文档文本内容
第 01 讲 平面向量的概念、线性运算及坐标运算
（核心考点精讲精练）
1. 4年真题考点分布
4年考情
考题示例 考点分析 关联考点
向量垂直的坐标表示
2023年新I卷，第3题,5分 平面向量线性运算的坐标表示
利用向量垂直求参数
2022年新Ⅱ卷，第4题,5分 平面向量线性运算的坐标表示 数量积及向量夹角的坐标表示
数量积的坐标表示
2021年新Ⅱ卷，第10题,5分 坐标计算向量的模 逆用和、差角的余弦公式化简、求
值二倍角的余弦公式
向量加法的法则
2020年新Ⅱ卷，第3题,5分 无
向量减法的法则
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较低，分值为5分
【备考策略】1了解向量的实际背景,理解平面向量的基本概念,理解向量的几何表示
2掌握向量的加、减运算并理解其几何意义
3掌握向量的数乘运算并理解其几何意义以及两个向量共线的含义
4理解向量的线性运算性质及其几何意义
5会向量间的坐标运算
【命题预测】本节一般考查平面向量的基本概念、线性运算及坐标运算，易理解，易得分，需重点复习知识讲解
1．向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．
(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．
(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量平行．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．
2．向量的线性运算
向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律
交换律：a＋b＝b＋a；
加法 求两个向量和的运算 结合律：
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
求a与b的相反向量
减法 a－b＝a＋(－b)
－b的和的运算
|λ a|＝|λ||a|，当λ>0时，
λa与a的方向相同；当 λ(μ a)＝(λμ)a；(λ＋μ)a
求实数λ与向量a的
数乘 λ<0 时，λa 与 a 的方向 ＝λa＋μa；
积的运算
相反；当λ＝0时，λa＝ λ(a＋b)＝λa＋λb
0
1．平面向量加减法求解的关键是：对平面向量加法抓住“共起点”或“首尾相连”．对平面向量减法应
抓住“共起点，连两终点，指向被减向量的终点”，再观察图形对向量进行等价转化，即可快速得到结果．
2．在一般向量的线性运算中，只要把其中的向量当作一个字母看待即可，其运算方法类似于代数中合并同类项的运算，在计算时可以进行类比．
3.向量共线定理
向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa.
向量共线定理可以解决一些向量共线，点共线问题，也可由共线求参数；对于线段的定比分点问题，
用向量共线定理求解则更加简洁．
（1）若OA＝λOB＋μOC(λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.
（2）P为线段AB的中点⇔OP＝(OA＋OB)．
4.向量的坐标运算
（1）两点间的向量坐标公式：
， ， 终点坐标 始点坐标
（2）向量的加减法
， ，
（3）向量的数乘运算
，则：
（4）向量的模
，则 的模
（5）相反向量
已知 ，则 ；已知
（6）单位向量
（7）向量的平行关系
， ，
考点一、 平面向量基本概念的综合考查
1．（辽宁·高考真题）已知点 则与 同方向的单位向量为A． B． C． D．
【答案】A
【详解】试题分析： ,所以与 同方向的单位向量为 ，
故选A.
考点：向量运算及相关概念.
2．（福建·高考真题）对于向量 和实数 ，下列命题中真命题是( )
A．若 ，则 或 B．若 ，则 或
C．若 ，则 或 D．若 ，则
【答案】B
【分析】根据数量积的性质判断A，C，D，根据数乘向量的运算的定义判断B.
【详解】对于选项A，C，D，设 ， ， ，
则 ，但 且 ， A错，
， 但 且 ，C错，
由 ，但 ，D错，
由 可得 或 ，B对，
故选：B．
1．（2023·江苏南京·南京市秦淮中学校考模拟预测）下列说法中正确的是（ ）
A．单位向量都相等
B．平行向量不一定是共线向量
C．对于任意向量 ，必有
D．若 满足 且 与 同向，则
【答案】C
【分析】对于A：根据单位向量的概念即可判断；对于B：根据共线向量的定义即可判断；对于C：分类讨
论向量的方向，根据三角形法则即可判断；对于D：根据向量不能比较大小即可判断.
