专题4.1 同角三角函数关系式、诱导公式与三角恒等变换【八大题
型】
【新高考专用】
【题型1 正、余弦齐次式的计算】..........................................................................................................................2
【题型2 “和”“积”转换】..................................................................................................................................4
【题型3 诱导公式的应用——化简、求值】.........................................................................................................5
【题型4 同角关系式与诱导公式的综合应用】.....................................................................................................7
【题型5 三角恒等变换的化简问题】......................................................................................................................8
【题型6 三角恒等变换——给值求值型问题】.....................................................................................................9
【题型7 三角恒等变换——给值求角型问题】....................................................................................................11
【题型8 三角恒等变换的综合应用】....................................................................................................................13
1、同角三角函数关系式、诱导公式与三角恒等变换
同角三角函数关系式、诱导公式与三角恒等变换是三角函数化简求值的基础，是高考数学的必考内容
之一.从近几年的高考情况来看，主要考察“弦切互化”、三角函数的化简求值等内容，一般以选择题、
填空题的形式出现，试题难度中等或偏下；但在有关三角函数的解答题中有时也会涉及到三角恒等变换、
合并化简，此时试题难度中等.
【知识点1 同角三角函数关系式的常用结论】
1.同角三角函数关系式的常用变形
2.同角三角函数关系式的注意事项
在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.
【知识点2 诱导公式及其应用】
1.诱导公式的记忆口诀
“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.
2.诱导公式的两个应用
(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.
(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了.
3.含2π 整数倍的诱导公式的应用
由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π 的整数倍的三角函数式中可直接将2π 的整数倍去掉后再
进行运算.
4.同角三角函数关系式和诱导公式化简、求值的解题策略
利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式
进行变形.要善于观察所给角之间的关系，利用整体代换的思想简化解题过程；同时要注意角的范围对三
角函数值符号的影响.
【知识点3 三角恒等变换几类问题的解题策略】
1.给值求值问题的解题思路
给值求值问题一般是将待求式子化简整理，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求
出相应角的三角函数值，代入即可.
2.给角求值问题的解题思路
给角求值问题一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角
之间总有一定的关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除特殊角三角函数
而得解.
3.给值求角问题的解题思路
给值求角问题一般先求角的某一三角函数值，再求角的范围，最后确定角.
4.三角恒等变换的综合应用的解题策略
三角恒等变换的综合应用的求解策略主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化
为f(x)=Asin(ωx+φ)+b 的形式再研究其性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征，注意利用整体思想
解决相关问题.
【题型1 正、余弦齐次式的计算】
【例1】（2023 上·江苏苏州·高一校考阶段练习）已知1-2sinα cosα
cos
2α -sin
2α
= 1
3，则tanα =（ ）
A．1
3
B．1
2
C．1
3
或1
D．1
2
或1
【变式1-1】（2023·四川成都·统考一模）已知α ∈(0,π)，且sin α -√3cosα =2，则tan α =（ ）
A．-√3
B．- √3
3
C．√3
3
D．√3
【变式1-2】（2023 下·江西萍乡·高一统考期中）已知tanθ =2，则cosθ -2sinθ
cosθ+sinθ =（ ）
A．0
B．- 5
3
C．-1
D．1
3
【变式1-3】（2023·四川·校联考模拟预测）已知角α的顶点为原点，始边为x轴的非负半轴，若其终边经
过点P(-2,√5)，则sin2α
cos
2α +1
=（ ）
A．- 7√5
2
B．- 4√5
13
C．- 13√5
4
D．- 2√5
7
【题型2 “和”“积”转换】
【例2】（2023 下·贵州遵义·高二校考阶段练习）已知sin α -cosα = 1
3
，则sin α cosα =（ ）
A．- 8
9
B．2
3
C．4
9
D．√17
9
【变式2-1】（2023·全国·高一专题练习）已知sin α cosα =- 1
6 , π
4 <α < 3 π
4
，则sin α -cosα的值等于
