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专题09 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象性质及其应用
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题型01 y＝Asin(ωx＋φ)的单调性............................................................................................................................1
题型02 y＝Asin(ωx＋φ)的奇偶性和对称性............................................................................................................ 3
题型03 y＝Asin(ωx＋φ)的图像变换........................................................................................................................5
题型04 根据图像求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式...............................................................................................8
题型05 三角函数图像与性质的综合应用.............................................................................................................10
题型01 y＝Asin(ωx＋φ)的单调性
【解题规律·提分快招】
1、y=A sin(wx +ϕ)的单调性
（1）最小正周期：
T=2π
w .
（2）定义域与值域：y=A sin(wx +ϕ)的定义域为R，值域为[-A,A].
（3）最值（以下A>0，w>0 ）
{
当wx +ϕ= π
2 +2kπ(k ∈Z )时，函数取得最大值A ;
当wx +ϕ=−π
2 +2kπ(k ∈Z )时，函数取得最小值−A ;
（4）单调性
{
wx +ϕ∈[−π
2 +2kπ , π
2 +2kπ ](k ∈Z )⇒增区间；
wx +ϕ∈[ π
2 +2kπ , 3 π
2 +2kπ ](k ∈Z )⇒减区间.
【典例训练】
一、单选题
1．（23-24 高三下·云南红河·期末）若函数
，则函数
的单调递增区间为
（ ）
1
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A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
2．（2024·福建泉州·一模）已知函数
的周期为
，且在区间
内单调递增，则
可能是
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（24-25 高三上·湖南长沙·阶段练习）在下列区间函数
单调递减的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2024 高三·全国·专题练习）已知函数
在
上单调递增，则
的最大值
为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2024·天津河北·一模）关于函数
有下述四个结论：
①
是偶函数；
②
在区间
上单调；
③
的最大值为
，最小值为
，则
；
④
最小正周期是
.
其中正确的结论有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
二、填空题
6．（23-24 高三上·河南·阶段练习）已知
，设函数
，则
的单调递减区间
是 ．
7．（24-25 高三上·天津·阶段练习）函数
在
的单调递减区间是
8．（2024 高三·全国·专题练习）已知函数
，则函数
的值域为 .
2
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9．（23-24 高三上·安徽·开学考试）写出函数
，
的一个单调递增区间为
.
10．（24-25 高三上·广东佛山·阶段练习）已知函数
，则当
时
的最
大值为 ．
题型02 y＝Asin(ωx＋φ)的奇偶性和对称性
【解题规律·提分快招】
1、y=A sin(wx +ϕ)的对称性和奇偶性
{
当wx 0+ϕ=kπ+ π
2 (k ∈Z )，即sin(wx 0+ϕ)
¿±1时，y=sin(wx +ϕ)的对称轴为x=x0
当wx 0+ϕ=kπ (k ∈Z )，即sin(wx 0+ϕ)=0
时，y=sin(wx +ϕ)的对称中心为( x0,0).
正弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置，对称中心是与x 轴交点的位置.
2、对称与周期
(1)y＝Asin(ωx＋φ)相邻两条对称轴之间的距离是T
2 ；
(2)y＝Asin(ωx＋φ)相邻两个对称中心的距离是T
2 ；
(3)y＝Asin(ωx＋φ)相邻两条对称轴与对称中心距离
T
4 ；
3、函数具有奇、偶性的充要条件
(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)(x R)
∈
是奇函数⇔φ＝kπ(k Z)
∈
；
(2)函数y＝Asin(ωx＋φ)(x R)
∈
是偶函数⇔φ＝kπ＋(k Z)
∈
；
(3)函数y＝Acos(ωx＋φ)(x R)
∈
是奇函数⇔φ＝kπ＋(k Z)
∈
；
(4)函数y＝Acos(ωx＋φ)(x R)
∈
是偶函数⇔φ＝kπ(k Z)
∈
．
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25 高三上·云南昆明·期中）下列函数中，是奇函数且最小正周期为1 的函数为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024 高三·全国·专题练习）已知
，则
是（ ）
A．奇函数且最小正周期为
B．偶函数且最小正周期为
C．奇函数且最小正周期为
3
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D．偶函数且最小正周期为
3．（24-25 高三上·天津滨海新·阶段练习）已知函数
，其中正确的是 （ ）
A．
的最小正周期为
；
B．
的图象关于直线
对称；
C．
的图象关于点
对称；
D．
在区间
上单调递增.
