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重难点培优02 数列的绝对值、奇偶项、插项类、公共项、
取整数、存在项问题
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01 知识重构・重难梳理固根基..........................................................................................................1
02 题型精研・技巧通法提能力..........................................................................................................6
题型一 绝对值数列（★★★★）................................................................................................................6
题型二 奇偶类数列（★★★★★）..........................................................................................................10
题型三 插项类数列（★★★★）..............................................................................................................17
题型四 公共项数列（★★★★）..............................................................................................................25
题型五 取整类数列（★★★）..................................................................................................................30
题型六 存在项数列（★★★）..................................................................................................................37
03 实战检测・分层突破验成效........................................................................................................43
检测Ⅰ组 重难知识巩固..............................................................................................................................43
检测Ⅱ组 创新能力提升..............................................................................................................................61
知识点01 等差数列
一、等差数列的有关公式
1、等差数列的通项公式
如果等差数列
的首项为
，公差为
，那么它的通项公式是
．
2、等差数列的前
项和公式
设等差数列
的公差为
，其前
项和
．
二、等差数列的常用性质
已知
为等差数列，
为公差，
为该数列的前
项和．
1、通项公式的推广：
．
2、在等差数列
中，当
时，
．
3、
，…仍是等差数列，公差为
．
4、
，…也成等差数列，公差为
．
5、若
，
是等差数列，则
也是等差数列．
三、等差数列的前n 项和公式与函数的关系
．数列
是等差数列⇔
（
为常数）．
【常用结论】
1、等差数列
中，若
，则
．
2、等差数列
中，若
，则
．
3、等差数列
中，若
，则
．
4、若
与
为等差数列，且前
项和为
与
，则
．
知识点02 等比数列
一、等比数列的有关公式
1、等比数列的通项公式
设等比数列
的首项为
，公比为
，则它的通项公式
．
推广形式：
2、等比数列的前n 项和公式
等比数列
的公比为
，其前
项和为
注：①在求等比数列的前
项和时，首先要判断公比
是否为1，再由
的情况选择相应的求和公式，当不
能判断公比
是否为1 时，要分
与
两种情况讨论求解．
②
，
为关于
的指数型函数，且系数与常数互为相
反数．
二、等比数列的性质
1、等比中项的推广．
若
时，则
，特别地，当
时，
．
（2）①设
为等比数列，则
（
为非零常数），
，
仍为等比数列．
②设
与
为等比数列，则
也为等比数列．
2、等比数列
的单调性（等比数列的单调性由首项
与公比
决定）．
当
或
时，
为递增数列；
当
或
时，
为递减数列．
3、其他衍生等比数列．
若已知等比数列
，公比为
，前
项和为
，则：
①等间距抽取
为等比数列，公比为
．
②等长度截取
为等比数列，公比为
（当
时，
不为偶数）．
【常用结论】
1、若
，则
．
2、若
，
（项数相同）是等比数列，则
，
，
，
，
仍是等比数
列．
3、在等比数列
中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即
为
等比数列，公比为
．
4、公比不为－1 的等比数列
的前
项和为
，则
，
，
仍成等比数列，其公比为
．
知识点03 数列求和
一、公式法
1、等差数列
的前n 项和
2、等比数列
的前n 项和
3、一些常见的数列的前n 项和：
①
；
②
；
③
；
④
二、几种数列求和的常用方法
1、分组求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组
求和法，分别求和后相加减．
2、并项求和法：一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．
3、裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n 项
和．
（1）基本步骤
（2）裂项原则
一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止．
（3）消项规律
消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．
4、错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这
个数列的前
项和即可用错位相减法求解．
（1）适用条件
若
是公差为
的等差数列，
是公比为
的等比数列，求数列{an·bn}的前n
项和
．
（2）基本步骤
（3）注意事项
①在写出
与
的表达式时，应特别注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出
；
5、倒序相加法：如果一个数列
与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这
个数列的前
项和即可用倒序相加法求解．
将一个数列倒过来排列，当它与原数列相加时，若有规律可循，并且容易求和，则这样的数
列求和时可用倒序相加法（等差数列前项和公式的推导即用此方法）．
【常用结论】
裂项技巧
①等差型
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
②根式型
（1）
（2）
（3）
③指数型
（1）
（2）
（3）
④三角型
（1）
（2）
（3）
⑤阶乘
（1）
题型一 绝对值数列
【技巧通法·提分快招】
1、对于首项小于0 而公差大于0 的等差数列
加绝对值后得到的数列
求和,设
的前
项和为
的前
项和为
,数列
的第
项小于0 而从第
项开始大于或等于0,于是有
2、对于首项大于0 而公差小于0 的等差数列
加绝对值后得到的数列
求和,设
的前
项和为
的前
项和为
,数列
的第
项大于0 而从第
项开始小于或等于0,于是有
1．（24-25 高三上·天津·期中）在数列
中，
，
，则
等于（ ）
A．630
B．648
C．660
D．675
【答案】C
【分析】根据题意可得数列
是首项为
，公差为的等差数列，去绝对值后利用分组求和的方法即
可求出结果.
【详解】依题意，由
，得
，数列
是首项
，公差
的等差数列，
则
，当
时，
，当
时，
，
所以
.
故选：C
2．（24-25 高三上·湖北武汉·月考）已知递减的等比数列
满足：
，
，
，若
，则数列
的前12 项和
（ ）
A．9
B．12
C．18
D．27
【答案】C
【分析】根据条件求出等比数列
的公比，由此计算数列
的通项公式，化简
即可计算数列
的
前12 项和
.
【详解】设等比数列
的公比为
，则
，
，
，
∵
，
，∴
，解得
或
，
∵等比数列
是递减数列，∴
.
∵
，∴
，∵
，∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
.
故选：C.
3．（23-24 高三下·北京·开学考试）已知数列
的通项公式为
，若满足
的整数
恰有2 个，则
可取到的值有（ ）
A．有3 个
B．有2 个
C．有1 个
D．不存在
【答案】A
【分析】本题首先可讨论当
时，根据
得出
，然后讨论当
时，通过等差数列求和公式得出
，通过计算即可得出结果.
【详解】当
时，
，
解得
，此时保证等式成立的每个
值，只有一个
值，不符合题意；
当
时，
，
即
，
若整数
恰有2 个，则首先
，解得
，
设该方程有两实数根
，则
，若
，显然不合题意，则
，则
，
若
，此时
，解得
，满足
，符合题意；
若
，此时
，解得
，满足
，符合题意；
若
，此时
，解得
，满足
，符合题意，
故
可取到的值有
或
或
.
故选：A.
4．在等差数列
中，
，
，
为数列
的前
项和，则
．
【答案】112
【分析】设等差数列
的公差为
，依题意得到关于
、
的方程组，求出
、
，即可求出通项公式，
再利用分组求和法计算可得.
【详解】设等差数列
的公差为
，
由
，
，
所以
，解得
，所以
，
令
，解得
，
所以
，
所以
.
故答案为：
5．（24-25 高三下·重庆荣昌·月考）已知数列
的通项公式为
，则
．
【答案】
【分析】作差判断数列
的单调性，根据单调性代入去绝对值化简计算可得结果.
【详解】因为
，所以
，
当
时，
，当
时，
，所以数列
有最小值
，
则
.
故答案为：
6．已知数列
的前
项和
．
(1)求
的通项公式；
(2)求
的前
项和
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用和
与项
的递推关系求出
，注意验证首项是否满足.
（2）结合数列项的正负特点对
的范围进行分类讨论，然后结合等差数列的求和公式即可求解.
