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§2.4 函数的周期性和对称性
分值：90 分
一、单项选择题(每小题5 分，共20 分)
1.已知定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x+2)=f(x)，则f(2 026)等于( )
A.-1
B.0
C.1
D.2
2.函数y=-ex与y=e-x的图象( )
A.关于x 轴对称
B.关于y 轴对称
C.关于原点对称
D.关于直线y=x 对称
3.若函数y=f(x)与函数y=2x+1-1 的图象关于直线x=2 对称，则f(4)的值为( )
A.1
B.-1
C.2
D.-2
4.(2024·茂名模拟)函数y=f(x)和y=f(x-2)均为R 上的奇函数，若f(-1)=-2，则f(2 025)等于( )
A.-2
B.-1
C.0
D.2
二、多项选择题(每小题6 分，共12 分)
5.已知函数f(x)(x∈R)的导函数为f'(x)，且满足f(x)-f(2-x)=0，则下列说法正确的是( )
A.函数f(x)的图象关于点(1，1)对称
B.函数f(x)的图象关于直线x=1 对称
C.函数f'(x)的图象关于直线x=1 对称
D.函数f'(x)的图象关于点(1，0)对称
6.(2025·漳州质检)已知定义在R 上的函数f(x)不恒等于0，f(π)=0，且对任意的x，y∈R，有f(2x)
+f(2y)=2f(x+y)f(x-y)，则( )
A.f(0)=1
B.f(x)是偶函数
C.f(x)的图象关于点(π，0)中心对称
D.2π 是f(x)的一个周期
三、填空题(每小题5 分，共10 分)
7.(2024·龙岩模拟)定义在R 上的函数f(x)满足f(2+x)=f(2-x)，且f(x)在(-∞，2]上单调递减，则不等式
f(2x+3)≤f(1)的解集为 .
8.(2025·八省联考)已知曲线C：y=x3-2
x ，两条直线l1，l2均过坐标原点O，l1和C 交于M，N 两点，l2和C
交于P，Q 两点.若△OPM 的面积为√2，则△MNQ 的面积为 .
四、解答题(共27 分)
9.(13 分)已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且y=f(x)的图象关于直线x=2 对称.
(1)证明：f(x)是周期函数；(6 分)
(2)若当x∈[-2，2]时，f(x)=-x2+1，求当x∈[2，6]时，f(x)的解析式.(7 分)
10.(14 分)函数y=f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称的充要条件是函数y=f(x+a)-b 为奇函数.
(1)若f(x)=x3-3x2，求此函数图象的对称中心；(9 分)
(2)类比上述推广结论，写出“函数y=f(x)的图象关于y 轴成轴对称的充要条件是函数y=f(x)为偶函数”的一
个推广结论.(5 分)
11~13 题每小题5 分，14 题6 分，共21 分
11.已知函数f(x)的定义域为R，f (x + 1
2)为偶函数，f(2-x)+f(x)=0，f (
1
3)=-1
2 ，则f (
16
3 )等于( )
A.1
2
B.1
3
C.0
D.-1
2
12.已知函数f(x)的定义域为R，f(x-2)为偶函数，f(x-3)+f(-x+1)=0，当x∈[-1，0]时，f(x)=x+1，则
19
Σ
k =1
f(k)等
于( )
A.19
B.0
C.1
D.-1
13.(2025·吕梁模拟)已知函数f(x)满足f(x+y)+f(x-y)=2
3f(x)f(y)，f(1)=3
2，则下列结论不正确的是( )
A.f(0)=3
B.函数f(2x-1)的图象关于直线x=1
2对称
C.f(x)+f(0)≥0
D.f(x)的周期为3
14.(多选)已知定义域为R 的函数f(x)对任意实数x，y 都有f(x)+f(y)=f (
x + y
2 ) f (
x - y
2 )，且f(1)=1，则下列
说法正确的是( )
A.f(0)=3
B.f(x)=f(-x)
C.函数f(x)的图象关于点(
1
2 ，0)对称
D.f(1)+f(2)+…+f(2 024)=0
答案精析
1.B 2.C 3.A
4.D [因为y=f(x-2)为奇函数，
f(x-2)=-f(-x-2)，
所以y=f(x)的图象关于点(-2，0)对称，
即f(-x)+f(x-4)=0，
又y=f(x)的图象关于原点对称，
则f(-x)=-f(x)，
有f(x)=f(x-4)⇒f(x+4)=f(x)，
所以y=f(x)的一个周期为4，
故f(2 025)=f(1+2 024)=f(1)=-f(-1)=2.]