4．（2024·全国·模拟预测）函数
的部分图象为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（24-25 高三上·天津河西·期中）已知函数
有下列结论：
①最小正周期为
；
②点
为
图象的一个对称中心；
③若
在区间
上有两个实数根，则实数a 的取值范围是
；
④若
的导函数为
，则函数
的最大值为
.
则上述结论正确的是（ ）
A．①②
B．②③
C．①④
D．①③④
6．（24-25 高三上·北京·开学考试）已知函数
的最小正周期为
，最大
值为
，则函数
的图象（ ）
A．关于直线
对称
B．关于点
对称
C．关于直线
对称
D．关于点
对称
4
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7．（24-25 高三上·河北邢台·期中）函数
的所有零点的和为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（24-25 高三上·贵州·阶段练习）已知函数
的图象关于直线
对称，则当
时，曲线
与
的交点个数为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
9．（2024·全国·模拟预测）已知函数
，对于任意的
，
，
都恒成立，且函数
在
上单调递增，则
的值为
（ ）
A．3
B．9
C．3 或9
D．
10．（24-25 高三上·安徽·阶段练习）已知函数
的最小正周期为
，则（ ）
A．
在
上单调递减
B．
是
图象的一个对称中心
C．
是
的一个对称轴
D．
的值域为
二、填空题
11．（2024·贵州毕节·三模）已知函数
的最小正周期为
，则函数
图象的
一条对称轴方程为 ．
12．（24-25 高三上·湖北·阶段练习）若
是偶函数，则实数
的值为
.
13．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
在
上有两个不同的零点
，
则
.
14．（23-24 高三下·重庆·阶段练习）已知函数
的值域为
，则
．
15．（24-25 高三上·北京丰台·期末）已知函数
，
，
，
，
则
；方程
的所有实数解的和为 .
5
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题型03 y＝Asin(ωx＋φ)的图像变换
【解题规律·提分快招】
1、y=A sin(wx +ϕ)的平移与伸缩
函数y＝sin x 的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的图象的步骤
注：每一个变换总是对变量x 而言的，即图像变换要看“变量x ”发生多大变化，而不是“角wx +ϕ ”变
化多少.
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25 高三上·江苏扬州·阶段练习）将函数
图象上所有的点向左平移
个单位长
度，再把所有点的横坐标变为原来的
后，得到函数
的图象，则
（ ）
A．
B．
C．
D．1
2．（24-25 高三上·山东青岛·阶段练习）要得到函数
的图象，只要将函数
的图象
（ ）
A．向右平移
个单位
B．向左平移
个单位
C．向左平移
个单位
D．向右平移
个单位
3．（24-25 高三上·吉林·期中）将函数
的图象向左平移
个单位长度后得到
的图象，则
在
上的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
6
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4．（24-25 高三上·广西·期末）将函数
的图象向右平移
个单位长度得到函数
的图象，若曲线
关于直线
对称，则
的最小正周期的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（24-25 高三上·山东·阶段练习）把函数
图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不
变，再把所得曲线向左平移
个单位长度，得到函数
的图象，且
的图象关于点
中
心对称，则函数
的解析式可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（24-25 高三上·山东淄博·期末）把函数
的图象向右平移
个单位长度，再把图象上所有点的
横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变，可以得到函数
的图象，则函数
的零
点的个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
