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§2.4 函数的周期性和对称性
课标要求 1.了解函数的周期性及其几何意义.2.能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推
论.3.会依据函数的性质进行简单的应用.
1.函数的周期性
(1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D 都有
x+T∈D，且 ，那么函数y=f(x)就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期.
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 的正数，那么这个
就叫做f(x)的最小正周期.
2.奇函数、偶函数的对称性
(1)若函数y=f(x)满足f(a-x)=f(a+x)，则函数的图象关于直线x=a 对称；
(2)若函数y=f(x)满足f(a-x)=-f(a+x)，则函数的图象关于点 对称.
(3)若f(x+a)是偶函数，则函数f(x)图象的对称轴为 ；若f(x+a)是奇函数，则函数f(x)图象的
对称中心为 .
3.两个函数图象的对称
(1)函数y=f(x)与y=f(-x)的图象关于 对称；
(2)函数y=f(x)与y=-f(x)的图象关于 对称；
(3)函数y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于 对称.
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若T 是函数f(x)的一个周期，则kT(k∈N*)也是函数f(x)的一个周期.( )
(2)若函数y=f(x)是奇函数，则函数y=f(x-1)的图象关于点(1，0)对称.( )
(3)若函数y=f(x+1)是偶函数，则函数y=f(x)的图象关于直线x=-1 对称.( )
(4)若函数f(x)满足f(2+x)=f(2-x)，则f(x)的图象关于直线x=2 对称.( )
2.已知定义在R 上的函数f(x)满足f(x+2)=f(x)，当x∈[-1，1]时，f(x)=x2+1，则f(2 024.5)等于( )
A.17
16
B.5
4
C.2
D.1
3.下列函数与y=ex关于直线x=1 对称的是( )
A.y=ex-1
B.y=e1-x
C.y=e2-x
D.y=ln x
4.已知函数y=f(x)的图象经过点P(1，-2)，则函数y=-f(-x)的图象必过点 .
1.熟记函数周期性的三个常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x+a)=-f(x)，则T=2|a|；
(2)若f(x+a)=
1
f ( x)，则T=2|a|；
(3)若f(x+a)=-
1
f ( x)，则T=2|a|.
2.熟记对称性与周期性之间的三个常用结论
(1)若函数f(x)的图象关于两条不同直线x=a 和x=b 对称，则函数f(x)的周期为T=2|a-b|；
(2)若函数f(x)的图象关于两个不同点(a，0)和点(b，0)对称，则函数f(x)的周期为T=2|a-b|；
(3)若函数f(x)的图象关于直线x=a 和点(b，0)对称，则函数f(x)的周期为T=4|a-b|.
题型一 函数的周期性
例1 (1)若偶函数f(x)满足f(x+2)+f(x)=0，当x∈(0，1)时，f(x)= x
2+1，则f (
7
2)等于( )
A.2
B.7
4
C.5
4
D.3
4
(2)已知f(x)是定义域为R 的奇函数，且f(x-2)是偶函数，当0≤x≤2 时，f(x)=x2-4x，则当6≤x≤8 时，
f(x)的解析式为( )
A.f(x)=-x2-4x
B.f(x)=x2-16x+60
C.f(x)=x2-12x+32
D.f(x)=-x2+12x-32
思维升华 (1)求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期.
(2)利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而
解决问题.
跟踪训练1 (多选)定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x-3)=-f(x)，当x∈[0，3]时，f(x)=x2-3x，则下列结论
正确的是( )
A.f(x+6)=f(x)
B.当x∈[-6，-3]时，f(x)=x2-3x-6
C.f(2 023)+f(2 025)=f(2 024)
D.函数f(x)的一条对称轴为直线x=3
2
题型二 函数的对称性
命题点1 自对称中的轴对称
例2 (多选)设f(x)是R 上的奇函数，且对∀x∈R，都有f(2-x)=f(x)，当x∈[0，1]时，f(x)=x2，则下列说
法正确的是( )
A.f(x)在[3，5]上单调递增
B.f(x)的最大值是1，最小值是0
C.直线x=1 是函数f(x)的一条对称轴
D.当3≤x≤4 时，f(x)=-(x-4)2
命题点2 自对称中的中心对称
例3 (多选)下列说法中，正确的是( )
A.函数f(x)=2 x -1
x +2 的图象关于点(-2，2)中心对称
B.函数f(x)满足f(2x-1)为奇函数，则函数f(x)的图象关于点(-1，0)中心对称
C.若函数y=f(x)过定点(0，1)，则函数y=f(x-1)+1 过定点(1，2)
D.函数y= x -1
x -b的图象关于点(3，c)中心对称，则b+c=2
命题点3 互对称问题
例4 已知函数y=f(x)是定义域为R 的函数，则函数y=f(x+2)与y=f(4-x)的图象( )
A.关于直线x=1 对称
B.关于直线x=3 对称
C.关于直线y=3 对称
D.关于点(3，0)对称
思维升华 (1)函数y=f(x)的图象关于直线x=a 对称⇔f(x)=f(2a-x)⇔f(a-x)=f(a+x)；
若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图象关于直线x=a+b
2
对称.
