）如图，在等腰
中，已知
，
，且
的外接圆半径
，结合上述知识，可得
（ ）
A．
B．
C．
D．
典例1-2．某数学学习小组研究得到了以下的三倍角公式：
①
；②
根据以上研究结论，回答：
(1)在①和②中任选一个进行证明：
(2)求值：
.
变式1-1．著名数学家华罗庚先生被誉为“中国现代数学之父”，他倡导的“0.618 优选法”在生产和科研
实践中得到了非常广泛的应用．黄金分割比
，现给出三倍角公式
和二倍角角公式
，则t 与
的关系式正确的为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式1-2．中国数学家华罗庚倡导的“0.618 优选法”在各个领域应用广泛，0.618 就是黄金分割比的近似值，
这一数也可以表示为2sin18°.三倍角公式是把形如
等三角函数用单倍角三角函数表示的恒等式
广泛应用于数学、物理、天文等学科.
(1)已知
，试证明此三倍角公式；
(2)若角
满足
，求
的值；
(3)试用三倍角公式并结合三角函数相关知识，求出黄金分割值
题型二：双曲正余弦函数
典例2-1．在平面直角坐标系
中，已知任意角
以坐标原点为顶点，
轴的非负半轴为始边，若终边经
过点
，且
，定义
，称“
正余弦函数”，对于“正余弦函数
”，有同学得到以下性质：
①该函数的值域为
；②该函数为奇函数；
③该函数在
时取到最大或最小值；④该函数为周期函数，且最小正周期为
．
其中正确的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
典例2-2．固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691 年，莱布尼茨等人得出“悬
链线”方程
，其中为参数.当
时，就是双曲余弦函数
，类似的，我
们可以定义双曲正弦函数
，它们与正、余弦函数有许多类似性质.
(1)判断双曲余弦函数的奇偶性和单调性（直接写结论，不用证明）；
(2)（i） 证明
；
（ii）类比正弦函数和余弦函数的和（差）角公式，写出双曲正弦或双曲余弦函数的一个类似结论并给出
证明；
(3)是否存在实数
，使得函数
在
上的最大值为
?若存在，求出
的值；若不
存在，说明理由.
变式2-1．固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线，1691 年，莱布尼茨等得出“悬
链线”方程
，其中为参数．当
时，就是双曲余弦函数
，类似的我
们可以定义双曲正弦函数
．它们与正、余弦函数有许多类似的性质.
(1)求证：
；
(2)对
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围；
(3)若
，试比较
与
的大小关系，并证明你的结论.
变式2-2．固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691 年，莱布尼茨等得出“悬链
线”方程
，其中为参数.当
时，就是双曲余弦函数
，类似的我们可以
定义双曲正弦函数
.它们与正，余弦函数有许多类似的性质.
(1)已知
，求
；
(2)类比正弦函数，余弦函数的二倍角公式，请写出双曲正弦函数（或双曲余弦函数）的一个正确的结论
（即求
或
）并证明；
(3)已知
，对任意的
和任意的
，都有
恒成立，
求
的取值范围.
题型三：托勒密定理
典例3-1．古希腊数学家托勒密在他的名著《数学汇编》里给出了托勒密定理，即圆的内接凸四边形的两
对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.已知
为圆的内接四边形ABCD 的两条对角线，
，
，则
面积的最大值为（ ）.
A．
B．
C．
D．
典例3-2．克罗狄斯、托勒密(ptolemy)所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：
任意平面凸四边形(所有内角都小于180°的四边形)中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，
当且仅当对角互补时取等号．已知圆O 是凸四边形ABCD 的外接圆，其中
．
(1)若圆O 的半径为r，且
，
(ⅰ)求
的大小；
(ⅱ)求
的取值范围(用r 表示)．
(2)若
，求线段BD 长度的最大值．
变式3-1．托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名的，该定理指出：
圆的内接凸四边形两组对边乘积的和等于两条对角线的乘积．如图，已知四边形
的四个顶点在同一
个圆的圆周上，
，
是两条对角线，
，且
为正三角形，则四边形
的面积为
．
变式3-2．如图，半圆
的直径为
，
为直径延长线上的点，
，
为半圆上任意一点，以
为一边作等边三角形
.设
.
(1)问：
在什么位置时，四边形
的面积最大，并求出面积的最大值.
