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第 03 讲 等比数列及其前 项和 (精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：典型例题剖析
题型一：等比数列基本量的运算
题型二：等比数列的判断与证明
题型三：等比数列的性质及其综合应用
角度 1：等比数列的性质
角度 2：等比数列与等差数列的综合问题
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
1.等比数列的概念
(1)等比数列的定义
一般地，如果一个数列从2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数
列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母 ( )表示．数学语言表达： ，
为常数， .
(2)等比中项
如果 ， ， 成等比数列，那么 叫做 与 的等比中项．即： 是 与 的等比中项⇔ ，
， 成等比数列⇔ .
2.等比数列的有关公式
(1)若等比数列 的首项为 ，公比是 ，则其通项公式为 ；可推广为 .
(2)等比数列的前 项和公式：当 时， ；当 时， .
3.等比数列的性质
设数列 是等比数列， 是其前 项和．
(1)若 ，则 ，其中 .特别地，若 ，则 ，其
中 .
， ， ，
(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即 …仍是等比数列，公比为( )．
(3)若数列 ， 是两个项数相同的等比数列，则数列 ， 和 (其中 ， ，
是非零常数)也是等比数列．
第二部分：典 型 例 题 剖 析
题型一：等比数列基本量的运算
典型例题
例题1．（2022·浙江省杭州第九中学高二期末）已知正项等比数列 前 项和为 ，且 ，
，则等比数列的公比为（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】A
【详解】因为 ，
所以
设公比为q ，可得： ，
两式相除得：
故选：A
例题2．（2022·内蒙古巴彦淖尔·高一期末）设单调递增的等比数列 满足 ， ，
则公比 （ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【详解】因为 为等比数列，所以 ，所以 ，则
，
又 单调递增，所以 ，
解得： ， ，则 ，因为 ，所以 ．
故选：A
例题3．（2022·全国·高三专题练习）已知 是等差数列， ，公差 ， 为其前 项和，若
， ， 成等比数列，则 ________．
【答案】
【详解】因为 ， ， 成等比数列
，即
解得 或 （舍）
故答案为：
例题4．（2022·江苏·高二课时练习）在等比数列 中，
(1)已知 ， ，求 ；
(2)已知 ， ，求 和 ；
(3)已知 ， ，求 ；
(4)已知 ， ，求 ．
【答案】(1) ；
(2) ， ，或 ， ；(3)9；(4)±4.
(1)等比数列 中， ， ，
；
(2)等比数列 中， ， ，
，
；
当 时， ，
当 时， ，
， 或 ， ；
(3)等比数列 中， ， ，，
；
(4)等比数列 中，设公比为q，
∵ ， ，
∴ ，
两式相除并化简得， ，
解得 或 ，
当 时， ， ，
当 时， ， ，
综上， 或 ．
题型归类练
1．（2022·四川·盐亭中学高二开学考试）设 是等比数列 的前n项和， ， ，则首项
（ ）
A． B．12 C．1或 D．3或12
【答案】D
【详解】 是等比数列 的前n项和， ， ，
∴当公比q＝1时， ，此时 满足题意，
当公比q≠1时， ，
解得 ，
∴首项 的值为3或12．
故选：D．
2．（2022·北京市第十二中学高二阶段练习）已知等比数列 中， ，则 （ ）
A． B． C．1 D．2【答案】C
【详解】设等比数列 的公比为 ，
由 ，得 ，解得 ， .
故选：C
3．（2022·江苏·高二课时练习）已知数列 是等比数列．
(1)如果 ， ，求公比 和 ；
(2)如果 ， ，求公比 和 ．
【答案】(1) ，
(2) ，
(1)由已知
.
即 ， ；
(2)由已知 ，
即 ， .
4．（2022·全国·高三专题练习）在等比数列 中， ， .
(1)求 的通项公式；
(2)记 为 的前 项和，若 ，求 .
【答案】(1) 或
(2) 或
（1）设等比数列 的公比为 ，
由 得： ，即 ，解得： 或 ，
或 .
（2）当 时， ，解得： ；当 时， ，解得： ；
综上所述： 或 .
题型二：等比数列的判断与证明
典型例题
例题1．（2022·全国·高二单元测试）已知数列 的前 项和为 ，若 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：由 ，得 （ ， ），两式相减得 ，（
， ），则 （ ， ）．
又 时， ，所以此数列从第2项起是公比为4的等比数列，所以 （
， ），则 ．
故选：A．
例题2．（2022·宁夏·平罗中学高一期中（文））数列 中，若 ， ，（ ，
），则 _________．
【答案】
【详解】由题意知： ，又由 得 ，故数列 是首项为 ，公比为3的等比数列，故
.
