35.解三角形压轴中的的四大神技
一．基本原理
1.秦九韶公式
二次边结构的出现自然联系到了在课本文化部分的秦九韶公式，秦九韶公式出现在人教版
必修二教材的55 页，作为中国古代数学中的优秀成果之一介绍出来，它给出了三角形的
面积和边长之间的定量关系，没有角度形式出现，这样的话，在我们的条件只有边关系
时，就可考虑从这个角度入手解题. 近年来，以这方面为背景的解三角形压轴题目多次出
现，应该引起各位读者的注意.
秦九韶公式：
.（凌晨讲数学）
2
2
2
2
2
2
2
4
1
b
c
a
c
a
S
将秦九韶公式进一步整理可得海伦公式：
.
)
(
2
1
,)
)(
)(
(
c
b
a
p
c
p
b
p
a
p
p
S
2.再将边结构推广又可给出二次边结构和面积之间的不等关系，即嵌入不等式.
（嵌入不等式）若三角形的三边为
，面积为
，
为给定的正实数，则有：
c
b
a
,
,
S
z
y
x
,
,
，当且仅当
zx
yz
xy
S
zc
yb
xa
4
2
2
2
)
(:)
(
:
:
2
2
2
2
2
2
b
a
c
a
c
b
z
y
x
取等.上述两个背景给我们提供了足够解决二次边结构的范围问题的工具
)
(:
2
2
2
c
b
a
3.托勒密不等式
若四边形
对角互补，或者
，则
四点共
ABCD
BC
AD
CD
AB
DB
AC
D
C
B
A
,
,
,
圆.
4.米勒最大视角
米勒问题：已知点
是
的边
上的两个定点，点
是边
上的动点，则
B
A,
MON
ON
P
OM
当
在何处时，使得
最大？
P
APB
对米勒问题有如下重要结论称之为米勒定理.
米勒定理：已知点
是
的边
上的两个定点，点
是边
上的动点，
B
A,
MON
ON
P
OM
则当且仅当
的外接圆与边
相切于点
时，
最大.
ABP
OM
P
APB
二．典例分析
例1.已知
中，角
的对边分别为
.若
，
ABC
A
, ,
A B C
, ,
a b c
2
2
2
2
2
1,4
cos
4
sin
3
3
c
a
B
b
A
b
则
的最大值为（ ）
tanA
A．
B．
C．
D．
7
4
7
3
3 7
7
4 7
7
解法1：余弦配均值.
∵
，∴
，
2
2
2
2
2
1,4
cos
4
sin
3
3
c
a
B
b
A
b
2
2
2
2
2
2
4
cos
4
sin
3
3
a
B
b
A
b
c
∴由正弦定理得：
，
2
2
2
2
2
2
4sin
cos
4sin
sin
3sin
3sin
A
B
B
A
B
C
即
，
，则
2
2
2
2
2
2
4sin
sin
cos
4sin
3sin
3sin
A
B
B
A
B
C
2
2
2
4
3
3
a
b
c
，
2
2
2
3
3
4
4
a
b
c
（当且仅
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
3
1
7
7
7
4
4
4
4
cos
2
2
2
2
8
8
8
8
b
c
b
c
b
c
b
c
a
b
c
b
c
A
bc
bc
bc
c
b
c
b
7
4
当
，即
时取等号），
的最小值为
.
7
8
8
b
c
c
b
7
b
c
cos A
7
4
∵
，∴
，∴
的最大
2
2
sin
cos
1
A
A
2
2
min
7
3
sin
1 cos
1
cos
1 16
4
A
A
A
tanA
值为
.
max
min
sin
3 7
cos
7
A
A
解法2.秦九韶公式
解析：由于
，∴
，由正弦
2
2
2
2
2
1,4
cos
4
sin
3
3
c
a
B
b
A
b
2
2
2
2
2
2
4
cos
4
sin
3
3
a
B
b
A
b
c
定理得：
.
2
2
2
2
2
2
4sin
cos
4sin
sin
3sin
3sin
A
B
B
A
B
C
进一步可得：
，
，于是我们可以计算
，其中
为
2
2
2
3
3
4
b
c
a
A
A
A
2
2
2
sin
tan
1
tan
2
2
4
b
S
S
的面积，因为
.根据秦九韶公式可知：
ABC
b
S
A
A
bc
S
2
sin
sin
2
1
，代入已知条件
可得
]
4
)
(
[
4
1
2
2
2
2
2
2
2
a
c
b
c
b
S
1
),
(
4
3
2
2
2
c
c
b
a
，即
.
