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(数学)2026版八年级数学上学期第一次月考·拔尖卷(人教版2024,举一反三)(教师版)_2026秋初中教辅合集_2027学科网&_2025-2026学年《初中第一次月考》8上(8科全套)

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八年级数学上学期第一次月考·拔尖卷
【人教版2024】
参考答案与试题解析
第Ⅰ卷
一.选择题(共10 小题,满分30 分,每小题3 分)
1.(3 分)(24-25 七年级下·河北保定·期末)数学课上,同学们用三角形纸片���进行折纸操作.按照下
列各图所示的折叠过程和简要的文字说明,线段��是△���的角平分线的是(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【分析】本题考查图形的折叠,角平分线.
根据作图分别分析选项即可.
【详解】解:A、由折叠可知,线段��是∠���的角平分线,不是△���的角平分线,不符合题意;
B、由折叠可知,线段��是∠���的角平分线,是△���的角平分线,符合题意;
C、由折叠无法判断线段��是角平分线,不符合题意;
D、由折叠可知,线段��是∠���的角平分线,不是△���的角平分线,不符合题意;
故选:B
2.(3 分)(24-25 七年级下·辽宁沈阳·期末)如图,△���≌△���,∠���= 105°
��= 2,则图中阴影部分的面积为(
)
A.2
B.3
C.4
D.5
【答案】A
【分析】本题考查全等三角形的性质,关键是由全等三角形的性质推出∠���= ∠���,��= ��= 2,阴影
的面积=△���的面积.由全等三角形的性质推出∠���= ∠���,��= ��= 2,得到∠���= ∠���= 90°,
求出△���的面积=
1
2 ��⋅��= 2,得到阴影的面积=△���的面积= 2.
【详解】解:∵△���≌△���,
∴∠���= ∠���,��= ��= 2,
∴∠���= ∠���= 90°
∴△���的面积=
1
2 ��⋅��=
1
2 × 2 × 2 = 2,
∵△���的面积=△���的面积,
∴阴影的面积=△���的面积= 2.
故选:A.
3.(3 分)(24-25 八年级上·福建福州·期末)如图,在正方形网格中,网格线的交点称为格点,点A,B,
C,D,E,F,G 都在格点上,图中不.与△���全等的三角形是(
)
A.△���
B.△���
C.△���
D.△���
【答案】C
【分析】本题考查三角形全等的判定方法,判定两个三角形全等的一般方法有:S
掌握知识点是解题的关键.
根据网格特点,利用全等三角形的判定去判断即可.
【详解】解:如图:
由网格可知△���≌△���SAS ,
∴∠1 = ∠2,
由网格可知△���, △���均是等腰直角三角形,
∴∠3 = ∠4 = 45°,
∵��= ��= 3,
∴△���≌△���ASA ,故A 可以证明全等,不符合题意;
如图:
同理可得∠�= ∠���, ��= ��, ∠���= ∠���,
∴△���≌△���ASA ,故B 可以证明全等,不符合题意;
如图:
同理可得∠�= ∠�, ��= ��, ∠���= ∠���,
∴△���≌△���ASA ,故D 可以证明全等,不符合题意;
如图:
由上可得∠���= ∠���+ ∠���= 90°,而△���是钝角三角形,
故△���与△���不可能全等,故C 符合题意,
故选:C.
4.(3 分)(24-25 八年级上·广东汕头·期末)如图,△���中,��为△���的角平分线,��为△���的高,
∠�= 70°, ∠���= 48°,那么∠3 是(
)
A.60°
B.59°
C.56°
D.22°
【答案】B
【分析】根据三角形内角和定理得∠���= 62°,根据角平分线得∠1 = ∠2 =
1
2 ∠���= 31°,根据高得∠���=
90°,可得∠���= 59°,根据对顶角相等即可得.
【详解】解:∵∠�= 70°, ∠���= 48°,
∴∠���= 180° −∠�−∠���= 180° −70° −48° = 62°,
∵��为△���的角平分线,
∴∠1 = ∠2 =
1
2 ∠���= 31°,
∵��为△���的高,
∴∠���= 90°,
∴∠���= 180° −∠1 −∠���= 180° −31° −90° = 59°,
∴∠3 = ∠���= 59°,
故选:B.
【点睛】本题考查了三角形内角和定理,三角形的高和角平分线,对顶角相等,解
并能灵活运用.
5.(3 分)(24-25 八年级上·重庆荣昌·期末)如图Rt △���中,∠���= 90°,��= ��,D 为��的中点,
��⊥��交��于E,若∠���= �,∠���的大小是(
)
A.�
B.90° −�
C.90° −
�
2
D.45° +
�
2
【答案】C
【分析】作��⊥��交��于点�,交��于点�,��、��相交于点�,利用“角角边”证明△���≌△���,再
根据全等三角形性质得到��= ��后可利用“边角边”证明△���≌△���,根据全等三角形性质、∠���= �
即可得到∠���.