【详解】（1）当
时，
；
当
时，
，
此时
时，
；
故
；
（2）由
可知当
时，
，当
时，
．
当
时，
，
当
时，
，
所以
题型二 奇偶类数列
【技巧通法·提分快招】
1、等差数列中
①若项数为偶数
，则
；
；
．
②若项数为奇数
，则
；
；
．
2、等比数列
中，若项数为
，则
；若项数为
，则
．
3、项数问题
①数列项数是2n 项，那么奇数和偶数分别是n 项；
②数列项数是2n+1 项，那么奇数为n+1 项，偶数为n 项；
③当项数是n 项时，要分n 为奇数和n 为偶数；
4、常见类型
①
，求
的值；则
②
，求
的值
（1）n 为奇数时，有
个奇数项，有
个偶数项，则
（2）n 为偶数时，有
个奇数项，有
个偶数项，则
5、其他类型
①数列中连续两项和或积的问题：
或
②含有
类型
1．（2024·广东·模拟预测）已知等比数列
的前6 项和为63，其中偶数项和是奇数项和的两倍，则
．
【答案】1
【分析】设出公比，根据
，求出公比
，故
，得到
.
【详解】设公比为
，则
，
其中
，又
，
故
，
，
故
，即
，
解得
.
故答案为：1
2．等差数列
共有
项，所有的奇数项之和为
，所有的偶数项之和为
，则
等于 ．
【答案】
【分析】利用等差数列的基本性质以及等差数列的求和公式可得出
，即可求得
的值.
【详解】因为等差数列
共有
项，
所有奇数项之和为
，
所有偶数项之和为
，
所以，
，解得
.
故答案为：
.
3．（2025·河北秦皇岛·二模）已知等比数列
的前6 项和为126，其中偶数项和是奇数项和的2 倍，则
．
【答案】2
【分析】根据已知有
，结合等比数列的性质得
，再应用等比数列的通项公式求首项.
【详解】由题设
，可得
，
若
的公比为
，则
，
所以
，则
.
故答案为：2
4．已知数列
满足
，
，则
的前40 项和为 .
【答案】
【分析】根据题中递推式可求得
，
，即
的奇数项为首项为1 公差为5 的等
差数列，偶数项是首项为3 公差为5 的等差数列，再利用分组并项求和从而可求解.
【详解】因为
，
，又
，所以
，
即
，所以数列
的奇数项是以1 为首项，5 为公差的等差数列；
同理，由
知，数列
的偶数项是以3 为首项，5 为公差的等差数列．
所以
前40 项和为
．
故答案为：
.
5．（24-25 高三上·云南昭通·月考）设数列
的前
项和为
，已知
，且
为等差数列.
(1)求数列
的通项公式；
(2)若
，求
的前
项和
.
【答案】(1)
(2)
.
【分析】（1）先根据等差数列的性质得
，再由
与
的关系求数列
的通项公式；
（2）采用分组求和法，分别对奇数项和偶数项求和，结合等差数列求和公式和裂项相消法可求得结果.
【详解】（1）设等差数列
的公差为
，因为
，
所以
，即
，
所以
，即
，
当
时，
，
当
时，
，满足上式，所以
.
（2）由（1）知
则
，
所以数列
的前
项和为
.
6．（2025·山西临汾·三模）已知正项数列
中，
，满足
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)已知数列
满足
求数列
的前
项和
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将
化简可得
，由此可求得答案；
（2）法一：由（1）可得
的通项公式，采用分组求和的方法，结合等比数列的前n 项和公式及裂项相
消求和；.法二：分奇偶项，由等比数列求和公式及裂项相消法求和.
【详解】（1）由
，得
，
因为
，所以
，则
，
所以
是以2 为首项，2 为公比的等比数列，所以
．
（2）方法一：
由（1）知
方法二：
由（1）知
设
，则可得
，
所以
是以4 为首项，4 为公比的等比数列，
所以
的前n 项和
，
设
所以
的前n 项和
所以
．
7．（23-24 高三上·辽宁·期中）已知
是各项均为正数的数列，
为
前n 项和，且
，
，
成等差数列.
(1)求
的通项公式；
(2)求证：
；
(3)已知
，求数列
的前
项和
.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据
的关系可证明
为等差数列，即可求解，
（2）利用放缩法可得
，即可由裂项相消法求和得解，
（3）对
分奇偶，即可利用平方差公式，结合等差数列求和公式即可求解.
【详解】（1）由
，
，
成等差数列，得
，①
当
时，
，
∴
，得
（
舍去），
当
时，
，②
-
①②得，
，
∴
，
又
，∴
，
∴
是首项为2，公差为1 的等差数列，
∴
，故
；
（2）
，
故
（3）由（1）知
，
当
是奇数时，
，
当
是偶数时，
，
综上
.
8．（24-25 高三上·新疆塔城·期中）已知等比数列
的前n 项和为
，
，
.
(1)求
的通项公式；
(2)若
求数列
的前n 项和
；
(3)若存在正整数n，使得
成立，求m 的取值范围.
【答案】(1)
；
(2)
；
(3)
.
【分析】（1）由已知及等比数列的性质求公比和首项，进而写出等比数列通项公式；
（2）讨论n 的奇偶性，结合数列通项公式及等差数列前n 项和公式求
；
（3）等比数列前n 项和得
，且
能成立，讨论n 的奇偶性，结合
的单调性求参数范围.
【详解】（1）设等比数列
的公比为q，则
，
由
，解得
，
所以
.
（2）由（1），得
，则
，
当n 为偶数时，令
，则
，
当n 为奇数时，
.
所以
.
（3）由（1），知
，
存在正整数n，使得
成立.
当n 为偶数时，
，
，
由
，得
.
因为
单调递增，所以
的最小值为
，
因为
单调递减，所以
的最大值为
，
所以
.
当n 为奇数时，
，
，
由
，得
.
因为
单调递减，所以
的最大值为
，
因为
单调递增，所以
的最小值为
，
所以
.综上，m 的取值范围是
.
题型三 插项类数列
【技巧通法·提分快招】
1、插入数构成等差数列
在
和
之间插入
个数，使这
个数构成等差数列，可通过构造新数列
来求解
个数构成等差数列，公差记为
，所以：
2、插入数构成等比数列
在
和
之间插入
个数，使这
个数构成等比数列，可通过构造新数列
来求解
个数构成等比数列，公差记为
，所以：
3、插入数混合型
混合型插入数列，其突破口在于：在插入这些数中，数列
提供了多少项，其余都是插入进来的。
1．已知等差数列
的首项
，公差
，在
中每相邻两项之间都插入k 个数，使它们和原数列
的数一起构成一个新的等差数列
，当
时，
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据等差数列的通项公式可得
，由题意
，
，求出等差数列
的公差，
结合等差数列的通项公式即可求解.
【详解】由题意知，
，所以
，
等差数列
每两项之间插入k 项，构成新的等差数列
，
当
时，
，
，
所以等差数列
的公差为
，
故
.
故选：B.
2．（2025·安徽·模拟预测）数列扩充是指在一个有穷数列中按一定规则插入一些项得到一个新的数列，扩
充的次数记为
.扩充规则为每相邻两项之间插入这两项的平均数.现对数列1，3 进行构造，第1 次
得到数列1，2，3；第2 次得到数列1，
，2，
，3；…依次构造，记第
次得到的数列的所有
项之和为
，则
（ ）
A．510
B．514
C．1022
D．1026
【答案】B
【分析】先设第
次构造后得的数列为1，
，3，求出此时所有项之和
，接着得到第
次构
造后得到的数列，并求出
，观察
与
的关系，结合等比数列定义得到数列
是等比数列即可
求解.
【详解】设第
次构造后得的数列为1，
，3，则
，
则第
次构造后得到的数列为1，
，
，
，
，…，
，
，3，
于是
，
，
显然
，而
，
因此数列
是以4 为首项，2 为公比的等比数列，
则
，即
，
所以
.