5.BD [由f(x)-f(2-x)=0，可知函数f(x)的图象关于直线x=1 对称.对f(x)-f(2-x)=0 求导，得f'(x)+f'(2-x)=0，则
函数f'(x)的图象关于点(1，0)对称，所以A，C 错误，B，D 正确.]
6.ABC [对于A，根据题意令x=y，则由f(2x)+f(2y)=2f(x+y)f(x-y)，可得f(2x)+f(2x)=2f(2x)f(0)，又f(x)不恒等
于0，则f(0)=1，即A 正确；
对于B，令y=-x，可得f(2x)+f(-2x)=2f(0)f(2x)=2f(2x)，所以f(2x)=f(-2x)，
即对任意的x∈R 满足f(x)=f(-x)，即f(x)是偶函数，所以B 正确；
对于C，令x+y=π，则由f(2x)+f(2y)=2f(x+y)f(x-y)，
可得f(2π-2y)+f(2y)=2f(π)f(π-2y)=0，
即f(x)满足f(2π-x)+f(x)=0，因此可得f(x)的图象关于点(π，0)中心对称，即C 正确；
对于D，由于f(x)是偶函数，所以满足f(x-2π)+f(x)=0，
即f(x)+f(x+2π)=0，
可得f(x-2π)=f(x+2π)，即f(x)=f(x+4π)，所以4π 是f(x)的一个周期，即D 错误.]
7.[-1，0]
解析 因为函数f(x)满足f(2+x)=f(2-x)，
则f(x)的图象关于直线x=2 对称，
又因为f(x)在(-∞，2]上单调递减，
则f(x)在[2，+∞)上单调递增，
则由f(2x+3)≤f(1)得|2x+3-2|≤|1-2|，
即|2x+1|≤1，解得-1≤x≤0，
则不等式的解集为[-1，0].
8. 2√2
解析 因为函数y=x3-2
x 为奇函数,所以曲线C 的图象关于原点对称,又两条直线l1和l2均过坐标原点O,则P,Q
关于原点对称,M,N 关于原点对称,则四边形PNQM 为平行四边形.
又S△OPM=√2,则S△MNQ=2√2.
9.(1)证明 因为函数y=f(x)的图象关于直线x=2 对称，所以f(x+2)=f(2-x)，
即有f(-x)=f(x+4)，
又函数f(x)是定义在R 上的偶函数，
有f(-x)=f(x)，
所以f(x+4)=f(-x)=f(x)，
即f(x)是周期为4 的周期函数.
(2)解 当x∈[-2，2]时，
f(x)=-x2+1，
又f(x)是周期为4 的周期函数，
当x∈[2，6]时，x-4∈[-2，2]，
所以f(x)=f(x-4)=-(x-4)2+1，
所以f(x)=-(x-4)2+1=-x2+8x-15，x∈[2，6].
10.解 (1)设函数f(x)=x3-3x2的图象的对称中心为点P(a，b)，g(x)=f(x+a)-b，
则g(x)为奇函数，
故g(-x)=-g(x)，
故f(-x+a)-b=-f(x+a)+b，
即f(-x+a)+f(x+a)=2b，
即[(-x+a)3-3(-x+a)2]+[(x+a)3-3(x+a)2]=2b.
整理得(3a-3)x2+a3-3a2-b=0，
故{
3a-3=0，
a
3-3a
2-b=0，解得{
a=1，
b=-2，
所以函数f(x)=x3-3x2的图象的对称中心为(1，-2).
(2)推论：函数y=f(x)的图象关于直线x=a 成轴对称的充要条件是函数y=f(x+a)为偶函数.