【详解】解:作��⊥��交��于点�,交��于点�,��、��相交于点�,
∵��△���中,��= ��,
∴∠���= ∠���= 45°,
∵��⊥��,
∴∠���= ∠���= ∠���= 45°,
∵∠���是△���的外角,
∠���是△���的外角,
∴∠���= ∠���+ ∠���= 90° + ∠���,
∠���= ∠���+ ∠���= 90° + ∠���,
∴∠���= ∠���,
∵在△���和△���中,
∠���= ∠���
∠���= ∠���
��= ��
,
∴△���≌△���AAS ,
∴��= ��,
∵�是��的中点,
∴��= ��,
∵在△���和△���中,
��= ��
∠���= ∠���= 45°
��= ��
,
∴△���≌△���SAS ,
∴∠���= ∠���,
∵点�在��上,且∠���= �,
∴∠���= ∠���=
180°−�
2
= 90° −
1
2 �,
即∠���= 90° −
1
2 �.
故选:C.
【点睛】本题考查的知识点是全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、三角形外角的性质,解题
关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质.
6.(3 分)(24-25 七年级下·广东佛山·期末)在学习完三角形三边关系后,小明用三根木棍首尾相连拼三
角形.有三根长度分别为5cm、8cm、9.5cm 的木棍,若想三角形的边长均为整数,则可将9.5cm 的木棍进
行裁切,这样小明最多可以拼出不同的三角形个数为(
)
A.8
B.7
C.6
D.5
【答案】C
【分析】设第三根木棒的长度是�cm,由三角形三边关系定理得到3 < �< 13,即可得到第三根木棒的长度,
于是得到答案.
本题考查三角形三边关系,关键是掌握三角形三边关系定理.
【详解】解:设第三根木棒的长度是�cm,
由三角形三边关系定理得到:8 −5 < �< 5 + 8,
故3 < �< 13,
∵第三根木棒的长度是整数且不大于9.5cm,
故3 < �≤9.5,且x 是正整数,
∴第三根木棒的长度是4cm、5cm、6cm、7cm、8cm、9cm,
∴小明最多可以拼出不同的三角形个数为6 个.
故选:C.
7.(3 分)如图,在五边形�����中,∠�= ∠�= 90°,∠���=
1
2 ∠���,��= ��,且��= 3,��= 4,
则五边形�����的面积为(
)
A.6
B.8
C.10
D.12
【答案】D
【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、三点共线,解题的关键是利用全等的性质将面
积进行转化.
将△���绕点A 逆时针旋转至△���,首先证明点D,E,F 三点共线,证明△���≌△���(SAS),得到��=
��= 3,�△���= �△���,再将所求面积转化为2�△���进行计算即可.
【详解】如图,将△���绕点A 逆时针旋转至△���,
∵��=��,∠�= ∠�= 90°,
则��= ��,∠�= ∠���= ∠���= 90°,
∴∠���= 180°,即点D,E,F 三点共线,
∵∠���=
1
2 ∠���,
∠���+ ∠���= ∠���+ ∠���= ∠���,
即∠���= ∠���,
在△���和△���中
��= ��
∠���= ∠���
��= ��
,
∴△���≌△���(SAS)
∴��= ��,�△���= �△���
∵��= 3,
∴��= 3,
五边形�����的面积为:
�四边形����+ �△���= �四边形����+ �△���
= �△���+ �△���= 2�△���,
= 2 ×
1
2 × ��× ��,
= 2 × 1
2 × 3 × 4
= 12.
故选:D.
8.(3 分)如图,在△���中,��= ��,��= ��= ��,��= 4��,若四边形����的面积为28,则△���
的面积为(
)
A.60
B.56
C.70
D.48
【答案】A
【分析】连接��、��,过点�作��⊥��于点�,设�△���= �,根据同高的三角形的面积的比等于底边的比,
分别得到�△���= 2�、�Δ���= 8�、�△���= 10�、�△���=
8
3 �、�Δ���= �Δ���= 5�、�△���=
5
3 �,再根据
四边形����的面积,求出�= 6,即可得出△���的面积.
【详解】解:连接��、��,过点�作��⊥��于点�,
设�△���= �,
∵�△���=
1
2 ⋅��⋅��,�△���=
1
2 ⋅��⋅��,��= ��,
∴�△���= �△���= �,
∴�△���= 2�,
∵��= 4��,
同理可得:�△���= 4�△���,
∴�△���= 8�,
∴�△���= �△���+ �△���= 2�+ 8�= 10�,
∵��= ��= ��,
∴��= 3��,
同理可得:�△���=
1
3 �△���=
8
3 �,
∵�是��的中点,
同理可得:�△���= �△���= 5�,
∵��= ��= ��,
∴��= 3��,
同理可得:�△���=
1
3 �△���=
5
3 �,
∵四边形����的面积为28,
∴�四边形����= �
△���−�△���−�△���−�△���= 10�−�−
8
3 �−
5
3 �=
14
3 �= 28,
∴�= 6,
∴�△���= 10�= 10 × 6 = 60,
故选:A.