故答案为： .
例题3．（2022·江苏·高二课时练习）已知数列 的通项公式，判断它是否为等比数列．
(1) ；(2) ；(3) ；(4) ．
【答案】(1)是(2)是(3)是(4)不是
(1)由已知 ， ，又
故数列 是以3为公比，3为首项的等比数列；
(2)由已知 ， ，又故数列 是以8为公比，16为首项的等比数列；
(3)由已知 ， ，又
故数列 是以 为公比， 为首项的等比数列；
(4) ，等比数列中各项均不能为0，
故数列 不是等比数列.
例题4．（2022·内蒙古通辽·二模（文））已知数列 的前 项和为 ，且 .
(1)证明： 为等比数列.
【答案】(1)证明见解析
(1)证明：因为 ，所以当 时， ，可得 ；
当 时，由 可得 ，
所以 ，所以 .
即 是首项为 ，公比为 的等比数列，所以， .
题型归类练
1．（2022·甘肃·高台县第一中学高三阶段练习（文））数列 的前 项和为 ，且满足 ，
，则 ________.
【答案】 .
【详解】因为 ，所以 ，所以数列 是以 为首项，以2为公比的等比数列，
所以 .
故答案为
2．（2022·天津河东·高二期末）若数列 的通项公式 ，其前5项和 ___________
【答案】
【详解】数列 的通项公式 ，
则 ，故数列 首项为2公比为2的等比数列，
所以
故答案为：3．（2022·山东淄博·高二期末）已知数列 的前n项和为 ， ， ．
(1)证明： 为等比数列，并写出它的通项公式：
【答案】(1)证明见解析，
(1)解：因为 ①，
当 时 ，解得 ，
当 时 ②，
① ②得 ，即 ，即 ，
所以 ， ，所以 是以 为首项、 为公比的等比数列，
所以 .
4．（2022·山西临汾·一模（理））已知数列 的前n项和为 ，满足
(1)证明：数列 为等比数列；
【答案】(1)证明见解析
(1)
证明：由题可知，
①
②
得∶ ，即
当 时，由①知
所以 是以 为首项，以 为公比的等比数列.
题型三：等比数列的性质及其综合应用
角度 1：等比数列的性质
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习）对任意等比数列 ，下列说法一定正确的是（ ）
A． 成等比数列 B． 成等比数列
C． 成等比数列 D． 成等比数列
【答案】D
【详解】由等比数列的性质得 ，因此 一定成等比数列．
故选：D.
例题2．（2022·四川成都·高一期末（文））已知在递减等比数列 中， ， ，若
，则 （ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】A
【详解】由 ， 且 可解得 ，因此可得等比数列的公比为 ，
所以
故选：A
例题3．（2022·湖北·武汉市钢城第四中学高二期中）等比数列 的各项均为正数，且
，则 （ ）
A． B． C．10 D．
【答案】C
【详解】∵ ，∴ ，
∴ .
故选：C.
例题4．（2022·陕西渭南·高二期末（文））已知等比数列 的前 项和为 ，若 ， ，
则 （ ）
A．20 B．30 C．40 D．50
【答案】B
【详解】因为 是等比数列，所以 成等比数列，即 成等比数列，
显然 ，
故选：B
例题5．（2022·全国·高二课时练习）已知等比数列 的公比 ，前 项和为 ，则其偶
数项 为（ ）
A．15 B．30
C．45 D．60
【答案】D
【详解】设 ，则 ，
又因为 ，所以 ，
所以 .故选: D
例题6．（2022·全国·高三专题练习（文））等比数列 的前 项和为 ，若 ，则
（ ）
A．2 B．-2 C．1 D．-1
【答案】A
【详解】设等比数列的公比为q，当 时， ，不合题意；
当 时，等比数列前 项和公式 ，
依题意 .
故选：A
例题7．（多选）（2022·浙江·高二期中）设等比数列 的公比为 ，其前 项和为 ，前 项积为
，并且满足条件 ， ， ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． 的最大值为 D． 的最大值为
【答案】AD
【详解】因为 ， ， ，
所以 ， ，所以 ，故A正确.
，故B错误；
因为 ， ，所以数列 为递减数列，所以 无最大值，故C错误；
又 ， ，所以 的最大值为 ，故D正确.
