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5.2 三角函数的公式及应用（精练）
1．（2023·河南郑州）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
.故选：D
2．（2023·河南郑州·校考模拟预测）已知直线与直线
垂直，若直线的倾斜角为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为直线与直线
垂直，所以直线的斜率为
，所以
，
所以
.故选：D.
3．（2023·新疆喀什·校考模拟预测）已知
，
，则
（ ）.
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，则
，且
，则
，
1
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可得
，即
，解得
或
（舍去）.
故选：A.
4．（2023·广东广州·统考三模）若
，则（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，所以
，所以
，
所以
，所以
，故选：A.
5．（2023·陕西咸阳）已知
为第二象限角，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
为第二象限角，
，
原式
.
.故选：B.
6．（2023·湖南·校联考模拟预测）已知
是直线
的倾斜角，则
的值为
（ ）
2
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】法一：由题意可知
，（
为锐角），∴
，
法二：由题意可知
，（
为锐角）∴
，
．故选：B．
7．（2023·辽宁大连·大连二十四中校考模拟预测）在斜三角形ABC 中，
，且
，则角A 的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由
可得
，
则
，得
，即
，
又
，所以
，即
，又
，则
，故选：A.
8．（2023·广西南宁·统考二模）已知
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由
得
，化简得：
，
3
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解得
或
，因为
，所以
.
.
.故选：B.
9．（2023·山西阳泉·统考二模）已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，所以
，即
，所以
.
因为
，所以
，所以
.
因为
，
所以
.故选：B.
10．（2023·全国·高三专题练习）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，所以
，
两边平方得
，则
，
故
．故选：C.
4
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11．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）若
，
，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，所以
，
，
，
又
，所以
，即
，
所以
.故选：C
12．（2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
，
，
.故选：D
13．（2023·全国·模拟预测）若
为第二象限角，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，即
，解得
或
（舍去），
5
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因为
为第二象限角，所以
，
，
所以
.故选：C.
14．（2023·四川凉山·三模）已知角
的顶点在坐标原点，始边与
轴的非负半轴重合，若点
是
角
终边上一点，则
（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意知，
，所以
，
，
因为
.
故选：C.
15．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中校考模拟预测）已知锐角
，
满足
，则
的值为（ ）
A．1
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，所以
，
所以
，所以
，
即
，即
，所以
.
故选：C
6
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16．（2023·四川南充·四川省南部中学校考模拟预测）若
分别是
与
的等差中项和等比
中项， 则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】依题意可得
，
，
且
，
所以
，即
，解得
又因为
，所以
，
所以
故选:A
17．（2023·全国·高三对口高考）已知
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由
，
所以
.故选：D.
18．（2023·吉林长春·东北师大附中模拟预测）若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
， 所以
，即
，
7
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所以
，即
，所以
，故选：C．
19．（2023·广西南宁·南宁三中校考一模）在平面直角坐标系中，角
与
的顶点在原点，始边与x 轴非
负半轴重合，它们的终边关于原点对称，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意，角
与
的顶点在原点，终边构成一条直线，所以
，
，
所以
，
又
，所以
,
故选：C
20．（2023·山东威海·统考二模）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，所以
.故选：C
21．（2023·全国·统考高考真题）已知
，则
（ ）．
8
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，而
，因此
，
则
，
所以
.
故选：B
22．（2023·广东佛山·校联考模拟预测）已知
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，所以
，所以
，
因为
，所以
，所以
，则
，
所以
，则
，
所以
.
故选：D
23．（2023·河南开封·校考模拟预测）若
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
9
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【答案】B
【解析】因为
，所以
，
即
，即
，
因为
，所以
，
，则
，所以
，
所以
，所以
，所以
，
所以
.故选：B
24．（2023·安徽亳州·安徽省亳州市第一中学校考模拟预测）已知
，若
，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，所以
，
因为
，所以
，
所以
.故选：C.
25．（2023·全国·统考高考真题）“
”是“
”的（ ）
A．充分条件但不是必要条件
B．必要条件但不是充分条件
C．充要条件
D．既不是充分条件也不是必要条件
【答案】B
【解析】当
时，例如
但
，
10
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即
推不出
；
当
时，
，
即
能推出
.
综上可知，
是
成立的必要不充分条件.
故选：B
26．（2023·宁夏银川·校联考二模）化简
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
.
故选：B
27．（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）十七世纪德国著名天文学家开普勒曾经说过：“几何学里有两件
宝，一个是勾股定理，一个是黄金分割，如果把勾股定理比作黄金矿的话，黄金分割就可以比作钻石矿”．
如果把顶角为
的等腰三角形称为“黄金三角形”，那么我们常见的五角星则是由五个黄金三角形和一
个正五边形组成．如图所示，
（黄金分割比），则
（ ）
11
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】如图：
过D 作
于E，则
．
，
所以，
.
