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第一章 集合与常用逻辑用语、不等式、复数（艺术生基础卷）
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.）
1．（2022·山东泰安·高一期中）计算： （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
.
故选：B.
2．（2022·浙江·赫威斯育才高中模拟预测）已知 ， ，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
由题意得， ，
故选：A.
3．（2022·重庆·三模）命题“ ，使得 ”的否定是（ ）
A． ，使得 B． ，使得
C． ，都有 D． ，都有
【答案】C
“ ，使得 ”的否定是“ ，都有 ” .
故选：C
4．（2022·安徽省蚌埠第三中学高一开学考试）设P： ，q： ，则p是q成立的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
【答案】B
由 不能推出 ，例如 ，
但 必有 ，
所以 ： 是 ： 的必要不充分条件.
故选：B.5．（2022·湖南岳阳·三模）若集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
由题， 即 且 ，解得 或 ，又 即 ，解
得 或 ，故 ，故
故选：C
6．（2022·河南·高二阶段练习（理））已知关于 的不等式 的解集是 ，则 的值是
（ ）
A． B．5 C． D．7
【答案】D
因为关于 的不等式 的解集是 ，
所以方程 的根为 ，
所以 ，得 ，
所以 ，
故选：D
7．（2022·广东·深圳市高级中学高一期末）若命题“ ， ”是假命题，则实数 的取值
范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
由题意可得“ ”是真命题，故 或 .
故选：A.
8．（2022·湖北·模拟预测）已知正实数x，y满足 ，则 的最小值为（ ）
A． B．5 C．9 D．10
【答案】A
，当且仅当 ，即 时，等号成立．
故选：A．
二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．（2022·全国·高一专题练习）设 ， ，则以下结论错误的是（ ）
A． 对应的点在第一象限
B． 一定不为纯虚数
C． 对应的点在实轴的下方
D． 一定为实数
【答案】ABD
， ，
对应的点在实轴的上方，A错误；
若 或 ，则 或 ，则 为纯虚数，B错误；
，则 ，
对应的点为 位于实轴下方，C正确；
对于D， ， 不是实数，D错误.
故选：ABD.
10．（2022·全国·高三专题练习）已知集合 ，且 ，则实数 的可能值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
已知集合 且 ，则 或 ，
解得 或 或 .
若 ，则 ，合乎题意；
若 ，则 ，合乎题意；
若 ，则 ，合乎题意.
综上所述， 或 或 .
故选：ABD.11．（2021·黑龙江·龙江县第一中学高一阶段练习）命题“ ， ”是真命题的一个充分不
必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
由题意，命题“ ， ”是真命题，
即 在 上恒成立，即 在 上恒成立，
又由 ，即 ，
结合选项，命题为真命题的一个充分不必要条件为C、D.
故选：CD.
12．（2022·广东·梅州市梅江区梅州中学高一阶段练习）设 ，则下列不等式中一定成立的是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
因为 ，所以 ，当且仅当 且 时取等
号，故A一定成立
由做差比较法, ，可知 成立故B一定成立．
因为 所以 ，当且仅当 时取等号，所以 不一定成立，
故C不成立．
因为 4，当且仅当 时取等号，故D一定成立.
故选：ABD
三､填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.
）
13．（2022·广东·信宜市第二中学高一开学考试）命题“ ”的否定形式是________.
【答案】 ，
解：命题“ ”为全称量词命题，其否定为： ， ；
故答案为： ，14．（2022·上海市复兴高级中学高一阶段练习）已知 ， ，
，则实数 的取值范围是______
【答案】 或
由题意 ，则
要使得 ，则 或
解得 或
故答案为： 或
15．（2022·云南保山·高一期中）已知复数 满足 （ 为虚数单位），则复数 的模为
___________.
【答案】
因为 ，
所以 ，
故 .
故答案为：
16．（2022·全国·高三专题练习）甲乙两地相距 km,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度 不能超过
km/h.已知汽车每小时运输成本为 元,则全程运输成本与速度的函数关系是 ______,当汽车的
行驶速度为______km/h时,全程运输成本最小.