7．（24-25 高三上·天津和平·期末）已知函数
的两条相邻对称轴之间的距离为
，现将
图象向右平移
后得到函数
的图象，若函数
在区间
上单调递增，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
8．（24-25 高三上·山东济南·阶段练习）已知函数
，则（ ）
A．
的最大值为2
B．
在
上单调递增
C．
在
上有2 个零点
D．把
的图象向左平移
个单位长度，得到的图象关于原点对称
7
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9．（24-25 高三上·吉林四平·期末）已知函数
，将函数
的图象先向右平移
个单位长度，再向下平移1 个单位长度得到函数
的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．函数
为偶函数
B．
C．
D．函数
的图象的对称轴方程为
题型04 根据图像求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
【解题规律·提分快招】
1、根据图像求解析式一般步骤
①根据最高最低点求出A
②根据周期算出
ω，ω=2π
T ,题目一般会提供周期的一部分
③通过带最高或最低点算出φ
【典例训练】
一、多选题
1．（24-25 高三上·山东济宁·期末）已知函数
的部分图象如图所示，则下
列说法正确的是（ ）
A．
B．
在
上单调递增
C．
在(0,π)上有两个极值点
D．点
是曲线y = f (x)的一个对称中心
2．（24-25 高三上·陕西咸阳·阶段练习）已知函数
的部分图象如
8
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图所示，令
，则下列说法正确的有（ ）
A．
的最小正周期为
B．
的对称轴方程为
C．
在
上的值域为
D．
的单调递增区间为
3．（24-25 高三上·湖南·期中）已知函数
的部分图象如图所示，则
（ ）
A．
B．
C．
的图象关于点
对称
D．
的图象关于直线
对称
4．（24-25 高三上·河南·期中）函数
的部分图象如图所示，直线
与
图象的其中两个交点的横坐标分别为
，
，则（ ）
9
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A．
B．
C．
的图象关于
轴对称
D．
在
上的最小值为
5．（24-25 高三上·吉林长春·期末）已知函数
的部分图象如图所示，
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
为奇函数
D．当
在
上恰有4 个零点时，
6．（24-25 高三上·安徽·阶段练习）已知函数
的图象如图所示，
的导函数为f
′ (x)，令g(x)= f
′ (x)，则下列说法正确的是（ ）
A．
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B．函数
图象的对称轴方程为
C．函数
在区间
上有2024 个零点
D．函数
与
的图象关于点
对称
题型05 三角函数图像与性质的综合应用
【典例训练】
一、单选题
1．（2024 高三·全国·专题练习）已知函数
的部分图象如图，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．2
2．（2024·广东·模拟预测）已知
，其中相邻的两条对称轴的距离为
，且
经过点
，则关于
的方程
在
上的不同解的个数为（ ）
A．6
B．5
C．4
D．3
3．（24-25 高三上·安徽·阶段练习）已知函数
，则下列命题正确的是（ ）
A．
是以
为周期的函数
B．直线
是曲线
的一条对称轴
C．函数
的最大值为
，最小值为
D．函数在
上恰有2024 个零点
二、多选题
4．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知
，其中相邻的两个极值点的距离为
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，且
经过点
，则（ ）
A．
B．
C．
时，
的值域为
D．
时，
与
的交点数为
个
三、填空题
5．（2024·北京西城·二模）已知函数f (x)=sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π
2 )，直线
与曲线y = f (x)的
两个交点
如图所示.若
，且
在区间
上单调递减，则
；
.
6．（24-25 高三上·上海宝山·阶段练习）定义函数
，给出下列四个命题：
（1）该函数的值域为
（2）当且仅当
时，该函数取得最大值
（3）该函数是以
为最小正周期的周期函数
（4）当且仅当
时，
.
上述命题中正确的序号是 .