故选：D．
28．（2023·福建福州·福州三中校考模拟预测）已知函数
，且其图象在点
处的
切线的倾斜角为
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，所以
所以
，解得
，
所以
由题意可知，
，
12
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所以
.故选：B.
29．（2023·全国·模拟预测）（多选）已知
，则（ ）
A．
为第二象限角
B．
C．
D．
【答案】BC
【解析】因为
，所以有
，所以得到
，
又
，所以
，可得
且
为第一象限角，
故
，故A 不正确，B 正确；
又
，故
，所以
，
，故C 正确；
由
，
，知
，故D 不正确．
故选：BC.
30．（2023·山东烟台·统考二模）已知
，则
的值为__________．
【答案】
【解析】因为
，
所以
.故答案为：
13
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31．（2023·全国·高三专题练习）已知
，
，若
，
，则
______．
【答案】
【解析】由
可得
，则
，
又
，则
，则
，
故
．
故答案为：
．
32．（2023·全国·高三专题练习）
______
【答案】
【解析】
．
故答案为：
.
33．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知
，则
___________．
【答案】
【解析】由
平方得
，结合
得
14
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，
所以
，由于
，所以
,
所以
，
故答案为：
34．（2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）已知
，则
_____．
【答案】
【解析】
又
，则
故答案为：
35．（2023·山东泰安·统考二模）已知
，则
_______.
【答案】
【解析】因为
，故可得
，
则
15
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故答案为：
.
36．（2023·新疆·校联考二模）若
，则
________．
【答案】
【解析】依题意，
.
故答案为：
1．（2023·江苏镇江·江苏省镇江第一中学校考模拟预测）已知角
，
满足
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．2
【答案】A
【解析】由
得
，
进而
，
则
所以
，
则
.
故选：A.
2．（2023·河南·襄城高中校联考三模）已知
，
，则
16
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（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意得，
，
因为
，所以
，所以
，即
，
所以
.故选：B
3．（2023·河北·校联考模拟预测）若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】C
【解析】因为
，
可得
，
可得
，
解得
，因为
，所以
，
所以
，
所以
.
故选：C.
4．（2023·重庆万州·重庆市万州第三中学校考模拟预测）若
，则
（ ）
A．
B．0
C．
D．1
17
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【答案】B
【解析】因为
，所以
，
即
，则
所以
则
，即
.
故选：B.
5．（2023·河北·统考模拟预测）已知
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，所以
，
则
.
故选：D
6．（2023·黑龙江齐齐哈尔·齐齐哈尔市实验中学校考三模）已知
，
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
1
2
1
3
1
4
1
6
18
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【答案】D
【解析】由于
，且
，
则
，
整理得
，
则
，
整理得
，
所以
.
故选：D.
7．（2023·江苏无锡·江苏省天一中学校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，以
为始边，角
与
的终边分别与单位圆相交于
，
两点，且
，
，若直线
的斜率为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意得
，
，
，
则直线
所对的倾斜角为
，
，即
，则
，
tan
tan
3 3
π
3
3
sin
sin
sin
cos
cos
sin
sin(
)
2
3 3
cos
cos
cos
cos
cos
cos
cos
cos
1
cos
cos
6
1
cos(
)
cos
cos
sin
sin
2
1
1
1
sin
sin
2
6
3
1
1
1
cos(
)
cos
cos
sin
sin
6
3
6
19
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则
，
，
，
，
又因为
，
，
则
，结合
，
解得
，
故选：B.
8．（2023·山东烟台·统考三模）已知
满足
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，所以
，
即
，
显然
，两边同除
得：
，
，
即
，易知
，
则
，
故选：A.
9．（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知
为锐角，
，
，则
20
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（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，所以
，所以
，
又
为锐角，
，所以
，解得
，
因为
为锐角，所以
，
又
所以
.故选：A.
10．（2023·全国·统考高考真题）过点
与圆
相切的两条直线的夹角为
，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】方法一：因为
，即
，可得圆心
，半径
，
过点
作圆C 的切线，切点为
，
因为
，则
，
可得
，
则
，
，
即
为钝角，
21
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所以
；
法二：圆
的圆心
，半径
，
过点
作圆C 的切线，切点为
，连接
，
可得
，则
，
因为
且
，则
，
即
，解得
，
即
为钝角，则
，
且
为锐角，所以
；
方法三：圆
的圆心
，半径
，
若切线斜率不存在，则切线方程为
，则圆心到切点的距离
，不合题意；
若切线斜率存在，设切线方程为
，即
，
则
，整理得
，且
设两切线斜率分别为
，则
，
可得
，
所以
，即
，可得
，
则
，
且
，则
，解得
.
22
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故选：B.
11．（2023·全国·统考高考真题）已知等差数列
的公差为
，集合
，若
，
则
（ ）
A．－1
B．
C．0
D．
【答案】B
【解析】依题意，等差数列
中，
，
显然函数
的周期为3，而
，即
最多3 个不同取值，又
，
则在
中，
或
，
于是有
，即有
，解得
，
所以
，
.
