文档文本内容
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解密02 三角恒等
与解三角形
变换
A 组 考点专练
一、选择题
1．若sin α＝，则cos 2α 等于( )
A.
B.
C．－
D．－
【答案】B
【解析】∵sin α＝，∴cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×2＝.
2．tan 70°＋tan 50°－tan 70°tan 50°的值为( )
A.
B.
C．－
D．－
【答案】D
【解析】因为tan 120°＝＝－，即tan 70°＋tan 50°－tan 70°tan 50°＝－.
3.已知sin α＝，sin(α－β)＝－，α，β 均为锐角，则β 等于( )
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】 由α，β 为锐角，则－<α－β<，
由sin(α－β)＝－，得cos(α－β)＝，
又sin α＝，所以cos α＝，
所以sin β＝sin[α－(α－β)]
＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)
＝×－×＝.
所以β＝.
4.在△ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，acos B＋bcos A＝2ccos C，c＝，且△ABC 的面积为，
则△ABC 的周长为( )
A．1＋
B．2＋
C．4＋
D．5＋
【答案】D
【解析】在△ABC 中，acos B＋bcos A＝2ccos C，
则sin Acos B＋sin Bcos A＝2sin Ccos C，即sin(A＋B)＝2sin Ccos C，
∵sin(A＋B)＝sin C≠0，∴cos C＝，∴C＝，
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2
由余弦定理可得，a2＋b2－c2＝ab，
即(a＋b)2－3ab＝c2＝7，
又S＝absin C＝ab＝，∴ab＝6，
∴(a＋b)2＝7＋3ab＝25，a＋b＝5，
∴△ABC 的周长为a＋b＋c＝5＋.
5.(多选题)在△ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且a∶b∶c＝4∶5∶6，则下列结论正确
的是( )
A.sin A∶sin B∶sin C＝4∶5∶6
B.△ABC 是钝角三角形
C.△ABC 的最大内角是最小内角的2 倍
D.若c＝6，则△ABC 的外接圆的半径为
【答案】ACD
【解析】由a∶b∶c＝4∶5∶6，可设a＝4x，b＝5x，c＝6x，x>0.
根据正弦定理可知sin A∶sin B∶sin C＝4∶5∶6，A 正确.
由c 为最大边，cos C＝＝＝>0，即C 为锐角，得△ABC 为锐角三角形，B 不正确.
a 为最小边，cos A＝＝＝，则cos 2A＝2cos2A－1＝2×－1＝＝cos C.由2A，C∈(0，π)，可得2A＝C，C 正
确.
若c＝6，则2R＝＝＝(R 为△ABC 的外接圆的半径)，则△ABC 的外接圆的半径为，D 正确.故选ACD.
二、填空题
6.(2020·江苏卷)已知sin2＝，则sin 2α 的值是________.
【答案】
【解析】 因为sin2＝，所以＝，即＝，所以sin 2α＝.
7.(2019·全国Ⅱ卷)△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c.若b＝6，a＝2c，B＝，则△ABC 的面积为
________.
【答案】 6
【解析】 由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B.
又∵b＝6，a＝2c，B＝，
∴36＝4c2＋c2－2×2c2×，
∴c＝2，c＝－2(舍去)，∴a＝4，
∴S△ABC＝acsin B＝×4×2×＝6.
8.△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，bcos C 与ccos B 的等差中项为acos B，则B＝
________；若a＋c＝5，△ABC 的面积S＝，则b＝________.
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3
【答案】
【解析】 因为bcos C 与ccos B 的等差中项为acos B，所以2acos B＝bcos B＋ccos B.由正弦定理可得
2sin Acos B＝sin Bcos C＋sin Ccos B，即2sin Acos B＝sin(B＋C)＝sin(π－A)，即2sin Acos B＝sin A.
因为A∈(0，π)，所以sin A>0，所以cos B＝.因为B∈(0，π)，所以B＝.因为△ABC 的面积S＝，
所以acsin B＝，所以ac＝4.由余弦定理，得b＝＝＝＝.
三、解答题
9.在①cos A＝，cos C＝；②csin C＝sin A＋bsin B，B＝60°；③c＝2，cos A＝三个条件中任选一个填至横
线上，并加以解答.
已知△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若a＝3，________，求△ABC 的面积S.
(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)
【解析】选①.
∵cos A＝，cos C＝，∴sin A＝，sin C＝，
∴sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C
＝×＋×＝.
由正弦定理，得b＝＝＝，
∴S＝absin C＝×3××＝.
选②.
∵csin C＝sin A＋bsin B，
∴结合正弦定理，得c2＝a＋b2.
∵a＝3，∴b2＝c2－3.
又∵B＝60°，∴b2＝c2＋9－2×3×c×＝c2－3，
∴c＝4，∴S＝acsin B＝3.
选③.