【详解】依题意，
对于A，单位向量模都相等，方向不一定相同，故错误；
对于B，平行向量就是共线向量，故错误；
对于C，若 同向共线， ，若 反向共线， ，
若 不共线，根据向量加法的三角形法则及
两边之和大于第三边知 .
综上可知对于任意向量 ，必有 ，故正确；
对于D，两个向量不能比较大小，故错误.
故选：C.
2．（2023·北京大兴·校考三模）设 ， 是非零向量，“ ”是“ ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据向量相等、单位向量判断条件间的推出关系，结合充分、必要性定义即知答案.
【详解】由 表示单位向量相等，则 同向，但不能确定它们模是否相等，即不能推出 ，
由 表示 同向且模相等，则 ，
所以“ ”是“ ”的必要而不充分条件.
故选：B
考点 二 、 平面向量线性运算的综合考查
1．（2020·新高考全国2卷·高考真题）在 中，D是AB边上的中点，则 =（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据向量的加减法运算法则算出即可.
【详解】故选：C
【点睛】本题考查的是向量的加减法，较简单.
2．（安徽·高考真题）若 ， , 则 （ ）
A．（1，1） B．（－1，－1） C．（3，7） D．（-3,-7）
【答案】B
【详解】试题分析：因为向量 ， ，所以 ．故
选B．
考点：向量减法的坐标的运算．
3．（北京·高考真题）已知 是 所在平面内一点， 为 边中点，且 ，那么（
）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】 是 所在平面内一点， 为 边中点，
∴ ，且 ，
∴ ，即 ，故选A.
4．（上海·高考真题）在平行四边形 中，下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】作出图形，进而根据平面向量的概念及加减法法则即可得到答案.
【详解】如图，
易知A正确；根据平行四边形法则，B正确； ，C错误； ，D正确.
故选：C.
5．（福建·高考真题）设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，
则 等于A． B． C． D．
【答案】D
【详解】试题分析：由已知得，
而 所以 ，选D.
考点：平面向量的线性运算，相反向量.
6．（四川·高考真题）如图，正六边形 中， （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】将 平移到 ， 平移到 ，
故 ，
故选D.
本题主要考查平面向量的基本概念及线性运算
考点：向量的加法.
1．（2023·山东枣庄·统考模拟预测）如图，在长方体 中，化简 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由空间向量的线性运算结合长方体的结构特征进行运算.
【详解】由长方体的结构特征，有 ，
则 .故选：B
2．（2023·浙江·统考二模）设 是平行四边形 的对角线的交点，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据平行四边形对角线平分及向量加减法计算可得.
【详解】 是平行四边形 的对角线的交点，则 ,
所以 .
故选：A.
考点 三 、 平面向量共线定理及平行向量（共线向量）坐标运算的综合
考查
1．（宁夏·高考真题）平面向量 ， 共线的充要条件是
A． ， 方向相同
B． ， 两向量中至少有一个为零向量
C． ，
D．存在不全为零的实数 ， ，
【答案】D
【详解】若 均为零向量，则显然符合题意，且存在不全为零的实数 使得 ；
若 ，则由两向量共线知，存在 ，使得 ，即 ，符合题意，故选D.
2．（山东·高考真题）已知向量 、 满足 ， ， ，则一定共线的三
点是
A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D
【答案】A
【分析】证明三点共线，借助向量共线定理判断即可.
