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【第23 讲：等比数列及其前N 项和】
【新高考课程标准要求】
1.理解等比数列的概念和通项公式的意义：要求学生清楚等比数列的定义，即从第
项起，每一项与它的
前一项的比等于同一个常数（公比
）。掌握等比数列的通项公式
，并能理解其含义，知
晓通项公式中各参数的意义，能够利用通项公式解决相关问题，如已知首项、公比求某一项，或已知某几
项的值求首项、公比等。
2.掌握等比数列的前
项和公式：探索并掌握等比数列前
项和公式
，
理解公式的推导过程，尤其是错位相减法的应用。同时要注意公式使用时需对
和
进行分类讨论。
3.理解等比数列的通项公式与前
项和公式的关系：明白通项公式与前
项和公式之间是相互关联的，可
通过通项公式推导前
项和公式，也可根据前
项和公式求出通项公式（
，
），
并能利用这种关系解决相关问题。
4.能在具体的问题情境中发现数列的等比关系并解决相应问题：学会从实际问题或数学问题情境中，识别
出等比数列模型，将问题转化为等比数列的相关问题，如求通项公式、前
项和等，进而利用等比数列的
知识进行求解，体现数学建模的思想。
5.体会等比数列与指数函数的关系：了解等比数列的通项公式
与指数函数的联系，当
，
且
时，等比数列的通项公式可以看作是指数函数的离散形式，从而借助指数函数的性质来理解
等比数列的一些性质，如单调性等。
【知识梳理】
等比数列的定义
定义：如果一个数列从第
项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数
列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母
表示（
）。即
（
为常数且
）或
（
为常数且
，
）。
要点诠释：等比数列中至少含有三项，且首项
和公比
均不为零。当
时，等比数列为常数列，
非零的常数列是特殊的等比数列。
等比数列的通项公式
公式：
，其中
为首项，
为公比。任意两项
，
的关系为
。
要点诠释：通项公式
可变形为
，当
且
时，可将
看作自变量
的
函数，点
是曲线
上的一群孤立的点，体现了等比数列与指数函数的关系。
等比中项
定义：如果在
与
中间插入一个数
，使
，
，
成等比数列，那么
叫做
与
的等比中项，
且
，即
（
，
均不为
）。
要点诠释：当
，
同号时，
，
的等比中项有两个；当
，
异号时，没有等比中项。在一个等
比数列中，从第
项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等比中项。
等比数列的性质
若数列
，
是项数相同的等比数列，则
也是等比数列。特别地，若
是等比数列，
是不等于
的常数，则
也是等比数列。
在等比数列
中，若
，则
。当
（
，
，
）时，
。
在等比数列
中，每隔
项取出一项，按原来的顺序排列，所得新数列仍为等比数列，公比为
。
当
，
，
（
，
，
）成等差数列时，
，
，
成等比数列。
等比数列的前
项和公式
公式：
。
要点诠释：公式推导使用了错位相减法。当
时，等比数列的前
项和
等于首项
的
倍；当
时，需注意公式中
的计算，以及根据已知条件合理选择
或
进行计算。
等比数列前
项和的性质
若
，令
，则
（
，
，
，
），反之，若
数列
的前
项和满足
这种形式，则数列
为等比数列。
等比数列
中，若项数为
，则
（
）；若项数为
，则
（
）。
等比数列前
项和为
（且
），则
，
，
仍成等比数列，其公比为
（
）。且
。
【课前自测】
一、单选题
1．（2025 高三·广东·专题练习）在等比数列
中，
，若
，则
（ ）
A．3
B．4
C．8
D．9
2．（24-25 高二下·江苏苏州·期末）设等比数列
的前n 项和为
，公比
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（24-25 高二下·浙江绍兴·期末）已知数列
的通项公式为
，则其前
项和
（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
4．（24-25 高一下·广东广州·期末）已知等比数列
的公比为
，前n 项和为
，若
，
，则（ ）
A．
B．
=126
C．数列
的通项公式为
D．数列
也是等比数列
三、填空题
5．（2025 高三·广东·专题练习）已知等比数列
的公比为2，且数列中的各项均为正数，若
，
则
.