故选：B
3．（2024·河南安阳·三模）如图，某数阵满足：每一行从左到右成等差数列，每一列从上到下成公比相同
的等比数列，数阵中各项均为正数，
，则
；在数列
中的任
意
与
两项之间，都插入
个相同的数
，组成数列
，记数列
的前
项和为
，
则
．
【答案】
【分析】设第一行公差为
，各列的公比为
且
，结合已知条件求得
，即可写出
通项公
式；再根据题意确定
前70 项的组成，应用分组求和、等比数列前n 项和公式求和即可.
【详解】设第一行公差为
，各列的公比为
且
，且
，
则
，
，
，
，
所以
，则
，
由各项均为正数，故
，则
，即
，
综上，
，故
，
由上，
前n 项为
，且
，
故在
之前共有
项，
则
，
则
，
综上，
前70 项为
，
.
故答案为：
；
【点睛】关键点点睛：利用等差、等比数列通项公式求行列间的公差、公比，确定行列通项公式为关键.
4．（23-24 高三上·山东·月考）已知数列
是公差不为零的等差数列，满足
，
，正项数
列
的前
项和为
，且
．
(1)求数列
和
的通项公式；
(2)在
和
之间插入1 个数
，使
，
，
成等差数列；在
和
之间插入2 个数
，
，使
，
，
，
成等差数列；…；在
和
之间插入
个数
，
，…，
，使
，
，
，
，
成等差
数列．
（ⅰ）求
；
（ⅱ）求
的值．
【答案】(1)
，
(2)（ⅰ）
；（ⅱ）
．
【分析】（1）根据等差数列的通项公式，结合数列前
项和与数列通项公式的关系进行求解即可；
（2）（ⅰ）根据等差数列的性质进行求解即可；
（ⅱ）利用错位相减法进行求解即可.
【详解】（1）设数列
的公差为
，由题意知，
，解得
，所以
，
因为数列
的前
项和为
，且满足
，
当
时，
，
当
时，
，
经验证当
时，也满足上式，
综上得，
．
（2）（ⅰ）在
和
之间插入
个数
，
，
，
因为
，
，
，…
，
成等差数列，
所以设公差为
，
，
则
．
（ⅱ）设
，
则
，
设
，
即
，
，
．
所以，
．
5．（2025·湖南·三模）已知数列
满足
，数列
满足
，且
.
(1)求
的通项公式；
(2)求
的通项公式；
(3)将
中的项按从小到大的顺序插入
中，且在任意的
之间插入
项，从而构成一个新
数列
，设
的前
项和为
，求
.
【答案】(1)
(2)
(3)12182
【分析】（1）构造数列
为等比数列，通过等比数列通项公式即可求
的通项公式；
（2）易知
是常数列，即可求
的通项公式；
（3）根据新数列
的形成规则，判断其前100 项中数列
，
分别有多少项，再分组求和可求
.
【详解】（1）由
可得
，又
，
所以
是以4 为首项，2 为公比的等比数列，
所以
，即
.
（2）方法一：由已知得
，所以
，
所以
，又
，
等式两边同时相乘，可得
，
得
，该式对
也成立.
故
.
方法二：由
可知
是常数列，
所以
，
即
.
（3）设在
的前100 项中，来自
的有
项.
若第100 项来自
，则应有
，
整理可得
，该方程没有正整数解，不满足题意.
若第100 项来自
，则应有
，整理可得
.
易知
在
时单调递增，
当
时，
，不满足题意，当
时，
，满足题意，
故
，所以
的前100 项中有10 项来自
，有90 项来自
，
所以
.
6．已知数列
，
的通项公式分别为
，
，数列
是由
，
的公共项从小到大排
列构成的数列，
(1)求
，
，
，及
的通项公式；
(2)在
与
之间插入
个数，使这
个数组成一个公差为
的等差数列，
①求
，
的值；
②在数列
中是否存在项
，
，
（其中
）成等比数列？若存在，求出这样的项；若
不存在，请说明理由．
【答案】(1)
，
，
，
，
.
(2)①
，
；②不存在，理由见解析.
【分析】（1）根据数列
中的每一项都能被2 整除，可推出所求数列即为
，进而写出前三项和通项
公式；
（2）①先确定
和
时，对应的等差数列的首尾两项，进而可解得公差
，
的值；
②利用等差数列的通项公式可得
；假设在数列
中存在三项
（其中
）成等比数列，
利用等差数列和等比数列的定义及反证法即可判断.
【详解】（1）因为
，
，所以数列
中的每一项都能被2 整除，
所以数列
中的每一项都是数列
中的项，又数列
，
都是递增数列，
所以由
，
的公共项从小到大排列构成的数列为
，
则
，
，
，
，
.
（2）①由
，得
.
当
时，
，
，
由题意，在2 和4 之间插入1 个数，使这3 个数组成一个公差为
的等差数列，故
；
当
时，
，
，
由题意，在4 和8 之间插入2 个数，使这4 个数组成一个公差为
的等差数列，故
.
②不存在，理由如下：
由题意
，即
，所以
．
假设在数列
中存在三项
，
，
（其中
）成等比数列，
则
，即
．化简得
．
又因为
，所以
，
得
，所以
，
又因为
，所以
，
即
，所以
，即
，这与题设矛盾．
所以在
中不存在三项
，
，
（其中
）成等比数列．
7．已知等差数列
是数列
的前
项和，满足
；数列
各项都是正数，且满足
，
，
．
(1)求数列
和
的通项公式；
(2)记
，数列
的前
项和为
；
(3)在
和
，
中插入
个相同的数
，构成一个新数列
：
，
求
的前
项和．
【答案】(1)
，
(2)
(3)
【分析】（1）根据等差数列基本量的计算确定其首项与公差，可得数列
的通项公式；先根据等比中
项的概念判断数列
为等比数列，再求首项与公比，可确定数列
的通项公式；
（2）分别求前
项中奇数项的和与偶数项的和，再相加即可.其中奇数项的和的求法为裂项相加求和法；
（3）弄清楚数列
的前
项的组成，利用分组求和法求其和.
【详解】（1）等差数列
，
是数列
的前
项和，设公差为
，由
，
，
可得
，
，解得
，
，
所以
；
数列
各项都是正数，且满足
，
，
．
可得数列
为等比数列，
所以
，解得
或
舍去，
所以
.
（2）因为
，
设
的前
项和中，奇数项的和为
，偶数项的和为
，
所以
，
，
当
为奇数时，
，
，
当
为偶数时，
，
所以
，
.
（3）
：
，，
，
，
，
，，，，
，
，
从
到
共有
项，
所以，当
时，
，
故
．
【点睛】易错点睛：使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写
未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．
题型四 公共项数列
【技巧通法·提分快招】
在两个等差数列的公共项问题中，可以有两种方法：
1、不定方程法：列出两个项相等的不定方程，利用数论中的整除知识，求出符合条件的项，并解出相应
的通项公式；
2、周期法：即寻找下一项；通过观察找到首项后，从首项开始向后，逐项判断变化较大（如公差的绝对
值大）的数列中的项是否为另一个数列中的项，并找到规律（周期），分析相邻两项之间的关系，从而得
到通项公式．
1．（24-25 高三上·天津河西·期中）将数列
与
的公共项从小到大排列得到数列
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】观察得到
中的奇数项都是数列
中的项，即
，其为公比为4 的等比数列，
求出
，得到答案.
【详解】数列
中的项为
，
观察得到
中的奇数项都是数列
中的项，
即
可以写成
的形式，其为公比为4 的等比数列，
故
，故
.
故选：D
2．（2025·重庆·二模）设等差数列
的前
项和为
，且
，将数列
与数列
的公共项从小到大排列得到新数列
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据
与
之间的关系求得
，可得
，则
，结合裂项法求
和，即可求解.
