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专题05 圆锥曲线大题综合(新高考浙江专用)
一、解答题
1．（2023·浙江·校联考三模）已知双曲线
为其左右焦点，点
为其右支上一点，在
处作双曲线的切线.
(1)若
的坐标为
，求证：为
的角平分线；
(2)过
分别作的平行线
，其中交双曲线于
两点，
交双曲线于
两点，
求
和
的面积之积
的最小值.
2．（2023·浙江金华·浙江金华第一中学校考模拟预测）已知抛物线
，圆
是
上异于原点的一点.
(1)设
是
上的一点，求
的最小值；
(2)过点
作
的两条切线分别交
于
两点（异于
）.若
，求点
的坐
标.
3．（2023·浙江嘉兴·统考二模）已知双曲线
的右焦点为
是双曲线
上一点.
(1)求双曲线
的方程；
(2)过点
作斜率大于0 的直线与双曲线的右支交于
两点，若
平分
，求
1
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直线的方程.
4．（2023·浙江嘉兴·校考模拟预测）已知双曲线
：
的离心率为
，并且经过点
．
(1)求双曲线
的方程．
(2)若直线经过点
，与双曲线右支交于
、
两点其中
点在第一象限，点
关于原点的对称点为
，点
关于
轴的对称点为
，且直线
与
交于点
，直
线
与
交于点
，证明：双曲线在点
处的切线平分线段
．
5．（2023·浙江金华·模拟预测）P 是双曲线
右支上一点，A，B 是双曲线的
左右顶点，过A，B 分别作直线PA，PB 的垂线AQ，BQ，AQ 与BQ 的交点为Q，PA 与
BQ 的交点为C．
(1)记P，Q 的纵坐标分别为
，求
的值；
(2)记
的面积分别为
，当
时，求
的取值范围．
6．（2023·浙江·统考二模）已知双曲线
的左、右顶点分别为A，B，过点
的直线l 交双曲线于P，Q 两点（不与A，B 重合），直线
，
分别与y 轴交
于M，N 两点．
(1)记直线
，
的斜率分别为
，
，求
；
(2)记
，
的面积分别为
，
，当
时，求直线l 的方程．
7．（2023·浙江·二模）已知
，
分别为双曲线
：
的左、右焦点，
是
上一点，线段
与
交于
点.
(1)证明：
；
2
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(2)若
的面积为8，求直线
的斜率.
8．（2023·浙江绍兴·统考二模）已知抛物线
的焦点为
，过点
斜
率为1 的直线与抛物线相交所截得的弦长为2.
(1)求
的值并写出抛物线焦点
的坐标；
(2)设点
是抛物线外任意一点，过点
作抛物线
的切线，切点分别为
，探究：
是否存在以点
为直角顶点的等腰直角三角形
.若存在，请求出点
的坐标；若不
存在，请说明理由.
9．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）设抛物线
，过
轴上点
的直
线与
相切于点
，且当的斜率为
时，
.
(1)求
的方程；
(2)过
且垂直于的直线交
于
两点，若
为线段
的中点，证明：直线
过定点.
10．（2023·浙江金华·统考模拟预测）已知双曲线
的方程为：
，左右焦点
分别为
，
是线段
的中点，过点
作斜率为
的直线，l 与双曲线的左支交
于
两点，连结
与双曲线的右支分别交于
两点.
(1)设直线
的斜率为
，求
的取值范围.
(2)求证：直线
过定点，并求出定点坐标.
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11．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知双曲线
的离心率为
，且经过点
．
(1)求双曲线C 的标准方程及其渐近线方程；
(2)已知过点
的直线
与过点
的直线
的交点N 在双曲线C 上，直线
与双曲线C 的两条渐近线分别交于
P，Q 两点，证明
为定值，并求出定值．
12．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知
是双曲线
的左焦点，点
在双曲线上且双曲线的离心率为2.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若
是双曲线在第二象限内的动点，
，记
的内角平分线所在直线斜率
为
，直线
斜率为
,求证：
是定值.
13．（2023·浙江温州·统考三模）已知抛物线
与双曲线
相交于两点
是
的右焦点，直线
分别交
于
（不同于
点），直线
分别交
轴于
两点.
(1)设
，求证：
是定值；
(2)求
的取值范围.
14．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考模拟预测）已知椭圆C：
离心率为
，一个焦点位于抛物线
的准线上．
(1)求椭圆C 的标准方程；
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(2)设直线l 交椭圆C 于A，B 两点，点
，直线
分别交
轴于点
，且
.
①问直线l 是否经过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由；
②求点P 到直线l 的距离的最大值．
15．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）已知抛物线
，过焦点
的直
线交抛物线
于
，
两点，且
.
(1)求抛物线
的方程；
(2)若点
，直线
，
分别交准线于
，
两点，证明：以线段
为直径
的圆过定点.
