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4.6 三角函数的二倍角公式（练习）
目录
1
题型一、二倍角的正弦公式.....................................................................2
2
题型二、二倍角的余弦公式.....................................................................5
3
题型三、逆用二倍角公式.........................................................................8
4
题型四、辅助角公式...............................................................................12
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1 题型一、二倍角的正弦公式
1．已知α ∈(0,π)，且sin 2α = 1
3，则sin(α +π
4 )的值为（ ）
A．−√6
3
B．−√6
6
C．√6
6
D．√6
3
【答案】D
【分析】首先根据条件求sin α +cosα的值，再代入两角和的正弦公式，即
可求解.
【详解】由sin 2α = 1
3，得2sin α cosα = 1
3，
则(sin α +cosα )
2=1+2sin α cosα = 4
3 .
又α ∈(0,π)，2sin α cosα >0，所以sin α >0，cosα >0，
所以sin α +cosα >0，则sin α +cosα = 2√3
3 .
又sin(α +π
4 )=sin α cosπ
4 +cosα sinπ
4
= √2
2
(sin α +cosα )= √2
2 × 2√3
3
= √6
3 .
故选：D.
2．若m=cos160°，则sin 40° =（ ）
A．−2m
B．−2m√1−m
2
C．−2m√1+m
2
D．2m√1−m
2
【答案】B
【分析】先由m=cos160°，利用诱导公式得到cos20°，进而得到sin 20°，
再利用二倍角的正弦公式求解.
【详解】解：因为m=cos160°，
所以cos20° =−m,sin 20° =√1−(cos20°)
2=√1−m
2，
所以sin 40° =2sin 20° cos20° =−2m√1−m
2，
故选：B
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3．已知sin α =−3cosα，则sin2α的值是（ ）
A．3
5
B．−3
5
C．4
5
D．−4
5
【答案】B
【分析】由已知可得tan α =−3，利用倍角公式，然后弦化切即可求.
【详解】因为sin α =−3cosα，
所以tan α =−3，
所以sin 2α = 2sin α cosα
sin
2α +cos
2α
= 2tan α
tan
2α +1
= 2×(−3)
(−3)
2+1
=−3
5
.
故选：B
4．若sin170
°=m，则sin 20
°=（ ）
A．−2m
B．−2m√1−m
2
C．−2m√1+m
2
D．2m√1−m
2
【答案】D
【分析】由诱导公式求得sin10°，再由平方关系求得cos10°，最后由二倍
角公式求解．
【详解】因为sin170
°=sin(180
°−10
°)=sin10
°=m，所以
cos10
°=√1−sin
210
°=√1−m
2，
所以sin 20
°=2sin10
°cos10
°=2m√1−m
2.
故选：D
5．已知sin α +cosα =−2
3，则sin2α =（ ）
A．−5
18
B．5
18
C．−5
9
D．5
9
【答案】C
【分析】将题干等式两边同时平方，再结合同角三角函数基本关系与二倍
角公式即可得出答案.
【详解】因为(sin α +cosα )
2=sin
2α +cos
2α +2sin α cosα =1+sin 2α = 4
9，
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所以sin 2α = 4
9 −1=−5
9.
故选：C.
6．已知
sin(
5
2 π+α)+2cos(
3
2 π−α)
sin(
π
2 +α)+sin(π+α )
= 4，则sin2α =（ ）
A．−12
13
B．12
13
C．4
5
D．−4
5
【答案】B
【分析】先用诱导公式化简，变形求得tan α，再根据二倍角公式及齐次式
化简求解即可.
【详解】
sin(
5
2 π+α)+2cos(
3
2 π−α)
sin(
π
2 +α)+sin(π+α )
= cosα −2sin α
cosα −sin α = 4，
所以cosα −2sin α = 4(cosα −sin α )，所认2sin α =3cosα，所以tan α = 3
2，
所以sin2α = 2sin α cosα
cos
2α +sin
2α
= 2tan α
tan
2α +1
=
2× 3
2
( 3
2 )
2
+1
= 12
13.
故选：B.
7．已知tanθ =2，则sin2θ
2cos
2θ+ 4sin
2θ
=（ ）
A．1
3
B．2
C．1
D．2
9
【答案】D
【分析】利用倍角公式和同角三角函数的商数关系化简求值.