(2)克罗狄斯·托勒密（Ptolemy）所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸
四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，根据以上材料，
则当线段
的长取最大值时，求
.
(3)求
面积的最大值.
题型四：费马问题
典例4-1．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题该问题是：“在一个三角形内
求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”意大利数学家托里拆利给出了解答，当
的
三个内角均小于
时，使得
的点O 即为费马点；当
有一个内角大
于或等于
时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知
分别是
三个
内角
的对边，且
，点P 为
的费马点，若
，
则
，
的最大值为 ．
典例4-2．著名的费马问题是法国数学家皮埃尔•德•费马（1601-1665）于1643 年提出了三角形中的“费马
点”，即“对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当
的三个内角均小于
时，则使得
的点
即为费马点”.在
中，
是
的费
马点，则
的长度为 .
变式4-1．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出的一个问题．当
的三个内角均小于
时，
若其内部的点P 满足
，则称P 为
的费马点；当
有一个内角大于
或等于
时，最大内角的顶点为费马点．已知
的内角
所对的边分别为
，若
，
设P 为
的费马点，
，则实数的最小值为 ．
变式4-2．正等角中心亦称费马点，是三角形的巧合点之一．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提
出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最
小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当
中的三个内角均小于
时，使得
的点O 即为费马点；当
有一个内角大于或等于
时，最大内角的
顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知
的内角
所对的边分别为
，若
．
(1)求A；
(2)若
，求
的面积；
(3)设点P 为
的费马点，求
．
题型五：布洛卡点问题
典例5-1．（多选）三角形的布洛卡点是法国数学家克洛尔于1816 年首次发现，当
内一点
满足条
件：
时，则称点
为
的布洛卡点，角
为布洛卡角.如图，在
中，
角
所对的边分别为
，记
的面积为，点
是
的布洛卡点，布洛卡角为
，则
（ ）
A．当
时，
B．当
且
时，
C．当
时，
D．当
时，
典例5-2．布洛卡点是三角形内部的一特殊的点，由法国数学家亨利·布洛卡于19 世纪提出，它通过等角条
件联系三角形边与顶点，其角度和位置揭示了三角形的对称性与比例特性，是经典几何学中兼具美学与实
用价值的点．其定义如下：设P 是
内一点，若
，则称点P 为△ABC 的布
洛卡点，角θ 为△ABC 的布洛卡角．如图，在△ABC 中，记它的三个内角分别为A，B，C，其对边分别为
a，b，c，△ABC 的面积为S，点P 为△ABC 的布洛卡点，其布洛卡角为θ，请完成以下各题：
(1)若
，且
，求A 和
；
(2)若
求
的值．
变式5-1．若
内一点P 满足
，则称点P 为
的布洛卡点，
为
的布洛卡角.在等腰
中，
，若布洛卡点P 满足
，记布洛卡角为
，则
，
.
变式5-2．将函数
的图象向左平移
个单位，再将其纵坐标不变，横坐标
变为原来的2 倍得到
的图象．
(1)设
，
，当
时，求
的值域；
(2)在
中，
，
，分别是角
，
，
所对的三条边且
．在
内一点
满足条件
，称
为
的布洛卡点，若
．
求证：
①
（
为
的面积）；
②若
，求
的周长
题型六：勒洛三角形、拿破仑三角形
典例6-1．勒洛三角形是一种定宽曲线，它是德国机械工程专家勒洛首先进行研究的，其画法是：先画一
个正三角形，再以正三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲
边三角形就是勒洛三角形，如图所示，若正三角形
的边长为2，则勒洛三角形的面积为
（ ）
A．
B．
C．
D．
典例6-2．拿破仑是法国伟大的军事家､政治家，对数学也很有兴趣，他发现并证明了著名的拿破仑定理：
“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的中心恰为另一个等边三角
形的顶点”.在
中，以
为边向外构造的三个等边三角
它们的中心依次为
.若
，则
的面积为 .
变式6-1．已知在任意一个三角形的三边上分别向外作出一个等边三角形，则这三个等边三角形的中心也
构成等边三角形，我们称由这三个中心构成的三角形为外拿破仑三角形.在锐角
中，角
，
，
所
对的边分别为
，
，，且
，以
的边
，
，
分别向外作的三个等边三角形的中心
分别记为
，
，
，记
为
的外接圆半径.
(1)若
，求
的值；
(2)在（1）的条件下，求
边长的最大值；
(3)若
的面积为
，且
，求
面积的取值范围.