【详解】因为 ， ，不存在常数 使得 ，所以 不共线，则A，
B，C不共线，B错；
因为 ， ，不存在常数 ，使得 ，所以 不共线，则B，C，D不共线，C错；
因为 ， ，所以不存在常数 ，使得 ，所
以 不共线，则A，C，D不共线，D错；
因为 ，所以 共线，又两向量都过点 ，故三点 ，
， 一定共线．
故选：A．
3．（海南·高考真题）平面向量 ， 共线的充要条件是（ ）
A． ， 方向相同 B． ， 两向量中至少有一个为零向量
C． ， D．存在不全为零的实数 ， ，
【答案】D
【解析】根据 ， 共线的定义得到向量 ， 共线的充要条件
【详解】由 ， 共线的定义，
若 ， 均为零向量，则显然符合题意，且存在不全为零的实数 ，使得 ；
若 ，则由两向量共线知，存在 ，使得 ，
即 ，符合题意.
故选:D.
【点睛】本题考查了对向量共线定义的理解，特别注意零向量与任意向量共线，属于基础题.
4．（广东·高考真题）已知平面向量 ， ，且 ，则 等于（ ）
A．（-2，-4） B．（-3，-6） C．（-5，-10） D．（-4，-8）
【答案】D
【分析】由 ，求得 ，再利用向量的坐标运算求解.
【详解】解：因为 ， ，且 ，
所以m=-4， ，
所以 =（-4，-8），
故选：D
5．（福建·高考真题）已知向量 ， ，且 ，则 ．
【答案】
【分析】根据平面向量共线的坐标表示计算可得.
【详解】解：因为 ， ，且 ，
所以 ，解得 ；
故答案为：6．（全国·高考真题）已知向量 ， ， ．若 ，则 ．
【答案】
【分析】由两向量共线的坐标关系计算即可．
【详解】由题可得
,即
故答案为
【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，以及两向量共线的坐标关系，属于基础题．
1．（2023·河南·襄城高中校联考三模）已知向量 ，若 ，则实数
（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【分析】利用平面向量线性运算的坐标表示和向量共线的坐标表示求参数.
【详解】 ，
因为 ，所以 ，解得 .
故选：B
2．（2023·江苏盐城·统考三模）已知 是平面四边形，设 ： ， ： 是梯形，则 是
的条件（ ）
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
【答案】A
【分析】根据向量共线的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可.
【详解】在四边形 中，
若 ，
则 ，且 ，
即四边形 为梯形，充分性成立；
若当 ， 为上底和下底时，
满足四边形 为梯形，
但 不一定成立，即必要性不成立；故 是 的充分不必要条件.
故选：A
3．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）在平面直角坐标系中，向量 ， ，
，若A，B，C三点共线，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据三点共线的向量关系式即可求解.
【详解】因为A，B，C三点共线，
则 ， ，
即 ，
则 ，解得 .
故选：C
4．（2023·甘肃兰州·兰州五十九中校考模拟预测）已知向量 ， ， ．
若 ，则实数 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据向量共线坐标表示得方程，解得结果.
【详解】因为 ，所以 , 选C.
【点睛】本题考查向量共线，考查基本分析与求解能力，属基础题.
5．（2023·宁夏石嘴山·石嘴山市第三中学校考一模）设向量 不平行，向量 与 平行，则实
数 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据向量共线求解即可.
【详解】解：因为向量 与 平行，
所以 ，
所以 ，所以
故选：B6．（2023·山西临汾·统考一模）已知 ， 为不共线的非零向量， ， ，
，则（ ）
A． ， ， 三点共线 B． ， ， 三点共线
C． ， ， 三点共线 D． ， ， 三点共线
【答案】B
【分析】根据给定条件，求出 ，再利用共线向量逐项判断作答.
【详解】 ， 为不共线的非零向量， ， ， ，
则 ， ，
因 ，则 与 不共线， ， ， 三点不共线，A不正确；
因 ，即 与 共线，且有公共点B，则 ， ， 三点共线，B正确；
因 ，则 与 不共线， ， ， 三点不共线，C不正确；
因 ，则 与 不共线， ， ， 三点不共线，D不正确.