6．（24-25 高二下·江苏镇江·期末）已知等比数列
的公比为
，且
，
，
成等差数列，则
.
【考点一：等比数列的基本量运算】
【例题】1．（24-25 高二下·北京大兴·期末）设等比数列
的公比
，其前n 项和为
，则下列等
式中一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高二下·陕西渭南·期末）已知等比数列
的前n 项和为
，若
，则
（ ）
A．8
B．16
C．32
D．64
【针对训练】3．（24-25 高二下·福建泉州·期末）已知正项等比数列
的前n 项和为
，若
知识讲解与常考题型
题型分类
，
，则
（ ）
A．16
B．32
C．27
D．81
多选题4．（25-26 高二上·全国·单元测试）已知等比数列
的前
项和为
，公比为
，
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（23-24 高三上·黑龙江佳木斯·期中）记正项严格递增等比数列
的前
项和为
，且满足
，
，则
.
6．（24-25 高三上·北京海淀·阶段练习）设等比数列
的前
项和为
．若
，则
．
【解题策略】
等比数列基本量运算的解题策略
等比数列的基本量核心是首项
和公比
（
），所有运算均围绕这两个量展开，核心思路是“列方
程、解方程”，具体策略如下：
一、明确基本量关系，建立方程模型
1. 依托通项公式与前
项和公式：根据题目已知条件（如某几项的值、前
项和的值、项与和的关系
等），直接代入核心公式，构建关于
和
的方程（组）。
通项公式：
前
项和公式：
2. 优先分析
的情况：若直接使用
的求和公式，可能遗漏
的特殊情况（此时数列为常数列
），需先验证
是否满足题意，再讨论
的情况。
二、简化运算的关键技巧
1. 减少未知数数量：
若已知
（某一项），可将
表示为
，代入其他公式（如
），消去
，仅保留
作为
未知数，降低方程复杂度。
若题目中涉及“项的比值”（如
），可直接用
表示，无需单独求解
。
2. 利用整体代换思想：
当方程中出现
或
等整体形式时，可设其为中间变量（如设
），先求中间变量，
再反推
和
，避免直接求解高次方程。
3. 结合等比数列性质简化条件：
利用“等比中项”：若
（
），则
，将分散的项关系转化为
乘积等式，减少公式代入步骤。
利用“前
项和的片段性质”：若
为前
项和，且
，则
仍成等比数列，
可直接用比例关系列方程，无需涉及
。
三、注意运算细节与易错点
1. 公比的取值限制：时刻牢记
；若题目未明确
的符号，需考虑
为正或负的情况（如已知
，
则
，
与
同号，
必为正）。
2. 高次方程的求解：当方程涉及
（
为常数）时，需根据
的奇偶性和
的符号确定
的解的个
数（如
仅有一解
，
有两解
）。
3. 验证解的合理性：解方程得到
和
后，需代入原题条件（如项的正负、前
项和的数值）验证，排
除不符合实际意义的解（如已知
，则
的解需舍去）。
【考点二：等比数列的证明与判断】
【例题】1．（2025 高三·全国·专题练习）记
为数列
的前
项和．已知
．证明：
是等比数列．
2．（2025 高三·全国·专题练习）已知在数列
中，
，
，是否存在实数
，
使数列
是等比数列？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由．
【针对训练】3．（2025 高三·全国·专题练习）已知数列
的前
项和为
，数列
与
满足关系
，对于
有
，
．求证：
是等比数列．
4．（2025 高三·全国·专题练习）记数列
的前n 项和为
，已知
，
．
(1)令
，证明：
为等比数列；
(2)求
的通项公式．
5．（25-26 高三上·广东·开学考试）记
为数列
的前
项和，已知
．
(1)求
；
(2)证明：数列
是等比数列；
(3)求
的最值．
【解题策略】
一、核心前提：明确等比数列的本质
所有判断与证明均围绕两个核心：① 数列中无零项（任意项
）；② 从第二项起，后项与前项的比
值为非零常数（公比
）。
二、三大核心方法（按条件匹配）
