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专题05 三角函数及解三角形
任意角的三角函数
一、单选题
1．（2024 山西省吕梁二模）已知角
的顶点在原点，始边在
轴的正半轴上，终边经过点
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024 浙江省天域全国名校协作体二模）古人把正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函
数、余割函数、正矢函数、余矢函数这八种三角函数的函数线合称为八线.其中余切函数
，正
割函数
，余割函数
，正矢函数
，余矢函数
.如
图角
始边为
轴的非负半轴，其终边与单位圆交点
，
、
分别是单位圆与
轴和
轴正半轴的交点，
过点
作
垂直
轴，作
垂直
轴，垂足分别为
、
，过点
作
轴的垂线，过点
作
轴的垂
线分别交
的终边于
、，其中
、
、
、
为有向线段，下列表示正确的是（ ）
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1
2
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A．
B．
C．
D．
3．（2024 新疆乌鲁木齐地二模）已知角
终边上
点坐标为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2024 福建省莆田二模）已知角
的顶点为坐标原点，始边与
轴的非负半轴重合，把它的终边绕原
点逆时针旋转角
后经过点
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
5．（2024 浙江省温州二模）已知角
的顶点为坐标原点，始边与
轴的非负半轴重合，
为其终边
上一点，若角
的终边与角
的终边关于直线
对称，则（ ）
A．
B．
C．
D．角
的终边在第一象限
三、填空题
6．（2024 广东二模）如图，在平面直角坐标系
中放置着一个边长为1 的等边三角形
，且满足
与
轴平行，点
在
轴上.现将三角形
沿
轴在平面直角坐标系
内滚动，设顶点
的轨迹方
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2
3
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程是
，则
的最小正周期为 ；
在其两个相邻零点间的图象与
轴所围区域的面积
为 .
7．（2024 山东省部分学校金科大联考二模）在平面直角坐标系中，角
的始边与
轴非负半轴重合，终
边经过点
，则
．
三角变换
一、单选题
1．（2024 辽宁二模）数学试题）已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024 青海省西宁大通二模）已知
,则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（浙江省杭州市2024 届高三下学期4 月教学质量检测数学试题）在
中，已知
．若
，则
（ ）
A．无解
B．2
C．3
D．4
4．（2024 浙江省天域全国名校协作体二模）已知
，则
（ ）
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3
4
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A．
B．
C．
D．
5．（2024 山西省天一名校二模）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2024 浙江省宁波二模）若
为锐角，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2024 河南省新乡一中二模）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2024 湖北省七市州二模）若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（2024 安徽省池州二模）已知
，则
（ ）
A．7
B．-7
C．
D．
10．（2024 辽宁省鞍山六中二模）已知
，
均为锐角，
，则
取得最大值时，
的值为（ ）
A．
B．
C．1
D．2
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4
5
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11．（2024 吉林省白山二模）若
，则
（ ）
A．
B．7
C．
D．
12．（2024 河南省新乡二模）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
13．（2024 广东省广州市天河区二模）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
14．（2024 浙江省绍兴二模）已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
15．（2024 东北三省四城市联考二模）已知
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
16．（2024 河北省石家庄二模）已知
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
17．（2024 湖南省岳阳二模）已知
，则（ ）
A．
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5
6
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B．
C．
D．
18．（2024 湖南衡阳二模）已知
，
则
（ ）
A．
B．
C．2
D．4
二、填空题
19．（2024 山西省晋城二模）已知
，
，则
．
20．（2024 河北邯郸二模）正五角星是一个非常优美的几何图形，其与黄金分割有着密切的联系，在如图
所示的五角星中，以
为顶点的多边形为正边边形，设
，则
，
．
21．（2024 年山东二模考）已知
，且
，那么
．
三角函数的图像与性质
一、单选题
1．（2024·江苏南通·二模）已知函数
（
）在区间
上单调递增，则
的
最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
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6
7
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2．（2024·浙江丽水·二模）将函数
的图象向右平移
个单位后得到函数
的图
象，若对满足
的
，有
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024·山东·二模）已知函数
，若将
的图象向左平移
个单位后所得的函
数图象与曲线
关于
对称，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．1
D．
4．（2024·浙江嘉兴·二模）已知函数
是奇函数，则
的值可以是（ ）
A．0
B．
C．
D．
5．（2024·广东·二模）在平面直角坐标系
中，已知圆
，若等腰直角
的直角边
为圆
的一条弦，且圆心
在
外，点
在圆
外，则四边形