变式6-2．以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边
三角形就是勒洛三角形.如图，已知某勒洛三角形的一段弧
的长度为
，则该勒洛三角形的面积是
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型七：定义新概念
典例7-1．如图所示，在平面直角坐标系中，
的终边
与正方形
交于点
，我们定义
的类余弦值
，类正弦值
.则下面叙述正确的是（ ）
A．对任意的
B．对任意的
C．
在区间
上单调递增
D．对任意的
典例7-2．人脸识别技术在社会各行各业中的应用深刻改变着人们的生活.所谓人脸识别，就是利用计算机
分析人脸视频或者图像、并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份.在人脸识别中，为了检测样
本之间的相似度主要运用余弦距离进行测试.二维空间有两个点
，
，定义
之间的余弦
距离为
，其中
.
(1)若
，
，求
之间的余弦距离；
(2)已知
，
，
，
，若
，
，
①求
之间的余弦距离；
②求
的值．
变式7-1．（多选）定义：一个连续函数
在区间C 上，对于任意
，有
，且对于任意常数
，
和
在区间C 内的条件下，
在区间C
内的
和
上函数恒不存在单调性；若在一个区间内有k 段（连续的）满足这样条件的区间，
则称在这个区间内有k 个“绝对变值区间”.若函数
在区间
内存在5 个“绝对变
值区间”，则
的可能取值为（ ）.
A．
B．
C．
D．
变式7-2．定义：非零向量
的“特征三角函数”为
，向量
称为函数
的“特征向量”.
(1)若
，求
的“特征向量”
的坐标；
(2)设向量
的“特征三角函数”为
，若关于x 的方程
在
上有两个不同的实根，
求k 的取值范围；
(3)设向量
的“特征三角函数”为
，若函数
的最小值不小于
，求a 的取
值范围.
题型八：定义新运算
典例8-1．设
，定义运算
，则函数
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
典例8-2．已知圆O 是单位圆，点P 在
上，过点
，
的切线与OP 于点T，S．设
，
定义：
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
变式8-1．定义运算：
，将函数
的图像向左平移
个单位，所得图
像对应的函数为偶函数，则
的可能取值是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式8-2．对于集合
和常数
，定义：
为
集合
相对于
的“正弦方差”．
(1)若集合
，
，求集合
相对于
的“正弦方差”；
(2)若集合
，写出一个
的值，使得集合
相对于任何常数
的“正弦方差”是一个常数，
求出这个常数，并说明理由；
(3)若集合
，相对于任何常数
的“正弦方差”是一个常数，求出
，
的值．
题型九：定义新性质
典例9-1．定义域为
的函数
满足：对任意
，都有
，则称
具有性质
.
(1)分别判断以下两个函数是否具有性质
：
和
；
(2)函数
，判断是否存在实数
，
，使
具有性质
？若存在，
求出
，
的值；若不存在，请说明理由；
(3)在（2）结论下，若方程
（
为常数）在区间
上恰有三个实数根
，
，
，求
的值.
变式9-1．已知非常数函数
的定义域为
，如果存在正数
，使得
，都有
恒成
立，则称函数
具有性质
．
(1)判断下列函数是否具有性质
？并说明理由；
①
；②
．
(2)若函数
具有性质
，求
的最小值；
变式9-2．对于函数
，
，如果存在一组正常数
，
，…，
，（其中k 为正整数），满足
使得当x 取任意实数时，有
，则称函数
具有“性质
”.
(1)求证：函数
同时具有“性质
”和“性质
”；
(2)设函数
，其中b，c，d 是不全为0 的实数且存在
，使得
，证明：存在
，使得
.
变式9-2．在平面直角坐标系
中，已知任意角
以坐标原点
为顶点，
轴的非负半轴为始边，若终边
经过点
，且
，定义：
，称“
”为“正余弦函数”，对于“正余弦
函数
”，有同学得到以下性质：
①该函数的值域为
； ②该函数的图象关于原点对称；
③该函数的图象关于直线
对称； ④该函数为周期函数，且最小正周期为
；
⑤该函数的递增区间为
.
其中正确的是 ．（填上所有正确性质的序号）
巩固过关
1．点
将一条线段
分为两段
和
，若
，则称点
为线段
的黄金分割点.
