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第3 题 排数问题 （一题多变）
【2025 年6 月成都七中2026 届零诊T7】用数字
组成一个五位数，每个数字至少出现
一次，则能被3 整除的五位数有（ ）
A.8 个 B.16 个 C.24 个 D.32 个
【思路分析】
根据题意，将满足题意的五位数分为两类，先确定数字，再根据特殊位置法进行排序计算，
由分类计数原理即可得解.
【详解】
根据题意，满足条件的五位数有以下两类：
第一类，这五个数字为
，首位不能是0，所以有
个；
第二类，这五个数字为
，首位不能是0，所以有
个.
所以，满足题意的五位数有
个.
故选：D.
【题后反思】
此类问题是常考的排列问题，难度不大，一是要清楚能被3 整除的数字的特征；二是需要
使用重复数字排列且含有特殊数字“0”，那么特殊数字“0”必然不能出现在首位，所以特
殊位置要优先考虑.故从以下几方面进行一题多变的设计.
【变化角度】将典例中重复数字排列问题变为无重复数列排列问题，仍考查能被某数整除
问题，如下：
例：用数字
、、
、、
、、
组成没有重复数字的且被整除的三位数的个数为 .
【思路分析】
将
个数字分为三类，被整除的有
、、
，被除余数为的有：、
，被除余数为
的有：
、，先确定所选的三个数字，然后确定首位不能排
，结合分类加法计数原理
可得结果.
【详解】
数字
、、
、、
、、
中被整除的有
、、
，
被除余数为的有：、
，被除余数为
的有：
、，
若所选的个数均能被整除，即所选的三个数为
、、
，则三位数的首位不能放
，
此时，首位数有两种选择，此时，共有
个合乎条件的三位数；
若在、
中选一个数，在
、中选一个数，则需在
、、
中选一个数，
若在
、、
中选择
，则三位数的首位不能排
，首位有两种选择，
此时，满足条件的三位数个数为
；
若在
、、
中选择为或
，则首位任排，
此时，满足条件的三位数的个数为
.
综上所述，满足条件的三位数的个数为
.
故答案为：
.
【举一反三】
1．从1，2，3，4，5 中任取三个不同的数组成一个三位数，则在所有组成的数中能被3 整
除的数有（ ）
A．24 个
B．30 个
C．32 个
D．48 个
2．从0，2 中选一个数字，从1，3，5 中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中能
被5 整除的个数为（ ）
A．6
B．10
C．12
D．18
【变换角度】仍以含有特殊数字“0”为背景，改变所求问题，变为能组成多少个偶数问题，
如下：
例：由0，1，2，3，4，5 所组成的无重复数字的4 位数中偶数的个数为（ ）
A.144 B.168 C.156 D.192
【思路分析】
分个位上的数字为0 和个位上的数字为2 或4 两种情况求解，然后利用分类加法原理可求
得结果.
【详解】
若个位上的数字为0，可以组成
个无重复数字的4 位数的偶数，
若个位上的数字为2 或4，可以组成
个无重复数字的4 位数的偶数，
故可以组成60＋96＝156 个符合条件的数.
故选：C.
【举一反三】
3．用
，，
，，
，，
这七个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有
（ ）
A．105 个
B．42 个
C．146 个
D．52 个
4．用0、2、3、4、5 这五个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有 个．
（用数字作答）
【变换角度】改变典例中的题设条件，将含有特殊数字“0”的排列问题变为不含特殊数字
“0”的排列问题，如下：
例：只用2，3，4，5 四个数字组成一个五位数，规定这四个数字必须同时使用，且同一数
字不能相邻出现，这样的五位数有（ ）
A.96 B.144 C.240 D.288
【思路分析】
由题意知必有一个重复数字，故先选一个作为重复数字，然后由分步乘法计数原理分三步
求解即可.
【详解】
从2，3，4，5 四个数字选个作为重复数字，共有
种选法，
将不重复的个数字全排列，有
种排法，
不重复的个数字排好后形成
个空位，从中选
个空位插入重复数字，
共有
种选法，
根据分步乘法计数原理，可得
，
所以这样的五位数有
个.
故选：
.
【举一反三】
5．从1，2，4，5，7，8 这6 个数字中任选4 个数字组成无重复数字的四位数，则在这些
组成的四位数中，大于7000 的奇数个数是（ ）．
A．24
B．36
C．60
D．120
6．用，
，，…，这个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数的个数为
．
7．从0，1，2，5 中取三个不同的数字，组成能被5 整除的三位数，则不同三位数有（
）
A．12 个
B．10 个
C．8 个
D．7 个
8．用数字1，2，3，4 组成没有重复数字的三位数，则这些三位数中是3 的倍数的有（
）
A．3 个
B．6 个
C．9 个
D．12 个
9．用数字0，1，2，3，4，5 组成无重复数字的三位数且是偶数的个数为（ ）
A．52
B．58
C．56
D．50
10．从数字
中选四个组成没有重复数字且比2024 大的四位数有（ ）
A．52 个
B．64 个
C．66 个
D．70 个
11．由0，1，2，3，4，5 组成没有重复数字的六位数，则（ ）
A．其中能被5 整除的数有240 个
B．其中偶数有312 个
C．其中2，4 相邻的数有192 个
D．其中1，3 不相邻的数有372 个
12．用数字、
、、
、组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为 .（结果
用数字作答）
13．用1，2，3，4，5 这5 个数字可以组成 个无重复数字的三位数，这些三
位数中能被3 整除的共有 个（用数字作答）．
14．用0，1，2，3，4，5 组成没有重复数字的四位数，其中能被3 整除的偶数有
个.（用数字作答）.