【点睛】本题主要考查了三角形的中线的性质,掌握三角形的中线的性质是解题关键.
9.(3 分)(24-25 八年级上·山东济宁·期中)如图,△���中,∠���的角平分
��交于点�,��⊥��的延长线于点�,��⊥��于点�.若��= 3,��= 7
免
A.1
B.2
C.3
D.4
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质,线段垂直平分线的性质,角平分线的定义,连接��、��,
由“AAS”可证△���≌△���,可得��= ��,��= ��,由线段垂直平分线的性质的得到��= ��,进
而由“HL”可证Rt △���≌Rt △���,可得��= ��,即得到��−��= ��+ ��−��−��= ��+
��= 2��,据此即可求解,灵活运用这些性质解决问题是解题的关键.
【详解】解:连接��、��
∵��是∠���的平分线,
∴∠���= ∠���,
∵��⊥��,��⊥��,
∴∠���= ∠���= 90°,
在△���和△���中,
∠���= ∠���
∠���= ∠���
��= ��
,
∴△���≌△���AAS ,
∴��= ��,��= ��,
∵��是��的垂直平分线,
∴��= ��,
在Rt △���和Rt △���中,
免
��= ��
��= ��,
∴Rt △���≌Rt △���HL ,
∴��= ��,
∵��= 3,��= 7,
∴��−��= ��+ ��−��−��= ��+ ��= 2��= 4,
∴��= 2,
故选:B.
10.(3 分)(24-25 八年级上·天津·期末)如图,��,��分别是△���的高和角平分线,��与��相交于G,
��平分∠���交��于E,交��于M,连接��交��于H,且��⊥��.有下列结论:①∠���= 120°;
②△���是等边三角形;③��= ��+ 2��;④�△���+ �△���+ �△���=
1
2 �△���其中,正确的结论的
个数是(
)
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
【答案】A
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、三角形内角和定理,由三角形内角和定理
并结合角平分线的定义计算即可判断①;证明△���≌△���AAS ,得出��= ��,��= ��,即可判
断②;延长��交��于点�,证明△���≌△���ASA ,得出��= ��,进而可得��+ 2��= ��+
��+ ��= ��,结合∠���> ∠���,得出��> ��,即可判断③;证明△���≌△���ASA ,得出
�△���= �△���,即可判断④;熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键.
【详解】解:∵��是△���的高,
∴∠���= 90°,
∴∠���+ ∠���= 90°,
∵��是△���的角平分线,��平分∠���,
∴∠���=
1
2 ∠���,∠���=
1
2 ∠���,
免
∴∠���+ ∠���=
1
2 ∠���+
1
2 ∠���=
1
2 ∠���+ ∠���= 45°,
∴∠���= 180° −∠���+ ∠���= 135°,故①错误;
∵��是△���的高,��⊥��,
∴∠���= ∠���= 90°,
∵∠���= ∠���,
∴∠���= ∠���,
∵��是△���的角平分线,��平分∠���,
∴∠���= ∠���,∠���= ∠���,
∴∠���= ∠���,
∵��= ��,
∴△���≌△���AAS ,
∴��= ��,��= ��,
∴△���为等腰三角形,条件不足,无法得到△���为等边三角形,故②错误;
如图,延长��交��于点�,
在△���和△���中,
∠���= ∠���
��= ��
∠���= ∠���
,
∴△���≌△���ASA ,
∴��= ��,
∴��+ 2��= ��+ ��+ ��= ��,
∵∠���= 90° + ∠���,
∴∠���> ∠���,
∴��> ��,
免
∴��+ ��= ��+ ��= ��< ��,故③错误;
在△���和△���中,
∠���= ∠���
��= ��
∠���= ∠���= 90°
,
∴△���≌△���ASA ,
∴�△���= �△���,
∵��= ��,��平分∠���,
∴�△���=
1
2 �△���,�△���= �△���,
∴�△���+ �△���+ �△���= �△���+ �△���+ �△���= �△���=
1
2 �△���,故④正确;
综上所述,正确的有④,共1 个,
故选:A.
二.填空题(共6 小题,满分18 分,每小题3 分)
11.(3 分)(24-25 七年级下·陕西咸阳·期末)如图,在四边形����中,∠�= ∠�= 90°, ��, ��分别是∠���
和∠���的平分线,若��= 6,则��=
.
【答案】6
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质,三角形内角和定理,平行线的判定与性质等知识点,正确添
加辅助线是解题的关键.
延长��,��于点�,先证明△���≌△���ASA ,再证明△���≌△���ASA ,即可得到��= ��= 6.
【详解】解:延长��,��于点�,
免
∵∠���= ∠�= 90°,
∴∠���+ ∠�= 180°
∴��∥��,
∴∠���+ ∠���= 180°
∵��, ��分别是∠���和∠���的平分线,
∴∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4,
∴∠2 + ∠3 = 90°,
∴∠���= 180° −∠2 + ∠3 = 90°,
∴∠���= 180° −∠���= 90° = ∠���,
∵��= ��,
∴△���≌△���ASA ,
∴��= ��,
∵��∥��,
∴∠�= ∠4,
∵∠���= ∠���,
∴△���≌△���ASA ,
∴��= ��= 6,
故答案为:6.