已知直线
与函数
的图象相交，
为相邻的三个交点，则（ ）
A．当
时，存在
使点
为线段
的黄金分割点
B．对于给定的常数
，不存在
使点
为线段
的黄金分割点
C．对于任意的
，存在
使点
为线段
的黄金分割点
D．对于任意的
，存在
使点
为线段
的黄金分割点
2．高斯被誉为历史上最伟大的数学家之一，高斯函数
也被广泛应用于生活，生产的各个领域，
其中
表示不超过x 的最大整数，如：
，
.若函数
，则
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．对集合
和常数
，把
定义为集合
相对于
的“正弦方差"，则集合
相对于
的“正弦方差”为（ ）
A．
B．
C．
D．与
有关的值
4．（多选）出生在美索不达米亚的天文学家阿尔·巴塔尼大约公元920 左右给出了一个关于垂直高度为h
的日晷及其投影长度s 的公式：
，即等价于现在的
，我们称
为余切函
数，余切函数与正切函数关系密切.已知函数
，则（ ）
A．
的定义域为
B．
图象的对称中心为
C．
的单调递减区间为
D．
与
的图象关于直线
对称
5．著名数学家傅立叶认为所有的乐声都能用一些形如
的正弦型函数之和来描述，其中频率最低
的一项是基本音，其余的为泛音．研究表明，所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍，称为基本音的谐
波．若对应于
的泛音是对应于
的基本音的一个谐波，则正整数
的所有可能取值之和为
6．定义：余割
.已知
为正实数，且
对任意的实数
,
均
成立，则
的取值范围为 ．
7．古希腊数学家托勒密对三角学的发展做出了重要贡献，托勒密把圆的半径60 等分，用圆的半径长的
作为单位来度量弦长.将圆心角
所对的弦长记为
.如图，在圆
中，
的圆心角所对的弦长恰好等
于圆
的半径，因此
的圆心角所对的弦长为60 个单位，即
.若
为圆心角，
，则
.
8．已知
为坐标原点，对于函数
，称向量
为函数
的伴随向量，同时
称函数
为向量
的伴随函数．若函数
的伴随向量为
，
，
，若实数
，
，
使得
对任意实数
恒成立，则
的值为 ．
9．定义非零向量
的“相伴函数”为
，向量
称为函数
的“相伴向量”（其中
为坐标原点）．记平面内所有向量的“相伴函数”构
成的集合为．
(1)设
，试求函数
的相伴向量
；
(2)记向量
的相伴函数为
，求当
且
时，
的值；
(3)已知点
满足：
，向量
的“相伴函数”
在
处取得最大值，求
的
取值范围．
10．若定义域为
的函数
满足对于任意的
，
恒成立，则称
为“线
性对称函数”.
(1)判断函数
，
是否为“线性对称函数”.
(2)若
是“线性对称函数”，证明：
.
(3)已知函数
，判断是否存在
，
，使得
是“线性对称函数”.
若存在，求出
，
的值，若不存在，说明理由.
创新提升
1．定义：函数
为向量
的“跟随函数”，向量
为函数
的“原向量”．
(1)设函数
，
的“原向量”分别为
，
，若
，
的夹角为锐角，
求实数的取值范围．
(2)已知
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，其中
，AD 平分∠BAC 并与BC 交于点D，向
量
的“跟随函数”为
，且
．
（ⅰ）若
，求AD 的长；
（ⅱ）求AD 长度的取值范围．
2．布洛卡点是三角形内部的一特殊的点，由法国数学家亨利·布洛卡于19 世纪提出，它通过等角条件联系
三角形边与顶点，其角度和位置揭示了三角形的对称性与比例特性，是经典几何学中兼具美学与实用价值
的点.其定义如下：设
是
内一点，若
，则称点
为
的布洛卡点，
角
为
的布洛卡角.如图，在
中，记它的三个内角分别为A，B，C，其对边分别为
的面积为，点
为
的布洛卡点，其布洛卡角为
，请完成以下各题：
(1)若
，求
；
(2)已知
，
①若
，求
的值；
②若
，求S.
3．对于集合
和常数
，定义：
为集合A
相对的
的“余弦方差”.
(1)若集合
，
，求集合A 相对
的“余弦方差”；
(2)判断集合
相对任何常数
的“余弦方差”是否为一个与
无关的定值，并说明理由；
(3)若集合
，
，
，相对任何常数
的“余弦方差”是一个与
无关的定值，
求出
.