【详解】已知tanθ =2，则
sin2θ
2cos
2θ+ 4sin
2θ
=
2sinθcosθ
2cos
2θ+ 4sin
2θ
=
2tanθ
2+ 4tan
2θ
=
2×2
2+ 4×2
2 = 2
9.
故选：D.
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8．若sin160° =m，则sin 40° =（ ）
A．−2m
B．−2m√1−m
2
C．−2m√1+m
2
D．2m√1−m
2
【答案】D
【分析】利用诱导公式求出sin20°，然后结合平方公式和二倍角公式可得.
【详解】因为sin160° =sin (180°−20°)=sin 20° =m，所以
cos20° =√1−sin
220° =√1−m
2，
所以sin 40° =2sin 20° cos20° =2m√1−m
2.
故选：D
9．已知角α的终边经过点(−3,4)，则2sinα cosα +√2cos(2α +π
4 )=（ ）
A．8
25
B．6
25
C．−1
5
D．−7
25
【答案】D
【分析】根据三角函数定义求出sin α，然后结合和差公式和二倍角公式化
简，代入计算可得.
【详解】因为角α的终边经过点(−3,4)，所以sin α =
4
√(−3)
2+ 4
2 = 4
5
，
所以2sinα cosα +√2cos(2α +π
4 )=sin2α +cos2α −sin 2α =1−2sin
2α
=1−2×(
4
5)
2
=−7
25
故选：D
2 题型二、二倍角的余弦公式
1．cos
215°−sin
215° =（ ）
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A．1
2
B．−1
2
C．√3
2
D．−√3
2
【答案】C
【分析】利用二倍角公式，化简求值.
【详解】cos
215
∘−sin
215
∘=cos2×15
∘=cos30
∘= √3
2
故选：C
2．已知sin α = 2
3，则cos(−2α )＝（ ）
A．1
9
B．−1
9
C．√5
3
D．−√5
3
【答案】A
【分析】根据诱导公式和二倍角公式求出答案.
【详解】cos(−2α )=cos2α =1−2sin
2α =1−2× 4
9 = 1
9.
故选：A
3．计算：1−2sin
222.5
∘=（ ）
A．−√2
2
B．√2
2
C．−√3
2
D．√3
2
【答案】B
【分析】由二倍角公式直接计算即可.
【详解】解：由余弦的二倍角公式得1−2sin
222.5
∘=cos 45
∘= √2
2
故选：B
4． sinπ
8 =（ ）
A．√2+√2
2
B．√2−√2
2
C．2−√2
D．√2
4
【答案】B
【分析】直接利用半角公式求解.
【详解】因为sinθ
2=±√
1-cosθ
2
，且0<π
8 <π
2
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所以sinπ
8 =√
1-cos π
4
2
=√
1- √2
2
2
= √2-√2
2
.
故选：B
5．若sin(
π
6 −α)= 1
3
，则cos(2α + 2π
3 )=（ ）
A．7
9
B．−7
9
C．8
9
D．−8
9
【答案】B
【分析】寻找角与角之间的关系，利用诱导公式和二倍角公式可得.
【详解】因为sin(
π
6 −α)= 1
3，2α +2π
3 =π−2(
π
6 −α)，
所以cos(2α + 2π
3 )==cos[π−2(
π
6 −α)]=−cos2(
π
6 −α)
=2sin
2(
π
6 −α)−1=2×(
1
3)
2
−1=−7
9
.
故选：B
6．已知sin(α +π
3 )−sin α = 2
3，则cos(2α +π
3 )=（ ）
A．−5
9
B．−1
9
C．1
9
D．5
9
【答案】B
【分析】根据条件，利用两角和的正弦、余弦公式化简可得cos(α +π
6 )= 2
3，
再根据二倍角余弦公式求解.
【详解】由sin(α +π
3 )−sin α = 2
3，可得1
2 sin α + √3
2 cosα −sin α = 2
3，
即√3
2 cosα −1
2 sin α = 2
3，即得cos(α +π
6 )= 2
3，
∴cos(2α +π
3 )=2cos
2(α +π
6 )−1=2× 4
9 −1=−1
9.
故选：B.
