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必刷小题1 集合、常用逻辑用语、不等式
[分值：73 分]
一、单项选择题(每小题5 分，共40 分)
1.(2024·厦门模拟)已知集合A＝{x||x－1|≤4}，B＝{x|
4 - x
x
≥0}，则A∩(∁RB)等于( )
A.(0，4)
B.[0，4)
C.[－3，0]∪(4，5]
D.[－3，0)∪(4，5]
答案 C
解析 由|x－1|≤4，得－4≤x－1≤4，
∴－3≤x≤5，则A＝[－3，5]，
由4 - x
x
≥0，得{
x( x - 4)≤0,
x≠0,
∴0<x≤4，则B＝(0，4]，∁RB＝(－∞，0]∪(4，＋∞)，
故A∩(∁RB)＝[－3，0]∪(4，5].
2.已知直线a，b 和平面α，a⊄α，b∥α，则“a∥b”是“a∥α”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 A
解析 因为b∥α，则存在c⊂α 使得b∥c 且b⊄α，
若a∥b 且a⊄α，则a∥c，
又a⊄α 且c⊂α，所以a∥α，充分性成立；
设β∥α，b⊂β，a⊂β，a∩b＝P，则有a∥α，但a，b 不平行，即必要性不成立，则“a∥b”是“a∥α”的
充分不必要条件.
3.已知集合A＝{x|x<a}，B＝{x|x≥1}，若(∁RB)∪A＝A，则实数a 的取值范围为( )
A.{a|a≥1}
B.{a|a>1}
C.{a|a≤1}
D.{a|a<1}
答案 A
解析 因为B＝{x|x≥1}，∁RB＝{x|x<1}，
因为(∁RB)∪A＝A，所以(∁RB)⊆A，
所以a≥1.
4.已知a>b>0>c，n∈Z，则下列不等式一定成立的是( )
A.ab<bc
B.a－b>b－c
C.an>bn
D.b(b－c)<a(a－c)
答案 D
解析 对于A，由a>b>0>c，可得ab>0>bc，所以A 错误；
对于B，例如，当a＝2，b＝1，c＝－3 时，可得a－b<b－c，所以B 错误；
对于C，例如，当a＝2，b＝1，n＝－1 时，a－1<b－1，所以C 错误；
对于D，由a>b>0>c，可得0<b－c<a－c，又由0<b<a，根据不等式的性质，可得b(b－c)<a(a－c)，所以D
正确.
5.关于x 的不等式ax2－2x＋1>0 对∀x∈R 恒成立的一个必要不充分条件是( )
A.a>0
B.a>1
C.0<a<1
2
D.a>2
答案 A
解析 当a＝0 时，则有－2x＋1>0，解得x<1
2，不符合题意；
当a≠0 时，有{
a>0,
Δ＝4 - 4 a<0,解得a>1.
综上所述，关于x 的不等式ax2－2x＋1>0 对∀x∈R 恒成立的充要条件为a>1，
所以一个必要不充分条件是a>0.
6.已知a2＋b2＝ab＋4，则a＋b 的最大值为( )
A.2
B.4
C.8
D.2√2
答案 B
解析 a2＋b2＝ab＋4，则有(a＋b)2＝3ab＋4≤3(a＋b)
2
4
＋4，
可得(a＋b)2≤16，即a＋b≤4，当且仅当a＝b＝2 时，等号成立.
所以a＋b 的最大值为4.
7.已知关于x 的一元二次不等式x2－(m＋1)x＋2m－1<0 的解集为{x|x1<x<x2}，其中x1<x2，且实数x1，x2满
足1
x1
＋1
x2
<1，则实数m 的取值范围是( )
A.(2，＋∞)
B.(－∞，2)
C.(-∞，1
2)∪(2，＋∞)
D.(-∞，1
2)∪(5，＋∞)
答案 D
解析 由不等式的解集可得，方程x2－(m＋1)x＋2m－1＝0 的根为x1，x2，
可得x1＋x2＝m＋1，x1x2＝2m－1，
由Δ＝(m＋1)2－4(2m－1)>0，得m>5 或m<1，
由1
x1
＋1
x2
＝x1＋x2
x1 x2
＝m＋1
2m-1<1，得m＋1-2m＋1
2m-1
<0，
即(m－2)(2m－1)>0，解得m>2 或m<1
2，
综上，实数m 的取值范围是(-∞，1
2)∪(5，＋∞).
8.(2025·焦作模拟)已知正实数m，n 满足(m－1)(m＋n)＝(1＋n)(1－n)，则m＋n 的最大值为( )
A.2
B.8
C.12
D.16
答案 A
解析 依题意得m2＋n2－(m＋n)＋mn＝1，
则1＝(m＋n)2－(m＋n)－mn≥(m＋n)2－(m＋n)－1
4 (m＋n)2，
即1≥3
4 (m＋n)2－(m＋n)，则3(m＋n)2－4(m＋n)－4≤0，且m＋n>0，
解得0<m＋n≤2，当且仅当m＝n＝1 时等号成立，则m＋n 的最大值为2.故选A.