【详解】因为
，
当
时，则
，
两式相减得
，
整理可得
，
且
，则
，可得
，即
，
可知等差数列
的公差
，
当
时，则
，解得
；
所以
，可知数列
为正奇数列，
对于数列
，
当
时，可得
为偶数；
当
时，可得
为奇数；
所以数列
与
的公共项从小到大排列得到数列
的通项公式为
，
则
，
所以
.
故选：A.
3．（2025·广东湛江·二模）将数列
与
中所有的项去掉它们的公共项后，剩余的项从小到大排
序得到数列
，则
，
的前202 项和为 ．
【答案】 14 49609
【分析】
与
的公共项为
，去掉它们的公共项后，得到
，两个相邻的公共项之间
有5 项，其和可以构成等差数列，利用等差数列求和公式得到答案.
【详解】
与
的公共项为
，去掉它们的公共项后，
剩余的项从小到大排序为4，5，11，12，14，16，17，23，24，26，28，29，35，…，
所以
，
且每两个相邻的公共项之间有5 项，分别求和，
，
，
，…，
可以看到这5 项的和为一项构成的新数列是首项为70，公差为60 的等差数列．
因为
，
所以
的前202 项和为
．
故答案为：14，49600
4．已知
，将数列
与数列
的公共项按从大到小的顺序排列，组成
一个新数列
，则数列
的前
项和为 ．
【答案】
【分析】根据条件，得到
，再利用裂项相消法，即可求解.
【详解】易知数列
是正奇数数列，对于数列
，当
为奇数时，
为奇数，
当
为偶数时，
为偶数，所以数列
与
的公共项为奇数，
令
，则
，
故
，
，
所以
，
故答案为：
.
5．（2025·山东青岛·三模）在平面直角坐标系中，已知直线经过原点，
是的方向向量．数列
满足：点
均在上，
．
(1)求
的通项公式；
(2)已知
是以4 为首项，2 为公差的等差数列，若
与
的公共项为
，
的值由小到大构成数列
，求
的前
项和
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据直线的方向向量求出直线方程，进而得到数列
的递推关系，确定其为等比数列并
求出通项公式；
（2）根据等差数列的首项和公差求出数列
的通项公式，结合
求出数列
的通项公式，最后求
出数列
的前
项和
.
【详解】（1）由直线过原点且方向向量为
可知的方程为
因此对任意正整数
，
即
因为
，所以
，
所以
，
是首项为2，公比为3 的等比数列，
所以
（2）因为数列
是以4 为首项，2 为公差的等差数列，
所以
因为
，所以
，即
所以
，解得
6．（2025·山东济宁·二模）将所有正整数按照如下规律形成数阵：
第1 行 1 2 3 …… 7 8 9
第2 行 10 11 12 …… 97 98 99
第3 行 100 101 102 …… 997 998 999
第4 行 1000 1001 1002 …… 9997 9998 9999
…………
(1)将数列
与数列
的公共项按照从小到大的顺序排列得到数列
，试确定
在该数阵中的位
置；
(2)将数阵中所有相邻两位数字（从左到右）出现12 的所有正整数去掉并保持顺序不变，得到一个新数阵，
记新数阵第
行中正整数的个数为
.
（i）求
，
，
；
（ii）求
.
【答案】(1)
是数阵第4 行，第3097 个数．
(2)（i）
，
，
；（ii）
.
【分析】（1）设
，利用二项展开式得当且仅当
为偶数时，
可以取得正整数，则
，
即可确定
位置；
（2）（i）当
时，直接得到
，代入
并去掉12 即可得到
的值，代入
，去掉19 个数即
可得到
；
（ii）分析得
，利用特征根法得
，
，再消去
即可得到其通项.
【详解】（1）设
，因为，
，
所以
，
所以，当且仅当
为偶数时，
可以取得正整数，
所以，当且仅当
为偶数时，数列有公共项，
所以，
，故
，
所以，
是数阵第4 行，第3097 个数．
（2）（i）当
时，显然
．
当
时，第2 行2 位数有90 个，其中只有12 去掉．
故
．
当
时，第3 行3 位数有900 个，其中有两种情况去掉：
百位和十位分别为12，此时有10 个；十位和个位分别为12，此时有9 个．
故
．
（ii）当
时，将第
行
个符合条件的
位正整数分为两类：
①个位数字不等于2 时，个位数字有9 种取法，前面
位数有
种取法，这时
位正整数中有
个；
②个位数字等于2 时，前面
位数有
种取法，
但这
个
位正整数中十位数字等于1 的
个正整数要去掉．
故个位数字等于2 且十位数字不等于1 的
位正整数有
－
个．
综上，由加法原理知
．
设
，
所以，
，即
，
解得
，
所以，
是首项为
，公比为
的等比数列；
是首项为
，公比为
的等比数列；
所以，
，
，
所以，当
时，
，
经检验，当
时，
也成立
当
时，
也成立．
综上，
．
题型五 取整类数列
1．（2025·新疆·模拟预测）若数列
的首项
，且满足
．
(1)证明:数列
是等比数列；
(2)若
，求满足条件的最小整数n．
【答案】(1)证明见解析
(2)11．
【分析】（1）应用递推公式结合等比数列定义证明即可；
（2）根据等比数列求和公式应用指数函数单调性解不等式.
【详解】（1）
，
，
，
，
所以
是首项为2，公比为2 的等比数列．
（2）由（1）可知
，则
，
，
由
，得
，解得
，
因为
，所以满足条件的最小整数n 为11．
2．（24-25 高三上·黑龙江大庆·期中）已知数列
的首项
，且满足
.
(1)证明：数列
为等比数列；
(2)若
，求满足条件的最大整数n.
【答案】(1)证明见解析
(2)2022
【分析】(1)由
变形整理得到
，从而证明出结论；
(2)先求得
，然后利用分组求和法、数列的单调性来求得正确答案.
【详解】（1）由
得
，
则
，
，
所以数列
是首项为
，公比为
的等比数列.
（2）由(1)得
，
，
所以
，
设
，
，
数列
是单调递增数列，
当
时，
，
当
时，
，
所以满足条件的最大整数为2022.
3．已知在数列
中，
，
，前
项和
满足
．
(1)求
及
；
(2)求使
的最小整数
（取
）．
【答案】(1)
；
．
(2)
．
【分析】（1）化简
可得
，由等比数列通项公式及前
项和公式计算即可；
（2）由
是大于
的最小整数，且
的末位数字不为1，故适合
的最小整数
，就是适合
即
的最小整数
，不等式两边同时取对数计算即可求解.
【详解】（1）由
，得
，即
．
又
，故
是首项为1，公比为2 的等比数列，
从而
；
．
（2）令
．
因为
是大于
的最小整数，且
的末位数字不为1，故适合
的最小整数
，就是适合
即
的最小整数
．
对
两边取以2 为底的对数，得
，
故所求的最小整数
．
4．（23-24 高三上·湖南长沙·月考）已知正项数列
满足：
，且
.
(1)设
，求数列
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前
项和
，并确定最小正整数
，使得
为整数.
【答案】(1)
(2)
，最小值是9
【分析】（1）根据递推关系，结合等比数列的定义即可求解，
（2）根据分组求和，结合等比数列的求和公式化简
，结合二项式定理求解整除关系，
即可求解.
【详解】（1）因为
，且
，
，即
，
，又
，
是首项为
，公比为2 的等比数列，
.
（2）因为
，
若
为整数，因为
，即
.所以
能被27 整除，
.
能被27 整除，
要能被27 整除，
.
所以当
时，
能被27 整除，
的最小值是9.
5．（25-26 高三上·山东青岛·开学考试）记等差数列
的公差为
，前
项和为
，已知
，
且
．
(1)求：
；
(2)设
，其中
为不超过
的最大整数，求
的前
项和
．
【答案】(1)3；
(2)
.