（ ）
A．2√3
3
B．- 2√3
3
C．- √6
3
D．4
3
【变式2-2】（2023·山西·校联考模拟预测）已知sinα -cosα = 1
5 ,α ∈(-π
2 ,π
2 )，则sinα cosα
sinα +cosα =
（ ）
A．- 12
5
B．12
5
C．- 12
35
D．12
35
【变式2-3】（2023·上海宝山·统考一模）设sin α +cosα = x，且sin
3α +cos
3α =a3 x
3+a2 x
2+a1 x +a0
，
则a0+a1+a2+a3=（ ）
A．－1
B．1
2
C．1
D．√2
【题型3 诱导公式的应用——化简、求值】
【例3】（2023 上·河北石家庄·高三石家庄市第二十七中学校考阶段练习）已知α ∈(
π
2 ,π)，若
cos(
π
6 -α)=- √2
4 ，则cos(α + 5π
6 )的值为（ ）
A．√2
4
B．- √2
4
C．- √14
4
D．√14
4
【变式3-1】（2023 上·全国·高一期末）已知sin(
π
6 +α)= 1
3，且α ∈(
π
3 ,π)，则cos(
π
3 -α)的值为
（ ）
A．- 2√2
3
B．- 1
3
C．2√2
3
D．1
3
【变式3-2】（2023 上·高一课时练习）已知 sin(π-α )= 1
3
，则sin(α -2021π)的值为（ ）
A．2√2
3
B．- 2√2
3
C．1
3
D．- 1
3
【变式3-3】（2023 上·江苏常州·高一校联考阶段练习）若cos(π
6 +α )= 1
3
，则
cos( 5π
6 -α )-sin( 5π
3 +α )=（ ）
A．0
B．2
3
C．1+2√2
3
D．1-2√2
3
【题型4 同角关系式与诱导公式的综合应用】
【例4】（2023 上·天津·高一校考阶段练习）若tan(7π+α )=a，则sin (α -3π)+cos(π-α )
sin (-α )-cos(π+α )
的值为
（ ）
A．a-1
a+1
B．a+1
a-1
C．-1
D．1
【变式4-1】（2023 上·江苏无锡·高一校考阶段练习）已知cos(- x)+sin (π- x)= 3
5
，则
sin x⋅sin(
π
2 + x)=（ ）
A．16
25
B．- 16
25
C．8
25
D．- 8
25
【变式4-2】（2023 上·江苏无锡·高一校联考阶段练习）已知sinα +cosα =- 1
2，则cos(
π
2 +α)
1-tan(-α )
的值为
（ ）
A．- 3
4
B．3
4
C．- 3
16
D．3
16
【变式4-3】（2023 上·甘肃白银·高一校考期末）已知3cos(
3π
2 +θ)sin(π-θ)=2，且θ为第二象限角，
则
cos(π+θ)
sin(
π
2 -θ)+sin(θ -π)
=（ ）
A．-1-√2
B．1+√2
C．√2-1
D．1-√2
【题型5 三角恒等变换的化简问题】
【例5】（2023 上·江苏南京·高二统考期中）已知cos x +sin x = √2
3
，则
sin 2 x
cos(x - π
4)
＝（ ）
A．- 7
16
B．- 7√2
6
C．- 7
6
D．- 7
3
【变式5-1】（2023 上·河北·高三校联考阶段练习）设0<θ<π
2
，若(sinθ+cosθ)
2+√3cos2θ =3，则
sin2θ =（ ）
A．√3
2
B．1
2
C．√2
2
D．3
4
【变式5-2】（2023·全国·高三专题练习）化简：
sin 2α -2cos
2α
sin(α -π
4 )
=（ ）
A．√2cosα
B．2√2cosα
C．√2sin α
D．2√2sin α
【变式5-3】（2023 下·浙江嘉兴·高二统考期末）已知α , β ∈(0,π)且满足
sinα +sin β =√3(cosα +cos β)，则（ ）
A．tan(α + β)=√3
B．tan(α + β)=-√3
C．cos(α + β)= √3
2
D．cos(α + β)=- √3
2
【题型6 三角恒等变换——给值求值型问题】
【例6】（2023 上·天津武清·高三校考阶段练习）已知α、β ∈(0, π
4)，且sin α = 1
3，cos(2α + β)= 1
3，
则cos β的值为（ ）
A．23
27
B．1
3
C．25
27
D．19
27
【变式6-1】（2023·安徽·池州市第一中学校考模拟预测）已知tan(α +π
6 )= 1
2，tan(
π
12 + β)= 1
3，则
tan(α -2 β)=（ ）
A．- 9
13
B．- 2
11
C．10
11
D．2
5
【变式6-2】（2023 下·湖北省直辖县级单位·高一校考期中）已知
α ∈(
3π
4
,3π
2 ), β ∈(π,3π
2 ),cos(α -π
4 )=- 3
5 ,sin(β -π
4 )= 5
13
，则sin(α + β)的值为（ ）
A．16
65
B．- 16
65
C．56
65
D．- 56
65
【变式6-3】（2023 上·湖北·高三校联考阶段练习）已知π
2 <α < 3π
2
，-π
2 < β <0，且
sinα +sin β =√3(cosα +cos β)，则下列结论一定不正确的是（ ）
A．cos(α - β)=-1
B．sin(α - β)=0
C．cos(α + β)=- 1
2
D．sin(α + β)=- √3
2
【题型7 三角恒等变换——给值求角型问题】
【例7】（2023 下·安徽亳州·高一亳州二中校考期末）若sin 2α = √5
5
，sin (β -α )= √10
10
，且
α ∈[
π
4 ,π]，β ∈[π, 3
2 π]，则α + β =（ ）
A．7π
4
B．9 π
4
C．4π
3
D．5π
3
【变式7-1】（2023 上·全国·高一专题练习）若α ∈(-π
2
,0)，β ∈(0,π
2 )，且tan (α - β)=- 1
2
，
tan β = 1
7
，则2α - β的值为（ ）
A．-3π
4
B．-π
4
C．π
4
D．3π
4
【变式7-2】（2023·全国·高三校联考期末）已知
0<α < β < π
2 ,cos2α +cos2 β +1=2cos(α - β)+cos(α + β)，则（ ）
A．α + β = π
6
B．α + β = π
3
C．β -α = π
6
D．β -α = π
3
【变式7-3】（2023·江苏无锡·校联考三模）已知tan β =cosα
1-sinα
，tan(α + β)= 1+sinα
cosα
，若
β ∈(0,π
2 )，则β =（ ）
A．π
12
B．π
6
C．π
4
D．π
3
【题型8 三角恒等变换的综合应用】
【例8】（2023 上·湖南长沙·高一长郡中学校考阶段练习）已知函数
f (x)=cos
4 x -sin
4 x -2√3sin xcos x (x∈R).
