微考点 恒成立中的共零点4 类常见考点全归纳
考点一 单变号零点×单变号零点
考点二 单变号零点×双变号零点
考点三 双变号零点×双变号零点
考点四 隐形的共零点
一、基本原理
我们定义:f (x)>0的解区间为f (x)的正值区间,f (x)<0的解区间为f (x)的负值区间.
1.假设f (x)g (x)≥0对任意的x∈D恒成立,说明f (x)与g (x)有相同的正值区间,即它们需要有共同的解
区间端点,如果有零点,那么这两个函数的零点必须是共有的.
如图1, 二次函数f (x)与g (x)具有相同的正值区间(
∞,
−
x1)∪(x2,+∞), 有相同的负值区间
(x1,x2),f (x),g (x)具有相同的零点x1,x2.
图1 基本原理1 示意图 图2 基本原理2 示意图
2.假设f (x)g (x)≤0对任意的x∈D恒成立,说明f (x)的正值区间是g (x)的负值区间或者f (x)的负值区间
是g (x)的正值区间,此时它们也需要有共同的解区间端点,如果有零点,那么这两个函数的零点也必须是共有
的.
如图2,二次函数f (x)的正值区间与g (x)的负值区间均为(
∞,
−
x1)∪(x2,+∞),二次函数f (x)的负值区
间与g (x)的正值区间均为(x1,x2),f (x),g (x)具有相同的零点x1,x2.
3.这些零点有的是变号零点，有的是不变号零点，可以按照以下解决策略进行：
①对于变号零点，可以利用
分离函数
“
+数形结合
分析；
”
②对于不变号零点，利用
续轴标根法（穿针引线法）
分析，
“
”
③复杂问题，先讨论参数范围，转化为恒成立问题或者共零点问题.
二、共零点法的应用举例
1.直接求参数的值
【典例1】设a∈R,若x>0时均有[(a
1
−)x
1
−)(x
2−ax
1
−)≥0
,则a =_____.
【解析】因为若x>0时均有[(a
1
−)x
1
−)(x
2−ax)
1)≥0
−
,又ℎ(x)=x
2−ax
1
−在(0,+∞)上有一个零点,所
以只需g (x)= (a
1
−)x
1,
−ℎ
(x)=x
2−ax
1
−在(0,+∞)上具有相同的零点且a
1>0
−
,g (x)= (a
1
−)x
1
−的零
点为x=1
a
1
−
,所以ℎ(
1
a
1
−)=0,解得a =3
2
或a =0,又a>1,所以a =3
2 .
注：若两个函数乘积恒大于0(或小于0)且在定义域内有零点,则这两个函数在定义域内有相同的零点
【典例2】设a,b∈R,若x≥0时,恒有0≤x
4−x
3+ax+ b≤(x
1
−)2,则ab=_____.
【解析】因为x≥0时,0≤x
4−x
3+ax+ b≤(x
1
−)2恒成立,所以令x=1,得0≤a+ b≤0,所以a+ b=0,即
a =−b, 所以x
4−x
3−bx+ b≥0, 即(x
1
−)(x
3−)b)≥0对任意的x≥0恒成立, 所以函数f (x)=x
1
−与
g (x)=x
3−b具有相同的零点,所以g (1)=1−b=0,所以b=1,所以a = 1,
−
ab= 1
−.
注：本题解题的关键是找到隐藏着的a,b的关系,通过因式分解,转化为两函数乘积不等式恒成立问题,即
(x
1
−)(x
3−b)≥0,从而使用共零点法求解.
2.利用双参数的制约关系求范围与最值
【典例3】若不等式(ax+3)(x
2−b)≤0对任意的x∈(0,+∞)恒成立,则( ).
A.a b
2=9 B.a
2b=9,a<0 C.b
2=9a D.b
2=9a
2,a<0
【解析】由于x→+∞时,x
2−b→+∞,而不等式(ax+3)(x
2−b)≤0对任意的x∈(0,+∞)恒成立,所以
x→+∞时,ax+3→∞
−
,即a<0.又因为f (x)=ax+3,g (x)=x
2−b在x∈(0,+∞)上需具有相同的零点,所以
(−3
a )
2
−b=0,得a
2b=9,故选B.