11.A [因为f(x + 1
2)为偶函数，
所以f (- x + 1
2)=f (x + 1
2)，
所以f(-x+2)=f(x-1)，
又因为f(2-x)+f(x)=0，
故f(x-1)+f(x)=0，
即f(x)=-f(x-1)，
所以f(x-1)=-f(x-2)，
故f(x)=f(x-2)，
故函数f(x)的一个周期为2，
故f (
16
3 )=f (- 2
3 +6)=f(- 2
3)，
在f(x-1)+f(x)=0 中，
令x=1
3得，
f (- 2
3)+f (
1
3)=0，
因为f (
1
3)=-1
2，
所以f (- 2
3)=1
2，
故f (
16
3 )=f (- 2
3)=1
2.]
12.D [因为f(x-2)是偶函数，
所以f(x-2)=f(-x-2)，
则f(x)=f(-4-x)，①
即对称轴为直线x=-2，
又因为f(x-3)+f(-x+1)=0，
所以f(x-3)=-f(-x+1)，
则f(x)=-f(-x-2)，②
即对称中心为点(-1，0).
由①②得f(-4-x)=-f(-x-2)，
令t=-x-2，则-4-x=t-2，
所以f(t-2)=-f(t)，
即f(x-2)=-f(x)，③
所以f(x-4)=-f(x-2).④
由③④得f(x-4)=f(x)，
所以f(x)=f(x+4)，
所以函数f(x)是周期为4 的周期函数，
当x∈[-1，0]时，f(x)=x+1，
则f(0)=1，f(-1)=0，
f(-2)=-f(0)=-1，
f(-3)=-f(-1)=0，
根据周期性得f(1)=f(-3)=0，
f(2)=f(-2)=-1，f(3)=f(-1)=0，f(4)=f(0)=1，
所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0-1+0+1=0，
又因为19=4×4+3，
故
19
Σ
k ＝1
f(k)=4[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(1)+f(2)+f(3)=4×0+0-1+0=-1.]
13.D
[令x=1，y=0，
则2f(1)=2
3f(1)f(0)，
又f(1)≠0，解得f(0)=3，A 正确；
令x=0，则f(y)+f(-y)=2
3f(0)f(y)=2f(y)，
所以f(y)=f(-y)，即f(x)是偶函数，
所以f(2x-1)=f(-2x+1)=f[2(1-x)-1]，
所以函数f(2x-1)的图象关于直线x=1
2对称，B 正确；
令y=x，则f(2x)+f(0)=2
3[f(x)]2≥0，
令t=2x，则f(t)+f(0)≥0，所以f(x)+f(0)≥0，C 正确；
令y=1，则f(x+1)+f(x-1)=f(x)，①
所以f(x+2)+f(x)=f(x+1)，
②
联立①②得f(x+2)=-f(x-1)，
所以f(x+3)=-f(x)，f(x+6)=-f(x+3)=f(x)，即f(x)的周期为6，D 错误.]
14.BD
[定义域为R 的函数f(x)对任意实数x，y 都有f(x)+f(y)=f (
x + y
2 ) f (
x - y
2 )，令x=y=1，则f(1)+f(1)=f(1)f(0)，
而f(1)=1，因此f(0)=2，A 错误；
令y=-x，则f(x)+f(-x)=f(0)f(x)=2f(x)，则f(x)=f(-x)，B 正确；
显然f(0)+f(1)=3≠0，则函数f(x)的图象关于点(
1
2 ，0)不对称，C 错误；
令y=x-2，则f(x)+f(x-2)=f(x-1)f(1)=f(x-1)，同理f(x+1)+f(x-1)=f(x)，因此f(x+1)=-f(x-2)，即f(x+3)=-f(x)，从而
f(x+6)=-f(x+3)=f(x)，即函数f(x)的周期是6，由f(x+3)=-f(x)，得f(2)=-f(-1)=-f(1)，则f(1)+f(2)=0，显然f(4)=-
f(1)，f(5)=-f(2)，f(6)=-f(3)，所以f(1)+f(2)+…+f(2 024)=337[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)]+f(1)+f(2)=0，D 正
确.]