12.(3 分)(24-25 七年级下·山东烟台·期末)用一条长35cm 细绳(不留余绳)围成一个等腰三角形,若
一边长是另一边长的3 倍,则底边的长为
cm.
【答案】5
【分析】本题考查了一元一次方程的应用、三角形三边关系、等腰三角形的性质等知识,解题的关键是要分
两种情况讨论.
由三角形三边关系判定等腰三角形的腰长是底边长的3 倍,设较短的边长是�cm,则较长的边长是3�cm,
列出一元一次方程,解方程,再由三角形三边关系即可求解.
【详解】解:设较短的边长是�cm,则较长的边长是3�cm,
如果等腰三角形的腰长是底边长的3 倍,
∴3�+ 3�+ �= 35,
∴�= 5,
免
此时等腰三角形的三边长分别是15cm、15cm、5cm,满足三角形三边关系;
如果等腰三角形的底边长是腰长的3 倍,
∴3�+ �+ �= 35,
∴�= 7,
此时等腰三角形的三边长分别是7cm、7cm、21cm,不满足三角形三边关系,不能围成一个等腰三角形;
综上所述,等腰三角形的底边长是5cm,
故答案为:5.
13.(3 分)如图,��= 6cm,��= ��= 4cm,∠���= ∠���= 60°,点E 在线段��上以0.5cm/s 的速
度由点A 向点B 运动,同时,点F 在线段��上由点B 向点D 运动,则点F 的运动速度为
cm/s,使
得A、C、E 三点构成的三角形与B、E、F 三点构成的三角形全等.
【答案】
2
3或
1
2
【分析】本题考查了全等三角形的判定,一元一次方程的应用,设运动的时间为�s,点F 的运动速度为�cm/s,
分两种情况:①��= ��,��= ��;②��= ��,��= ��,列出方程,求出结果即可.
【详解】解:设运动的时间为�s,点F 的运动速度为�cm/s,
∵∠���= ∠���= 60°,
∴A、C、E 三点构成的三角形与B、E、F 三点构成的三角形全等,有两种情况:
①��= ��,��= ��,
则0.5 × �= 6 −0.5 × �,
解得:�= 6,
∴4 = 6�,
∴�=
2
3;
②��= ��,��= ��,
则0.5 × �= ��,6 −0.5 × �= 4,
解得:�= 4,�=
1
2,
免
故答案为:
2
3或
1
2.
14.(3 分)(24-25 七年级上·江苏苏州·期中)如图,图①中有1 个三角形,在图①中的三角形内部(不
含边界)取一点,连接该点与三角形的3 个顶点得到图②,图②中共有4 个三角形.若在图②中的一个
小三角形内部(不含边界)取一点,连接该点与该小三角形的3 个顶点得到图③.在虚线框中画出图③,
图③中共有
个三角形.(写出所有可能的值)
【答案】7 或9
【分析】本题考查了画三角形,根据题意画出图形即可求解,理解题意是解题的关键.
【详解】解:如图所示,共有两种情况:
由图可知,图③中共有7 或9 个三角形,
故答案为:7 或9.
15.(3 分)(24-25 七年级下·江西吉安·期末)在锐角△���中,��= ��,��为��边上的高,在不添中
加辅助线的情况下,当此图形中有一个角的度数为40°时,∠���的度数为
.
【答案】20°,25°或40°
【分析】本题考查了等腰三角形的性质,三角形内角和定理,三角形的高线,利用分类讨论的思想解决问题
是解题关键.分三种情况讨论:当∠�= 40°时,当∠���= 40°时,当∠���= 40°时,利用三角形内角和定
理分别求解即可.
【详解】解:在锐角△���中,��= ��,��为��边上的高,
∴∠���= ∠���,∠���= ∠���= 90°,
如图1,当∠�= 40°时,此时∠���= ∠���=
180°−∠�
2
= 70°,满足锐角三角形,
∴∠���= 180° −∠���−∠���= 20°;
免
如图2,当∠���= 40°时,此时∠�= 180° −∠���−∠���= 50°,
∴∠���= ∠���=
180°−∠�
2
= 65°,满足锐角三角形,,
∴∠���= 180° −∠���−∠���= 25°;
如图3,当∠���= 40°时,此时∠���= 180° −∠���−∠���= 50°,
∴∠���= 50°,∠�= 80°,满足锐角三角形,
∴∠���= 40°;
综上可知,∠���的度数为20°,25°或40°,
故答案为:20°,25°或40°.
16.(3 分)如图,在����中,��= ��,点�和点�在直线��的同侧,��= ��, ∠���= 82°, ∠���= 38°,
连接��, ��,则∠���的度数为
.