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7．若sin(α +π
6 )= 1
3
，则sin(2α + 5π
6 )=（ ）
A．7
9
B．1
3
C．8
9
D．2
3
【答案】A
【分析】由诱导公式及余弦二倍角公式即可求解；
【详解】由
sin(2α + 5π
6 )=sin(2α +π
3 +π
2 )=cos(2α +π
3 )=1−2sin
2(α +π
6 )=1−2
9 = 7
9
；
故选：A
8．若cos(α −π
4 )= 1
4，则sin2α =（ ）
A．−5
8
B．5
8
C．−7
8
D．7
8
【答案】C
【分析】根据诱导公式和二倍角的余弦公式求解即可.
【详解】由题意，sin2α =sin[
π
2 +2(α −π
4 )]=cos[2(α −π
4 )]
=2cos
2(α −π
4 )−1=2×(
1
4)
2
−1=−7
8
.
故选：C.
9．若cos(θ−π
6 )= 2
3，则sin(2θ+π
6 )=（ ）
A．−1
9
B．1
9
C．−5
9
D．5
9
【答案】A
【分析】先将2θ+π
6 用θ−π
6 表示为2θ+π
6 =π
2 +2(θ−π
6 )，再利用诱导公
式和二倍角公式求解即得.
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【详解】因2θ+π
6 =π
2 +2(θ−π
6 )，
则sin(2θ+π
6 )=sin[π
2 +2(θ−π
6 )]=cos2(θ−π
6 )=2cos
2(θ−π
6 )−1=−1
9.
故选：A.
10．已知cos(α +π
6 )= 3
5 ，则cos(2α +π
3 )等于（ ）
A．−7
25
B．7
25
C．−24
25
D．24
25
【答案】A
【分析】由余弦二倍角公式即可求解.
【详解】cos(2α +π
3 )=cos[2(α +π
6 )]=2cos
2(α +π
6 )−1=2× 9
25 −1=−7
25
，
故选：A
3 题型三、逆用二倍角公式
1．已知向量⃗a=(3cosα ,2)与向量⃗b=(3,4 sin α )平行，则锐角α等于（ ）．
A．π
4
B．π
6
C．π
3
D．5π
12
【答案】A
【解析】根据向量的共线及倍角公式得到sin2α =1，然后根据α的范围得
到所求的角的大小．
【详解】∵向量⃗a=(3cosα ，2)与向量⃗b=(3，4sinα )平行，
∴(3cosα )×(4sinα )=2×3，
∴12sinα cosα =6sin2α =6，
∴sin2α =1．
又α为锐角，
∴0<2α <π，
∴2α = π
2 ，
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∴α = π
4 ．
故选：A．
【点睛】关键点点睛：（1）根据向量共线的充要条件得到关于角α的三角
函数关系式；
（2）在已知三角函数值求角时，要注意讨论角的范围．
2．已知sin 2α = 2
3
，则sin
2(α + π
4)=（ ）
A．1
6
B．1
2
C．1
3
D．5
6
【答案】D
【分析】利用二倍角降幂公式和诱导公式可求得sin
2(α + π
4)
的值.
【详解】由二倍角的降幂公式可得
sin
2(α + π
4)=
1−cos(2α + π
2)
2
= 1+sin2α
2
=
1+ 2
3
2
= 5
6
.
故选：D.
【点睛】本题考查利用二倍角降幂公式和诱导公式求值，考查计算能力，
属于基础题.
3．cos
2(x + π
4)+sin
2(x−π
4)=（ ）
A．1
B．1−sin2 x
C．1−cos2 x
D．-1
【答案】B
【分析】利用降幂升角公式和诱导公式化简即可得到结果.
【详解】
cos
2(x + π
4)+sin
2(x−π
4)=
1+cos(2 x + π
2)
2
+
1−cos(2 x−π
2)
2
0
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= 1
2 −1
2 sin 2 x + 1
2 −1
2 sin 2 x =1−sin 2 x
故选：B
【点睛】本题考查利用降幂升角公式和诱导公式化简的问题，考查基础公
式的应用.
4．已知cos
2( x
2 + π
4 )=cos( x + π
6 )，则cos x =
A．√3
3
B．−√3
3
C．1
3
D．−1
3
【答案】A
【详解】由已知，由三角恒等变换得cos( x + π
2 )+1
2
= √3
2 cos x−1
2 sin x，
即−sin x +1
2
= √3
2 cos x−1
2 sin x
所以cos x = √3
3 .
故选：A.