故选：B
7．（2023·全国·模拟预测）（多选）有关平面向量的说法，下列错误的是（ ）
A．若 ， ，则 B．若 与 共线且模长相等，则
C．若 且 与 方向相同，则 D． 恒成立
【答案】ABC
【分析】取 ，可判断A选项；利用平面向量的概念可判断B选项；利用向量不能比大小可判断C选项；
利用平面向量数量积的运算性质可判断D选项.
【详解】对于A选项，取 ，因为 ， ，则 、 不一定共线，A错；
对于B选项，若 与 共线且模长相等，则 或 ，B错；
对于C选项，任何两个向量不能比大小，C错；
对于D选项， 恒成立，D对.
故选：ABC.
【基础过关】
一、单选题1．（2023·河北·高三学业考试）化简 所得的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据向量加，减法运算，即可化简.
【详解】 .
故选：C
2．（2023·全国·高三对口高考）如图正六边形 中， （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】连接相关对角线，根据向量加法的几何意义，数形结合化简即可.
【详解】连接 交于 ，
由正六边形性质知： ， ，
所以 ，而 ，
所以 .
故选：D
3．（2023·河北·高三学业考试）如图，正六边形 中， （ ）
A． B． C． D．【答案】B
【分析】由相等向量、向量加减法运算法则直接求解即可.
【详解】 六边形 为正六边形， ，
.
故选：B.
4．（2023·全国·高三对口高考）给出下列四个命题：
①若 ，则 ；
②若 ，则A，B，C，D是一个平行四边形的四个顶点；
③若 ，则 ；
④若 ， ，则 ；
其中正确的命题的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【分析】结合向量的概念、性质，说明 、 情况下的反例判断①、②，由向量相等、共线，
注意共线向量传递性的前提判断③、④.
【详解】①若 ，只能说明 模相等，它们方向不一定相同或相反，错；
②若 ，若 且 ，即A，B，C，D是一个平行四边形的四个顶点，若 四
点共线，不能构成平行四边形，错；
③若 ，即 、 分别为相等向量，故 ，对；
④若 ， ，当 为零向量时 不一定成立，错.
故选：D
二、多选题
5．（2023·全国·高三专题练习）给出下面四个结论，其中正确的结论是（ ）
A．若线段 ，则向量
B．若向量 ，则线段
C．若向量 与 共线，则线段
D．若向量 与 反向共线，则
【答案】AD
【分析】A选项，根据 得到点B在线段 上，进行判断A正确；BC选项，可举出反例；D
选项，根据向量线性运算推导出答案.
【详解】选项A：由 得点B在线段 上，则 ，A正确：选项B；三角形 ， ，但 ，B错误；
对于C： ， 反向共线时， ，故 ，C错误；
选项D： , 反向共线时， ，故D正确．
故选：AD．
三、填空题
6．（2023·河南·统考二模）已知 不共线，向量 ， ，且 ，则 ．
【答案】
【分析】根据向量共线定理可知 成立，列出方程组，即可得出答案.
【详解】因为 ，所以 ，使得 成立，即 .
因为 不共线，所以 ，解得 .
故答案为： .
7．（2023·海南·校联考模拟预测）已知向量 ， ， ，若点 ， ，
三点共线，则实数 ．
【答案】 /0.5
【分析】根据向量共线定理可知 ，根据向量坐标计算即可.
【详解】 ， ，
因为点 ， ， 三点共线，所以 ，解得 .
故答案为： .
8．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测） ， 是两个不共线的向量，已知 ，
， 且 三点共线，则实数 .
【答案】
【分析】先表示出 ，然后根据向量的共线定理进行计算.
【详解】依题意得， ，于是 ，
由 三点共线可知，存在 ，使得 ，即 ，
由于 ， 是两个不共线的向量，则 ，解得 .故答案为：
9．（2023·全国·高三专题练习）设 ， 是两个不共线的非零向量，若向量 与 的方向相反，
则 .
【答案】
【分析】依题意存在 ，使得 ，根据平面向量基本定理得到方程组，解得即可.
【详解】因为向量 与 的方向相反，
所以存在 ，使得 ，
又 ， 是两个不共线的非零向量，
所以 ，解得 或 （舍去）.
