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专题03 椭圆中的最值问题
限时：120 分钟 满分：150 分
一、单选题：本大题共8 小题，每个小题5 分，共40 分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要
求的.
1．已知点P 为椭圆
上任意一点，点M、N 分别为
和
上的点，则
的最大值为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
2．点
为椭圆
上任意一点，
分别为左、右焦点，则
的最大值为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．不存在
3．已知椭圆C：
的左、右焦点分别为
，
，圆
：
，点P 和点B 分
别为椭圆C 和圆A 上的动点，当
取最小值3 时，
的面积为（ ）
A．
B．
C．2
D．
4．设
、
是椭圆
的左、右焦点，点P 是直线
上一点，则
的最大值是
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知椭圆
.过点
作圆
的切线交椭圆
于
两点.将
表示为
的函数，
则
的最大值是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
6．过椭圆C：
上的点
，
分别作C 的切线，若两切线的交点恰好在直线：
上，则
的最小值为（ ）
1
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A．
B．
C．－9
D．
7．已知O 为坐标原点，椭圆
上两点A，B 满足
．若椭圆C 上一点M 满足
，则
的最大值为（ ）
A．1
B．
C．
D．2
8．已知
，
是椭圆
：
的两个焦点，
为
上一点，则
的最小值为（ ）
A．
B．8
C．
D．
二、多选题：本大题共4 小题，每个小题5 分，共20 分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符
合题目要求的.
9．已知点
是椭圆
上的动点，点
且
，则|PQ|最小时，m 的值可能是
（ ）
A．-1
B．
C．a
D．3a
10．已知F 为椭圆
的左焦点．设P 是椭圆C 的右准线上一点，过点P 作椭圆O 的两条切线
，切点分别为A，B，则（ ）
A．
的最小值为
B．
的最小值为1
C．
的面积为定值
D．
的周长为定值
11．已知
，
为椭圆
的左、右焦点，
为椭圆上的动点，则下面四个结论正确的是（ ）
A．椭圆的离心率为
B．
的最大值为4
C．
的最大值为3
D．
的最大值为
12．已知F，
分别为椭圆
的左、右焦点，A，B 是椭圆C 上关于原点对称的两点，且已知
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A，B 不是椭圆的顶点，过点A 作
轴，垂足为E，直线BE 与椭圆C 的另一个交点为P，则（ ）
A．四边形
的周长为16
B．
的最小值为
C．
面积的最大值为
D．
三、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．已知椭圆
内有一点
为椭圆的右焦点，椭圆上有一点
，则
的最大值为
．
14．已知
为椭圆
上一动点，点R 满足
且
，则
的最大值是
．
15．已知椭圆
（
且为常数）的左、右焦点分别为
，
，点
是椭圆
上的一点，若
的最大值为25，则椭圆
的离心率为 ．
16．椭圆
上三点A，B，C，其中A 位于第一象限，且A，B 关于原点对称，C 为椭圆右顶
点．过A 作x 轴的垂线，交直线
于D．当A 在椭圆上运动时，总有
，则该椭圆离心
率e 的最大值为 ．
四、解答题：本大题共6 小题，共70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知椭圆M：
的一个焦点为
，左、右顶点分别为A，B，经过点F 的直线与
椭圆M 交于C，D 两点．
(1)当直线的斜率为1 时，求线段CD 的长；
(2)记
与
的面积分别为
和
，求
的最大值．
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18．已知椭圆
过
和
两点．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)如图所示，记椭圆的左，右顶点分别为A，B，当动点M 在定直线
上运动时，直线AM，BM 分别交
椭圆于两点P 和Q，求四边形
面积的最大值．
19．已知椭圆
的长轴长为4，上顶点
到直线
的距离为
．
(1)求
的方程；
(2)直线
与
交于
，
两点，直线
，
分别交直线于
，
两点，求
的最小值．
20．已知椭圆
的离心率为
，直线
与E 交于A，B 两点，当为
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双曲线
的一条渐近线时，A 到y 轴的距离为
.
(1)求E 的方程；
(2)若过B 作x 轴的垂线，垂足为H，OH 的中点为N（O 为坐标原点），连接AN 并延长交E 于点P，直线
PB 的斜率为
，求
的最小值.
21．已知椭圆
的左顶点为
，椭圆
的中心
关于直线
的对称点落在
直线
上，且椭圆
过点
.
(1)求椭圆
的方程；
(2)
为椭圆
上两个动点，且直线
与
的斜率之积为
为垂足，求
的最大值.
22．已知椭圆
的左，右顶点分别为A，B，左焦点为
,点
在椭圆上．
(1)求C 的方程；
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