【典例4】若对于任意的x∈(
1,+∞
−
)都有(e
x−)a)[ln (x+1)−b)≥0
恒成立,则a−b的取值范围为
_____.
【解析】由题意得,函数y=e
x−a,y=ln (x+1)−b有相同的零点,记为x0(x0> 1
−),则{
e
x0−a =0
ln(x0+1)−b=0)
,所
以a−b=e
x0
ln
−
(x0+1),(x0)> 1)
−
,设f (x)=e
x
ln
−
(x+1),(x> 1
−
),则f
′(x)=e
x−1
x+1
在(
1,+∞
−
)上单
调递增,且f
′(0)=0,所以当x∈(
1,0
−
)时,f
′(x)<0,当x∈(0,+∞)时,f
′(x)>0,所以f (x)在(-1,0)上单调递减,
在(0,+∞)上单调递增,所以f (x)min=f (0)=1,又当x→1
−时,f (x)→+∞,当x→+∞时,f (x)→+∞,所以f (x)
的值域为[1,+∞),即a−b∈[1,+∞).
注：此题通过零点相同,把目标函数表示为关于隐零点x0的函数,再利用导数求函数的值域,从而求得范围.
【典例5】已知当x∈R时,均有不等式(ae
x
2
−)(ae
x+x)≥0成立,则实数a的取值范围为_____.
【解析】当a =0时, 2
−x≥0,解得x≤0,不合题意,舍去;当a<0时,由于f (x)=ae
x
2<0
−
无零点,所以只需
g (x)=ae
x+x≤0成立,即a≤−x
e
x 恒成立,又(−x
e
x)
min
=−1
e ,可得a≤−1
e ;
当a>0时,由于f (x)=ae
x
2
−有零点x=ln2
a
,所以x=ln2
a
也是g (x)=ae
x+x的零点,所以2+ln2
a =0,解得
a =2e
2.
综上所述,a的取值范围为(
∞,
−
−
1
e)∪{2e
2).
共零点法解题
是解决函数乘积不等式恒成立问题的一种方法
“
”
,通常用于解决涉及函数的零点或方程
根的问题.这种方法的核心思想是利用已知条件来确定一个或多个函数的共同零点,从而解决问题.要注意,当
一个函数的零点情况不确定的时候,需要根据情况分类讨论,无零点的情况,一般转化为恒成立问题,有零点的
情况,用共零点法求解
考点一 单变号零点×单变号零点
1.设函数
，若
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．1
【分析】由已知可得，函数
与函数
在定义域内
有相同的零点，即可得
，代入可得最值．
【详解】由题意可知：
的定义域为
，令
，
则，
与
在定义域
内为增函数，
对任意
恒成立，
与
有相同的正值区间和有相同的负值区间，
这两个函数的零点必须是共有的，
等介于函数
和
在定义域内有相同的零点，
令
解得
；令
解得
；
即
，
则
，当且仅当
时，等号成立，
所以
的最小值为
．
2. 已知函数
的定义域为
，若
恒成立，则
的值为
_________．
【解析】只须
与
的零点重合，所以
，解得
．
3.若关于
的不等式
在（0，+
）上恒成立，则实数
的取值范围是 ．
【答案】
【解析】令
，
令
．
（1）当
时，
，不符合题意；
（2）当
时，
在
上恒为负，在
上恒为正；
在
上单调递增，则需
,此时
，符合题意；
（3）当
时，
在
恒为负；
在
单调递增，在
上单调递减，故
在
处取得极大值也即是最大值，
，解得
．
4.设函数
，其中
，
，若
恒成立，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据不等式恒成立，分类讨论得出
，利用基本不等式求最值即可.
【详解】由题意，函数
的定义域为
，
令
，则
或
，
因为
在
上恒成立，其中
，
，
当
时，则
恒成立，即有
；
当
时，显然不等式恒成立；
当
时，则
恒成立，即有
.
综上，
，
又
，
，则
，当且仅当
时取等号.
所以
的最小值是
.
故选：A.
考点二 单变号零点×双变号零点
5.设
，若
时均有
，则
_________．
【解析】设
．注意到
都过定点
，如图所示，分析易
知
两个函数有共同的零点，即
且
，解得
．
6.已知函数
，当
时，
，则实数
的取值范围为
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】如图，先画出
的图象，函数过点
，
若
，
当
时
，
那么函数
也必须过点
，
即
，
那么
，
另外一个实根是
，需满足条件
，
解得：
，
故选：C.
7．若对任意
，不等式
恒成立，则实数
的值是 .
【答案】
【分析】不等式转化成
，结合
和
在
上的单调性即可求解.
【详解】因为
，所以
恒成立，即
恒成立，
因为
在
上单调递减，
在
上单调递增，
若要满足不等式恒成立，则必须两函数图象交于
轴正半轴上一点（否则必存在
，使
），
所以当
，即
且
时，原不等式恒成立，
所以
（负值舍去）.
故答案为：
8．已知
，
，若关于
的不等式
在
时恒成立，则
的最小值是
.
【答案】
【分析】根据不等式分类讨论分析可知，
为方程
的根，代入化简可得
，进而
代入
消去
，结合基本不等式即可求解.