5．已知sin2α = 1
4，则sin
2(α + π
4 )=( )
A．3
4
B．3
8
C．5
8
D．2
3
【答案】C
【分析】利用降幂公式和诱导公式计算即可.
【详解】因为sin2α = 1
4
所以
sin
2(α + π
4)=
1−cos[2×(α + π
4)]
2
= 1+sin 2α
2
=
1+ 1
4
2
= 5
8
,
故选：C.
6．已知tan α =3，则cos
2α +sin 2α =（ ）
A．7√2
10
B．7
10
C．−7√2
10
D．−7
10
【答案】B
1
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【解析】利用“1”的变换，所求式子化为关于sin α ,cosα的齐次分式，化弦
为切，即可求解.
【详解】cos
2α +sin 2α = cos
2α +2sin α cosα
cos
2α +sin
2α
= 1+2tan α
1+ tan
2α
= 7
10
.
故选:B
【点睛】本题考查同角间三角函关系，弦切互化是解题的关键，属于基础
题.
7．−2
3 + 4
3 cos
215° =（ ）
A．−√3
3
B．−1
3
C．√3
3
D．1
3
【答案】C
【分析】根据余弦二倍角公式,化简求cos
215
∘,代入即可求解.
【详解】根据余弦二倍角公式cos2α =2cos
2α −1,
所以cos30
∘=2cos
215
∘−1
则cos
215
∘= cos30
∘+1
2
= √3
4 + 1
2
代入式子可得−2
3 + 4
3 cos
215°
=−2
3 + 4
3 ×(
√3
4 + 1
2)
= √3
3
故选:C
【点睛】本题考查了余弦二倍角公式的简单应用,三角函数求值,属于基础题.
8．已知sin2α = 1
3
，则cos
2(α + π
4)=（ ）
A．−1
3
B．1
3
C．−2
3
D．2
3
【答案】B
2
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【分析】利用降幂公式可得
cos
2(α + π
4)=
1+cos(2α + π
2)
2
,再利用诱导公式求
解即可
【详解】
cos
2(α + π
4)=
1+cos(2α + π
2)
2
= 1−sin 2α
2
=
1−1
3
2
= 1
3
故选:B
【点睛】本题考查降幂公式的应用,考查诱导公式的应用,考查已知三角函数
值求三角函数值
9．若sin(
π
3 −x)= 4
5
，则cos(
2π
3 −2 x)
的值为（ ）
A．−24
25
B．24
25
C．7
25
D．−7
25
【答案】D
【分析】将三角函数式cos(
2π
3 −2 x)
变形,结合余弦的二倍角公式及条件式
即可求解.
【详解】由cos(
2π
3 −2 x)=cos[2(
π
3 −x)]
因为sin(
π
3 −x)= 4
5
根据余弦二倍角公式可知
cos[2(
π
3 −x)]=1−2sin
2(
π
3 −x)
=1−2×(
4
5)
2
=−7
25
故选:D
3
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【点睛】本题考查了余弦二倍角公式的简单应用,属于基础题.
4 题型四、辅助角公式
1．化简sin x +√3cos x =（ ）
A．2sin(x + π
3)
B．2sin(x−π
3)
C．2cos(x + π
3)
D．2cos(x−π
3)
【答案】A
【解析】利用辅助角公式化简即可.
【详解】解：sin x +√3cos x
=2×(
1
2 sin x + √3
2 cos x)
=2×(cos π
3 sin x +sin π
3 cos x)
=2sin(x + π
3)
.
故选：A.
2．已知sin a+√3cosa=1，则cos(2a+ 2π
3 )=( )
A．−√3
2
B．−1
2
C．1
2
D．−√3
2 或1
2
【答案】C
【分析】结合辅助角公式和二倍角的余弦公式即可.
【详解】因为sin α +√3cosα =1
所以sin α +√3cosα =2sin(α + π
3 )=1
4
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即sin(α + π
3 )= 1
2
所以cos(2α + 2π
3 )=1−2sin
2(α + π
3 )= 1
2
故选：C
3．已知sin2α =1−cos2α，且α ∈(0, π
2 )，则α =（ ）
A．π
12
B．π
6
C．π
4
D．π
3
【答案】C
【分析】根据三角函数的辅角公式可得sin 2α +cos2α =√2sin(2α + π
4)=1，
进而sin(2α + π
4)= √2
2
，再根据α ∈(0, π
2 )，分析可得2α + π
4 ∈( π
4 , 5 π
4 )，由此即
可求出结果.
