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60.异面直线所成角的计算与应用
一．基本原理
1.异面直线所成角与基本做法
①定义：设
是异面直线，经过空间任一点
，作直线
，把直线
所成
b
a,
O
b
b
a
a
//
,
//
'
'
'
',b
a
的锐角(或直角)叫做异面直线
所成的角(或夹角)，其范围为
.特别地，如果两条
b
a,
]
2
,0
(
异面直线所成的角是直角，那么两条异面直线互相垂直，记作
．
b
a
该定义就是通过平移把异面直线转化为相交直线，即把空间图形问题转化为平面图形问题.
具体步骤如下：
①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；
②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；
③计算：求该角的值，常利用解三角形；
④取舍：由异面直线所成的角的（凌晨讲数学）取值范围是
，当所作的角为钝角
0, 2
时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．
2.空间余弦定理：如图，在空间四边形
中，连接
，设异面直线
与
ABCD
BD
AC,
AD
BC
的所成角为
，那么
同理，异面直线
与
的
.
2
)
(
cos
2
2
2
2
BC
AD
CD
AB
BD
AC
AC
BD
所成角的余弦值为：
；异面直线
与
的所成角的余弦
BD
AC
CD
AB
BC
AD
2
)
(
2
2
2
2
AB
CD
值为
.
2
2
2
2
2
CD
AB
BD
AC
BC
AD
3.向量法计算公式：异面直线所成角
设异面直线
和
所成角为
，其方向向量分别为
，
；则异面直线所成角向量求法：
1l
2l
u
v
①
②
cos
,
|
||
|
u v
u v
u v
cos
| cos
,
|
u v
例1．如图，已知正四棱锥
的所有棱长均为2，
为棱
的中点，则异面直线
P
ABCD
E
PA
与
所成角的余弦值为（ ）
BE
PC
A．
B．
C．
D．
6
3
3
3
1
3
2
2
解析：连接
，取
的中点
，连接
,
，
AC
AC
O
OE OB
由题意知，
，则异面直线
与
所成角为
（或其补角），在
中，
EO
PC
A
BE
PC
BEO
BEO
△
，则
,则异面直线
与
所
1,
2,
3
EO
BO
BE
2
2
2
3
cos
2
·
3
BE
EO
BO
BEO
BE EO
BE
PC
成角的余弦值为
.故选：B.
3
3
例2．数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，正八面体就是其中之一．正八面体由
八个等边三角形构成，也可以看做由上、下两个正方椎体黏合而成，每个正方椎体由四个
三角形与一个正方形组成．如图，在正八面体ABCDEF 中，
是棱BC 的中点，则异面直线
H
HF 与AC 所成角的余弦值是___________
解析：取棱AB 的中点
，连接HG，FG，因为H，G 分别是棱BC，AB 的中点，所以
G
，则
是异面直线HF 与AC 所成的角或补角，设
，则
/ /
HG
AC
FHG
2
AB
，在
中，由余弦定理可得
2
2
1,
5,
3
HG
FG
BF
BG
HF
GHF
△
，（凌晨讲数学）则异面直线HF 与AC 所成角的余弦
2
2
2
3
cos
2
6
HG
FH
FG
FHG
HG FH
值是
.
3
6
例3．如图，在三棱锥
中，
，
，
，
分别
A
BCD
6
AB
AC
BD
CD
4
AD
BC
M
N
是
，
的中点.则异面直线
，
所成角的余弦值为（ ）
AD
BC
AN
CM
A．
B．
C．
D．
5
8
3
8
7
8
7
8
解析：连结
，取
中点
，连结
，
，如图所示， 则
，可知
DN
DN
P
PM
PC
/ /
PM
AN
PMC
即为异面直线
，
所成角（或其补角），
AN
CM
，
，
2
2
4 2
A
C
N
N
N
D
AC
1
2 2
2
PM
PN
AN
，
，
2
2
8
4
2 3
PC
PN
CN
2
2
4 2
CM
AC
AM
所以
，即异面直线
，
所成角的余弦
2
2
2
32
8 12
7
cos
2
32
8
CM
PM
PC
PMC
CM PM
AN
CM
值为
.故选：D
7
8
例4.（2022 届武汉九月调考）空间四面体
中，
，
ABCD
3
2
,2
BC
AD
CD
AB
，直线
与
所成角为
，则该四面体的体积为_________.