【详解】因为
，所以当
时，
；当
时
.
要使关于
的不等式
在
时恒成立，需两因式同号在
时恒成立.
则当
时，
；当
时，
；
所以当
时，
，
所以
，即
，
所以
，当且仅当
，即
时取等号，
即
的最小值为
.
故答案为：
.
9．若对任意的
，
恒成立，则实数a= ．
【答案】
/
【分析】分
两种情况分别化简恒成立为等价不等式组计算求参即可.
【详解】对任意的
，
恒成立，
当
时，对任意的
或
恒成立，
当
恒成立，
令
，开口向上，对称轴为
，
在
单调递增，所以恒成立转化为
，
所以
，得
；
当
恒成立，
，开口向上，对称轴为
，
在
单调递增，所以恒成立转化为
，
所以
，得
；
综上
；
当
时，对任意的
，
恒成立，
，开口向上，对称轴为
，
在
单调递减，在
单调递增，
所以
不能恒成立，所以
无解；
所以上
.
故答案为：
.
【点睛】思路点睛：解题的思路是分类讨论，把不等式应用符号法分为两部分，分别恒成立计算求参.
10．已知函数
对定义域内的任意
，有
恒成立，则
的取值范围
（请用区间表示）
【答案】
【分析】根据题意由
在不同区间上的符号确定出函数
的取值，再对
的取值进
行分类讨论，结合二次函数性质得出不等式可求得
的取值范围.
【详解】易知函数
的定义域为
，
若对定义域内的任意
，有
恒成立，
显然
满足题意；
当
时，
，则
在
上恒成立，
当
时，
，则
在
上恒成立；
即可知函数
在
和
上的符号相反，
当
时，
，
，符合题意；
时，可得
，此时
在
上恒成立；
为保证
在
上恒成立，可知
即可，解得
；
综上可知，
的取值范围为
.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用
的定义域及其在不同区间上的符号，转化为二次函数
在某区间上恒成立问题，即可实现问题求解.
11．若存在实数
使得不等式
恒成立，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先确定
满足条件，在
，分
，
，
讨论确定
的范围，由此可得结论.
【详解】若
，当
时，
当
时，不等式
成立，
当
时，不等式
成立，
当
时，不等式
成立，
所以
满足条件，
若
，
当
时，不等式
对任意的
成立，
当
时，不等式
可化为
，
又抛物线
的对称轴方程为
，
由已知
，且
，
当
时，不等式
可化为
，
由已知结合条件
，且
可得，
，且
，
所以
的取值范围是
，
综上：
；
故选：A.
12．已知
，
，若关于
的不等式
在
上恒成立，则
的最小值是
（ ）
A．4
B．
C．8
D．
【答案】C
【分析】结合一次函数与二次函数的图象性质，由不等式可得两函数有共同零点
，由此得
是方程
的根，可得
，
的关系，消
再利用基本不等式求解最值可得．
【详解】设
，
，又
，所以
在
单调递增，
当
时，
；当
时，
，由
图象开口向上，
，
可知方程
有一正根一负根，即函数
在
有且仅有一个零点，且为异号零点；
由题意知
，则当
时，
；
当
时，
，
所以
是方程
的根，则
，即
，且
，
所以
，当且仅当
，
即
时，等号成立，
则
的最小值是8.
故选：C
13．已知关于
的不等式
在
上恒成立，则实数
的取值集合为
；
【答案】
【分析】令
可得
，解得
，进而分析可知原不等式等价于
在
上恒成立，结合二次函数分析求解即可.
【详解】因为不等式
在
上恒成立，
令
可得
，解得
，
若
，则
在
上恒成立，
原不等式等价于
在
上恒成立，
因为二次函数
的图像开口向上，对称性
，
当
，即
时，
则
在
上恒成立，符合题意；
当
，即
时，则
，
可知
，符合题意；
综上所述：
的取值集合为
.
故答案为：
.
14．设
，若
时，均有
成立，则实数
的取值集合为 .
【答案】
【分析】两项乘积大于等于零恒成立，则两项有相同交点且在同一区间同时取相同的正负值，求出其中一
项的零点，代入另一个方程，解得
值.
【详解】当
时，
，则
，由于
的图象开口向上，
则
不恒成立，
当
时，由
可解得
，
而方程
有两个不相等的实数根且异号，
所以，
必定是方程
的一个正根，
则
，则可解得
，
故实数
的取值集合为
.
故答案为：
.
15．若
，且不等式
对任意
恒成立，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】对
分
，
和
讨论，再利用二次函数根的分布得到不等式，解出
的范围，再计
算得
，即可得到其最小值.