16．（2023·浙江·校联考二模）已知双曲线
的渐近线方程为
，
左右顶点为
，设点
，直线
分别与双曲线交于
两点（不同于
）.
(1)求双曲线的方程；
(2)设
的面积分别为
，若
，求直线
方程.（写出一条即可）
17．（2023·浙江·校联考三模）设双曲线
的右焦点为
，
右焦点到双曲线的渐近线的距离为．
(1)求双曲线
的方程；
(2)若
，点
在线段
上（不含端点），过点
分别作双曲线两支的
切线，切点分别为
．连接
，并过
的中点
分别作双曲线两支的切线，切点
分别为
，求
面积的最小值．
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18．（2023·浙江杭州·统考二模）已知椭圆
的离心率为
，
左、右顶点分别为
、
，点
、
为椭圆上异于
、
的两点，
面积的最大值
为
．
(1)求椭圆
的方程；
(2)设直线
、
的斜率分别为
、
，且
．
①求证：直线
经过定点．
②设
和
的面积分别为
、
，求
的最大值．
19．（2023·浙江台州·统考二模）已知过点
的直线与双曲线
：
的
左右两支分别交于
、
两点.
(1)求直线的斜率
的取值范围；
(2)设点
，过点
且与直线垂直的直线
，与双曲线
交于
、
两点.当直线变化时，
恒为一定值，求点
的轨迹方程.
20．（2023·浙江·统考二模）已知双曲线
，点
是双曲线
的左顶点，
点
坐标为
.
(1)过点
作
的两条渐近线的平行线分别交双曲线
于
，两点.求直线
的方程；
(2)过点
作直线与椭圆
交于点
，
，直线
，
与双曲线
的另一
个交点分别是点
，
.试问：直线
是否过定点，若是，请求出该定点坐标；若
不过定点，请说明理由.
21．（2023·浙江·校联考模拟预测）坐标平面
中，
是椭圆
上一点，经过
的直线（不过
点）与
交于
两点，直线
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与
的斜率乘积为
.
(1)求
的方程；
(2)直线与
交于点
，且
.当点
到直线的距离最大时，求直线的方程.
22．（2023·浙江宁波·镇海中学校考模拟预测）已知椭圆
，F 为其右焦点，
，
为椭圆外两点，直线
交椭圆于
两点．
(1)若
，
，求
的值；
(2)若三角形
面积为S，求S 的取值范围．
23．（2023·浙江宁波·统考二模）已知双曲线
，点
与双曲线上的点
的距离的最小值为
．
(1)求双曲线E 的方程；
(2)直线
与圆
相切，且交双曲线E 的左、右支于A，B 两
点，交渐近线于点M，N．记
，
的面积分别为
，
，当
时，
求直线l 的方程．
24．（2023·浙江·统考二模）已知双曲线
的左、右焦点分别为
，且
到
的一条渐近线的距离为
.
(1)求
的方程；
(2)过
的左顶点且不与
轴重合的直线交
的右支于点
，交直线
于点
，过
作
的平行线，交直线
于点
，证明：
在定圆上.
25．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）已知椭圆
的焦距为2，
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且经过点
．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)若椭圆C 内接四边形MNQP 的对角线交于点
，满足
，试问：
直线MN 的斜率是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
26．（2023·浙江金华·统考模拟预测）在平面直角坐标系
中，已知点
，点
的轨迹为
.
(1)求
的方程；
(2)设点
在直线
上，
为
的左右顶点，直线
交
于点
（异于
），直线
交
于点
（异于
），
交
于
，过
作
轴的垂线分别
交
､
于
，问是否存在常数
，使得
.
27．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）已知
，直线
相交于
，
且直线
的斜率之积为2.
(1)求动点
的轨迹方程；
(2)设
是点
轨迹上不同的两点且都在
轴的右侧，直线
在
轴上的截距
之比为
，求证：直线
经过一个定点，并求出该定点坐标.
28．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知椭圆
的离心率为
，
抛物线
的准线与
相交，所得弦长为
.
(1)求
的方程；
(2)若
在
上，且
，分别以
为切点，作
的切线相交
于点
，点
恰好在
上，直线
分别交
轴于
两点.求四边形
面积
8
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29．（2023·浙江温州·统考二模）已知点
分别是双曲线
的左右焦点，
过
的直线交双曲线右支于
两点，点
在第一象限．
(1)求点
横坐标的取值范围；
(2)线段
交圆
于点
，记
的面积分别为
，求
的最小值．
30．（2023·浙江·校联考二模）已知
为抛物线
的焦点，过点
的直线与抛物线
交于不同的两点
、
，满足
．
(1)求抛物线
的方程；
(2)过点
且斜率为
的直线与直线
交于点
，
，证明：直线
经过定
点．
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