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第2 节 同角三角函数的基本关系及诱导公式
考试要求 1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，＝tan x.
2.能利用单位圆中的对称性推导出±α，π±α 的正弦、余弦、正切的诱导公式.
【知识梳理】
1.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin
2 α ＋
cos
2 α ＝
1 .
(2)商数关系：＝tan α.
2.三角函数的诱导公式
公式
一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋α
(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
－α
＋α
正弦
sin α
－
sin
α
－
sin
α
sin
α
cos
α
cos
α
余弦
cos α
－
cos
α
cos
α
－
cos
α
sin
α
－
sin
α
正切
tan α
tan
α
－
tan
α
－
tan
α
口诀
奇变偶不变，符号看象限
[常用结论与微点提醒]
1.同角三角函数关系式的常用变形
(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；
sin α＝tan α·cos α.
2.诱导公式的记忆口诀
“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变
是指函数名称的变化.
3.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.
【诊断自测】
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)若α，β 为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.( )
(2)sin(π＋α)＝－sin α 成立的条件是α 为锐角.( )
(3)若α∈R，则tan α＝恒成立.( )
(4)若sin(kπ－α)＝(k∈Z)，则sin α＝.( )
答案 (1)× (2)× (3)× (4)×
解析 (1)对任意的角α，sin2α＋cos2α＝1.
(2)中对于任意α∈R，恒有sin(π＋α)＝－sin α.
(3)中当α 的终边落在y 轴上时，商数关系不成立.
(4)当k 为奇数时，sin α＝，
当k 为偶数时，sin α＝－.
2.(必修一P194T5 改编)已知sin＝，那么cos α＝( )
A.－
B.－
C.
D.
答案 B
解析 因为sin＝－cos α＝，
所以cos α＝－.
3.(必修一P185T6 改编)已知α 是第三象限角，sin α＝－，则tan α＝( )
A.－
B.
C.－
D.
答案 B
解析 由题意得cos α＝－，
故tan α＝＝.
4.化简·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为________.
答案 －sin2α
解析 原式＝·(－sin α)·cos α＝－sin2α.
考点一 同角三角函数基本关系式
角度1 切弦互化
例1 (1)(2024·邵阳段考)已知角α 的终边在直线3x－4y＝0 上，则cos2α＋2sin 2α
＝( )
A.
B.
C.1
D.
答案 A
解析 因为角α 的终边在直线3x－4y＝0 上，
所以tan α＝，
则cos2α＋2sin 2α＝
＝＝＝.
(2)(2023·全国乙卷)若θ∈(0，)，tan θ＝，则sin θ－cos θ＝________.
答案 －
解析 由且θ∈(0，)，
解得 故sin θ－cos θ＝－.
感悟提升 同角三角函数关系式的应用方法
(1)利用sin2α＋cos2α＝1 可实现角α 的正弦、余弦的互化，利用＝tan α 可实现角
α 的弦切互化.
(2)当分式中分子与分母是关于sin α，cos α 的齐次式时，往往转化为关于tan α
的式子求解.
角度2 “和”“积”转换
例2 (多选)已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝，则下列结论正确的是( )
A.sin θ＝
B.cos θ＝－
C.tan θ＝－
D.sin θ－cos θ＝
答案 ABD
解析 由题意知sin θ＋cos θ＝，
∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝，
∴2sin θcos θ＝－＜0，
又∵θ∈(0，π)，∴＜θ＜π，
∴sin θ－cos θ＞0，
∴sin θ－cos θ＝
＝＝＝，
∴sin θ＝，cos θ＝－.
∴tan θ＝－，∴A，B，D 正确.
感悟提升 正弦、余弦“sin α±cos α，sin αcos α”的应用
sin α±cos α 与sin αcos α 通过平方关系联系到一起，即(sin α±cos α)2＝1±2sin
αcos α，sin αcos α＝，sin αcos α＝.
训练1 (1)(2024·赣州质检)若α 为锐角，tan α＝，则tan α＝( )
A.
B.1
C.2－
D.
答案 B
解析 法一 ∵α 为锐角，∴cos α≠0，
∴tan α＝＝
＝＝＝tan2α＋，
即tan2α－2tan α＋1＝0，解得tan α＝1.
法二 ∵tan α＝，cos 2α＋1＝2cos2α，
∴由tan α＝得＝，
即2sin αcos α＝1，即sin 2α＝1，
∵α 为锐角，∴2α∈(0，π)，
∴2α＝，即α＝，∴tan α＝1.
(2)(2024·石家庄调研)若sin θ＋cos θ＝，则sin4θ＋cos4θ＝________.