【分析】（1）用
表示
，利用分离常数法，借助整除思想求解.
（2）由（1）的结论求出
，并求出
，再分段，结合等差数列前
项和公式求解.
【详解】（1）依题意，
，而
，则
，
由
，得
，因此
是6 的大于3 的约数，即
，
所以
.
（2）由（1）知，
，则
，
，
，
，
当
时，
，
，
；
当
时，
，
，
，即
，
当
时，
，
当
时，
，
所以
的前
项和
.
6．（23-24 高三上·江苏·月考）设数列
的前n 项和为
，已知
，
.
(1)证明数列
为等比数列；
(2)设数列
的前n 项积为
，若
对任意
恒成立，求整数
的最大值.
【答案】(1)证明见解析
(2)0
【分析】（1）利用数列作差得到递推关系，再利用等比数列定义证明；
（2）根据等比数列定义求出通项公式和前n 项和与积，进而对
化简，利用裂项相
消法求和，分参求
的取值范围.
【详解】（1）因为
，①
当
，
时
，②
①
②得：
，即
，
经检验
符合上式，
所以数列
是首项为3，公比为3 的等比数列.
（2）由（1）知
，所以
，
，
所以
，
所以
恒成立，即
，
化简得：
，
令
，所以
，
所以数列
是递增数列，最小值为
，
所以
，故整数
的最大值为0.
7．（2025·河南·模拟预测）已知数列
的首项为1，其前
项和为
，等比数列
是首项为1 的递增
数列，若
.
(1)求证：数列
是等差数列；
(2)求数列
的前
项和；
(3)求使得
成立的最大整数
.
【答案】(1)证明见解析
(2)
；
(3)6
【分析】（1）利用
得到
，得到数列
是首项为1，公差为1 的
等差数列；
（2）在（1）基础上，得到
，先当
为偶数时，分组求和得到
，再求出当
为奇数时，
为偶数，
，从而得到答案；
（3）求出公比
，由（2）知，
，即
，令
，则
，
，得到
，又
，
，当
时，
，故使得
成立的最大整数为6.
【详解】（1）
①，
当
时，
②，
式子①-②，化简得
，
两边同时除以
得
，
中，令
得
，
即
，又
，故
，
，故对
，
数列
是首项为1，公差为1 的等差数列；
（2）
，则
，设数列
的前
项和为
，
当
为偶数时，
，
，
，
当
为奇数时，
为偶数.
，
；
（3）设等比数列
的公比为
，
由
，或
，
又
数列
是递增数列，
.
由（2）知，
即
，
令
，则
，
，
当
时，
，当
时，
，当
时，
，
即有
，
又
，
故当
时，
，
又
，
，当
时，
，故使得
成立的最大整数为6.
题型六 存在项数列
1．已知数列
满足
，
．
(1)证明：数列
为等差数列；
(2)求数列
的前
项和
；
(3)是否存在正整数m、n （m<n），使得
？若存在，请找出所有满足条件的m、n，若不存在，请
说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)存在,
【分析】（1）由等差数列的定义即可证明；
（2）由错位相减法代入计算，即可得到结果；
（3）根据题意，计算
即可得到结果.
【详解】（1）证明：根据条件可得
，
，
数列
是以
为首项，1 为公差为等差数列.
（2）
数列
为以
为首项，1 为公差的等差数列，
，
，
①，
②，
-
①②得：
，
.
（3）
，
当
时
，
当
时
，
当
时
，
又
，即
，
当且仅当
时，有
.
2．已知数列
满足
．
(1)若
，求数列
的通项公式；
(2)在（1）的条件下，是否存在
，使得
成等比数列？
【答案】(1)
；
(2)存在.
【分析】（1）由题可得数列
是以
为首项，
为公差的等差数列，则
，
然后由累加法可得答案；
（2）原题等价于
有解，然后由判别式可判断是否存在k.
【详解】（1）由
得，
．
于是数列
是以
为首项，
为公差的等差数列．
所以
，
当
时，有
．
于是，
，
，…，
，
，
叠加得，
，
又当
时，
也适合．
所以，
．
（2）假设存在
，使
成等比数列，由（1）知，
，
由
得，
，
整理得，
．
由
可知，
当
时，
，又当
时，
，当
时，
，
当
时，
，所以，当
时，存在
，使
成等比数列．
3．（2025·四川泸州·模拟预测）已知数列
的前
项和
满足
（
为不等于0 的常
数），且
.
(1)证明：
为等比数列；
(2)设
且
，若
，求正整数
的值；
(3)是否存在
，使得
依次成等差数列？若存在，给出符合题意的
的个数；若不存在，说明
理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)不存在，理由见解析
【分析】（1）由
与
的关系证明即可；
（2）求出
，分类讨论去掉绝对值求和即可，整理得
，求出
即可；
（3）假设存在
，使得
成等差数列，列出方程组求解即可判断是否存在.
【详解】（1）证明：因为
，①
所以
，②
-
②①，得
.
由
，得
，即
.
由
，得
，
且
，所以
.
所以
是公比为
的等比数列.
（2）由题意，得
.
当
时，
，
不满足题意，故
.
当
时，
.
由题意，得
，整理得
，解得
.
（3）假设存在
，使得
成等差数列.
而
成等差数列
由
，解得
，或
（舍去）.
当
时，
，
所以方程组
不存在不等于1 的解，
故不存在
，使得
成等差数列.
4．已知数列
中，
，
，
对任意
都成立，数列
的前n 项和为
．
(1)若
是等差数列，求k 的值；
(2)若
，
，求
；
(3)是否存在实数k，使数列
是公比不为1 的等比数列，且任意相邻三项
，
，
按某顺序排列
后成等差数列？若存在，求出所有k 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
；
(2)
；
(3)存在，
.
【分析】（1）根据等差数列性质得
，即可得参数值；
（2）根据已知得
，讨论
的奇偶性求
；
（3）由题设有
，
，
，讨论不同的等差中项，结合已知求参数值，判断存在性.
【详解】（1）由题意，数列
是等差数列，可得
，
即
，即
，故
．
（2）由
时，
，即
，
整理得
，故
．
当n 是偶数时，
；
当n 是奇数时，
，
．
综上，
．
（3）若
是等比数列，则公比
，
由题意
，故
，
，
．
①若
为等差中项，则
，即
，
，解得
（舍去）；
②若
为等差中项，则
，即
，
．
因为
，解得
，
；
③若
为等差中项，则
，即
，
．
因为
，解得
，
，
综上，存在实数k 满足题意，
．
5．若无穷正整数数列
满足递推关系
，则称数列
为好数列．
(1)若
为好数列，且
，请写出
所有可能的取值；
(2)若
为好数列，且
，求
最大的可能值；
(3)证明：对任意的好数列
，存在
，使得对
，都有
．
【答案】(1)
，18 或41
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据
的定义即可求解；
（2）根据
可得
，即可根据迭代得到
，进而可得
，即可求解；
（3）由
，对进行分奇数和偶数讨论，即可结合好数列的定义求解.
【详解】（1）
则
或21，
当
时，
；当
时，
或41，
综上，
，18 或41
（2）因为
，故
，故
，故
故
，
故
．
此时
，经检验满足要求．
故
最大为
（3）由于
为正整数列，故其中必存在一项为整个数列中最小的正整数，设其为
．
若为奇数，则
，得到
，故
．归纳可得此时
为常数列，满足题意．
若为偶数，则
为奇数，故
得到
．
故
或4．
若
，则
，且
取
，对
，都有
，满足题意
若
则
，且
取
，对
，都有
，满足题意
综上所述，存在
，满足题意．
检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．（24-25 高三上·重庆·月考）已知一个项数为偶数的等比数列
所有项之和为所有奇数项之和的3 倍，
前2 项之积为8，则
（ ）
A．2
B．-2
C．-1
D．2 或-2
【答案】D
【分析】设数列共有
项，设所有奇数项之和为
，由题意表求出
和
，利用
求出公比
，再
结合
求出
即可.