(2)函数y=f(x)的图象关于点(a，b)对称⇔f(a+x)+f(a-x)=2b⇔2b-f(x)=f(2a-x)；若函数y=f(x)满足f(a+x)+f(b-
x)=c，则y=f(x)的图象关于点(
a+b
2
，c
2)成中心对称.
跟踪训练2 (1)(多选)已知函数f(x)的图象的对称轴方程为x=3，则函数f(x)的解析式可以是( )
A.f(x)=x+ 1
x +3
B.f(x)=ex-3+e3-x
C.f(x)=x4-18x2
D.f(x)=|x2-6x|
(2)(多选)已知函数y=f(x+1)-2 为定义在R 上的奇函数，又函数g(x)=2 x -1
x -1 ，且f(x)与g(x)的函数图象恰
好有2 026 个不同的交点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，…，P2 026(x2 026，y2 026)，则下列叙述中正确的是( )
A.f(x)的图象关于点(2，2)对称
B.g(x)的图象关于点(1，2)对称
C.x1+x2+…+x2 026=2 026
D.y1+y2+…+y2 026=2 026
答案精析
落实主干知识
1.(1)f(x+T)=f(x)
(2)最小 最小正数
2.(2)(a，0) (3)x=a (a，0)
3.(1)y 轴 (2)x 轴 (3)原点
自主诊断
1.(1)√ (2)√ (3)× (4)√
2.B 3.C 4.(-1，2)
探究核心题型
例1 (1)C [由已知可得f(x+2)+f(x)=0⇒f(x+4)+f(x+2)=0⇒f(x+4)=f(x)，
即T=4 是函数f(x)的一个周期，
所以f (
7
2)=f (- 1
2)=f (
1
2)
=
1
2
2
+1=5
4 .]
(2)D [因为f(x)是定义在R 上的奇函数，f(x-2)为偶函数，
所以f(-x)=-f(x)，f(-x-2)=f(x-2)，即f(-x)=f(x-4)，
所以f(x-4)=-f(x)，
所以f(x+4)=-f(x)，
可得f(x+8)=-f(x+4)=f(x)，
所以f(x)的一个周期为8，
又当0≤x≤2 时，f(x)=x2-4x，
当6≤x≤8 时，则0≤8-x≤2，所以f(8-x)=(8-x)2-4(8-x)=x2-12x+32，
又f(x)是周期为8 的奇函数，
则f(x)=f(x-8)=-f(8-x)=-(x2-12x+32)=-x2+12x-32，
故f(x)=-x2+12x-32，x∈[6，8].]
跟踪训练1 ACD [因为f(x-3)=-f(x)，所以f(x)=-f(x+3)，则f(x-3)=f(x+3)，所以f(x+6)=f(x)，故A 正确；
当x∈[0，3]时，f(x)=x2-3x，则当x∈[-6，-3]时，x+6∈[0，3]，f(x)=f(x+6)=(x+6)2-3(x+6)=x2+9x+18，故B 不
正确；
由f(x+6)=f(x)，得函数f(x)的一个周期为6，得f(2 023)=f(1+337×6)=f(1)=-2，f(2 025)=f(3+337×6)=f(3)=0，
f(2 024)=f(2+337×6)=f(2)=-2，所以f(2 023)+f(2 025)=f(2 024)，故C 正确；
由A 选项知，f(x)=-f(x+3)，又f(x)=-f(-x)，则f(x+3)=f(-x)，所以函数f(x)的一条对称轴为直线x=3
2，故D 正
确.]
