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2027 届高考数学一轮复习单元检测卷
单元2 不等式的性质与解法、基本不等式 A卷
参考答案与解析
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
C C B A A D C A AC BC BCD
1．C
【解析】因为 ，得 ，又 ，所以 ；
因为 得 ，所以 ，
则 .故选项C正确.
2．C
【解析】对于A， ， ，即 ；
，得 ，即 ，故A正确；
对于B， ，由均值不等式得 ，即 ， ，故B正确；
对于C、D ， ，由均值不等式得 ， ；
，即 ，故C错误，D正确.
3．B
【解析】 ，
，因为 ，所以 ，
所以 ，因此 ，
因为 ，
所以 ，即 .
4．A
【解析】因为 ，由 ，所以 ，故 ，充分性成立，
由 ，得 或 ，必要性不成立，
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.
5．A
【解析】 ，当且仅当 等号成立.
6．D
【解析】由题设， ，
当且仅当 时等号成立，要使 恒成立，则 ，解得 .
故选：D.
7．C
【解析】设这个直角三角形的两条直角边长分别为 、 ，由勾股定理可得 ，
由基本不等式可得 ，所以 ，
即 ，故 ，当且仅当 时，即当 时，等号成
立，因此这个直角三角形周长的最大值为 .
故选：C.
8．A
【解析】因为函数 的定义域为 ，
所以不等式 在 上恒成立，
所以 ，解得 ，
故选：A.
9．AC
【解析】当 时， ，当且仅当 时取等号，故A正确；
当 时，由于 在 的区间上单调递增，所以 ，故B错误；
当 时， ，当且仅当 时取等号，故C正确；
当 时， 的值一定小于 ，故D错误；
故选：AC.
10．BC
【解析】对于选项A，因为不等式 的解集为 ，所以 ，故A错误；
对于选项B，可以知道 ， 是方程 的两个不等实根，
所以 ， ，所以 ， ，
所以 ，即 ，
得 ，故B正确；
对于选项C， ， ，所以 ，
因为 ，所以 ，故C正确；对于选项D，关于 的不等式 有解，即求 的最小值，
令 ，因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ， 在 时单调递增，
所以 ，所以 ，解得 或 ，故D错误.
故选：
11．BCD
【解析】对于A， ，所以选项A错误；
对于B， ，因为 ，所以 ，
当且仅当 时，等号成立，所以选项B正确；
对于C， ，
所以 ，
所以 对任意实数x恒成立，
所以 ，所以 ，故选项C正确；
对于D，存在 ，使 ，所以 ，
因为 在 为单调增函数，
所以 ，所以 ，所以 ，所以选项D正确.
故选：BCD.
12．
【解析】根据题意可知函数f (x)=❑√ax2+bx+2的定义域为[−1,2]，则ax2+bx+2≥0的解集为−1≤x≤2，
结合韦达定理得到- =1, ,a=−1,b=1,可知函数的解析式为f (x)= ，
当x= 时，函数的最大值为 ，当x=−2时，函数值最小为0，因此函数f (x)的值域为 ，
答案为 ．
13．
【解析】由 ，可得 且 .
因为 ，所以 ，故不等式的解集为 .
由 是不等式成立的充分不必要条件，可得 是 的真子集，
故 ，解得 ，
所以 的取值范围是 .
14．6
【解析】由若 是一元二次方程 的两个正实数根，
所以 ， ，则
所以
，
当且仅当 时取等号，故答案为6.
15．【解析】（1） ，且 ，
所以 且 ，即 ；（2） ，
因为 ，所以 ， ，即 ，
所以 ，即 ．
16．【解析】（1）由 ，得 ，
当 时， ，则 ，即 ，
当 时， ，因此 ，
所以 的取值范围是 .
（2）依题意， ，
由 ，得 ，
则 ，
所以 的取值范围是 .
17．【解析】（1）① ， ；
② ， ；
时， 或 ， ，
；
（2）由题意： ， 恒成立，
因为 时， ，
所以不等式等价于 对 恒成立，即 对 恒成立，
函数 在 上单调递减，因此 ，即 .
18．【解析】（1）因为 ， 为正实数，
所以由 ，当且仅当 时取等号，
因为 ， 为正实数，
所以由
因此当 时， 有最大值 ；
（2） ，
因为 ， 为正实数，
所以 ，
即 ，当且仅当 时取等号，
所以当 时， 有最小值 ；
（3）设 ，即 ，
所以 ，
当且仅当 时取等号，即当 时取等号，
所以当 时， 有最小值 .
19．【解析】（1）因为 ， ．
①当 时，不等式为 ，解集为 ；②当 时， ，不等式可化为 ，解集为 ；
③当 时， ，不等式可化为 ，解集为 ；
④当 时， ，不等式可化为 ，解集为 ，
综上，当 时，解集为 ；
当 时，解集为 ；
当 时，解集为 ；
当 时，解集为 ．
（2）当 时， ，
知不等式 对任意 恒成立，只需 ．
因为 ，且 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 ， ，
故实数 的取值范围为 .
（3）设 ，则若对任意 ， 恒成立，
即 ，解得 .
