第二章函数
§2.12 函数与方程的综合应用
【考情分析·探规律】
考点
三年考情（2021-2024）
命题趋势
函数与方程
的综合应用
2024·全国新Ⅰ卷、2024·全国新
Ⅱ卷、2024·全国新Ⅱ卷、2024·
全国甲卷、
2024·天津卷、
2023·天津卷、2023·全国新Ⅰ
卷、
2022·天津卷、2022·北京卷
2021·北京卷、2021·天津卷
函数与方程的综合应
用是历年高考的一个热点
内容，经常以客观题出
现，考查函数的性质，结
合函数图象研究函数的零
点或方程的根的分布、个
数等。
【名师点拨】函数与方程的综合应用是历年高考的一个热点内容，经常以客观
题出现，通过分析函数的性质，结合函数图象研究函数的零点或方程的根的分
布、个数等，题目难度较大，一般出现在压轴题位置。
题型一 由零点分布求值(范围)
命题点1 二次函数的零点分布
例1.(多选)已知函数f(x)＝x2＋(m－3)x＋m 的两个零点分别为x1，x2，且
x1<x2，则下列结论正确的是( )
A.当x1>0 且x2>0 时，0<m<1
B.当x1<1 且x2>1 时，m<1
C.当－2<x1<0 且0<x2<4 时，m<－4
5
D.当x1<2 且x2>4 时，m<－4
5
命题点2 其他函数的零点分布
例2.已知定义在R 上的奇函数满足f(2－x)＋f(x)＝0，当x∈(0，1]时，f(x)＝
－log2x，若函数F(x)＝f(x)－sin πx 在区间[－1，m]上有10 个零点，则m 的取
值范围是( )
A.[3.5，4)
B.(3.5，4]
C.(5，5.5]
D.[5，5.5)
【变式训练】
变式1.设方程x2－2ax－a＝0 的两实根满足x1<x2<1，则实数a 的取值范围为(
)
A.(−1
3 ,1)
B.(−∞,−1
3)∪(0，1)
C.(－∞，－1)∪(0, 1
3)
D.(−1, 1
3)
变式2.已知函数f(x)＝{
4 x＋6, x ≤0,
|ln x|, x>0, 若g(x)＝f(x)－m 恰有3 个零点x1，x2，
x3，则x1x2x3的取值范围是( )
A.(−3
2 ,0)
B.(−3
2 ,0]
C.(－∞，0]
D.(－∞，0)
题型二 复合函数的零点
命题点1 复合函数的零点个数判定
例1.(多选)已知函数f(x)＝{
x
2−kx ＋1, x ≤0,
lo g2 x , x>0,
下列关于函数y＝f(f(x))＋1 的零点
个数的说法中，正确的是( )
A.当k>1 时，有1 个零点
B.当k>1 时，有3 个零点
C.当k<0 时，有9 个零点
D.当k＝－4 时，有7 个零点
命题点2 根据复合函数零点求参数
例2.(多选)(2025·亳州模拟)已知函数f(x)＝{
−x
2−4 x−2, x ≤0,
|ln x|, x>0,
若函数g(x)＝
3[f(x)]2－(m＋3)f(x)＋m 有5 个不同的零点，则实数m 的值可能是( )
A.－5
B.－6
C.－7
D.－8
【变式训练】
变式1.若函数f(x)＝{
1＋ln x , x>0,
x
2＋4 x＋3, x ≤0,则函数g(x)＝f(f(x))的零点的个数为(
)
A.4
B.5
C.6
D.7
变式2.函数f(x)＝{
ln(−x−1), x<−1,
2 x＋1, x ≥−1,
若函数g(x)＝f(f(x))－a 有三个零点，则实
数a 的取值范围是 .
【限时训练】（45 分钟）
一、单项选择题(每小题5 分，共30 分)
1.若方程－x2＋ax＋4＝0 的两实根中一个小于－1，另一个大于2，则 a 的取值
范围是( )
A.(0，3)
B.[0，3]
C.(－3，0)
D.(－∞，1)∪(3，＋∞)
2.(2025·西安模拟)已知函数f(x)＝{
3 x
2−12 x＋12, x ≥1,
|3
x−1|, x<1,
若f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)
＝t，且x1≠x2≠x3≠x4，则实数t 的取值范围是( )
A.(0，1)
B.(0，2)
C.(0，3)
D.(1，3)
3.已知函数f(x)＝{
−x
2−x , x ≤0,
ln x , x>0,
函数g(x)＝f(x)－m 有三个零点x1，x2，x3，则
x1·x2·x3的取值范围是( )
A.[0, 1
4)
B.[0, 1
e)
C.[0, e
1
4
4 )
D.[0，e]
4.(2025·汕头模拟)已知函数y＝f(x)是定义域为R 的偶函数，当x≥0 时，f(x)＝
{(
1
2)
x
,0≤x ≤2,
lo g16 x , x>2,
若关于x 的方程[f(x)]2＋a·f(x)＋b＝0(a，b∈R)有且只有7 个不同
的实数根，则实数a 的取值范围是( )
A.(−2,−5
4)
B.(－2，－1)
C.(
1
4 ,1)
D.(
1
4 ,＋∞)
5.已知定义在R 上的偶函数f(x)和奇函数g(x)，对于任意x∈R,
2
f ( x)−g( x)＝3x
恒成立，若函数y＝3f(x)＋2g(x)＋m 有且仅有两个零点，则实数m 的取值范围
为( )
A.(－∞，－2❑√5)
B.(0，2❑√3)
C.(2❑√3,2❑√5)
D.(2❑√5,＋∞)
6.已知函数f(x)＝{
2
x＋2
2
, x ≤1,
|lo g2( x−1)|, x>1,
则函数F(x)＝f(f(x))－2f(x)－3
2的零点个数
是( )
A.4
B.5
C.6
D.7
二、多项选择题(每小题6 分，共12 分)
7.已知x1，x2是关于x 的方程x2－2ax＋2＝0(a∈R)的两个不相等的实数根，则
下列说法正确的有( )
A.若1
x1
＋1
x2＝2，则a＝2
B.若x1<1<x2，则a>3
2
C.若0<α<β<π
2 ,且x1＝tan α，x2＝tan β，则α＋β 为锐角
D.若x1，x2均小于2，则a∈(－∞，－❑√2)∪(
❑√2, 3
2)
8.已知函数f(x)＝{
e|x −2|, x>0,
−x
2−2 x＋1, x ≤0,则下列结论正确的是( )
A.函数y＝f(x)－x 有2 个零点
B.若函数y＝f(x)－t 有4 个零点，则t 的取值范围为(1，2)
C.若关于x 的方程f(x)＝t 有4 个不相等的实根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4
＝1
D.若关于x 的方程[f(x)]2－3f(x)＋α＝0 有8 个不相等的实根，则α 的取值范围为
(2, 9
4)
三、填空题(每小题5 分，共10 分)
9.若方程x2－mx－m＋3＝0 满足一个根在(0，1)之间，一个根在(1，2)之间，则
实数m 的取值范围为 .
10.(2025·无锡模拟)已知函数f(x)＝{
|3
x−1|, x ≤2,
x
2−10 x＋24 , x>2,若方程2[f(x)]2－mf(x)＝0
有6 个不相等的实根，则非零实数m 的取值范围为 .