答案
解析 由sin θ＋cos θ＝，
平方得1＋2sin θcos θ＝，
∴sin θcos θ＝，
∴sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ
＝1－2×＝.
考点二 诱导公式
例3 (1)已知sin＝，则cos(π－α)的值为( )
A.
B.
C.－
D.－
答案 C
解析 ∵sin＝sin
＝sin＝cos α＝，
∴cos(π－α)＝－cos α＝－.
(2)＝_________________.
答案 －1
解析 原式＝
＝＝－·＝－1.
感悟提升 1.诱导公式的应用步骤
任意负角的三角函数―——————―→任意正角的三角函数―
——————―→0～2π 内的角的三角函数―————————―→锐角三角函数.
2.诱导公式的两个应用
(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.
(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了.
训练2 (1)已知x∈R，则下列等式恒成立的是( )
A.sin(3π－x)＝－sin x
B.sin ＝－cos
C.cos＝sin 3x
D.cos＝－sin 2x
答案 D
解析 sin(3π－x)＝sin(π－x)＝sin x，
sin ＝sin＝cos ，
cos＝cos＝－sin 3x，
cos＝－sin 2x.
(2)已知cos＝，则sin 的值为________.
答案
解析 由cos＝，
得sin＝sin
＝cos＝.
考点三 基本关系式和诱导公式的综合应用
例4 (1)(2024·衡水模拟)已知sin＋cos(π－α)＝sin α，则2sin2α－sin αcos α＝(
)
A.
B.
C.
D.2
答案 D
解析 由诱导公式可得sin α＝sin＋cos(π－α)＝－2cos α，
所以tan α＝－2.
因此，2sin2α－sin αcos α＝＝＝＝2.
(2)已知－π＜x＜0，sin(π＋x)－cos x＝－，则＝________.
答案 －
解析 由已知，得sin x＋cos x＝，
两边平方得sin2x＋2sin xcos x＋cos2x＝，
整理得2sin xcos x＝－.
∴(sin x－cos x)2＝1－2sin xcos x＝，
由－π＜x＜0 知，sin x＜0，
又sin xcos x＝－＜0，
∴cos x＞0，∴sin x－cos x＜0，
故sin x－cos x＝－.
∴＝
＝＝
＝－.
感悟提升 1.利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条
件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形.
2.注意角的范围对三角函数符号的影响.
训练3 (1)(2024·河南名校联考)若tan(π－x)＝，则cos＝( )
A.±
B.±
C.－
D.
答案 A
解析 因为tan(π－x)＝，
所以tan x＝－，即cos x＝－2sin x.
又sin2x＋cos2x＝1，解得sin2x＝，
所以cos＝－sin x＝±.
(2)已知sin＝，且0<x<，则
sin－cos 的值为________.
答案
解析 ∵0<x<，
∴<－x<，
∴cos＝＝，
∴sin＝sin
＝cos＝，
cos＝cos
＝－cos＝－.
∴sin－cos＝.
【A 级 基础巩固】
1.(2024·烟台调研)sin 600°＝( )
A.－
B.
C.－
D.
答案 C
解析 sin 600°＝sin(240°＋360°)＝sin 240°
＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－.
2.(多选)已知sin(θ＋π)＜0，cos(θ－π)＞0，则下列不等关系中成立的是( )
A.sin θ＜0
B.sin θ＞0
C.cos θ＞0
D.cos θ＜0
答案 BD
解析 因为sin(θ＋π)＝－sin θ＜0，
所以sin θ＞0，故B 正确；
因为cos(θ－π)＝－cos θ＞0，
所以cos θ＜0，故D 正确.
3.(2024·鄂西北六校联考)已知tan α＝2，则sin αcos α＝( )
A.－
B.－
C.
D.
答案 D
解析 因为tan α＝2，
所以sin αcos α＝＝＝.
4.(2024·北京通州区质检)已知cos α＝，α 是第一象限角，且角α，β 的终边关于
y 轴对称，则tan β＝( )
A.
B.－
C.
D.－
答案 D
解析 ∵α 是第一象限角，且角α，β 的终边关于y 轴对称，
∴β＝π－α＋2kπ，k∈Z，
∴tan β＝tan(π－α＋2kπ)＝tan(π－α)＝－tan α＝－＝－＝－.
5.(2024·银川段考)已知sin＝，则cos＝( )
A.－
B.
C.
D.－
答案 B
解析 法一 sin＝，则cos＝cos＝sin＝.
法二 令α－＝t，则α＝＋t，
由sin＝，得sin t＝，
则cos＝cos＝cos
＝sin t＝.
6.(2023·榆林二模)已知cos＋cos＝，则cos＝( )
A.－
B.
C.－
D.
