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第13 题 函数视角解锁递推密码（解透一题）
【2025 北京房山一模】已知数列
的各项均为正数，且满足
（
是常数，
），则下列四个结论中正确的是（ ）
A．若
，则数列
是等比数列
B．若
，则数列
是递增数列
C．若数列
是常数列，则
D．若数列
是周期数列，则最小正周期可能为2
以数列
满足的递推关系
（λ 为常数）为背景，通过对λ 的不同取值情况以
及数列不同性质（等比、递增、常数、周期）的设定，给出四个选项，要求考生逐一分析
判断，属于对数列知识的综合考查.
【问题分析】
教材通过递推公式定义数列的生成规律（如
），强调递推式与通项公式的联系，
并引导将复杂递推关系转化为等差或等比数列.
高考对递推关系式的考察方式， 通过递推式给出前几项差或积的规律，考查学生归纳能力;
以递推式为载体，结合函数性质或不等式考查数列的单调性、极限等.
数列
满足的递推关系
，则对于生成函数为
，当当
时，
不动点为
；当
时，存在吸引不动点.结合函数图象可以进行反例构造和反证处理.
【详细解析】
对于A 中，当
时，有
.取对数得
，即
.这表明
与
之间存在线性关系，但并不直接形成等比数列的形式.等比数列的定义是后
一项与前一项的比值为常数，即要求
，若
，则
.因此A 错误
于是构造反例，若
时，
数列
是常数列0，不是等比数列，所以A 错误.
整理深化: 当
且
时，两边取对数，可得
，即
，
此时数列
表示首项为
，公比为
的等比数列；
对于 B ，数列
是递增数列
成立，
又
，
成立，
数列
是递增数列
恒成立
正负不确定，所以不能得出数列.
构造反例，例如，取
，
，则
，即当
较大时，
会
呈现递减趋势，并非递增数列，所以选项B 错误.
注意：对
，可以令
取特殊值，仿照选项A 构造常数列取反例.
对于选项C， 若数列
是常数列，则
.
此时方程
有正根.
解得
，选项C 正确.
对于D 中，假设数列
是周期数列，且最小正周期为
，即
且
，
因为
，可得
，所以
，
则
，即
，
又因为数列
的各项均为正数，即
，
所以
，即
，这与
矛盾，
所以数列
的最小正周期不可能是
，所以D 错误.
故选：C.
方法一 函数角度处理递推关系式
人教A 版教材通过结构化知识体系和数学思想渗透，从而建立递推关系的系统性认知；
而高考则从基础应用到高阶思维多层次考查递推式的转化能力与创新解法.解题注重递推模
型的归纳（如构造法、不动点法）
一阶递推关系式一般写作：
，其中
是一个已知函数，表示当前项
如
何决定下一期的值
.与函数研究方法的有机结合工具是蛛网图，作图方法如下:
第1 步，由数列初始值
作出直线
，交生成函数
于点
.由于
，所以点
即为点
.
第2 步，过点
作平行于x 轴的直线交
于点
.这样我们便找到了
的位置.
第3 步，把
当成
，重复第1-2 步，我们便能得到数列的每一项.
具体来说，就是根据递推关系，每一次迭代都将
作为自变量代入
进行计算，从而
得到下一次的迭代结果.通过构造函数与分析，可以更直观地观察和掌握数列的变化趋势及
其稳定性
我们可以归纳:
对于
型的数列，若该数列有不动点（即方程
的根），记某个不动点为
.
（1） 若
，则该不动点为“吸引不动点”，其中
不恒等于0）;
当
时，若
则
递增；
，则
递减.
当
时，
与
单调性相反.
（2）若
，则该不动点为“排斥不动点”;
（3）若
，则该不动点对一侧吸引，对另一侧排斥.结论建议结合作图分析.
方法二 两反法解决命题真假
对全称命题（如“所有A 满足B”），只需一个反例即可推翻; 常用于数学、逻辑学中难以
直接构造反例的命题（如几何、数论问题）
【数列递推关系模型不变，改变命题形式】
1．已知数列
的各项均为正数，且满足
(
为常数，
．给出下列
四个结论：
①对给定的数列
，设
为其前n 项和，则
有最小值；
②若数列
是递增数列，则
；
③若数列
是周期数列，则最小正周期可能为2；
④若数列
是常数列，则
其中，所有正确结论的个数是（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】B
【分析】利用数列
的各项均为正数以及前
项和表达式判断①；若数列
是递增数
列，则有
，进而根据已知条件化简式子求出
的取值情况判断②；若数列
是最
小正周期为
的数列，则有
，解方程即可判断③；若数列
是常数列，设
，则
，从函数的角度求
的取值情况判断④.
【详解】对于①，在数列
的各项均为正数的情况下，设
为其前n 项和，
则
，易知
递增，因此
有最小值
，①正确；
对于②，若数列
是递增数列，则
成立，又
，
成立，即
恒成立，②错误；
对于③，若数列
是最小正周期为
的数列，则
，
即
成立，
化简得
，即
，
所以
，解得
或
，
当
时，
，不合题意；
当
时，
，所以
，最小正周期不是2；③错误；
对于④，若数列
是常数列，设
，则
，
令
，则
，
，
，④正确.