的面积的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2024·广东湛江·二模）函数
在
上的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2024·浙江杭州·二模）设甲：“函数
在
单调递增”，乙：“
”，则甲
是乙的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
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8．（2024·辽宁抚顺·三模）已知函数
，则下列结论正确的是（ ）
A．
的最小正周期为
B．
在
上单调递增
C．
为偶函数
D．
的最小值为
9．（2024·湖北·二模）将函数
的图象上每一点的横坐标变为原来的
（纵坐标不变），再
向右平移
个单位长度，所得图象对应的函数（ ）
A．在区间
上单调递减
B．在区间
上单调递增
C．在区间
上单测递减
D．在区间
上单调递增
10．（2024·山东·二模）已知函数
，则下列结论正确的是（ ）．
A．函数
的最大值是
B．函数
在
上单调递增
C．该函数的最小正周期是
D．该函数向左平移
个单位后图象关于原点对称
11．（2024·湖南·二模）已知函数
，若沿
轴方向平移
的图象，总能保证
平移后的曲线与直线
在区间
上至少有2 个交点，至多有3 个交点，则正实数
的取值范围为
（ ）
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9
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A．
B．
C．
D．
12．（2024·全国·二模）若函数
的图象关于
轴对称，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
13．（2024·广东佛山·二模）已知函数
在
有且仅有两个零点，且
，则
图象的一条对称轴是（ ）
A．
B．
C．
D．
14．（2024·黑龙江吉林·二模）已知函数
为偶函数，其图象上相邻两对
称轴之间的距离为
，若
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
15．（2024·湖南长沙·二模）已知函数
的最小正周期为
，直线
是
图象的一条对称轴，则
的单调递减区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
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16．（2024·湖南衡阳·二模）已知函数
的部分图像如图所示，
，则
（ ）
A．0
B．
C．
D．
17．（2024·河南郑州·二模）声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数
，但我们平时听到的乐音不止是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音.若一个复合音
的数学模型是函数
，则下列说法正确的是（ ）
A．
的一个周期为
B．
的最大值为
C．
的图象关于点
对称
D．
在区间
上有2 个零点
二、多选题
18．（2024·广东深圳·二模）已知函数
（
，
）的最大值为
，其部分图
象如图所示，则（ ）
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A．
B．函数
为偶函数
C．满足条件的正实数
，存在且唯一
D．
是周期函数，且最小正周期为
19．（2024·安徽黄山·二模）已知函数
图象上相邻两条对称轴之间的距离
为
，则（ ）
A．函数
图象关于点
对称
B．函数
图象关于直线
对称
C．函数
在
上单调递增
D．函数
在
上有
个零点
20．（2024·山东聊城·二模）已知函数
，
则下列结论正确的是（ ）
A．若动直线
与
的图象的交点分别为
，则
的长可为
B．若动直线
与
的图象的交点分别为
，则
的长恒为
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C．若动直线
与
的图象能围成封闭图形，则该图形面积的最大值为
D．若
，则
21．（2024·广东韶关·二模）设函数
，则（ ）
A．
是偶函数
B．
在
上有6 个零点
C．
的是小值为
D．
在
上单调递减
22．（2024·浙江嘉兴·二模）已知角
的顶点与原点重合，它的始边与
轴的非负半轴重合，终边过点
，定义：
.对于函数
，则（ ）
A．函数
的图象关于点
对称
B．函数
在区间
上单调递增
C．将函数
的图象向左平移
个单位长度后得到一个偶函数的图象
D．方程
在区间
上有两个不同的实数解
23．（2024·浙江宁波·二模）已知函数
，（ ）
A．若
，则
是最小正周期为
的偶函数
B．若
为
的一个零点，则
必为
的一个极大值点
C．若
是
的一条对称轴，则
的最小值为
D．若
在
上单调，则
的最大值为
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24．（2024·广东·二模）下列函数中，是偶函数且在
上单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
25．（2024·安徽·二模）已知函数
（
，
）的部分图象如图，则（ ）
A．
B．函数
的图象关于
轴对称
C．函数
在
上单调递减
D．函数
在
有4 个极值点
26．（2024·云南贵州·二模）已知函数
，则下列说法正确的是
A．
B．函数
的最小正周期为
C．函数
的图象的对称轴方程为
D．函数
的图象可由
的图象向右平移
单位长度得到
27．（2024·河南新乡·二模）已知函数
在区间
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上的最小值为a，最大值为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．将函数
的图象向右平移
个单位长度后，所得函
数的图象关于
轴对称
28．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）已知函数
的最小正周期为
，则（ ）
A．
B．
是
图象的一个对称中心
C．
在区间
上单调递增
D．
在区间
上的最小值为
29．（2024·湖南·二模）已知
，下列结论正确的是（ ）
A．若
的最小正周期为
，则
B．若
的图象向左平移
个单位长度后得到的图象关于
轴对称，则
C．若
在
上恰有4 个极值点，则
的取值范围为
D．存在
，使得
在
上单调递减
30．（2024·安徽池州·二模）已知函数
，则（ ）
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A．
的图象关于点
对称
B．
在区间
内有2 个极大值点
C．
D．将函数
的图象向左平移
个单位，所得图象关于直线
对称
31．（2024·黑龙江·二模）函数
的部分图象如图所示，下列结论正确的是
（ ）
A．
B．
C．
的图象的一个对称中心为
D．设函数
，则
在
上的最小值为
32．（2024·湖南邵阳·二模）已知函数
，则下列结论正确的有（ ）
A．
的最小正周期为
B．
关于点
对称
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16
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C．
关于直线
对称
D．
在区间
上单调递减
三、填空题
33．（2024·浙江绍兴·二模）已知函数
，若
，
，
，
则实数
的取值范围是 .