【答案】30°
【分析】先根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理以及角的和差求出∠���的度数,然后作点D 关于
直线AB 的对称点E,连接BE、CE、AE,如图,则BE=BD,∠EBA=∠DB,∠BEA=∠BDA,进而可得∠EBC=60°,
由于BD=BC,从而可证△EBC 是等边三角形,可得∠BEC=60°,EB=EC,进一步即可根据SSS 证明
△AEB≌△AEC,可得∠BEA 的度数,问题即得解决.
【详解】解:∵��= ��,∠���= 82°,∴∠���=
180°−∠���
2
= 49°,
∵∠���= 38°,∴∠���= 49° −38° = 11°,
作点D 关于直线AB 的对称点E,连接BE、CE、AE,如图,则BE=BD,∠EBA=∠
∴∠EBC=11°+11°+38°=60°,
∵BD=BC,∴BE=BC,∴△EBC 是等边三角形,∴∠BEC=60°,EB=EC,
免
又∵AB=AC,EA=EA,
∴△AEB≌△AEC(SSS),∴∠BEA=∠CEA=
1
2 ∠���= 30°,
∴∠ADB=30°.
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判
定和性质以及轴对称的性质等知识,涉及的知识点多、综合性强,难度较大,作点D 关于直线AB 的对称
点E,构造等边三角形和全等三角形的模型是解题的关键.
第Ⅱ卷
三.解答题(共8 小题,满分72 分)
17.(6 分)(24-25 八年级上·广东东莞·期末)如图,在△���中,��= ��,点�是线段��上的一动点(不
与点�、�重合),以��为一边在��的右侧作△���,使��= ��,∠���= ∠���,连接��.
(1)求证:��= ��;
(2)设∠���= �,∠���= �.当点�在线段��上,∠���≠90°时,请你探究写出�与�之间的数量关系是多
少?
【答案】(1)见解析;
(2)�+ �= 180°,理由见解析.
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理,熟练掌握全等
键.
(1)证明△���≌△���SAS ,利用全等三角形的对应边相等可得结论;
(2)证明△���≌△���SAS ,利用全等三角形的对应角相等得到∠���= ∠�
免
定理和等量代换进行角度运算可得结论.
【详解】(1)证明:∵∠���= ∠���,
∴∠���−∠���= ∠���−∠���,
即∠���= ∠���,
在△���和△���中,
��= ��
∠���= ∠���
��= ��
∴△���≌△���SAS ,
∴��= ��;
(2)解:�+ �= 180°,理由如下:
∵∠���= ∠���+ ∠���= �,∠���= ∠���= ∠���+ ∠���= �,
∴∠���= ∠���,
在△���和△���中,
��= ��
∠���= ∠���
��= ��
,
∴△���≌△���SAS ,
∴∠���= ∠�,
∵∠�+ ∠���= 180° −�,
∴∠���= ∠���+ ∠���= 180° −�= �,
∴�+ �= 180°.
18.(6 分)如图,点D 是等腰△���外一点,∠���= ∠���= 120°, ��与��相交于�, �是线段��上一
点,∠���= 30°.
(1)求证:��⊥��.
(2)求证:��= ��.
【答案】(1)见解析
(2)见解析
免费
【分析】本题考查了三角形内角和定理、全等三角形的判定(AAS、SAS)、角平分线的性质及等腰三角形的
性质,解题的关键是通过构造辅助线(延长线段、作垂线)创造全等三角形的条件,利用角度关系推导垂
直和线段相等.
(1)通过延长��与��交于点�,利用已知∠���= 120°和∠���= 30°,根据三角形外角性质(或内角和定
理)计算出∠���= 90°,从而证明��⊥��;
(2)先作��⊥��于�,结合已知角度和对顶角相等推出∠���= ∠���,再利用��= ��和直角条件证明
△���≅△���(AAS)得��= ��;接着根据角平分线性质和角度计算得出��= ��,再推
导∠���= ∠���,最后用SAS 证明△���≌△���,从而得出��= ��.
【详解】(1)证明:延长��, ��相交于H.
∵∠���= 120°, ∠���= 30°,
∴∠���= ∠���−∠���= 120° −30° = 90°.
∴��⊥��.
(2)过A 作��⊥��于G.
∵∠���= ∠���= 120°, ∠���= ∠���,
∴∠���= ∠���即∠���= ∠���,
∵��= ��, ∠���= ∠���= 90°,
∴△���≌△���AAS ,
∴��= ��.
∵��⊥��, ��⊥��,
∴��平分∠���,
∴∠���= ∠���=
1
2 ∠���,
免费
∵∠���= 120°,
∴∠���= 60°,
∴∠���= ∠���= 30°,
∴∠���= ∠���= 30°,
∴��= ��.
∵∠���= ∠���−∠���= 30° −∠���, ∠���= ∠���−∠���= 30° −∠���,
∴∠���= ∠���,而��= ��, ��= ��,
∴△���≌△���SAS ,
∴��= ��.
