第02讲常用逻辑用语（原卷版）_数学_一轮复习_2024年_2024年高考数学考点题型测试一轮高效复习精讲精练_第一章《集合、常用逻辑用语、不等式、复数》

第02讲 常用逻辑用语
1．充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件 p q且q p
⇒
p是q的必要不充分条件 p q且q p
⇒ ⇏
p是q的充要条件 p q
⇏ ⇒
p是q的既不充分也不必要条件 p q且q p
⇔
⇏ ⇏
2. 全称量词与存在量词
(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．
(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．
3．全称量词命题和存在量词命题
名称 全称量词命题 存在量词命题
将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的
取值范围用M表示
结构
对M中任意一个x，p(x)成
存在M中的元素x，p(x)成立
立
简记 ∀x∈M，p(x) ∃x∈M，p(x)
否定 ∃x∈M， p(x) ∀x∈M， p(x)
一．充分、必要条件的判定
例1．（1）设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
（2）已知 ，若集合 ， ，则“ ”是“ ”的（ ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
（3）已知非零向量 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
（4）设函数f（x）=cosx+bsinx（b为常数），则“b=0”是“f（x）为偶函数”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【复习指导】：充分条件、必要条件的两种判定方法
(1)定义法：根据p q，q p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．
(2)集合法：根据p⇒，q对应⇒的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题．
二．充分、必要条件的应用
例2．（1） “ ”的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
p: x 2 q:xa
（2）若 ， ，且 是 的充分不必要条件，则 的取值范围是（ ）
   