方法 1：定义法（适用于已知递推关系，如
）
核心原理：对任意
，
（
，常数），且首项
。
操作步骤：
先验证
（无零项的基础）；
计算
（
），通过代数变形化简；
判断结果是否为 “非零常数”，是则为等比数列。
避坑提醒：勿漏验
，或仅验证
、
等有限项，需保证 “对所有
成立”。
方法 2：通项公式法（适用于已知
表达式）
核心原理：等比数列通项必为
（
，
，
即首项
）。
操作步骤：
将
整理为 “常数 × 指数项” 形式（如
）；
验证 “常数≠0” 且 “指数项的底数≠0”；
符合则为等比数列，底数即公比
。
避坑提醒：若
（如
），需变形为
，再验证首项（12）非零。
方法 3：前
项和法（适用于已知
表达式）
核心原理：等比数列前
项和为
（
，
）或
（
，
，
），
需结合通项验证。
操作步骤：
求通项：
时
，
时
；
验证
是否满足
时的
（不满足则非等比）；
用 “通项公式法” 判断
是否符合等比形式。
避坑提醒：勿仅凭
的形式判断，需验证
与
的一致性（如
，
，
时
，非等比）。
三、解题策略总结
方法速选：递推关系用 “定义法”，已知
用 “通项法”，已知
用 “前
项和法（先求
）”；
通用原则：所有步骤均需先验证 “无零项”，证明时需体现 “普遍性”（对所有
成立），不凭个
别项下结论。
【考点三：等比数列的性质及应用】
【例题】1．（2025·云南丽江·模拟预测）已知等比数列
的各项均为正数，且
，则
（ ）
A．2014
B．2024
C．2025
D．2026
2．（24-25 高二下·安徽合肥·期末）已知等比数列
的前n 项和为
，若
，且
，
则
（ ）
A．
B．40
C．30 或
D．
或40
【针对训练】3．（24-25 高二下·江西抚州·期末）在等比数列
中，
是方程
的两
根，则
的值为（ ）
A．-4
B．-2 或2
C．-2
D．2
4．（2025·四川成都·一模）记
为等比数列
的前
项和，若
，则
的公比为（ ）
A．2
B．
C．
D．
多选题5．（24-25 高二下·四川南充·期末）关于等差数列和等比数列，下列选项中说法正确的是（ ）
A．若等比数列
的前
项和
，则实数
B．若数列
为等比数列，且
，则
C．若等差数列
的前
项和为
，则
成等差数列
D．若等差数列
的前
项和为
，公差
，则
的最大值为30
6．（24-25 高二下·湖南邵阳·期末）在等比数列
中，若
，则
．
【解题策略】
等比数列的性质及应用解题策略
等比数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数（记为公比
，
）的数列，
首项记为
（
），通项公式为
。
一、核心性质
1. 通项相关性质
若
，且
，则
（可概括为“角标和相等，项的积相等”）。
推论：当
时，
（即中间项是前后两项的等比中项）。
通项的推广：
（已知任意一项
，可直接表示其他项，无需先求首项
）。
2. 前
项和相关性质
等比数列前
项和
的公式分两种情况：
时，
；
时，
，其关键性质如
下：
仍成等比数列（公比为
，需满足
）。
若
，则
（可直接对比不同项数的前
项和）。
3. 其他重要性质
数列
为等比数列的充要条件：
（
，且所有项不为0，可用于证明或判断等
比数列）。
单调性：若
且
（或
且
），数列单调递增；若
且
（或
且
），数列单调递减；
时，为常数列（
）或摆动数列（
）。
二、解题策略
1. 求基本量（
）：“知三求二”
等比数列有5 个基本量，已知其中3 个，可通过通项公式和前
项和公式建立方程（组）求解，核心是根
据已知条件列等式，解出未知量。需注意：若题干未明确公比
，需先判断
是否符合条件，再分
情况计算。
2. 利用“角标和性质”简化计算
当题目涉及“项的积”或“等比中项”时，优先使用“
”的性质，无需单独
求
和
，直接通过角标关系推导项的乘积关系，缩短计算步骤。
3. 前
项和的“片段和性质”应用
涉及
（即不同倍数项数的前
项和）的关系时，直接套用“
成等比数
列”的性质，需严格注意前提条件
，避免因忽略前提导致错误。