19.(8 分)(24-25 七年级上·山东东营·期中)如图,在△���中,��是△���的角平分线,点�在边��
上(不与点�,�重合),��与��交于点�.
(1)若��是中线,��= 7,��= 5,则△���与△���的周长差为_____;
(2)若∠�= 80°,��是角平分线,求∠���=_____;
(3)若∠���= 62°,��是高,求∠���的度数.
【答案】(1)2
(2)130°
(3)121°
【分析】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高,熟记它们的概念是解题的关键;
(1)根据三角形的中线的概念得到��= ��,再根据三角形周长公式计算;
(2)根据三角形内角和定理得到∠���+ ∠���= 100°,再根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算;
(3)根据直角三角形的性质求出∠���,再根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算.
【详解】(1)解:∵��是��的中线,
∴��= ��,
∵��= 7,��= 5,
∴△���与△���的周长差为:(��+ ��+ ��) −(��+ ��+ ��) = ��−��=
故答案为:2;
免费
(2)解:∵∠�= 80°,
∴∠���+ ∠���= 180° −80° = 100°,
∵��是△���的角平分线,��是角平分线,
∴∠���=
1
2 ∠���,∠���=
1
2 ∠���,
∴∠���+ ∠���=
1
2 (∠���+ ∠���) = 50°,
∴∠���= 180° −50° = 130°,
故答案为:130°;
(3)解:∵��是高,
∴∠���= 90°,
∵∠���= 62°,
∴∠���= 90° −62° = 28°,
∵��平分∠���,
∴∠���=
1
2 ∠���=
1
2 × 62° = 31°,
在△���中,∠���= 180° −28° −31° = 121°.
20.(8 分)(24-25 八年级上·广东汕头·阶段练习)(1)如图1,��是∠���的平分线,点�是��上一点,
点�是��上一点,在��上求作一点�,使得△���≌△���,请保留清晰的作图痕迹.
(2)如图2,在△���中,∠���= 90°,∠�= 60°,��、��分别是∠���和∠���的角平分线,��与��相
交于点�,请探究线段��、��、��之间的关系,请证明你的结论.
【答案】(1)见解析;(2)��= ��+ ��,证明见解析.
【分析】本题考查角平分线定义,全等三角形判定及性质,尺规作图等.
(1)当��= ��时,可以证明出△���≌△���,即以点�为圆心,以��长为半
点为所要求的点�,可以作出图形;
(2)在��上截取��= ��,证明△���≌△���SAS ,继而再证明△���≌��
免费
请
案.
【详解】解:(1)当��= ��时,
∵��是∠���的平分线,
∴∠���= ∠���,
在△���和△���中,
��= ��
∠���= ∠���
��= ��
,
∴△���≌△���,
∴以点�为圆心,以��长为半径画弧交��于一点,则此点为所要求的点�,如下图所示:
(2)��= ��+ ��,理由如下:
在��上截取��= ��,
在△���和△���中,
��= ��
∠���= ∠���
��= ��
,
∴△���≌△���SAS ,
∴∠���= ∠���,
∵∠�= 60°,��、��分别是∠���和∠���的角平分线,��与��相交于点�,
∴∠���= 180° −
1
2 ∠���−
1
2 ∠���= 180° −60° = 120°,
∴∠���= 180° −120° = 60°,
∴∠���= ∠���= ∠���= 60°,
∴∠���= ∠���−∠���= 120° −60° = 60°,
免费
请
在△���和△���中,
∠���= ∠���
��= ��
∠���= ∠���
,
∴△���≌���ASA ,
∴��= ��,
∴��= ��+ ��.
21.(10 分)(24-25 七年级下·河北保定·期末)方法探索
数学兴趣小组在活动时,老师提出了这样一个问题:
如图1,在△���中,��= 9, ��= 5,D 是��的中点,求��边上的中线��的取值范围.
(1)嘉嘉同学经过思考、探究发现可以添加辅助线构造全等三角形解决问题.延长��到点E,使��= ��,
连接��.可以判定△���≌△���,得出��= ��,这样就能把线段��、��、2��集中在△���中,利用
三角形三边的关系,即可得出中线��的取值范围,请你根据嘉嘉的思路写出完整解答过程问题解决
(2)由第(1)问方法的启发,请解决下面问题:
如图2,在△���中,点D、E 在��上,且��= ��,过E 作��∥��与��相交于点F,且��= ��.求证:
��平分∠���.
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题是三角形的综合题和倍长中线问题,考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系等
知识,掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键,并运用类比的方法解决问题.
(1)延长��到点E,使��= ��,连接��.可以判定△���≌△���,得出��= ��,这样就能把线段��、��、
2��集中在△���中,利用三角形三边的关系,即可得出中线��的取值范围,
(2)延长��到点M,使��= ��,连接��.证明△���≌△���,得出∠���= ∠
∠�,由��∥��可得∠���= ∠���,从而可得∠���= ∠���,故可得��平分∠
【详解】(1)解:∵�是��的中点,
免费
请
∴��= ��,
在△���和△���中,
��= ��
∠���= ∠���
��= ��
,
∴△���≌△���SAS ,
∴��= ��= 5,
在△���中,
��−��< ��< ��+ ��,
即9 −5 < 2��< 9 + 5,
∴中线��的取值范围是:2 < ��< 7;
(2)证明:延长��到点M,使��= ��,连接��.