aa2 aa2
A． B．
   
aa2 aa2
C． D．
（3）“不等式 在R上恒成立”的充要条件是（ ）A． B． C． D．
（4）已知命题 或 ，命题 或 ，若 是 的充分非必要条件，则实数 的
取值范围是________
【复习指导】：充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不
等式(或不等式组)求解．
(2)要注意区间端点值的检验．
三．含量词命题的否定
例3．（1）设命题 ，则 为（ ）
A． B．
C． D．
（2）命题“ ， ”的否定是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
（3）命题“ 且 的否定形式是（ ）
A． 且
B． 或C． 且
D． 或
【复习指导】：含量词命题的否定，一是要改写量词，二是要否定结论．
四．含量词命题的真假判断
例4．（1）下列命题中的假命题是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
（2）下列命题中，真命题的是（ ）
A．函数 的周期是 B．
C．函数 是奇函数. D． 的充要条件是
【复习指导】：判定全称量词命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明
p(x)成立；要判定存在量词命题“∃x∈M，p(x)”是真命题，只要在限定集合内找到一个x，使p(x)成立即
可．
五、含量词命题的应用
例5．（1）命题“ax2－2ax + 3 > 0恒成立”是假命题, 则实数 的取值范围是（ ）
A．a < 0或a ≥3 B．a 0或a ≥3 C．a < 0或a >3 D．0<a<3
【复习指导】：由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是可利用等价命题，
即p与 p的关系，转化成 p的真假求参数的范围．
（2）已知命题 :“ ，使得 ”是真命题，则实数 的最大值是____.（3）已知 ， ，若“ ， ，使得 成立”为
真命题，则实数m的取值范围是_________.
1．若 ，则“ ”是 “ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．设 ，则“ ”是“ ” 的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件6．设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．下面四个条件中，使 成立的充分而不必要的条件是（ ）
A． B． C． D．
8．设 ， 是两个不同的平面， 是直线且 ．“ ”是“ ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
9．已知命题 ，命题 ， ，则 成立是 成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
10．若不等式 成立的充分条件为 ，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．“ ”是“方程 表示椭圆”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
12．已知a，b，c，d是实数，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
13．设λ∈R，则“λ＝－3”是“直线2λx＋(λ－1)y＝1与直线6x＋(1－λ)y＝4平行”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
14．命题“对 ， ”为真命题的一个充分不必要条件可以是（ ）
A． B． C． D．
15．命题“ ”的否定是 （ ）
A． B．
C． D．
sinx1
16．已知命题 R， ，则（ ）
sinx1 sinx1
A． R, B． R,
C． R, D． R,
17．已知 ； ，则（ ）
A． 假 假 B． 假 真
C． 真 真 D． 真 假
18．下列命题为真命题的是（ ）
A． 且 B． 或C． ， D． ，
19．下列命题中，既是全称量词命题又是真命题的是（ ）
A．矩形的两条对角线垂直 B．对任意a，b ，都有a2 + b2 ≥ 2（a﹣b﹣1）
C． x ， |x| + x = 0 D．至少有一个x ，使得x2 ≤ 2成立
20．有下列四个命题，其中真命题是（ ）．
A． ， B． ， ，
C． ， ， D． ，
21．下列命题中真命题有（ ）
① ； ②q：所有的正方形都是矩形；
③ ； ④s：至少有一个实数x，使 .
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
22．“ ”是命题“ ， ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
23．命题“ ， ”是真命题的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
24．等比数列 的公比为q，前n项和为 ，设甲： ，乙： 是递增数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件25．已知 是定义在上 的函数，那么“函数 在 上单调递增”是“函数 在 上的最大
值为 ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
26．设点A，B，C不共线，则“ 与 的夹角为锐角”是“ ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
27．已知空间中不过同一点的三条直线m，n，l，则“m，n，l在同一平面”是“m，n，l两两相交”的（
）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
28．若命题“ ，使得 ”为假命题，则实数m的取值范围是
A． B． C． D．
29．（多选）下列命题正确的是（ ）
A． B． ，使得
C． 是 的充要条件 D． ，则
30．（多选）下列命题为真命题的是（ ）
A． ，B．“ ”是“ ”的必要而不充分条件
C．若x，y是无理数，则 是无理数
D．设全集为R，若 ，则
31．命题“若 且 ，则 ”的否命题是______.（选填“真”或“假”）
32．“所有偶数都不是素数”是______命题.（填“真”或“假”）
33．命题“ ”为真，则实数a的范围是__________
34．若 恒成立，则实数 的取值范围为________.
35．若对 ，都有 ，则实数 的取值范围是___________.
36．命题：“ ， ”的否定为_________________．
37．下列说法错误的是_____________.
①．如果命题“ ”与命题“ 或 ”都是真命题，那么命题 一定是真命题.
②．命题 ,则
③．命题“若 ，则 ”的否命题是：“若 ，则 ”
④．特称命题 “ ，使 ”是真命题.38．已知命题 ：“ ， ”，命题 ：“ ， ”， 的否定是假命题，
是真命题，则实数 的取值范围是___________.
39．若命题“关于x的不等式 对一切实数x恒成立”是假命题，则实数m的取值范围
是____________．
40．直线x－y－k＝0与圆(x－1)2＋y2＝2有两个不同交点的充要条件是________．
41．已知命题p：∀x∈R，x2－a≥0；命题q：∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0.若命题p，q都是真命题，则实
数a的取值范围为__________．
42．已知不等式|x－m|<1成立的充分不必要条件是<x<，则m的取值范围是________．
43．若f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a>0)，∀x∈[－1,2]，∃x∈[－1,2]，使g(x)＝f(x)，则实数a的取值范围
1 0 1 0
是________．
44．已知函数 ， ，若 ， ，使 成立，则
实数 的取值范围是_________.45．已知 .
（1）若 为真，求 的取值范围；
（2）若 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围.
46．已知命题p： ∀x∈R，x2-2mx-3m>0成立；命题q： ∃x∈R，x2+4mx+1<0成立．
(1)若命题p为真命题，求实数m的取值范围；
(2)若命题p，q中恰有一个为真命题，求实数m的取值范围．
47．设命题 ， ；命题 ，使 ．
（1）若命题 为真命题，求实数a的取值范围；
（2）若命题 ， 一真一假，求实数a的取值范围．
48．已知集合
（1）若 ，求实数m的取值范围.
（2）命题q：“ ，使得 ”是真命题，求实数m的取值范围.
49．已知集合 .
(1)若 是 的充分条件，求实数 的取值范围；
(2)若命题“ ”为真命题，求实数 的取值范围.50．已知函数 ， ．
（1）若对任意 ， 都有 成立，求实数 的取值范围；
（2）若对任意 ，总存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围．