二、多项选择题(每小题6 分，共18 分)
9.对于实数a，b，c，d，下列命题是真命题的是( )
A.若a>b，c<d，则a－c>b－d
B.若ac2>bc2，则a>b
C.若a>b>0，c<0，则c
a>c
b
D.若a>b，则ac<bc
答案 ABC
解析 对于A 选项，因为a>b，c<d，则－c>－d，由不等式的基本性质可得a－c>b－d，A 对；
对于B 选项，若ac2>bc2，则c2>0，由不等式的基本性质可得a>b，B 对；
对于C 选项，因为a>b>0，c<0，则c
a －c
b ＝c(b-a)
ab
>0，所以c
a>c
b，C 对；
对于D 选项，当c＝0 时，ac＝bc，D 错.
10.当一个非空数集G 满足“如果a，b∈G，则a＋b，a－b，ab∈G，且b≠0 时，a
b∈G”时，我们称G 就
是一个数域，则下列命题正确的是( )
A.0 是任何数域的元素
B.若数域G 有非零元素，则2 025∈G
C.集合P＝{x|x＝2k，k∈Z}是一个数域
D.有理数集是一个数域
答案 ABD
解析 对于A，根据当a∈G 时，则a－a∈G，即0∈G，所以0 是任何数域的元素，故A 正确；
对于B，根据当b≠0 时，b∈G，则b
b∈G，即1∈G，进而1＋1＝2∈G，2＋1＝3∈G，…，2 024＋1＝2
025∈G，故B 正确；
对于C，对2∈P，4∈P，但2
4 ＝1
2∉P，不满足题意，所以集合P＝{x|x＝2k，k∈Z}不是一个数域，故C
不正确；
对于D，若a，b 是有理数，则a＋b，a－b，ab，a
b(b≠0)都是有理数，故有理数集是一个数域，故D 正确.
11.已知a>0，b>0 且a＋b＝1，下列结论正确的是( )
A.1
a ＋1
b 有最小值为4
B.√ab有最小值为1
2
C.√a＋√b有最大值为2
D.a2＋b2有最小值为1
2
答案 AD
解析 对于A，因为正实数a，b 满足a＋b＝1，所以1
a ＋1
b＝(a＋b)(
1
a ＋1
b)＝2＋b
a ＋a
b≥2＋2√
b
a · a
b＝
4，当且仅当b
a ＝a
b，即a＝b＝1
2时取等号，因此本选项正确；
对于B，因为正实数a，b 满足a＋b＝1，所以1＝a＋b≥2√ab⇒√ab≤1
2，当且仅当a＝b＝1
2时取等号，
即√ab有最大值1
2，因此本选项不正确；
对于C，因为正实数a，b 满足a＋b＝1，所以√a＋√b
2
≤√
(√a)
2＋(√b)
2
2
＝√
a＋b
2
＝√
1
2
⇒√a＋√b≤
√2，当且仅当a＝b＝1
2时取等号，因此本选项不正确；
对于D，因为正实数a，b 满足a＋b＝1，所以√
a
2＋b
2
2
≥a＋b
2
＝1
2⇒a2＋b2≥1
2，
当且仅当a＝b＝1
2时取等号，因此本选项正确.
三、填空题(每小题5 分，共15 分)
12.已知p：|x－1|<1，q：x2－(a＋1)x＋a≤0，若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是
.
答案 (0，2)
解析 由|x－1|<1，解得0<x<2，所以p：0<x<2，
对于q：x2－(a＋1)x＋a≤0，即(x－1)(x－a)≤0，
若a>1，解得1≤x≤a，要使p 是q 的必要不充分条件，则a<2，所以1<a<2；
若a<1，解得a≤x≤1，要使p 是q 的必要不充分条件，则a>0，所以0<a<1；
若a＝1，则q 为{x|x＝1}，符合题意，所以实数a 的取值范围是(0，2).
13.若两个正实数x，y 满足4x＋y＝2xy，且不等式x＋y
4 <m2－m 有解，则实数m 的取值范围是
.
答案 (－∞，－1)∪(2，＋∞)
解析 由两个正实数x，y 满足4x＋y＝2xy，
得1
x ＋4
y ＝2，
则x＋y
4 ＝1
2(
1
x ＋4
y)(x＋y
4)
＝1
2(2＋4 x
y ＋y
4 x)≥1
2(2＋2√
4 x
y · y
4 x)＝2，
当且仅当4 x
y ＝y
4 x ，即y＝4x＝4 时取等号，
由不等式x＋y
4 <m2－m 有解，
得m2－m>2，解得m<－1 或m>2，
所以实数m 的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞).
14.在集合的运算中，一个集合与它在全集中的补集是一一对应的，形成了“集合对”，这种配对方式在解
决集合问题时经常用到.现全集U 中含有11 个元素.对于集合U 的k 个互不相同的子集A1，A2，…，Ak，它
们两两的交集都不是空集，且U 的其他子集至少与A1，A2，…，Ak中的一个的交集为空集，那么k＝
.
答案 1 024
解析 由全集U 中含有11 个元素，则有211个子集，其中按互补关系可配成210对，
(1)根据题意，每对不能同时取，否则它们的交集为空集，不符合题意；
(2)每对不能都不取，否则设集合A，B 互补且都没有取，
若A 不被取，因为已取的集合中有与集合A 交集为空集的C，其中C 一定是B 的子集；
若B 不被取，因为已取的集合中有与集合B 交集为空集的D，其中D 一定是A 的子集，
而集合C 与D 的交集为空集，却都被取得了，此时与题意矛盾，
综上可得，实数k＝210＝1 024.