在△���与△���中,
��= ��
∠���= ∠���
��= ��
,
∴△���≌△���,
∴∠���= ∠�, ��= ��,
∵��= ��,
∴��= ��,
∴∠���= ∠�,
∵��∥��,
免费
请
∴∠���= ∠���,
∴∠���= ∠���,
即��平分∠���.
22.(10 分)(24-25 七年级下·福建泉州·期末)如图1,��是△���的角平分线,E 为射线��上一点,过
点E 作��⊥��,垂足为点F.
(1)若∠�= 90°,且点E 在线段��上.
①∠���+ ∠���=_______°,理由是________;
②若��平分∠���交��于点H,求证:��∥��;
(2)如图2,若点E 在线段��的延长线上,��平分∠���交��的延长线于点I,用等式表示∠�与∠�的数量关系,
并证明.
【答案】(1)①90,直角三角形的两个锐角互余②证明见解析
(2)2∠�= 90° + ∠�;证明见解析
【分析】(1)①根据直角三角形的两个锐角互余即可得到结论;
②先证明∠���= ∠���,再利用三角形外角的性质证明∠���= ∠���,进而可证��∥��;
(2)设∠���= ∠���= �,∠���= ∠���= �,由三角形外角的性质得出�+ ∠�= �+ ∠�,2�+ ∠�= 2�+
90°,消去x,y 即可求解.
【详解】(1)①∵∠�= 90°,
∴∠���+ ∠���= 90°,理由是直角三角形的两个锐角互余.
故答案为:90,直角三角形的两个锐角互余;
②证明:∵��平分∠���,
∴∠���= ∠���,
∵∠�= 90°,∴∠���+ ∠���= 90°,
∵��⊥��,∴∠���+ ∠���= 90°,
∴∠���= ∠���,
免费
请
又∵∠���= ∠���,
∴∠���= ∠���,
∴∠���= ∠���+ ∠���= 2∠���.
∵��平分∠���,
∴∠���= 2∠���,
∴∠���= ∠���,
∴��∥��.
(2)2∠�= 90° + ∠�,理由如下:
∵��,��分别平分∠���,∠���,
∴设∠���= ∠���= �,∠���= ∠���= �,
∵∠���= ∠���+ ∠�= ∠���+ ∠�,
即�+ ∠�= �+ ∠�,①
∵∠���= ∠���+ ∠�= ∠���+ ∠���,
即2�+ ∠�= 2�+ 90°,②
由①× 2 −②,得∠�= 2∠�−90°,
即2∠�= 90° + ∠�.
【点睛】本题考查了直角三角形的两个锐角互余,角平分线的定义,三角形外角的性质,平行线的判定,正
确的识别图形是解题的关键.
23.(12 分)(24-25 八年级上·河北邯郸·阶段练习)如图1,图2,在△���和△���中,∠���= ∠���,
��= ��,��= ��,��与��所在直线相交于点�,��⊥��于点�.
(1)如图1,连接��,求证:��平分∠���;
免费
请
(2)如图1,若�四边形����= 6,��=
3
2,则��的长为___________;
(3)如图2,若∠���= ∠���= 90°,��= ��,连接��,交��于点�.
①��是否为线段��的垂直平分线?并说明理由;
②过点�作��⊥��,交��的延长线于点�,直接写出��+ ��与��之间的数量关系.
【答案】(1)见解析
(2)4
(3)①��是线段��的垂直平分线,理由见解析;②��= 2��= 2 ��+ ��
【分析】(1)作��⊥��,证明△���≌△���SAS 和△���≌△���AAS ,可以推出��= ��,就可
得到��平分∠���;
(2)证明Rt △���≌Rt △���,推出�四边形����= �四边形����= 2�△���= 6,利用三角形面积公式即可求
解;
(3)①利用等腰三角形三线合一的性质即可得证;
②由��是线段��的垂直平分线,推出��= ��,��= ��,得到��= ��= ��= ��,再证明△���≌△
���AAS ,等量代换即可得解.