16
9
4
)
50
49
(
64
1
4
2
2
2
2
2
2
b
S
b
b
b
S
7
7
3
tan
16
9
sin
tan
1
tan
2
2
2
A
A
A
A
小结：由上述例子可以看到，秦九韶公式在处理齐二次边结构解三角形题目中的威力是巨
大的，通过该公式，我们可以将所讨论问题转化为纯边结构来处理，最终通过目标函数或
者重要不等式求得相关问题的解.
例2.（湖南省长沙市25 届高三适应性考试）在
中,角
所对的边分别为
ABC
A
, ,
A B C
,且外接圆半径为
,则
的最大值为 .
, ,
a b c
5
R
2
2
2
2
abc
a
b
c
解析：首先，由三角形面积公式可得：
，于是可得：
R
abc
A
bc
S
4
sin
2
1
，另一方面，由嵌入不等式可得：
2
2
2
2
2
2
4
2
2
abc
RS
a
b
c
a
b
c
，于是可知：
5
4
2
2
2
2
S
c
b
a
2
2
2
5
2
abc
a
b
c
当且仅当
时取等号.
)
(:)
(
2
:
1
:
1
2
2
2
2
2
2
b
a
c
a
c
b
)
(:
2
2
2
c
b
a
例3.（2022 四川预赛）若三角形的三边
满足
，则
面积的最
c
b
a
,
,
7
3
2
2
2
c
b
a
ABC
大值为________.
解析：方法1.（秦九韶公式）.由秦九韶公式
可得:
2
2
2
2
2
2
2
4
1
c
b
a
b
a
S
，再代入已知条件
得：
]
)
2
(
)
2
[(
4
1
2
2
2
2
2
2
2
2
c
b
a
b
a
S
2
2
2
3
7
c
b
a
，由均值不等式取等号条件与二次函数取最值条件可知：当
且
)
2
(
16
7
2
4
2
c
c
S
1
2
c
时取最值，即
时，
.
b
a
1
,
2
c
b
a
4
7
max
S
当然，此题还有一种更快的做法：嵌入不等式！
方法2.（嵌入不等式）若三角形的三边为
，面积为
，
为给定的正实数，则
c
b
a
,
,
S
z
y
x
,
,
有
：
，
当
且
仅
当
zx
yz
xy
S
zc
yb
xa
4
2
2
2
)
(:)
(
:
:
2
2
2
2
2
2
b
a
c
a
c
b
z
y
x
取等.于是
.
)
(:
2
2
2
c
b
a
4
7
3
3
1
4
7
3
2
2
2
S
S
c
b
a
例4.（24 届成都二诊T15）平面四边形
中，
ABCD
则
最大值为______.（凌晨讲数学）
3
2,
,
90 ,
4
AB
BC
CD
ABD
BD
AC
解析：由题可知
，由托勒密不等式可得：
CD
BC
x
AD
x
BD
x
AB
2
,
5
4
,
3
，代入具体数字可得：
，取等条件当且仅当
BD
AC
AB
CD
BC
AD
4
AC
四点共圆.
D
C
B
A
,
,
,
例5.在平面四边形ABCD 中，
，AD=3，BD=
则CD 的最小值为
,
2
AB
AC AC
AB
2 6,
（ ）
解析：如图，可设
，则
，则由托勒密不等式可得：
x
AB
x
BC
x
AC
3
,
2
，代值可得：
，
BD
AC
AB
CD
BC
AD
3
6
2
2
3
3
CD
x
x
CD
x
等号成立当且仅当
四点共圆.
D
C
B
A
,
,
,
A．
B．
C．
D．
6
3
6
2
3
2
3
例6.（2022 南昌一模）已知点
.点
为圆
上一个动点，
)
0,3
(
),
0,1
(
B
A
P
45
:
2
2
y
x
O
则
的最大值为__________.