4
AC
BD
AC
45
解析：（方法1）∵ AB=2，BC=
，AC=4，∴
为直角三角形，同理可得
2 3
ABC
A
DAC
△
为直角三角形，如图，作直角三角形
和
斜边上的高BE，DF，则AE=CF=1
ABC
A
DAC
△
∴ E，F 是线段AC 的两个四等分点，作平行四边形BEFG，则BE⊥AC，DF⊥AC，
由线面垂直判定定理可得AC⊥平面DFG，又AC
平面ABGC,∴ 平面ABGC⊥平面
DFG，
在平面DFG 内，过点D 作DH⊥FG,垂足为H,由面面垂直的性质定理可得DH⊥平面
ABGC，
∴ DH 为四面体ABCD 的底面ABC 上的高，由三角函数定义可得
sin
DH
DF
DFG
又因为BG∥AC，所以BG⊥DG,又因为直线BD 与AC 所成的角为45°，所以∠DBG=45°，
∴
为等腰直角三角形，∴ GD=GB=EF=2，在
中GD=2，BE=DF=
DGB
A
DFG
A
3
由余弦定理可求得
，（凌晨讲数学）∴
，所以四面体的体积
1
cos
3
DFG
2 2
sin
3
DFG
.故答案为：
.
1
1
4 2
=
=
sin
3
3
3
ABC
V
Sh
S
DF
DFG
A
4 2
3
（方法2）依题，由空间余弦定理：
得：
AC
BD
BC
AD
DC
AB
2
|)
(
|
45
cos
2
2
2
2
，
2
2
BD
于是，
.
BCD
BA
BA
BC
BA
BD
面
,
这样的话，体积
.
3
2
4
2
2
2
3
1
3
1
BCD
S
AB
V
下面看一下补形法的应用，这也是计算异面直线所成角的一个好方法.
例5．在梯形
中,
，且
，沿对角线
将
ABCD
/ /
,
AB
CD AB
BD
4,
2 5
AB
BD
BC
BD
三角形
折起，所得四面体
外接球的表面积为
，则异面直线
与
所成
ABD
A
BCD
32π
AB
CD
角为（ ）
A．
B．
C．
D．
30
45
60
90
解析：如下图，将梯形
补成长方形
，折后得到直三棱柱
，
ABCD
AECF
ABE
FDC
因为
，所以
，
4,
2 5
AB
BD
BC
2
BE
DC
异面直线
与
所成角即为
与
所成角，即
或其补角，
AB
CD
AB
BE
ABE
又该三棱柱的外接球即为三棱锥
的外接球，设外接球半径为R，则
，
A
BCD
2
4π
32π
R
所以
，设
外接圆半径为r，圆心为
，
外接圆圆心为
，
2
8
R
ABE
A
1
O
FDC
△
2
O
则三棱柱的外接球的球心为
的中点O，连接
，则
，
1
2
O O
AO
1
,
AO
R AO
r
所以
，又
，即
，
2
2
1
1
2
r
AO
R
OO
2
4
sin
AE
r
ABE
4sin
AE
ABE
又
中，
，即
ABE
A
2
2
2
2
cos
AE
AB
BE
AB
BE
ABE
，（凌晨讲数学）化简得
，即
2
16sin
16
4
2 4 2cos
ABE
ABE
2
2cos
1
0
ABE
，所以
，故选：C.
1
cos
2
ABE
60
ABE
例6．在四面体
中，
，且
与
所成的角为
.若
ABCD
2,
90
BC
ABC
BCD
AB
CD
60
四面体
的体积为
，则它的外接球半径的最小值为_________.
ABCD
4 3
解析：依题意，可将四面体
补形为如图所示的直三棱柱
，因为
与
ABCD
ABE
FCD
AB
所成的角为
，所以
或
，设
，外接球半径记为
，
CD
60
60
DCF
o
120
,
CD
x CF
y
R
外接球的球心如图点
.易知
平面
，所以点
到平面
的距离等于点
到
O
/ /
AF
BCDE
A
BCDE
F
平面
的距离，
BCDE
，得
，
1
1
1
3
2
sin60
4 3
3
3
2
6
A BCD
F BCD
CDF
V
V
BC S
xy
xy
A
24
xy
在
中，
，
2
Rt OCO
A
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
2sin
3
DF
R
OC
OO
CO
DF
DCF
在
中，由余弦定理得
，所以当
时，外接球
CDF
A
2
2
2
2
cos
xy
DCF
DF
x
y
60
DCF
o
的半径会更小.所以
，所以
2
2
2
DF
x
y
xy
，所以
.故答案为：3.
2
2
2
1
1
1
1
1
2
1
9
3
3
3
R
x
y
xy
xy
xy
xy
min
3
R