34．（2024·安徽芜湖·二模）已知偶函数
的图像关于点
中心对称，且在区
间
上单调，则
．
35．（2024·湖北·二模）已知函数
满足
恒成立，且在区间
上无最小值，则
．
36．（2024·云南红河·二模）已知函数
在
上恰好有三个零点，请写出符
合条件的一个
的值： .
37．（2024·福建厦门·二模）已知函数
在
上单调，
，则
的可能取值为 .
四、解答题
38．（2024·河北承德·二模）已知函数
的最小正周期为
.
(1)求
在
上的单调递增区间；
(2)在锐角三角形
中，内角
的对边分别为
且
求
的取值范围.
39．（2024·江苏南通·二模）设函数
.已知
的图象的两条相邻对称轴
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间的距离为
，且
.
(1)若
在区间
上有最大值无最小值，求实数m 的取值范围；
(2)设l 为曲线
在
处的切线，证明：l 与曲线
有唯一的公共点.
40．（2024·黑龙江·二模）已知向量
，
，且函数
在
上的最大值为
．
(1)求常数
的值；
(2)求函数
的单调递减区间．
解三角形
一、单选题
1．（2024·山东聊城·二模）如图，在平面四边形
中，
，记
与
的面积分别为
，则
的值为（ ）
A．2
B．
C．1
D．
2．（2024·广东韶关·二模）在
中，
．若
的最长边的长为
．则最短边的
长为（ ）
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18
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A．
B．
C．2
D．
3．（2024·广东·二模）在一堂数学实践探究课中，同学们用镜而反射法测量学校钟楼的高度.如图所示，将
小镜子放在操场的水平地面上，人退后至从镜中能看到钟楼顶部的位置，此时测量人和小镜子的距离为
，之后将小镜子前移
，重复之前的操作，再次测量人与小镜子的距离为
，
已知人的眼睛距离地面的高度为
，则钟楼的高度大约是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2024·广东梅州·二模）如图，两根绳子把物体M 吊在水平杆子AB 上.已知物体M 的重力大小为20 牛，
且
，在下列角度中，当角
取哪个值时，绳
承受的拉力最小.（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）在
中，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2024·湖南·二模）在
中，角
所对边分别为
，且
，若
，
，则
的值为（ ）
A．1
B．2
C．4
D．2 或4
7．（2024·黑龙江·二模）“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》.“规”指圆规，“矩”指由
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相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量、画圆和方形图案的工具，今有一块圆形木板，按
图中数据，以“矩”量之，若将这块圆形木板截成一块四边形形状的木板，且这块四边形木板的一个内角
满足
，则这块四边形木板周长的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2024·黑龙江·二模）在锐角三角形
中，角
，
，
所对的边分别为
，
，且
，
则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（2024·河南新乡·二模）在
中，内角
，
，
的对边分别为
，
，，且
，
，
，
则（ ）
A．
为锐角三角形
B．
为直角三角形
C．
为钝角三角形
D．
的形状无法确定
10．（2024·湖南·二模）钝角
中，
，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．0
二、多选题
11．（2024·新疆·二模）如图，在
中，内角
的对边分别为
，若
，且
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是
外一点，
，则下列说法正确的是（ ）
A．
是等边三角形
B．若
，则
四点共圆
C．四边形
面积的最小值为
D．四边形
面积的最大值为
12．（2024·河南新乡·二模）如图，已知双曲线
：
（
，
）的左、右焦点分别为
，
，点
在
上，点
在
轴上，
，
，
三点共线，若直线
的斜率为
，直线
的斜率为
，则（ ）
A．
的渐近线方程为
B．
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C．
的面积为
D．
内接圆的半径为
13．（2024·福建厦门·二模）如图1，扇形
的弧长为
，半径为
，线段
上有一动点
，弧
上一点
是弧的三等分点，现将该扇形卷成以
为顶点的圆锥，使得
和
重合，则在图2 的圆锥
中（ ）
A．圆锥的体积为
B．当
为
中点时，线段
在底面的投影长为
C．存在
，使得
D．
三、解答题
14．（2024·辽宁·二模）在
中，
为
边上一点，
，且
面积是
面积的2 倍．
(1)若
，求
的长；
(2)求
的取值范围．
15．（2024·广东梅州·二模）在
中，角A，B，C 所对应的边分别为a，b，c，
，
，
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22
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(1)求A 的大小：
(2)点D 在BC 上，
（Ⅰ）当
，且
时，求AC 的长；
（Ⅱ）当
，且
时，求
的面积
．
16．（2024·浙江嘉兴·二模）在
中，内角
所对的边分别是
，已知
.