(1)求f (x)的最小正周期；
(2)当x∈[0,π
2 ]时，求f (x)的最大值与最小值的和.
【变式8-1】（2023 上·吉林·高一校联考期末）已知函数f (x)=2sin
2 x +2√3sin(2π + x)cos(π - x)．
(1)求f (x)在[0, π
2]上的最大值；
(2)若tanα =2，求f (α )的值；
(3)若f (β)=- 1
5 , β ∈(
π
6 , 5 π
12)，求cos2 β的值．
【变式8-2】（2023 上·浙江嘉兴·高一嘉兴一中校考阶段练习）已知函数
f ( x)=cos x sin( x +π
3 )-√3cos
2 x + √3
4
，x∈R．
(1)求f ( x)的最小正周期及单调减区间；
(2)求f ( x)在闭区间[-π
4 ,π
4 ]上的最大值和最小值．
【变式8-3】（2023 上·安徽·高三校联考阶段练习）已知函数
f (x)=√3sin
2 x -sin(2023π+ x)sin(x +π
2 )- √3
2 ．
(1)求函数f (x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)若α ∈(
3π
4 ,π)，且f(α -π
6 )= 7
25，求sin(2α - 5π
12 )的值．
1．（2022·浙江·统考高考真题）设x∈R，则“sin x =1”是“cos x =0”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
2．（2023·全国·统考高考真题）已知α为锐角，cosα = 1+√5
4
，则sin α
2 =（ ）．
A．3-√5
8
B．-1+√5
8
C．3-√5
4
D．-1+√5
4
3．（2023·全国·统考高考真题）设甲：sin
2α +sin
2 β =1，乙：sin α +cos β =0，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
4．（2023·全国·统考高考真题）已知sin (α - β)= 1
3 ,cosα sin β = 1
6
，则cos(2α +2 β)=（ ）．
A．7
9
B．1
9
C．- 1
9
D．- 7
9
5．（2022·全国·统考高考真题）若sin(α + β)+cos(α + β)=2√2cos(α + π
4)sin β，则（ ）
A．tan(α - β)=1
B．tan(α + β)=1
C．tan(α - β)=-1
D．tan(α + β)=-1
6．（2021·全国·统考高考真题）若tanθ =-2，则sinθ(1+sin 2θ)
sinθ+cosθ
=（ ）
A．- 6
5
B．- 2
5
C．2
5
D．6
5
7．（2023·全国·统考高考真题）若θ∈(0,π
2 ),tanθ = 1
2，则sinθ -cosθ = ．
8．（2023·全国·统考高考真题）若f (x)=( x -1)
2+ax +sin(x +π
2 )为偶函数，则a=
．
9．（2022·浙江·统考高考真题）若3sin α -sin β =√10,α + β = π
2
，则sin α = ，cos2 β = ．
10．（2023·北京·统考高考真题）设函数f ( x)=sin ωx cosφ+cosωx sin φ(ω>0,|φ|<π
2 )．
(1)若f (0)=- √3
2
，求φ的值．
(2)已知f ( x)在区间[-π
3 , 2π
3 ]上单调递增，f(
2π
3 )=1，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选
择一个作为已知，使函数f ( x)存在，求ω,φ的值．
条件①：f(
π
3 )=√2；
条件②：f(-π
3 )=-1；
条件③：f ( x)在区间[-π
2 ,-π
3 ]上单调递减．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解
答计分．
