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§2.4 函数的周期性和对称性
(分值：80 分)
一、单项选择题(每小题5 分，共20 分)
1.已知定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x+2)=f(x)，则f(2 026)等于( )
A.-1
B.0
C.1
D.2
2.函数y=-ex与y=e-x的图象( )
A.关于x 轴对称
B.关于y 轴对称
C.关于原点对称
D.关于直线y=x 对称
3.已知定义域为R 的函数f(x)的图象关于点(1，0)对称，且当x≥1 时，f(x)=x2+mx+n，若f(-1)=-7，则3m+n
等于( )
A.7
B.2
C.-2
D.-1
2
4.(2024·茂名模拟)函数y=f(x)和y=f(x-2)均为R 上的奇函数，若f(-1)=-2，则f(2 025)等于( )
A.-2
B.-1
C.0
D.2
二、多项选择题(每小题6 分，共12 分)
5.设函数f(x)=2x-1+21-x，则下列说法错误的是( )
A.f(x)在(0，+∞)上单调递增
B.f(x)为奇函数
C.f(x)的图象关于直线x=1 对称
D.f(x)的图象关于点(1，0)对称
6.(2025·重庆八中模拟)设函数f(x)的定义域为R，f(x+1)为奇函数，f(x+2)为偶函数，下列叙述正确的是(
)
A.f(1)=0
B.f(x)的图象关于直线x=1 对称
C.f(x)的图象关于直线x=2 对称
D.f(3)=0
三、填空题(每小题5 分，共10 分)
7.已知函数f(x)=x2+mx，若∀x∈R，f(1-x)=f(1+x)，则m= .
8.与函数y=ex的图象关于直线x=1 对称的图象的函数解析式为 .
四、解答题(共27 分)
9.(13 分)已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且y=f(x)的图象关于直线x=2 对称.
(1)证明：f(x)是周期函数；(6 分)
(2)若当x∈[-2，2]时，f(x)=-x2+1，求当x∈[2，6]时，f(x)的解析式.(7 分)
10.(15 分)函数y=f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称的充要条件是函数y=f(x+a)-b 为奇函数.
(1)若f(x)=x3-3x2，求此函数图象的对称中心；(9 分)
(2)类比上述推广结论，写出“函数y=f(x)的图象关于y 轴成轴对称的充要条件是函数y=f(x)为偶函数”的一
个推广结论.(6 分)
每小题5 分，共10 分
11.已知函数f(x)满足f(1+x)=-f(1-x)，函数g(x)= 1
x -1，且函数f(x)与g(x)的图象恰好有2 026 个不同的交点，
分别为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，…，P2 026(x2 026，y2 026)，则下列说法中错误的是( )
A.f(x)的图象关于点(1，0)对称
B.g(x)的图象关于点(1，0)对称
C.x1+x2+…+x2 026=2 026
D.y1+y2+…+y2 026=2 026
12. (2025·八省联考)已知曲线C：y＝x3－2
x ，两条直线l1，l2均过坐标原点O，l1和C 交于M，N 两点，l2和
C 交于P，Q 两点.若△OPM 的面积为√2，则△MNQ 的面积为 .
答案精析
1.B [因为f(x)是定义在R 上的奇函数，所以f(0)＝0，
又f(x＋2)＝f(x)，
所以2 是f(x)的一个周期，
所以f(2 026)＝f(0)＝0.]
2.C [根据两函数图象即可判断出其图象关于原点对称.]
3.C [因为定义域为R 的函数f(x)的图象关于点(1，0)对称，
且当x≥1 时，f(x)＝x2＋mx＋n，
若f(－1)＝－7，
则f(3)＝－f(－1)＝7.
故f(3)＝32＋3m＋n＝7，
即3m＋n＝－2.]
4.D [因为y＝f(x－2)为奇函数，
f(x－2)＝－f(－x－2)，
所以y＝f(x)的图象关于点(－2，0)对称，
即f(－x)＋f(x－4)＝0，
又y＝f(x)的图象关于原点对称，
则f(－x)＝－f(x)，
有f(x)＝f(x－4)⇒f(x＋4)＝f(x)，
所以y＝f(x)的一个周期为4，
故f(2 025)＝f(1＋2 024)＝f(1)＝－f(－1)＝2.]