4. 证明数列是等比数列：紧扣定义或中项性质
定义法：证明对任意正整数
，
为常数（且该常数不为0，数列各项也不为0）。
中项法：证明对任意正整数
，
（且数列各项不为0），二者均可作为证明的核心依据。
5. 实际应用：建立等比数列模型
针对“增长率”“复利计息”“倍增/倍减”等实际问题，先确定模型类型（等比数列），再明确首项
（初始数量）和公比
（增长/衰减率，增长时
增长率，衰减时
衰减率），最后根据通项公
式或前
项和公式计算目标量。
三、易错点提醒
1. 忽略公比限制：公比
，且使用前
项和公式时需分
和
讨论，避免直接套用
的公
式导致漏解。
2. 误判“片段和性质”前提：
成等比数列的前提是
，需先验证
是否为0，
再应用性质。
3. 忽略项的符号：等比数列中项的符号由首项
和公比
共同决定（
为负时项会正负交替），计算
“等比中项”等问题时，需考虑项的正负两种可能（除非题干明确数列各项为正）。
一、单选题
1．（24-25 高二下·浙江杭州·期末）已知
是等比数列
的前n 项和，若
，则
（ ）
A．1022
B．1023
C．1024
D．1025
2．（24-25 高二下·北京海淀·期中）若等比数列
的前n 项和为
（p 为常数），且
的公比
为q，则
（ ）
A．4
B．2
C．1
D．0
3．（24-25 高二下·陕西汉中·期末）记
为等比数列
的前n 项和，若
，则
（ ）
A．4
B．6
C．7
D．8
4．（24-25 高二下·河南南阳·期末）已知等比数列
的公比为
.设甲：
为递减数列，乙：
，
，则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．（2025 高三·全国·专题练习）已知正项等比数列
满足
，若存在两项
，
使得
课后针对训练
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．不存在
6．（2025 高三·全国·专题练习）已知数列
的前
项和为
且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．17
7．（2025 高三·全国·专题练习）已知等差数列
的首项为1，且
成等比数列，则
（ ）
A．－5 或1
B．－5
C．－3
D．－3 或1
8．（25-26 高三上·广东深圳·开学考试）在等比数列
中，
是函数
的两个零点，
则
（ ）
A．
B．
C．5
D．
二、多选题
9．（23-24 高二下·四川绵阳·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．非零常数列既是等差数列，又是等比数列
B．等比数列
是递增数列，则
的公比
C．若数列
的前
项和为
，则数列
是等差数列
D．若
为等比数列，
为其前
项和，则
，
，
，
仍为等比数列
10．（24-25 高二下·陕西·阶段练习）记
为数列
的前
项和.若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
11．（2025·浙江宁波·模拟预测）数列
是正项数列，若
，且
，
，则
．
12．（2025 高二·全国·专题练习）设等比数列
的公比为
，其前
项积为
，并且满足以下条件：
，
，
．给出下列结论：
①
；
②
；
③
的值是
中最大的；
④使
成立的最大自然数
等于198．
其中正确的结论是 ．（填序号）
四、解答题
13．（2026 高三·全国·专题练习）已知数列
的前
项和
，
为等比数列，公比为2，且
，
，
为等差数列.
(1)求
与
的通项公式；
(2)把数列
和
的公共项由小到大排成的数列记为
，求数列
的前
项和
.
14．（24-25 高二·上海·随堂练习）已知数列
是首项为1，公差不为0 的等差数列，
是各项均为正
数的等比数列，且
．
(1)若数列
的公差为1，且
，在①
，②
，③
这三个条件中任选一个作为条件，
判断此时数列
是否是递增数列，并说明理由；选________．
(2)若
，
，
成等比数列，数列
的前n 项和为
，求数列
的通项公式．