答案 C
解析 因为cos＋cos＝，
所以cos－sin＝.
两边平方得1－sin＝，
则sin＝，
故cos＝cos
＝－sin＝－.
7.(2023·汕头质检)定义θ 与φ 都是任意角，若满足θ＋φ＝，则称角θ 与φ“广义
互余”.已知sin α＝，下列角β 中，可能与角α“广义互余”的是( )
A.sin β＝
B.cos(π＋β)＝
C.tan β＝
D.tan β＝
答案 A
解析 若α＋β＝，
则cos β＝cos＝sin α＝，
sin β＝sin＝cos α＝±，
对于A，sin β＝，符合；
对于B，cos(π＋β)＝－cos β＝，
∴cos β＝－，不符合；
对于C，tan β＝，即sin β＝cos β，
又sin2β＋cos2β＝1，∴cos β＝±，不符合；
对于D，tan β＝，即sin β＝cos β，
又sin2β＋cos2β＝1，∴sin β＝±，不符合.
8.(多选)已知α∈(0，π)，且sin α＋cos α＝，则( )
A.＜α＜π
B.sin αcos α＝－
C.cos α－sin α＝
D.cos α－sin α＝－
答案 ABD
解析 ∵sin α＋cos α＝，
等式两边平方得
(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝，
解得sin αcos α＝－，故B 正确；
∵α∈(0，π)，sin αcos α＝－＜0，
∴α∈，故A 正确；
cos α－sin α＜0，
且(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α
＝1－2×＝，
解得cos α－sin α＝－，故D 正确.
9.已知＝－1，则＝________；sin2α＋sin αcos α＋2＝________.
答案 －
解析 由已知得tan α＝，
所以＝＝－.
sin2α＋sin αcos α＋2＝＋2
＝＋2＝＋2＝.
10.设f(θ)＝，
则f＝________.
答案 －
解析 ∵f(θ)＝
＝，
又cos ＝cos＝cos ＝，
∴f＝＝－.
11.(2024·佳木斯调研)已知sin(53°－α)＝，且－270°<α<－90°，则sin(37°＋α)＝
________.
答案 －
解析 ∵－270°<α<－90°，
∴143°<53°－α<323°，
又sin(53°－α)＝，∴143°<53°－α<180°，
则sin(37°＋α)＝cos[90°－(37°＋α)]
＝cos(53°－α)＝－.
12.已知－＜α＜0，sin α＋cos α＝， 则的值为________.
答案
解析 因为sin α＋cos α＝，
所以1＋2sin αcos α＝，
所以2sin αcos α＝－，
所以(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝，
又因为－＜α＜0，所以sin α＜0，cos α＞0，
所以cos α－sin α＝，所以
＝＝.
【B 级 能力提升】
13.(多选)(2024·福州调研)已知＝3，－＜α＜，则( )
A.tan α＝2
B.sin α－cos α＝－
C.sin4α－cos4α＝
D.＝
答案 ACD
解析 因为＝＝3，
所以tan α＝2，故A 正确；
因为tan α＝＝2＞0，且－＜α＜，
所以0＜α＜，所以sin α＞0，cos α＞0，
由＝3＞0，可得sin α－cos α＞0，
故B 错误；
sin4α－cos4α＝(sin2α－cos2α)·(sin2α＋cos2α)＝sin2α－cos2α＝＝＝＝，故C 正确；
＝
＝＝，故D 正确.
14.(2024·沈阳调研)已知角α 的终边上一点的坐标为，则α 的最小正值为( )
A.
B.
C.
D.
答案 D
解析 法一 由三角函数的定义可知
cos α＝sin ＝sin＝cos ，
sin α＝cos ＝cos＝－sin ，
由诱导公式可得α＝2kπ－，k∈Z，
所以当k＝1 时，α 取得最小正值，为.
法二 由题意得tan α＝＝＝＝tan，
∴α＝kπ－，k∈Z，
∵sin >0，cos <0，∴角α 是第四象限角，
∴当k＝2 时，α 取得最小正值，为.
15.已知sin(3π＋θ)＝，则＋＝________.
答案 18
解析 由sin(3π＋θ)＝，可得sin θ＝－，
∴所求式＝＋
＝＋＝
＝＝＝18.
16.(2024·杭州质检)已知α∈，且sin α＋cos α＝，则tan α 的值为________.
答案 －
解析 由sin α＋cos α＝，
平方得1＋2sin αcos α＝，
即2sin αcos α＝－，
则(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝.
由2sin αcos α＝－<0，及α∈，
得α∈，则sin α<0，cos α>0，
sin α－cos α＝－，解得
所以tan α＝＝－.