(1)求
的值；
(2)若
为锐角三角形，
，求
的值.
17．（2024·河北石家庄·二模）在
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，设向量
，
.
(1)求函数
的最大值;
(2)若
，求
的面积.
18．（2024·湖北·二模）已知
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，
，
．
(1)求A；
(2)者
，
，求
的取值范围．
19．（2024·山东·二模）如图所示，
是海面上位于东西方向的两个观测点，
海里，
点
位于
观测点北偏东
，且
观测点北偏西
的位置，
点位于
观测点南偏西
，且
海
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里．现
点有一艘轮船发出求救信号，
点处的救援船立即前往营救，其航行速度为30 海里/时．求：
(1)
的距离；
(2)该救援船到达
点所需要的时间．
20．（2024·河南新乡·二模）已知
的内角
的对边分别为
．
(1)求
的值；
(2)若
的面积为
，且
，求
的周长．
21．（2024·河南开封·二模）记
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
．
(1)求
；
(2)若
，再从条件①，条件②，条件③中选择一个条件作为已知，使其能够确定唯一的三角形，并求
的面积．
条件① ：
；条件② ：
；条件③ ：
．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解
答计分．
22．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）记
的内角
，
，
的对边分别为
，
，，已知
，
.
(1)求角
的大小;
(2)已知直线
为
的平分线，且与
交于点
，若
，求
的周长.
23．（2024·浙江温州·二模）记
的内角
所对的边分别为
，已知
．
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(1)求
；
(2)若
，
，求
的面积．
24．（2024·广东佛山·二模）在
中，
，
，分别是角
，
，
所对的边，点
在边
上，且
满足
，
．
(1)求
的值；
(2)若
，求
．
25．（2024·安徽安庆·二模）如图，在平面凸四边形
中，
.
(1)求
；
(2)若
，
，求
.
新定义问题
一、单选题
1．（2024·浙江·二模）古人把正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数、正矢函
数、余矢函数这八种三角函数的函数线合称为八线.其中余切函数
，正割函数
，余
割函数
，正矢函数
，余矢函数
.如图角
始边为
轴的非负
半轴，其终边与单位圆交点
，
、
分别是单位圆与
轴和
轴正半轴的交点，过点
作
垂直
轴，
作
垂直
轴，垂足分别为
、
，过点
作
轴的垂线，过点
作
轴的垂线分别交
的终边于
、，
其中
、
、
、
为有向线段，下列表示正确的是（ ）
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A．
B．
C．
D．
二、多选题
2．（2024·安徽芜湖·二模）在平面直角坐标系xOy 中，角θ 以坐标原点O 为顶点，以x 轴的非负半轴为始
边，其终边经过点
，
，定义
，
，则（ ）
A．
B．
C．若
，则
D．
是周期函数
三、填空题
3．（2024·广东佛山·二模）近年，我国短板农机装备取得突破，科技和装备支撑稳步增强，现代农业建设
扎实推进.农用机械中常见有控制设备周期性开闭的装置.如图所示，单位圆O 绕圆心做逆时针匀速圆周运
动，角速度大小为
，圆上两点A，B 始终满足
，随着圆O 的旋转，A，B 两点的位置关
系呈现周期性变化.现定义：A，B 两点的竖直距离为A，B 两点相对于水平面的高度差的绝对值.假设运动
开始时刻，即
秒时，点A 位于圆心正下方：则
秒时，A，B 两点的竖直距离第一次为0；A，B
两点的竖直距离关于时间t 的函数解析式为
.
四、解答题
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4．（2024·上海·二模）固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691 年，莱布尼茨
等得出“悬链线”方程
，其中为参数.当
时，就是双曲余弦函数
，悬
链线的原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．类比三角函数的三种性质：①平方关系：
；②两角和公式：
，③导数：
定义双曲
正弦函数
．
(1)直接写出
，
具有的类似①、②、③的三种性质（不需要证明）；
(2)当
时，双曲正弦函数
的图像总在直线
的上方，求直线斜率
的取值范围；
(3)无穷数列
满足
，
，是否存在实数
，使得
？若存在，求出
的值，若不
存在，说明理由.
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