5.ABD [∵f(x)＝2x－1＋21－x，
∴f(2－x)＝21－x＋2x－1＝f(x)，
即f(2－x)＝f(x)，即f(x)的图象关于直线x＝1 对称，故C 正确，A，D 错误；
∵f(x)＝2x－1＋21－x的定义域为R，但f(0)＝1
2＋2≠0，
∴f(x)不是奇函数，故B 错误.]
6.ACD [因为f(x＋1)为奇函数，所以f(x＋1)＝－f(－x＋1)，则可推出f(x)的图象关于点(1，0)对称，即f(1)
＝0，故A 正确，B 错误；因为f(x＋2)为偶函数，所以f(x＋2)＝f(－x＋2)，则f(x)的图象关于直线x＝2 对
称，故C 正确；由f(1)＝0 且f(x)的图象关于直线x＝2 对称知，f(3)＝f(1)＝0，故D 正确.]
7.－2
解析 因为∀x∈R，
f(1－x)＝f(1＋x)，
函数f(x)的对称轴为直线x＝1，
而由f(x)＝x2＋mx＝(x＋m
2)
2
－m
2
4 可知其对称轴为直线x
＝－m
2 ，故－m
2 ＝1，解得m＝－2.
8.y＝e2－x
解析 f(x)＝ex的图象关于直线x＝1 对称的图象的函数是f(2－x)＝e2－x，即y＝e2－x.
9.(1)证明 因为函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2 对称，
所以f(x＋2)＝f(2－x)，
即有f(－x)＝f(x＋4)，
又函数f(x)是定义在R 上的偶函数，
有f(－x)＝f(x)，
所以f(x＋4)＝f(－x)＝f(x)，
即f(x)是一个周期为4 的周期函数.
(2)解 当x∈[－2，2]时，
f(x)＝－x2＋1，
又f(x)是一个周期为4 的周期函数，
当x∈[2，6]时，x－4∈[－2，2]，
所以f(x)＝f(x－4)＝
－(x－4)2＋1，
所以f(x)＝－(x－4)2＋1
＝－x2＋8x－15，x∈[2，6].
10.解 (1)设函数f(x)＝x3－3x2的图象的对称中心为点P(a，b)，
g(x)＝f(x＋a)－b，
则g(x)为奇函数，
故g(－x)＝－g(x)，
故f(－x＋a)－b＝－f(x＋a)＋b，
即f(－x＋a)＋f(x＋a)＝2b，
即[(－x＋a)3－3(－x＋a)2]＋[(x＋a)3－3(x＋a)2]＝2b.
整理得(3a－3)x2＋a3－3a2－b＝0，
故{
3a-3＝0,
a
3-3a
2-b＝0,解得{
a＝1,
b＝-2,
所以函数f(x)＝x3－3x2的图象的对称中心为(1，－2).
(2)推论：函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a 成轴对称的充要条件是函数y＝f(x＋a)为偶函数.
11.D [函数f(x)满足f(1＋x)＝－f(1－x)，所以函数f(x)的图象关于点(1，0)对称，A 选项正确；
函数g(x)＝1
x -1，结合反比例函数的性质和函数图象的平移可知，函数g(x)的图象也关于点(1，0)对称，B
选项正确；
所以函数f(x)与g(x)的图象的交点关于点(1，0)对称，不妨设x1<x2<…<x2 026，
则有x1＋x2 026＝x2＋x2 025＝…＝x1 013＋x1 014＝2，
y1＋y2 026＝y2＋y2 025＝…＝y1 013＋y1 014＝0，
所以x1＋x2＋…＋x2 026＝2 026，C 选项正确；
y1＋y2＋…＋y2 026＝0，D 选项错误.]
12.2√2
解析 因为函数y＝x3－2
x 为奇函数，所以曲线C 的图象关于原点对称，又两条直线l1和l2均过坐标原点
O，则P，Q 关于原点对称，M，N 关于原点对称，
则四边形PNQM 为平行四边形.又S△OPM＝√2，则S△MNQ＝2√2.