【详解】(1)证明:如图,过点C 作��⊥��,垂足为N,
在△���和△���中,
∵
��= ��
∠���= ∠���
��= ��
,
∴△���≌△���SAS ,
∴∠�= ∠���,
∵��⊥��,
∴∠���= ∠���= 90°,
免费
请
在△���和△���中,
∵
∠�= ∠���
∠���= ∠���= 90°
��= ��
,
∴△���≌△���AAS ,
∴��= ��,
∴��平分∠���;
(2)解:∵△���≌△���,
∴�△���= �△���,
∵��= ��,��= ��,∠���= ∠���= 90°,
∴Rt △���≌Rt △���HL ,
∴�△���= �△���,
∴�四边形����= �四边形����= 2�△���= 6,
∵��=
3
2,
∴��= 4;
(3)解①:��是线段��的垂直平分线,理由如下:
由(1)可得,��平分∠���,
∵��= ��,
∴��⊥��,��= ��,
∴��是线段��的垂直平分线;
②��= 2��= 2 ��+ ��,
∵��是线段��的垂直平分线,
∴��= ��,��= ��,
∵��= ��,��= ��,
∴��= ��= ��= ��,
∵∠���+ ∠���= 90°,∠���+ ∠���= 90°,
∴∠���= ∠���,
在△���和△���中,
免费领
请
∵
∠���= ∠���
∠���= ∠���= 90°
��= ��
,
∴△���≌△���AAS ,
∴��= ��,��= ��,
∴��= ��= ��+ ��= ��+ ��.
∴��= 2��= 2 ��+ ��,
【点睛】本题是一道与三角形相关的综合性题目,考查的知识点有:全等三角形的判定和性质,等腰三角形
的判定和性质,角平分线的性质定理,线段垂直平分线的判定和性质,本题熟练掌握三角形全等的性质和
判定是关键.
24.(12 分)(24-25 七年级下·河南郑州·期中)【材料阅读】小芳在学习完全等三角形后,她尝试用三种
不同方式摆放一副三角板.如图:在△���中,∠���= 90°,��= ��;在△���
中,∠���= 90°,∠���= 30°,并提出了相应的问题.
【发现】如图1,将两个三角板互不重叠地摆放在一起,当顶点�摆放在线段��上时,过点�作��⊥��,垂
足为�,过点�作��⊥��,垂足为�.
(1)图1 中,��= 2,��= 7,求��的长.请补充小芳的过程.
∵∠���= 90°,
∴∠���+ ∠���= 90°,
∵��⊥��,��⊥��,
∴∠���= 90°,∠���= 90°,
∴∠���+ ∠���= 90°,
∴∠���= ∠���,
……
(补充小芳的过程)
(2)【类比】如图2,将两个三角板叠放在一起,当顶点�在线段��上且顶点�在线段�
免费领
请
垂足为�,猜想��,��,��之间的数量关系,并说明理由.
(3)【拓展】如图3,将两个三角板叠放在一起,当顶点�在线段��上且顶点�在线段��上时,若��= 7,��= 1,
连接��,请直接写出△���的面积.
【答案】(1)见解析
(2)��= ��+ ��,理由见解析
(3)21
【分析】本题综合考查了全等三角形的判定与性质,熟记相关定理内容进行几何推理是解题关键.
(1)根据两个三角形全等的判定定理得到△���≌△���(AAS),利用两个三角形全等的性质,得到��=
��= 2,��= ��= 7,即可得到��= ��+ ��= 9;
(2)根据两个三角形全等的判定定理,得到△���≌△���,利用两个三角形全等的性质,得到��= ��,
��= ��,由图中��= ��+ ��,即可得到三者的数量关系;
(3)延长��,过点�作��⊥��于�,如图所示,由两个三角形全等的判定定理得到△���≌△���,从而��=
��= 1,��= ��= 7,则可求得��,延长��,过点�作��⊥��于�,如图所示,由平行线间的平行线段
相等可得��= ��= 6,代入面积公式得�△���,即可得到答案.
【详解】(1)解:∵∠���= 90°,
∴∠���+ ∠���= 90°,
∵��⊥��,��⊥��,
∴∠���= 90°,∠���= 90°,
∴∠���+ ∠���= 90°,
∴∠���= ∠���,
∵∠���= ∠���,∠���= ∠���= 90°,��= ��,
∴△���≌△���(AAS);
∴��= ��, ��= ��,
∵��= 2,��= 7,
∴��= ��+ ��= ��+ ��= 9;
(2)解:结论:��= ��−��.理由如下:
∵∠���= 90°,
∴∠���+ ∠���= 90°,
∵��⊥��,
免费领
请
小学
初中
∴∠���= 90°,
∴∠���+ ∠���= 90°
∴∠���= ∠���,
∵∠���= 90°,
∴∠���= ∠���= 90°,
∵��= ��,
∴△���≌△���,
∴��= ��,��= ��
∵��= ��+ ��,
∴��= ��−��= ��−��;
(3)解:延长��,过点�作��⊥��于�,如图所示:
∵∠���+ ∠���= 90°,∠���+ ∠���= 90°,
∴∠���= ∠���,
∵∠���= ∠���= 90°,��= ��,
∴△���≌△���,
∴��= ��= 1,��= ��= 7,
∴��= ��−��= 7 −1 = 6,
延长��,过点�作��⊥��于�,如图所示:
∵��⊥��,��⊥��,
免费领
请添
∴��∥��,
∵��⊥��,��⊥��,
∴��∥��,
由平行线间的平行线段相等可得��= ��= 6,
�△���=
1
2 × ��× ��=
1
2 × 7 × 6 = 21.
故答案为:21.
免费领
请添