【详解】设首项为
，公比为
，数列共有
项，则
满足首项为
，公比为
，项数为
项，设所
有奇数项之和为
，
因为所有项之和是奇数项之和的3 倍，所以
，
所以
，
，
故满足
，解得
，
又
，
所以
.
故选：D
2．（24-25 高三上·黑龙江·月考）已知等比数列
的前n 项和为
，且
，其中
．若在
与
之间插入3 个数，使这5 个数组成一个公差为d 的等差数列，则d＝（ ）
A．2
B．3
C．
D．
【答案】B
【分析】利用
关系可得
，结合等比数列定义写出通项公式，进而得
，
，根据等
差数列通项求公差.
【详解】因为
，当
时，
，
两式相减，得
，即
，故公比为2，
所以
，而当
时
，得
，
所以等比数列
的通项公式为
，
，
所以
，
，公差为
．
故选：B
3．（2025·山东济南·模拟预测）将数列
与数列
的公共项从小到大排列得到新数列
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据数列
与
的项找到它们公共项的规律，即得数列
的各项的规律，确定其通项
公式，再用裂项求和的方法即可求得答案.
【详解】数列
是以1 为首项的奇数列，即
，
数列
是以1 为首项，公差为3 的奇偶交错的等差数列，即
，
故数列
与
的公共项所构成的新数列
为，即首项为，公差为
的等差数列，即
，
.
故选：A.
4．（2025·山东青岛·一模）已知数列
，
，且
，将
与
的公共项按
从大到小的顺序排列组成一个新数列
，则
的前10 项和为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】对n 分奇数与偶数讨论，求出数列
与数列
的公共项，利用裂项相消法求和.
【详解】因为数列
是正奇数数列，
对于数列
，当
为奇数时，设
，则
，为奇数；
当
为偶数时，设
，则
，为偶数，
所以
，由数列的函数特性知
为递减数列，
又
，
所以
，
故选：C．
5．已知数列
满足
，
．数列
满足
，
，且数列
是等比数列．设
数列
的前n 项和为
，则满足不等式
成立的整数n 的最小值为（ ）
A．99
B．100
C．199
D．200
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用构造法求出数列
，进而求出
的通项，再利用错位相减法求和并解不等
式即得.
【详解】由
，得
，则数列
为常数列，
，因此
，
，由数列
是等比数列，得数列
的公比为2，
，又
，则
，
，
，两式相减，
得
，则
，
不等式
，解得
，
所以不等式
成立的整数n 的最小值为199.
故选：C
6．（24-25 高三上·江苏·月考）（多选题）数列
、
的通项公式分别为
、
，它们
的公共项按从小到大排列组成数列
，数列
、
、
的前
项之和分别为
、
、
，则
（ ）
A．
B．
C．数列
的第
项最小
D．数列
是递减数列
【答案】BCD
【分析】求出数列
的通项公式，利用等差数列的求和公式可判断AB 选项；利用数列的单调性可判断
CD 选项.
【详解】对于A 选项，由题意知，数列
、
均为等差数列，且
，
，
，
，
因此，
，A 错；
对于B 选项，数列
的各项分别为：、、、
、、
、
、
、
、
、
，
数列
的各项分别为：
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
，
则这两个数列构成的公共项组成的数列为
、
、
、
、
、
，
可知，数列
是以
为首项，以
为公差的等差数列，所以，
，
所以，
，故
，B 对；
对于C 选项，
，
令
，因为
，解得
，
令
，因为
，解得
，
且
，
所以，当
且
时，数列
单调递减，
因此，数列
的第
项最小，C 对；
对于D 选项，令
，则
，
所以，
，
即
，所以，数列
是递减数列，D 对.
故选：BCD.
7．在等差数列
中，
，记
，则数列
的前30 项和为 ．
【答案】755
【分析】根据分组求和，结合等差求和公式求解.
【详解】当
时，
，当
时，
，
故
．
故答案为：755
8．已知等差数列
的项数为
，其中奇数项之和为140，偶数项之和为120，则数列
的项数是 .
【答案】
【分析】根据等差数列的前
项和公式，结合等差数列奇数项与偶数项之间的关系进行求解即可.
【详解】设等差数列的公差为
，
因为等差数列
的项奇数项之和为140，偶数项之和为120，
所以有
，
故答案为：
9．（2025·北京·三模）已知等比数列
的前
项和为
，满足
，
.则
为 ；满
足
的最小的整数
为 .
【答案】
【分析】将
赋值可求得
，即可求得
；根据
，
及
是等比数列可求得公比，求出
，进而解不
等式即可求解.
【详解】
，
，
当
时，
，则
，
，
；
是等比数列，设公比为
，
，
，令
，则
，
化简得
，两边取自然对数并整理得，
，故最小整数
，
当
时，
，满足条件.
故答案为：
；.
10．（2025·北京·二模）在数列
中，
，且任意连续三项的和均为7，则
；记
数列
的前
项和为
，则使得
成立的最大整数
．
【答案】 6 44
【分析】首先得出数列
是周期为3 的周期数列，进一步可根据数列任意连续三项的和均为7，即可求
解第一问，至于第二问分三种情况讨论即可求解.
【详解】由题意
，所以数列
是周期为3 的周期数列，
所以
，故
；
当
时，
，解得
，此时最大整数为42，
当
时，
，解得
，此时最大整数为42，
当
时，
，解得
，此时最大整数为44，
综上所述，
，使得
成立的最大整数
.
故答案为：6，44.
11．（24-25 高三上·重庆·月考）已知等差数列
的前
项和为
.
(1)求数列
的通项公式
；
(2)求数列
的前
项和
.
【答案】(1)
或
(2)答案见解析.
【分析】（1）设
首项为
，公差为
，然后由题意及等差数列通项公式及前n 项和公式可得答案.
（2）由（1），易得
时，
；当
，由
正负性结合
表达式可得答案.
【详解】（1）设
首项为
，公差为
，因
，
则
或
.
则
或
；
（2）当
时，
；
当
时，注意到
时，
，
则此时
；
当
时，
，
则
.
综上，当
时，
当
时，
.
12．（2024·四川泸州·二模）已知数列
的前
项和
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)在
，与
之间插入
个数，使这
个数组成一个公差为
的等差数列，若
，求数列
的前
项和
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据
，作差得到
，从而得到
是以为首项，为公比的等
比数列，即可求出其通项公式；
（2）由（1）可得
，从而得到
，利用裂项相消法求和即可.
【详解】（1）因为
，
当
时
，解得
，
当
时
，
所以
，即
，
所以
，
即数列
是以为首项，为公比的等比数列，
所以
.
（2）因为
，
，
所以
，
所以
，则
，
所以
.
13．（2024·内蒙古鄂尔多斯·二模）已知
为数列
的前
项和，若
.
(1)求证：数列
为等比数列；
(2)令
，若
，求满足条件的最大整数
.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用
与
的关系式可得
，即
，即可得证.
（2）由（1）可得
，则
，设
，根据等比数列的前
项和公式
可得
，令
，结合
，即可求解.
【详解】（1）证明：由
可得，
当
时，
，解得
，
当
时，
，即
，
则
，即
，
即
，即
，
又
，
所以数列
是首项为6，公比为2 的等比数列.
（2）由（1）得
，则
，
设
，
则
令
，得
，
即
，即
，
又
，
，
，
所以满足条件的最大整数为
为5.