∵c＝2，cos A＝，
∴结合余弦定理，得＝，即b2－－5＝0，
解得b＝或b＝－2(舍去).
又∵sin A＝＝，
∴S＝bcsin A＝××2×＝
.
10.(2020·全国Ⅱ卷)△ABC 中，sin2A－sin2B－sin2C＝sin Bsin C.
(1)求A；
(2)若BC＝3，求△ABC 周长的最大值.
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【解析】(1)由正弦定理和已知条件得
BC2－AC2－AB2＝AC·AB.①
由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcos A.②
由①②得cos A＝－.
因为0<A<π，所以A＝.
(2)由正弦定理及(1)得＝＝＝2，
从而AC＝2sin B，
AB＝2sin(π－A－B)＝3cos B－sin B.
故BC＋AC＋AB＝3＋sin B＋3cos B＝3＋2sin.
又0<B<，所以当B＝时，△ABC 周长取得最大值3＋2.
B 组 专题综合练
11.已知△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，A＝60°，b＝3c，角A 的平分线交BC 于点D，且
BD＝，则cos ∠ADB 的值为( )
A.－
B.
C.
D.±
【答案】 B
【解析】 法一 如图，因为∠BAC＝60°，AD 为∠BAC 的平分线，所以∠CAD＝∠BAD＝30°.又b＝3c，
所以＝＝＝＝3.
因为BD＝，所以CD＝3，所以a＝CB＝4.
因为a2＝b2＋c2－2bccos ∠CAB，
所以16×7＝9c2＋c2－2·3c·c·，解得c＝4.
在△ABD 中，由正弦定理，知＝，
即＝，所以sin ∠ADB＝.
因为b＝3c>c，所以B>C.
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5
因为∠ADB＝30°＋C，∠ADC＝30°＋B，
所以∠ADB<∠ADC，
又∠ADB＋∠ADC＝180°，所以∠ADB 为锐角，
所以cos ∠ADB＝＝＝＝.故选B.
法二 因为∠BAC＝60°，AD 为∠BAC 的平分线，
所以∠CAD＝∠BAD＝30°.
又b＝3c，所以＝＝＝＝3.
因为BD＝，所以CD＝3，
所以a＝CB＝4.
因为a2＝b2＋c2－2bccos ∠BAC，
所以16×7＝9c2＋c2－2·3c·c·，解得c＝4.
由余弦定理，得cos ∠BAD＝，
即＝，所以AD2－4AD＋9＝0，
所以(AD－)(AD－3)＝0.
所以AD＝3 或AD＝.
因为b＝3c>c，所以B>C.
又B＋C＝120°，所以B>60°>∠BAD，
所以AD>BD＝，所以AD＝3，
所以cos ∠ADB＝＝＝.故选B.
12.(2020·江苏卷)在△ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c.已知a＝3，c＝，B＝45°.
(1)求sin C 的值；
(2)在边BC 上取一点D，使得cos∠ADC＝－，求tan∠DAC 的值.
【解析】(1)在△ABC 中，因为a＝3，c＝，B＝45°，
由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，
得b2＝9＋2－2×3×cos 45°＝5，所以b＝.
在△ABC 中，由正弦定理＝，
得＝，所以sin C＝.
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6
(2)在△ADC 中，因为cos∠ADC＝－，所以∠ADC 为钝角.
而∠ADC＋C＋∠CAD＝180°，所以C 为锐角.
故cos C＝＝，则tan C＝＝.
因为cos∠ADC＝－，所以sin∠ADC＝＝，
所以tan∠ADC＝＝－.
从而tan∠DAC＝tan(180°－∠ADC－C)
＝－tan(∠ADC＋C)＝－＝－＝.
13．已知向量a＝(sin 2x，cos 2x)，b＝(cos θ，sin θ)，若f(x)＝a·b，且函数f(x)的图象关于直线x＝对称．
(1)求函数f(x)的解析式，并求f(x)的单调递减区间；
(2)在△ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若f(A)＝，且b＝5，c＝2，求△ABC 外接圆的面积．
【解析】(1)f(x)＝a·b＝sin 2xcos θ＋cos 2xsin θ＝sin(2x＋θ)，
∵函数f(x)的图象关于直线x＝对称，
∴2×＋θ＝kπ＋，k∈Z，
∴θ＝kπ＋，k∈Z，
又|θ|<，∴θ＝.
∴f(x)＝sin.
由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z.
∴f(x)的单调递减区间为，k∈Z.
(2)∵f(A)＝sin＝，
∴sin＝1. 又∵A∈(0，π)，
∴2A＋∈，
∴2A＋＝，∴A＝.
在△ABC 中，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝25＋12－2×5×2cos ＝7，
∴a＝.
设△ABC 外接圆的半径为R，
由正弦定理得＝2R＝＝2，
∴R＝，
∴△ABC 外接圆的面积S＝πR2＝7π.
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