一、单选题
1．（24-25 高三上·陕西榆林·期末）已知函数
，则（ ）
A．
在区间
上单调递增
B．
在区间
上单调递减
12
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C．
在区间
上单调递增
D．
在区间
上单调递减
2．（24-25 高三上·重庆·阶段练习）已知函数
（
）的最小正周期为
，则
在
的最小值为（ ）
A．
B．
C．0
D．
3．（24-25 高三上·辽宁沈阳·阶段练习）已知函数
，为了得到
（
为
的导函数）的图象，则只需要将函数
图象上的点（ ）
A．向左平移
个单位长度，纵坐标缩短为原来的
B．向左平移
个单位长度，纵坐标不变
C．向左平移
个单位长度，纵坐标缩短为原来的
D．向左平移
个单位长度，纵坐标不变
4．（24-25 高三上·上海·期中）已知函数
为偶函数，则
的对称中心为
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（24-25 高三上·广东深圳·阶段练习）已知函数
的部分图象
如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A．
的最小正周期为
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B．当
时，
的值域为
C．将函数
的图象向右平移
个单位长度可得函数
的图象
D．将函数
的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2 倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点
对称
6．（2024·陕西商洛·一模）已知函数
，且
是奇函数，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2024·西藏拉萨·二模）已知函数
的部分图象如图，
是相邻的
最低点和最高点，直线
的方程为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2024·上海奉贤·一模）函数
，则下列命题正确的是（ ）
A．函数是偶函数
B．函数定义域是
C．函数最大值
D．函数的最小正周期为
9．（24-25 高三上·天津·阶段练习）函数
的图像与
轴的两个相邻交
点的距离是
，若将
的图象向左平移
个单位长度，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍，
纵坐标不变，得到
的图象，则
的表达式是（ ）
A．
B．
C．
D．
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10．（24-25 高三上·河北沧州·阶段练习）已知函数
的部分图象如
图所示，将函数
的图象先向右平移
个单位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来的
（纵坐标不
变），得到函数
的图象，若关于
的方程
在
上有两个不等实根，则实数
的
取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（24-25 高三上·天津·阶段练习）已知函数
的部分图象如图所示，其
中
，
，则以下说法正确的个数为（ ）
①函数
的最小正周期是
；
②函数
的图象关于直线
对称；
③把函数
图像上的点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的
，得到
的图象；
④当
时，
A．0
B．1
C．2
D．3
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12．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数
的部分图象如图所示，其中
，
，则（ ）
A．
B．
C．直线
是
图象的一条对称轴D．
是
图象的一个对称中心
二、多选题
13．（24-25 高三上·江苏宿迁·期中）把函数
图象上所有点的横坐标变为原来的
倍，纵坐
标不变，再向左平移
个单位长度，得到函数
的图象，则（ ）
A．
的最小正周期为
B．
C．
在
上单调递增
D．
关于直线
对称
14．（24-25 高三上·湖南长沙·阶段练习）已知函数
与
，下列说法正确的是
（ ）
A．将
的图象上所有点的横坐标变为原来的
，并向左平移
个单位可以得到
的图象
B．
与
的图象存在相同的对称中心
C．
与
在区间
上单调性相同
D．当
时，
与
的图象有且仅有
个交点
15．（24-25 高三上·安徽·阶段练习）已知函数
的部分图象如图所
示，则（ ）
16
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A．
B．
C．函数
的图象与直线
的相邻两交点间的距离为
D．
16．（2024·全国·模拟预测）已知
，若
，使得
，则
的可能取值为（ ）
A．
B．
C．
D．
17．（24-25 高三上·云南昆明·期中）已知函数
的最大值为
，其部分图象
如图所示，则（ ）
A．
B．函数
为偶函数
C．
在
上恰有4 个零点，则
D．当
时，函数
的值域为
三、填空题
18．（24-25 高三上·全国·课后作业）函数
的单调递增区间为 ．
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19．（24-25 高三上·河北承德·期中）已知函数
的图象的一条对称轴为直线
，则函数
的零点的最小正值为 ．
20．（24-25 高三上·山西大同·期中）已知函数
，若
，且
在区间
上恰有两个极值点，则
．
21．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
，将函数
的图象上每一点横坐标变为
原来的一半，再向左平移
个单位长度，得到函数
的图象，则
的最大值为 .
22．（2025 高三·全国·专题练习）若函数
的图象关于直线
对称，则
的值
是 .
23．（24-25 高三上·广东清远·阶段练习）已知函数
相邻两条对称轴
之间的距离为
，且
，则
在
上的零点个数为 .
18