14．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知数列
是各项均不为0 的等差数列，
为其前
项和，且满足
，数列
的前
项和为
．
(1)求数列
的通项公式及数列
的前
项和
．
(2)是否存在正整数
，使得
成等比数列？若存在，求出所有的
的值；若不存在，请
说明理由．
【答案】(1)
，
(2)存在，
【分析】（1）利用等差数列的求和公式与已知条件求出通项公式，再通过裂项相消法求出数列
的前
项和.
（2）根据等比中项的性质列出等式，然后求解
的值.
【详解】（1）
是各项均不为0 的等差数列，
，
.
，
.
（2）若存在正整数
，使得
成等比数列，
则
，即
，
化简得：
，解得：
，
又
且
，所以
，
故存在正整数
，使得
成等比数列．
15．（2024·四川巴中·模拟预测）已知数列
的首项
，且满足
．
(1)证明：数列
为等比数列；
(2)若
，求满足条件的最大整数n．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据已知条件进行化简，结合等比数列的知识求得正确答案.
（2）先求得
，然后利用分组求和法、数列的单调性来求得正确答案.
【详解】（1）由
得
，
则
，
所以数列
是首项为
，公比为
的等比数列.
（2）由（1）得
，
所以
，
数列
是单调递增数列，
当
时，
，
当
时，
，
所以满足条件的最大整数为
.
16．（24-25 高三下·福建福州·月考）已知
为数列
的前
项和，
为数列
的前
项和，
.
(1)求
的通项公式；
(2)若
，求
的最大值；
【答案】(1)
(2)5
【分析】（1）根据递推公式得出等差数列再应用基本量运算得出通项公式；
（2）分组求和分别求出
，再计算化简结合指数函数单调性计算求解；
【详解】（1）由
，得
，所以数列
为等差数列，
所以
，所以
.
又
，所以
，
设
的公差为
，
即
解得
所以
的通项公式是
（2）由（1）知
，
所以
令
，
得
，
设
，则数列
是递增数列.
又
，
所以
的最大值为5.
17．（23-24 高三上·广西玉林·开学考试）已知正项数列
，其中
，且
.
(1)设
，证明：数列
是等比数列，并求其通项公式；
(2)设
，求数列
的前
项和
，并判断是否存在正整数
，使得
为整数，若存在，请求出
最小正整数
；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)
，不存在，理由见解析
【分析】（1）根据已知化简变形可得
，结合等比数列的定义及通项公式即可得出结
果；
（2）结合（1）的结论，利用等比数列的求和公式先求得
，再根据二项式定理计算即可判定.
【详解】（1）由题意可知，
，
由
可得
，
即
，
∴
，
即
是一个首项为
，公比为4 的等比数列，
；
（2）
，
，
要使得
为整数，
∵
，∴
，
而
，
欲满足题意，则必须使得
即
能被12 整除，
而
为奇数，12 为偶数，
故不存在正整数
，使得
为整数.
18．（2025·辽宁辽阳·一模）已知等比数列
是递减数列，
的前
项和为
，且
、
、
成等
差数列，
，数列
满足
，
，
(1)求
和
的通项公式；
(2)若
，求数列
的前
项和
.
【答案】(1)
，
(2)
【分析】（1）设等比数列
的公比为
，根据题意可得出关于
、
的方程组，结合数列
为递减数
列可求得
、
的值，即可得出等比数列
的通项公式；推导出
，结合
可求得数列
的通项公式；
（2）分
为奇数、偶数两种情况讨论，化简
的表达式，利用错位相减法、裂项相消法结合分组求和法
可求得
.
【详解】（1）设等比数列
的公比为
，由题意可得
，则
，
因为数列
是等比数列，解得
，所以，
，
因为
，所以，
，
因为
，则
，所以，
，故
.
（2）当
为奇数时，
，令
，
则
，
所以，
，
两个等式作差可得
，
化简得
；
当
为偶数时，
，
令
，则
，
故
.
19．（2025·福建泉州·模拟预测）已知数列
的前项和为
，
，且
．
(1)证明：数列
为等差数列；
(2)设
，求数列
的前项和；
(3)在（2）的条件下，
中是否存在三项构成等差数列？若存在，求满足条件的三项；若不存在，请说
明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)不存在，理由见解析
【分析】（1）根据等差数列的定义证明即可；
（2）首先求得
，然后结合分组求和法以及错位相减法即可求解；
（3）利用反证法，假设存在导出矛盾即可说明不存在.
【详解】（1）由已知
，
，
所以数列
为首项
，公差的等差数列．
（2）由（1）
，且
时，
，
，
也符合，所以
所以
，
所以
，
因为
，
所以
，
，所以
，
记数列
的前项和为
，
则
，
，
所以
，
所以
.
（3）不存在，显然数列
为递增数列，
若存在正整数
，使得
成等差数列，不妨设
，
则
，
即
，
因为
，所以
，显然
不成立，
所以数列
中不存在不同的三项构成等差数列．
20．（23-24 高三上·河北石家庄·月考）已知正项数列
的前n 项和为
，且
．
(1)求证：
(2)在
与
间插入n 个数，使这
个数组成一个公差为
的等差数列，在数列
中是否存在3 项
，（其中m，k，p 成等差数列）成等比数列?若存在，求出这样的3 项，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明过程见解析；
(2)不存在，理由见解析.
【分析】（1）利用
和等比数列的定义即可得出
，再由放缩法和等比数列前n 项和公
式即可证明.
（2）利用等差数列的通项公式即可得出
；假设在数列
中存在三项
，
，
（其中m，k，p 成
等差数列）成等比数列，利用等差数列和等比数列的定义及其反证法即可得出.
【详解】（1）因为
，
，所以
即
，①
当
时，
②
②
①得：
即
，
当
时，
，所以
，
所以
是以2 为首项，
为公比的等比数列，
所以
，又因为
，
所以
当
时，
；
当
时，
， 综上所
述：
.
（2）因为
，
，由题意知：
，
所以
假设在数列
中是否存在3 项
，（其中m，k，p 成等差数列）成等比数列，
则
，即
化简得：
，
又因为m，k，p 成等差数列，所以
，
所以
即
，又
，所以
即
，所以
，这与题设矛盾.
所以在数列
中不存在3 项
，（其中m，k，p 成等差数列）成等比数列.
21．（2025·甘肃平凉·模拟预测）已知数列
的前
项和为
，且数列
是等差数列.
(1)求
的通项公式；
(2)设
，试问是否存在正整数
（其中
），使得
成等比数列？若存在，求出所
有满足条件的数组
；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）由题可得
是以2 为首项，1 为公差的等差数列，求出
，当
时求出
，判断
是否符合即可求解；
（2）求出
，根据
成等比数列得到方程，判断正整数数组
是否符合题意，证明当
时数列
单调递减即可求解.
【详解】（1）因为
，
所以
是以2 为首项，1 为公差的等差数列，
所以
，
所以
，
当
时，
，
又
符合
，
所以
的通项公式为
；
（2）由（1）知
，
由题意
成等比数列得
，又
，
又
，
则
，
所以
当
时，左边
，右边
，上式成立，
所以正整数数组
满足题意，
由
，当
时
，
所以当
时数列
单调递减，
则
，
而
，故当
时（*）方程无正整数解，
综上，存在唯一的正整数数组
满足题意.
22．（24-25 高三上·辽宁·月考）已知数列
的首项为1，其前
项和为
，等比数列
是首项为1 的
递增数列，若
．
(1)求数列
和
的通项公式；
(2)证明：
；
(3)求使得
成立的最大整数
．
【答案】(1)
，
(2)证明见解析
(3)6
【分析】（1）根据
与
的关系，结合等差数列的定义、等比数列的通项公式进行求解即可；
（2）对
的表达式进行放缩，利用裂项相消法进行求解即可；
（3）利用作差比较法，结合数列的单调性进行求解即可.