故选：AD
题型归类练
1．（2022·全国·高二）已知等比数列 中， ， ，则公
比 （ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】D
【详解】等比数列 满足 ，
.
故选：D2．（多选）（2022·全国·高三专题练习）已知数列 是等比数列，下列结论正确的为（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】AC
【详解】对于A项， ，得 ， ，故A正确；
对于B项，当 时， ，但 ，故B错误；
对于C项， ， ，
，即 ，故C正确；
对于D项，当 时， ，但 ，故D错误；
故选：AC
3．（2022·甘肃·天水市第一中学高二学业考试）在等比数列 中，若 ， 是方程 的两
根，则 _________.
【答案】
【详解】若 ， 是方程 的两根，则
∵数列 为等比数列，则
故答案为： ．
4．（2022·广东·佛山市第四中学高二阶段练习）等比数列 的前n项和为 ，若 ， ，则
（ ）
A．10 B．70 C．30 D．90
【答案】B
【详解】由等比数列的性质可得， ， ， 成等比数列
∴（S －S ）2＝S ·（S －S ）
20 10 10 30 20
∴400＝10·（S －30）
30
∴S ＝70
30
故选：B.
5.（2022·全国·高二课时练习）等比数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 的值为（ ）
A．16 B．48 C．32 D．63
【答案】D【详解】因为 为等比数列 的前n项和，结合条件，所以 ， ， 成等比数列，
所以 ，即 ，解得Sn=63.
故选D.
6．（2022·全国·高二）已知项数为奇数的等比数列 的首项为1，奇数项之和为21，偶数项之和为10，
则这个等比数列的项数为（ ）
A．5 B．7 C．9 D．11
【答案】A
【详解】根据题意，数列 为等比数列，设 ，
又由数列 的奇数项之和为21，偶数项之和为10，则 ，
故 ；
故选：
7．（2022·全国·高三专题练习）数列 中， ，对任意 ，若
，则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【详解】在等式 中，令 ，可得 ， ，
所以，数列 是以 为首项，以 为公比的等比数列，则 ，
，
，则 ，解得 .
故选：C.
8．（2022·全国·高二课时练习）已知正项等比数列 共有 项，它的所有项的和是奇数项的和的 倍，
则公比 ______.
【答案】
【详解】设等比数列 的奇数项之和为 ，偶数项之和为 ，
则 ，
由 ，得 ，因为 ，所以 ，所以 ， .
故答案为： .
角度 2：等比数列与等差数列的综合问题典型例题
例题1．（2021·宁夏育才中学高二期中（理））已知等差数列 满足 ， ，等比数
列 满足 ， ，则
A．32 B．64 C．128 D．256
【答案】B
【详解】由 ， 可知数列 ,所以 ,故
.故选B.
例题2．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 是首项 的等比数列，且 ， ， 成等差
数列，则其公比 等于________．
【答案】
【详解】∵ ， ， 成等差数列，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 或 (舍)．
∴ .
故答案为： .
例题3．（2021·黑龙江·大庆中学高二开学考试）已知等差数列 ，若 ，且 ， ， 成等比
数列．
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
【答案】（Ⅰ） 或 （Ⅱ）
【详解】解：（Ⅰ）∵ ，∴ ①
∵ ， ， 成等比数列，∴ ，∴ 化简得 ，
若 ，
若 ， ②，由①②可得， ，
所以数列的通项公式是 或
题型归类练
1．（2021·陕西宝鸡·模拟预测（理））在等差数列 中， ，且 ， ， 成等比数列，则
公差 __________．
【答案】3【详解】 ， ， 成等比数列，
， 解得d=3或d=-1,当d=-1时，
不符合等比数列，故d=3
故答案为3
2．（2021·河南·南阳中学高二阶段练习）已知1、 、 、9成等差数列，1、 、 、 、9成等比数
列，且 、 、 、 、 都是实数，则 ________．
【答案】
【详解】因为1、 、 、9成等差数列，所以 ，
因为1、 、 、 、9成等比数列，
所以 且 ， ，
所以 ，答案为
3．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列 的前 项和为 ，等比数列 的前 项和为 ，
.
（1）若 ，求 的通项公式；
（2）若 ，求 .
【答案】（1） ；（2）当 时， .当 时， .
【详解】设 的公差为d， 的公比为q，则 ， .
由 得 .①
（1）由 得 ②
联立①和②解得 （舍去），
因此 的通项公式为 .
（2）由 得 .
解得 .
当 时，由①得 ，则 .
当 时，由①得 ，则 .