故选：B
12．（2023·河南·襄城高中校联考模拟预测）已知
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．1
23
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【答案】B
【解析】由
，
得
，①
化简①式，得
，又
，
所以
，即
，
因为
，
，
所以
，
且
在
上单调递增，所以
，
所以
，则
，所以
.
故选：B．
13．（2023·浙江嘉兴·校考模拟预测）若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由
得
所以
.
因为
，所以
，所以
，
所以
，所以
，
24
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，
所以
.
故选：A
14．（2023·全国·校联考模拟预测）我国“复兴号”高铁列车是世界上运营速度最快的轮轨列车．在平直
的铁轨上停着一辆“复兴号”高铁列车，列车与铁轨上表面接触的车轮半径为
，且某个车轮上的点
刚
好与铁轨的上表面接触，若该列车行驶了距离，则此时
到铁轨上表面的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】当列车行驶的距离为时，则车轮转过的角度所对应的扇形弧长为，
车轮转过的角度为
，
点的初始位置为
，
设车轮的中心为
，
当
时，作
，垂足为
，如下图所示，
则
，
到铁轨表面的距离为
；
当
时，
，作
，垂足为
，如下图所示，
25
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则
，
到铁轨表面的距离为
；
当
时，
，作
，垂足为
，如下图所示，
则
，
到铁轨表面的距离为
；
当
时，作
，垂足为
，如下图所示，
则
，
到铁轨表面的距离为
；
当
或
或
或
时，
到铁轨表面的距离满足
；
26
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当
时，点
到铁轨表面的距离为
，
，
综上所述：点
到铁轨表面的距离为
.
故选：C.
15．（2023·全国·模拟预测）若
且
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由
，得
，得
，
则
，
因为
，
因为
，所以
，故
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
故
，
所以
，所以
的最小值是
，
故选：B
16．（2023·全国·镇海中学校联考模拟预测）（多选）已知
为坐标原点，点
，
27
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，
，则下列说法中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【解析】对于A，
，A 正确；
对于B，
，
，
，
因此
，B 正确；
对于C，由选项B 知，C 正确；
对于D，
，
显然
与
不恒等，即
不恒成立，D 错误.
故选：ABC
17．（2023·安徽黄山·统考二模）（多选）若
，则
的值可能是（ ）
A．
B．
C．2
D．3
【答案】CD
【解析】由余弦的二倍角公式知，
得到
，即
，解得
或
，
28
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当
时，
，
当
时，
所以，当
时，
或
，
当
时，
或
，
故选：CD.
18．（2023·全国·高三专题练习）已知
，
，则
______．
【答案】
【解析】
，
故
，
由
，
所以
，
因为
，
，
所以
，
的符号相反，所以
，
所以
，
因为
，故
，
29
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则
，
，
故答案为：
.
19．（2023·北京海淀·校考三模）若点
与点
关于
轴对称，写出一
个符合题意的
______.
【答案】
（答案不唯一）
【解析】因为点
与点
关于
轴对称，
则
，
由
可得
，则
，所以
，
由
，可得
，则
，所以
，
因此
，取
.
故答案为：
（答案不唯一）
20．（2023·广东珠海·珠海市第一中学校考模拟预测）
_________．
【答案】
【解析】法1：
.
30
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法2：
.
法3：余弦定理
，
根据正弦定理，
，取三角形三个内角分别
，
则
．
故答案为：
.
21．（2023·河北·统考模拟预测）如图，在边长为2 的正方形
中．以
为圆心，1 为半径的圆分别交
，
于点
，
．当点
在劣弧
上运动时，
的最小值为_________．
【答案】
/
【解析】如图，以点
为坐标原点建立平面直角坐标系，
则
，设
，
则
，
则
，
由
，得
，
所以当
，即
时，
取得最小值
.
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故答案为：
.
22．（2023·广东珠海·珠海市第一中学校考模拟预测）已知数列
满足：对于任意
有
，
且
，若
，
，数列
的前n 项和为
，则
________．
【答案】
【解析】因为
，则
，
由
，
，可得
，
，
所以
是以
为首项，1 为公差的等差数列，
所以
，
，
，
所以
，
所以
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．
故答案为:
.
23．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考模拟预测）已知点
，
，
，
，若
，则
______ ．
【答案】
【解析】因为
，
，
，
所以
，
，
又
，
所以
，
即
，
因为
，
所以
，
所以
，
所以
故答案为：
．
24．（2023·湖南·铅山县第一中学校联考三模）若
，
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，则
______.
【答案】
【解析】由
，
得
，
，
即
，
.
设
，定义域为
,
则
所以
是
上的奇函数，
又因为
，所以
是
上的单调增函数.
又因为
，
，所以
，
所以
，即
，所以
.
故答案为：
.
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