例2 ACD [因为f(x)是R 上的奇函数，所以f(-x)=-f(x)，又因为f(2-x)=f(x)，所以f(x)的图象关于直线x=1
对称，故C 正确；
因为f(2-x)=f(x)=-f(-x)，即f(2-x)+f(-x)=0，从而f(2+x)+f(x)=0，所以f(4+x)+f(2+x)=0，所以f(4+x)=f(x)，所以
f(x)是周期为4 的周期函数，又因为当x∈[0，1]时，f(x)=x2单调递增，所以f(x)在[-1，0]上也单调递增，从
而f(x)在[-1，1]上单调递增，又因为f(x)的周期为4，所以f(x)在[3，5]上单调递增，故A 正确；
因为f(x)在[-1，1]上单调递增，且f(x)的图象关于直线x=1 对称，所以f(x)在[1，3]上单调递减，所以f(x)在
[-1，3]上的最大值为f(1)=1，最小值为f(-1)=f(3)=-1，故B 错误；
当3≤x≤4 时，0≤4-x≤1，所以f(4-x)=(4-x)2，因为周期为4，所以f(-x)=f(4-x)=(4-x)2，又因为f(x)为奇函数，
所以f(x)=-f(-x)=-(4-x)2=-(x-4)2，故D 正确.]
例3 ABC [对于A，f(x)=2 x -1
x +2 =2( x +2)-5
x +2
=2- 5
x +2，其图象可以由y=-5
x 的图象向左平移2 个单位长度，
再向上平移2 个单位长度得到，且y=-5
x 的图象关于原点对称，故f(x)=2 x -1
x +2 的图象关于点(-2，2)中心对称，
A 正确；
对于B，因为f(2x-1)为奇函数，所以f(2x-1)=-f(-2x-1)，所以f(x-1)=-f(-x-1)，
所以f(x)=-f(-x-2)，所以函数f(x)关于点(-1，0)中心对称，B 正确；
对于C，函数y=f(x)的图象向右平移1 个单位长度，再向上平移1 个单位长度得到函数y=f(x-1)+1 的图象，
由于y=f(x)过定点(0，1)，故函数y=f(x-1)+1 过定点(1，2)，C 正确；
对于D，函数y= x -1
x -b=( x -b)+b-1
x -b
=1+b-1
x -b的图象关于点(3，c)中心对称，
所以{
3-b=0，
c =1，解得{
b=3，
c =1，
所以b+c=4，D 不正确.]
例4 A [设P(x0，y0)为y=f(x+2)图象上任意一点，则y0=f(x0+2)=f(4-(2-x0))，
所以点Q(2-x0，y0)在函数y=f(4-x)的图象上，
而点P(x0，y0)与点Q(2-x0，y0)关于直线x=1 对称，
所以函数y=f(x+2)与y=f(4-x)的图象关于直线x=1 对称.]
跟踪训练2 (1)BD [若f(x)的图象的对称轴方程为x=3，则f(6-x)=f(x).
对于A，f(6-x)=6-x+ 1
9- x ≠f(x)，A 错误；
对于B，f(6-x)=e3-x+ex-3=f(x)，B 正确；
对于C，∵f(0)=0，f(6)=64-18×62=648，∴f(0)≠f(6)，即f(6-x)=f(x)不恒成立，C 错误；
对于D，f(6-x)=|(6-x)2-6(6-x)|=|x2-6x|=f(x)，D 正确.]
(2)BC [函数y=f(x+1)-2 为定义在R 上的奇函数，则有f(-x+1)-2=-f(x+1)+2，
即f(-x+1)+f(x+1)=4，
又(- x +1)+( x +1)
2
=1，4
2 =2，所以函数y=f(x)的图象关于点(1，2)对称，无法判断是否关于点(2，2)对称，
A 选项错误；
函数g(x)=2 x -1
x -1 =2+ 1
x -1，结合反比例函数的性质和函数图象的平移可知，g(x)的函数图象也关于点(1，2)
对称，B 选项正确；
f(x)与g(x)的函数图象的交点关于点(1，2)对称，
不妨设x1<x2<…<x2 026，
则有x1+x2 026=x2+x2 025=…=x1 013+x1 014=2，
y1+y2 026=y2+y2 025=…=y1 013+y1 014=4，
所以x1+x2+…+x2 026=2 026，C 选项正确；
y1+y2+…+y2 026=4 052，D 选项错误.]