APB
sin
解析：如图，设D 是圆O 上不同于点P 的任意一点，连结DA 与圆
交于点E，连接
O
EC，由三角形外角的性质，可知
ADC
AEC
，由圆周角定理：
APC
AEC
，
因此
ADC
APC
，当且仅当ACP
的外接圆与圆O 相切于点P 时，
APC
最大.
此时，可设ACP
的外接圆圆心
)
,1( t
M
，由于此时
P
M
O
,
,
三点共线且
MP
OM
OP
，
而
4
2
t
MC
MP
，
则
5
3
1
4
2
2
t
t
，解得：
5
44
2
t
，
于是
5
8
M
R
，由正弦定理，则
APB
sin
的最大值为
4
5 .
例7．（23 届深圳二模）足球是一项很受欢迎的体育运动.如图，某标准足球场的
底线宽
B
码，球门宽
码，球门位于底线的正中位置.在比赛过程中，攻方球员带球运
72
AB
8
EF
动时，往往需要找到一点
，使得
最大，这时候点
就是最佳射门位置.当攻方球员
P
EPF
P
甲位于边线上的点
处（
，
）时，根据场上形势判断，有
、
两条
O
OA
AB
OA
AB
OA
OB
进攻线路可供选择.若选择线路
，则甲带球_________码时，
到达最佳射门位置；
OA
APO
若选择线路
，则甲带球_________码时，到达最佳射门位置.
OB
解析：方法1.米勒圆
选择线路
，以
为弦的圆与
相切于
，连
最大.所以甲带球
OA
EF
OA
0p
F
EP
F
P
E
P
0
0
0
,
、
至
时，到达最佳射门位置.由切割线定理，得
，即
0P
AF
AE
AP
2
0
，
，所以甲带球
码时，到达最佳射
5
16
40
32
0
AP
5
16
72
0
OP
5
16
72
门位置.
选择线路
，以
为弦的圆与
相切于
，连
最大.
OB
EF
OB
1P
F
EP
F
P
E
P
1
1
1
,
、
所以甲带球至
时，到达最佳射门位置，由切割线定理，得
，即
1P
BE
BF
BP
2
1
，所以甲带球
码时，到达最佳
5
16
2
72
,5
16
40
32
1
1
OP
BP
5
16
2
72
射门位置.
方法2.代数方法
若选择线路
，设
，其中
，
，
，则
OA
AP
t
0
72
t
≤
32
AE
32
8
40
AF
，
，所以，
32
tan
AE
APE
AP
t
40
tan
AF
APF
AP
t
tan
tan
tan
tan
1
tan
tan
APF
APE
EPF
APF
APE
APF
APE
，当且仅当
时，即当
2
2
40
32
8
8
8
5
1280
1280
1280
20
1280
1
1
2
t
t
t
t
t
t
t
t
t
1280
t
t
16 5
t
时，等号成立，此时
，所以，若选择线路
，则甲带球
72 16 5
OP
OA
AP
OA
码时，
到达最佳射门位置；
72 16 5
APO
若选择线路
，以线段
的中点
为坐标原点，
、
的方向分别为
、
轴的正
OB
EF
N
BA
AP
x
y
方向建立如下图所示的空间直角坐标系，
则
、
、
、
，
，直线
的方程为
36,0
B
36,72
O
4,0
F
4,0
E
72
1
36
36
OB
k
OB
，设点
，其中
，
，
36
y
x
,
36
P x x
36
36
x
36
tan
4
PF
x
AFP
k
x
，
36
tan
4
PE
x
AEP
k
x
所以，
tan
tan
tan
tan
1
tan
tan
AEP
AFP
EPF
AEP
AFP
AEP
AFP
，令
，则
2
2
2
2
8
36
36
36
8
4
4
16
36
36
16
36
1
36
1
4
4
36
16
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
36
0,72
m
x
36
x
m
，
所以，
2
2
36
16
16
1280
1280
36
2
72
2 2
72
36
m
x
x
m
m
m
x
m
m
m
，当且仅当
时，即当
，即当
时，等号成立，
32 10
72
1280
2m
m
8 10
m
8 10
36
x
当且仅当
时，等号成立，此时，
，
8 10
36
x
2 36
8 10
36
72 2
16 5
OP
所以，若选择线路
，则甲带球
码时，到达最佳射门位置.故答案为：
OB
72 2
16 5
；
.
72 16 5
72 2
16 5