【详解】当
时，
，则需
，
当
时，
恒成立，
当
时，
，则需
.
设
，则
，
解得
或
，
所以
，当
时，
取得最小值，且最小值为
.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是对
的分类讨论，从而得到一元二次方程根的分布情况，得到相关不
等式和等式，再换元计算即可.
16．若不等式
对任意
恒成立，则实数m 的值为
【答案】
/
【分析】通过二次函数的性质和方程的根，列出不等式求出结果.
【详解】解：若
，则当
趋于
时，
趋于
，不满足题意；
当
时，
是方程
的一个根，
不等式
对任意
恒成立，
且方程
的两根不相等，
所以
是方程
的根，
，
，得
，
此时原不等式等价于
，显然
时恒成立，
实数m 的值为
，
故答案为：
．
17．已知
，若关于x 的不等式
在区间
上恒成立，则
的最小
值是（ ）
A．2
B．
C．3
D．
【答案】B
【分析】结合函数
函数性质，得到函数
的函数性质，由此建立等式得到
的关系，然后借助基本不等式求出
的最小值.
【详解】∵
，∴
在区间
上单调递增，
当
∴
时
，当
时
，
令
，
要想关于x 的不等式
在区间
上恒成立，
则当
时
，当
时
，
∴
，则
，即
，
∴
，当且仅当
，即
时取等号.
故选：B.
18．当
时，关于
的不等式
恒成立，则实数
的值为 .
【答案】
或
【分析】将不等式分解可得
，根据不等式恒成立对
的取值分类讨论可得结果.
【详解】由已知可得
，
易知该不等式对应的三个根为
，且
恒成立；
由已知
时，不等式
恒成立，
则需满足（1）
，解得
成立；
（2）
时，
，
，解得
成立；
综上可得
或
.
故答案为：
或
19．若不等式
恒成立，则
的取值集合为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用换元法，把原不等式转化为
恒成立问题，再分
，
，
讨论即可.
【详解】设
，则
，
.
原不等式可化为：
.
因为
，所以
，
.
当
时，
，所以
在
恒成立，所以
；
当
时，
，所以
成立；
当
时，
，所以
在
上恒成立，所以
.
综上可得：
.
故选：A
考点三 双变号零点×双变号零点
20.若不等式
对任意实数
恒成立，则
（）
A．
B．0 C．1 D．2
【解析】本题是
对任意的
恒成立的模型，同时发现
和
均有两
个零点，依题意只须
与
的零点重合即可.
如图，作出
的图象，易知
；
平移
图象，依题意只须
与
的零点重合即可，即知
；同时，结合
对称性，易知
，即
，代入
，故
．则
，故选D.
【题后反思】对于
双变号零点
“
双变号零点
的情形，很多问题都存在着对称性，通过零点相等和对称
”
性的特征，便可求出结果．
21.若不等式
对
恒成立，则
的值等于（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】B
【分析】设
，得出
的符号变化情况，根据
的单调性和对称性即可得出
，
的值．
【详解】解：当
或
时，
，
当
时，
，
当
或
时，
，当
时，
，
设
，则
在
上单调递减，在
上单调递增，
且
的图象关于直线
对称，
，
，即
，又
，故
．
．
故选：B．
22.已知
，满足
在定义域上恒成立，则
的值为
．
【解析】令
，
则
在定义域上恒成立，
由恒成立问题中的共零点问题得：
和
有共同零点，
由
得
，
也是
的零点，
得
．
23.若
在
上始终成立，则
的值为 ．
【解析】
，
．
由恒成立问题中的共零点问题得：
的两个零点为1 和
，
的两根也为1 和
，
解得
．
24.若不等式
对
恒成立，则
.
【答案】
【分析】先分析当
时，函数
的对称轴，零点及函数值的变化情况，再分析二次函
数
的单调性与对称轴，结合不等式恒成立可得关于
，
的方程，求解即可．
【详解】当
时，函数
的对称轴为
，零点为
，
，
且当
时，
，当
时，
，当
时，
，
函数
在
上单调递减，在
上单调递增，且对称轴为
，
所以要使不等式
恒成立，
于是，
，
，解得
，
，故
.
故答案为：
．
考点四 隐形的共零点
25.已知函数
在
上单调递增，则实数
的取值集合为_________．
【解析】本题并不是
或
对任意的
恒成立的模型. 但通过求导之后便知
（一定要进行因式分解）在
上恒成立，按共零点考虑.
由
，即
在
上恒成立，则
的零点0 也是
的零点，即
，解得
．
【题后反思】对于不是直接是乘积形式出现的问题，绝大可能是需要考虑能否进行因式分解，再利用共零
点分析解决．