【详解】因为sin2α =1−cos2α，所以sin 2α +cos2α =√2sin(2α + π
4)=1，
所以sin(2α + π
4)= √2
2
，又α ∈(0, π
2 )，所以2α + π
4 ∈( π
4 , 5 π
4 )，所以
2α + π
4 = 3 π
4 ，
故α = π
4 .
故选：C.
【点睛】本题主要考查了三角函数的辅角公式，三角函数值的应用，属于
基础题.
4．cosα +√3sin α化简为（ ）
A．2sin(
π
3 +α)
B．2sin(
π
6 +α)
5
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C．1
2 sin(
π
3 +α)
D．1
2 sin(
π
6 +α)
【答案】B
【分析】利用辅助角公式进行化简.
【详解】依题意，原式=2(
√3
2 sin α + 1
2 cosα)=2(sin α cos π
6 +cosα sin π
6)
=2sin(α + π
6)=2sin(
π
6 +α)
.
故选：B
【点睛】本小题主要考查辅助角公式，属于基础题.
5．√3sin π
12 +cos π
12的值为（ ）
A．0
B．1
C．√2
D．√3
【答案】C
【分析】利用辅助角公式可求三角函数式的值.
【详解】
√3sin π
12 +cos π
12 =2(
√3
2 sin π
12 + 1
2 cos π
12)=2sin(
π
12 + π
6)=2sin π
4 =√2.
故选：C.
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值的计算，本题利用辅助角公式来化
简，本题属于容易题.
6．sin x cos x +sin
2 x可化为
A．√2
2 sin(2 x−π
4)+ 1
2
B．√2sin(2 x + π
4)−1
2
C．sin(2 x−π
4)+ 1
2
D．2sin(2 x + 3 π
4 )+1
【答案】A
【分析】逆用二倍角的正弦公式和降幂公式，再利用辅助角公式即可.
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【详解】sin x cos x +sin
2 x = 1
2 sin 2 x + 1−cos2 x
2
= 1
2 sin 2 x−1
2 cos2 x + 1
2
= √2
2 (
√2
2 sin 2 x−√2
2 cos2 x)+ 1
2 = √2
2 sin(2 x−π
4)+ 1
2
.故选A.
【点睛】本题考查了二倍角的正弦公式和降幂公式，考查了辅助角公式.
7．已知α ∈(0,π ), 且sin α +cosα = 1
2 , 则cos2α 的值为
A．± √7
4
B．√7
4
C．－√7
4
D．－3
4
【答案】C
【详解】试题分析：∵sin α +cosα = 1
2，α ∈(0,π )，
∴α ∈(
π
2 , 3 π
4 )
∴2α ∈(π , 3 π
2 )
，sin(α + π
4)= √2
4
，
∴cos(α + π
4)=−√14
4
cos2α =sin(2α + π
2)=2sin(α + π
4)cos(α + π
4)=2× √2
4 ×(−√14
4 )=−√7
4
.
考点：二倍角公式的运用，同角三角函数间的关系.
8．已知sin x＋
cos x＝，则cos
＝( )
A．－
B．
C．－
D．
【答案】B
【分析】利用辅助角公式合并sin x +√3cos x，由此求得cos(
π
6 −x)的值.
【详解】sin x＋
cos x＝2
＝2
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＝2cos
＝，∴cos
＝.答案B.
【点睛】本小题主要考查利用辅助角公式化简合并三角函数表达式，考查
特殊角的三角函数值，属于基础题.
9．计算：√3cos π
12 +sin π
12 =
A．0
B．−√2
C．√6+√2
2
D．2
【答案】C
【分析】运用辅助角公式和两角差的余弦公式进行求解即可.
【详解】原式=2(
√3
2 cos π
12 + 1
2 sin π
12)=2(cos π
6 cos π
12 +sin π
6 sin π
12)
=2cos π
12 =2cos(
π
3 −π
4)=2(cos π
3 cos π
4 +sin π
3 sin π
4)
=2× √2+√6
4
= √6+√2
2
.故选
C.
【点睛】本题考查了辅助角公式和两角差的余弦公式，考查了特殊角的三
角函数值.
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