综上所述，所有正确结论的个数是
个.
故选：B.
【设计数列递推关系不动点为吸引不动点，考察数列变换趋势】
2．设
，
，
，则数列
是（ ）
A．单调递增的
B．既不单调递增也不单调递减的
C．单调递减的
D．以上说法全错
【答案】D
【分析】举特例如
，此时
是常数列，可排除AC；再讨论
和
时
数列
的单调性可排除B，进而可得正确选项.
【详解】因为
，所以
，
当
时，
，
，可得：
，此时
为常数列，
由排除法可知：选项AC 的说法都不正确，
当
时，
，由
可知
，
若
，假设
，则
因为
，所以
，所以
，
所以当
时，
，此时
，
，
此时
是单调递增数列，
若
，假设
，同理可证明
，
所以
时，
，此时
，
此时
是单调递减数列，
故选项B 不正确；
所以以上说法全错，
故选：D.
【隐藏式设计数列递推关系，考察数列构造转化方法】
3．已知数列
的前
项和
，那么
A．此数列一定是等差数列
B．此数列一定是等比数列
C．此数列不是等差数列，就是等比数列
D．以上说法都不正确
【答案】D
【分析】利用
即可求得：
，当
时，
或
，
对
赋值2,3，选择不同的递推关系可得数列：1，3,-3，…，问题得解.
【详解】因为
，
当
时，
，解得
，
当
时，
，整理有，
，所以
或
若
时，满足
，
时，满足
，
可得数列：1，3,-3，…
此数列既不是等差数列，也不是等比数列
故选D
【点睛】本题主要考查利用
与
的关系求
，以及等差等比数列的判定．
【考察结论应用】
4．已知数列
满足
，且对任意
，有
，则
的取值范围是
.
【答案】
【分析】根据题意，根据
推出
的范围，再结合
，即可求解出
的取值
范围．
【详解】已知
，
① 若
，即
时，
可得
解得
或
（舍去）
②若
，即
时，
可得
，即
，
解得
（舍去）
因此
．
又对任意
，有
即
解得
或
（舍去，当
时，不满足
）
综上所述，
．
故答案为：
.
【改变数列递推关系模型】
5．首项为正数的数列
满足
，给出下列四个结论：
①存在
和
，使得
是等比数列；
②若
且
是奇数，则
为奇数；
③若
且
，则存在
使得
；
④若
且
，则
是递减数列.
其中所有正确结论的序号是 .
【答案】①②④
【分析】对于①取出一个特殊数列即可；对于②只需证明
为奇数时，
也为奇数，以此
类推得到
为奇数；对于③化简等式，由
，证明
，以此类推得到
；对于
④由作差法得到
，再由二次函数的性质得到
且
时函数
得到函数是递减函数，再由
时得到
，同理可证
即可得
到结论.
【详解】对于①，当
时，
，此时
是等比数列，①正确；
对于②，设
，则
，
当
为偶数时
为偶数，即
为奇数；
当
为奇数时
为偶数，即
为奇数；
即当
为奇数时，
也为奇数，同理
也为奇数，所以②正确；
对于③，因为
，则
，当
时，
，
，同理
，故不存在
使得
，③错误；
对于④，
，令函数
，
因为
，函数
是开口向上的二次函数，则函数
在
的最大值在端点处
取得，
即
或
，又因为
，所以
，
，
即当
时，
，即
，
又因为当
时，
，
所以当
时，
，即
，则
，同理可得
，
所以此时
是递减数列，④正确.
故答案为：①②④
【点睛】方法点睛，本题是数列的综合型题目，通过递推公式找到函数的一些性质，需要
结合数列的函数思想来完成证明.
【改变题型为解答题，要求会推理论证】
6．首项为正数的数列{
}满足
(1)证明：若
为奇数，则对一切
，
都是奇数；
(2)若对一切
，都有
，求
的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
或
【分析】（1）利用数学归纳法进行证明；
（2）利用
，得到不等式，求出
或
，作差法得到
与
，从而对
，都有
，得到
的取值范围.
【详解】（1）证明：已知
是奇数，假设
是奇数，其中
为正整数，
则由递推关系得
是奇数.
根据数学归纳法，对任何
，
都是奇数.
（2）解法一：由
知，
当且仅当
或
.
另一方面，若
则
；若
，则
根据数学归纳法，
综合所述，对一切
都有
的充要条件是
或
.
解法二：由
得
于是
或
.
∵
∴所有的
均大于0，因此
与
同号.
根据数学归纳法，
，
与
同号.
因此，对一切
都有
的充要条件是
或
.
解法三（不动点法）：记
则
，
于是
为凸函数.令
得不动点
.由对一切
，都有
，得数列
为递增，所
以
或
，又
，
故
的取值范围
或
.