【详解】（1）因为
，
所以当
时，
，
作差得
，
两边同时除以
得
，
又
，所以
，得
，
所以
，故对
，
所以数列
是首项为1，公差为1 的等差数列，
所以
，则
．
设等比数列
的公比为
，
因为
，所以由
，或
又因以数列
是递增数列，所以
．
（2）因为
，
所以
．
（3）由（1）知，
即
，令
，则
，
，
所以当
时，
，当
时，
，当
时，
，
即有
，
，
又
，
故当
时，
，所以
，
，
又
，
所以
，当
时，
，故使得
成立的最大整数为6．
【点睛】关键点点睛：本题的关键之一是
，之二是利用作差比
较法判断数列的单调性.
检测Ⅱ组 创新能力提升
1．（24-25 高三上·安徽六安·月考）（多选题）已知数列
是各项为正数的等比数列，公比为q，在
之间插入1 个数，使这3 个数成等差数列，记公差为
，在
之间插入2 个数，使这4 个数成等差
数列，公差为
，在
之间插入n 个数，使这
个数成等差数列，公差为
，则下列说法错误
的是（ ）
A．当
时，数列
单调递减
B．当
时，数列
单调递增
C．当
时，数列
单调递减
D．当
时，数列
单调递增
【答案】ABC
【分析】由等差数列得
，然后在
或
分别确定
的单调性判断AB，进行讨论判
断各选项．再由
或
确定
的范围，从而确定
的单调性判断CD．
【详解】数列
是各项为正数的等比数列，则公比为
，
由题意
，得
，
时，
，有
，
，数列
单调递增，A 选项错误；
时，
，
，若数列
单调递增，则
， 即
，由
，需要
，故B 选项错误；
时，
，解得
，
时，
，由
，若数列
单调递减，则
，
即
，而
不能满足
恒成立，C 选项错误；
时，
，解得
或
，由AB 选项的解析可知，数列
单调递增，D
选项正确.
故选：ABC
【点睛】方法点睛：本题数列的单调性，解题方法是利用等差数列的定义确定
与
的关系，利用此关系
通过
的范围确定
的单调性，同样根据
的大小确定
的范围，再得单调性．
2．已知数列
的前
项和为
，
，
，
为等差数列，
，
(1)求数列
和
的通项公式；
(2)求数列
的前
项和；
(3)
，求数列
的前
项和
.
【答案】(1)
，
(2)
(3)
【分析】（1）利用
与
的关系和等比数列的定义求
，利用等差数列的定义求
即可；
（2）利用裂项相消求和即可；
（3）利用分组求和和错位相减求和即可.
【详解】（1）因为数列
的前
项和为
，
，
，
则
，解得
，
所以当
时，
，
，即
，
所以
是首项为
，公比为
的等比数列，
所以
，经检验当
时成立；
因为
为等差数列，且
，
，
所以公差
，
所以
，
综上
，
.
（2）由（1）得
，
所以数列
的前
项和为
.
（3）由（1）得
，
所以
，
令
，
，
则
，
两式相减，得
，
所以
，
所以
.
【点睛】关键点点睛：本题第3 问的解决关键在于，利用分组求和法，将
分成两个不同的数列求和，结
合错位相减法即可得解.
3．（23-24 高三上·海南海口·月考）已知等比数列
是递增数列，且
，
.
(1)求
通项公式；
(2)在
和
之间插入1 个数
，使
、
、
成等差数列；在
和
之间插入2 个数
、
，使
、
、
、
成等差数列；…；在
和
之间插入
个数
、
、…、
，使
、
、
、…、
、
成等差数列.若
，且
对
恒成立，求
实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由等边数列的通项与前
项和列式解出
或
，再由
是递增数列，得出
，即可得出答案；
（2）若
、
、
、…、
、
成等差数列，设其公差为
，即可得出
，
，
结合等差数列前
项和得出
，即可根据错位相减法得出
，则
，令
，则数列
为递减数列，即可结合已知列不等式得出答案.
【详解】（1）设
的公比为
，
由
，
得：
，
解得
或
，
因为
是递增数列，
所以
，则
，
所以
.
（2）在
和
之间插入
个数
、
、…、
，
使
、
、
、…、
、
成等差数列，设其公差为
，
此数列首项为
，末项为
，
则
，
，
则
又
,
则
,
则
，
则
，
令
，则数列
为递减数列，
由
对
恒成立，
则当
为偶数时，
对
恒成立，则
；
当
为奇数时，
对
恒成立，则
，即
，
综上实数
的取值范围为
.
4．（24-25 高三上·河南·月考）设数列
的前
项和为
，且
.
(1)证明：数列
是等比数列；
(2)若
恒成立，求
的取值范围；
(3)判断是否存在正整数
，满足
，若存在，求
的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析；
(2)
；
(3)存在，
.
【分析】（1）利用给定的递推公式，结合
计算推理即可求解.
（2）由（1）求出
并分离参数，构造数列，作差探讨单调性求出最大项即可.
（3）由已知可得
，换元赋值，再借助二项式定理比较大小求解.
【详解】（1）数列
中，
，当
时，
，
两式相减得，
，即
，
整理得，
，当
时，
，解得
，
所以数列
是首项为
，公比为
的等比数列.
（2）由（1）得，
，则
，
，
依题意，
，
设
，
则
，
当
时，
，当
时，
，即
，
因此数列
的最大项为
，
所以
的取值范围是
.
（3）假设存在正整数
，满足
，
则
，即
，由
且
，得
，
设
，则
，
当
时，
不符题意；当
时，
，此时
符合题意；
当
时，
，不符题意；当
时，
，不符题意；
当
时，
，
因此
，即当
时，不符题意，
所以存在正整数
，满足
.
【点睛】关键点睛：涉及求数列最大项问题，探讨数列的单调性是解题的关键，可以借助作差或作商的方
法判断单调性作答.
5．（24-25 高三下·天津·月考）设数列
是公差不为零的等差数列，满足
，
；数列
的前n 项和为
，且满足
．
(1)求数列
、
的通项公式；
(2)求
值；
(3)在
和
之间插入1 个数
，使
成等差数列；在
和
之间插入2 个数
，使
成等差数列；……；在
和
之间插入n 个数
，使
，
成等差数列．
（ⅰ）求
；
（ⅱ）写出所有使
成立的正整数对
．
【答案】(1)
，
，
(2)
(3)（ⅰ）
；（ⅱ）
及
【分析】（1）由数列
为等差数列，将条件等式中所有项用
表示，解方程组即可求出
，从而
写出
通项公式；对于数列
，由已知等式
，得
，两式相减即可得到
，从而得
为公比为
的等比数列，求出首项即可写出通项公式；
（2）将
变形为
，通过裂项相消法求和即可；
（3）（ⅰ）由题意先写出等差数列
的通项公式
，进而求出
，再用错位相减法求出
的值；
（ⅱ）由
得
，由
时，
，
不是整数，故只需取
代入一一计算即可．
【详解】（1）设数列
的公差为
，
则由
，得
，
，
，
将
代入上式，得
，
，
．
由
，①
故当
时，
，②
-
①②，得
，
， 又
，
是首项为
，公比为
的等比数列，
.
（2）
，
；
（3）（ⅰ）
在
和
之间插入
个数
，
因为
成等差数列，设公差为
，
，
则
，
，
，①
则
，②
-
①②，得
，
.
（ⅱ）由题
，
，
当
时，
，
当
时，
，
当
时，
，
下证：当
时，有
，即证
，
设
，则
，
在
上单调递增，
故
时，
，
，
时，
不是整数，
所有的正整数对
为
及
.
【点睛】关键点点睛：第（3）问关键是求出通项求和，对于二元不定方程整数解问题通过分离参数，比
较分子分母的大小关系来判断．
