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综合检测卷 03 集合、常用逻辑用语、不等式、函数、导数及其
应用
（考试时间：120分钟，分值：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干
净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合 ，则集合 中元素的个数为（ ）
A．9 B．7 C．5 D．3
2．曲线 在 处的切线经过点 ，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．若 ，则不等式 的解集是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知正数a，b，且 ，满足 ，则（ ）
A．a的取值范围是 B． 的最小值为2
C． 的最大值为 D． 的最小值为
5．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度是 ， 后的温度是 ，则，其中 表示环境温度， 称为半衰期．现有一杯 的咖啡放在 的房间中，如果咖啡降温到
大约需要20min，那么降温到 大约需要（ ）（参考数据； ）
A． B． C． D．
6．若函数 在区间 上存在减区间，则实数 的范围是( )
A． B． C． D．
7．已知函数 的定义域为 ，满足 且 ，则
（ ）
A．1 B．-1 C．0 D．2026
8．若函数 存在唯一极值点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的
得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知关于 的一元二次不等式 的解集为 或 ，则（ ）
A． 且 B．
C．不等式 的解集为 D．不等式 的解集为
10．设函数 ， .则下列说法正确的是（ ）
A． 是偶函数 B． 在 处取得最小值
C．方程 有且仅有一个实根D．对任意 ，都有11．已知函数 ，其中 ，则下列说法正确的有（ ）
A．存在实数 使得 为 上的奇函数
B．若 为增函数，则 的取值范围为
C．对于任意实数 ， 的图象上都存在关于原点对称的点
D．若 ，则方程 有三个不同的实数根
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
(5)
12．已知 是偶函数，且 ，当 时， ，则f 等于____.
2
13．点M是曲线 上的动点，则点M到直线 的距离的最小值为________．
14．若函数 在 处取得极大值，则实数 的取值范围为__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．函数 ， ，
(1)当 时，若 ，求实数 的值；
(2)已知 ，且 ，求 的解集．
16．已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性;
(2)当 时，讨论函数 的极值;17．已知函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)求证：当 时， ；
(3)设 ，若 对 恒成立，求 的取值范围．
18．已知函数
(1)当 时，解不等式 ；
(2)设 ，若对 ，函数 在 的最大值和最小值之差不超过 ，求 的取值范围；
(3)已知函数 只有一个零点，求 的取值范围．
19．已知函数 ．
(1)当 时，求函数 在 处的切线方程；
(2)当 时，求函数 的极值；(3)若 ，对任意两个不相等的正数 ， ，都有 恒成立，求实数 的取值范围．