【答案】 100
甲乙两地相距 ，
故汽车从甲地匀速行驶到乙地的时间为 ，
又由汽车每小时运输成本为 元，
则全程运输成本与速度的函数关系是 ，
由基本不等式得 ，
当且仅当 ，即 时，取最小值,
故答案为 ， .四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字
说明､证明过程或演算步骤.）
17．（2022·云南保山·高一期中）已知复数 （ 是虚数单位）， .
(1)若 是纯虚数，求 的值；
(2)若复数 在复平面内对应的点位于第一象限，求 的取值范围.
【答案】(1) ；(2) .
(1)复数
，
∵ 是纯虚数，∴ ，
解得 ，
∴ 的值为 .
(2)∵复数 在复平面内对应的点 位于第一象限，
∴ ,
解得 ，
∴ 的取值范围是 .
18．（2022·山西·高一期末）已知集合 .
(1)若 ，求 ， 的值；
(2)若 ，且 ，求 ， 的值.
【答案】(1) (2)
(1)解：若 ，
则有 ，解得 ；(2)解： ，
因为 ，
所以 ，解得 .
19．（2022·安徽·高一阶段练习）设集合 ， ．
(1)若 ，求实数m的值；
(2)若“ ”是“ ”的必要不充分条件，求实数m的值．
【答案】(1) (2)
(1)∵
∴
∵
∴ ，故 .
(2)∵“ ”是“ ”的必要不充分条件
∴“ ” “ ”，且“ ”“ ”
即“ ” “ ”，且“ ”“ ”
∴ ，即
∴
∴ ．
20．（2022·四川·富顺第二中学校高一阶段练习）已知函数 ， 的解集为
或 ，
(1)求a､b的值；
(2)若对一切 ，不等式 恒成立，求实数m的取值范围.
【答案】(1) (2)
(1)∵ 的解集为 或
∴-2，b为方程 的两个根∴ ，
解得
(2)由（1）可知 ，
∴不等式 在R上恒成立，
等价于 在R上恒成立，即 ，
∴
∴m的取值范围为
21．（2022·甘肃·永昌县第一高级中学高二期末（理））已知命题：“ ，使等式
成立”是真命题，
(1)求实数 的取值集合 ；
(2)设不等式 的解集为 ，若 是 的必要条件，求 的取值范围．
【答案】(1) ；(2) 或 .
(1)由 可得 ，
因为 ，所以 时， ，
当 时， ，
所以 ，
(2)若 是 的必要条件，则 ，
方程 的两根分别为 ， ，
①当 即 时， ，
由 可得 ，解得： ，
②当 即 时， ，由 可得 ，解得： ，
③当 即 时， ，此时不符合题意，
综上可得： 或 .
22．（2022·广西柳州·高一期中）为了加强“疫情防控”，某校决定在学校门口借助一侧原有墙体，建造
一间墙高为4米，底面为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园应急室，由于此应急室的后背靠墙，
无需建造费用，公司甲给出的报价为：应急室正面的报价为每平方米400元，左右两侧报价为每平方米
300元，屋顶和地面报价共计9600元，设应急室的左右两侧的长度均为x米（ ），公司甲的整体报
价为y元．
(1)试求y关于x的函数解析式；
(2)现有公司乙也要参与此应急室建造的竞标，其给出的整体报价为 元，若采用最低价中标
规则，哪家公司能竞标成功？请说明理由．
【答案】(1) ；(2)公司乙，理由见解析.
(1)因应急室的左右两侧的长度均为x米，则应急室正面的长度为 米，
于是得 ， ，
所以y关于x的函数解析式是 .
(2)由（1）知，对于公司甲， ，当且仅当 ，即
时取“=”，
则当左右两侧墙的长度为4米时，公司甲的最低报价为28800元，
对于乙，函数 在 上单调递增， ，即乙公司最高报价为22900
元，
因 ，因此，无论x取何值，公司甲的报价都比公司乙的高，
所以公司乙能竞标成功.