故答案为：
10．（2023·全国·高三对口高考）已知 ，则与向量 平行的单位向量的坐标为 ．
【答案】 或
【分析】先求得向量 的模，再利用单位向量和平行向量的定义求解.
【详解】解：因为 ，
所以 ，
所以向量 平行的单位向量的坐标为 或 ，
故答案为： 或
【能力提升】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，且 三点共线，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用向量的共线定理的坐标运算即可求解.
【详解】由 ，得 ,
因为 三点共线，所以 ，即 ，解得 .所以 .
故选：A.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知 为坐标原点， ，若 、 ，则与 共线的
单位向量为（ ）
A． B． 或
C． 或 D．
【答案】C
【分析】求出 的坐标，除以 ，再考虑方向可得．
【详解】由 得 ，即 ， ，
，
，
，
与 同向的单位向量为 ，反向的单位向量为 ．
故选：C．
3．（2023·全国·高三专题练习）若 都为非零向量，则“ ”是“ 与 共线”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】由 为单位向量，根据向量共线的性质、充分必要性定义判断推出关系，即可得结果.
【详解】由 分别表示 方向上的单位向量，
当 ，即 共线，充分性成立；
当 与 共线，若同向共线时， 不成立，必要性不成立.“ ”是“ 与 共线”的充分不必要条件.
故选：B
4．（2023春·浙江金华·高三浙江金华第一中学校考阶段练习）已知 为单位向量，则“ ”是
“存在 ，使得 ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】对于前者是否能推出后者，我们举出反例 即可，对于后者是否推前者，由后者可得 共线
且同方向，则 ，即后者能推出前者，最后即可判断.
【详解】若 ，则 ，但此时不存在 ，使得 ，
故不存在 ，使得 ，故前者无法推出后者，
若存在 ，使得 ，则 共线且同方向，
此时 ，故后者可以推出前者，
故“ ”是“存在 ,使得 的必要不充分条件”，
故选：B.
5．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考一模）下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 与 的方向相同或者相反
B．若 ， 为非零向量，且 ，则 与 共线
C．若 ，则存在唯一的实数 使得
D．若 ， 是两个单位向量，且 ．则
【答案】B
【分析】对于A，当 时，该选项错误；对于B， 表示与 方向相同的单位向量， 表示与 方向
相同的单位相同，所以 与 共线，所以该选项正确；对于C，当 ， 为非零向量时， 不存在，所
以该选项错误；对于D，计算得 ，所以该选项错误．
【详解】对于A，当 时， 与 的方向可以既不相同也不相反，所以该选项错误；对于B， ， 为非零向量， 表示与 方向相同的单位向量， 表示与 方向相同的单位相同，由于
，所以 与 共线，所以该选项正确；
对于C，当 ， 为非零向量时， 不存在，所以该选项错误；
对于D，由 得 ，所以 ，所以该
选项错误．
故选：B．
6．（2023·河北·校联考三模）对于平面内 个起点相同的单位向量 ，若每个向
量与其相邻向量的夹角均为 ，则 与 的位置关系为（ ）
A．垂直 B．反向平行 C．同向平行 D．无法确定
【答案】B
【分析】根据平面向量加法的运算法则即可得解.
【详解】根据题意可得 ，
所以 ，
所以 与 的位置关系为反向平行.
故选：B.
二、填空题
7．（2023春·安徽滁州·高三校考开学考试）已知向量 ， ，且 ，则
.
【答案】
【分析】应用向量线性关系的坐标运算求 、 ，根据向量平行的坐标表示列方程求参数.
【详解】由题设 ， ，又 ，
所以 ，解得 .
故答案为：
8．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ， ，若向量 ，且 与 的夹角为钝
角，写出一个满足条件的 的坐标为 ．【答案】
【分析】根据向量的共线和向量乘法的坐标计算公式即可求解.
【详解】根据题意可得： ， ，
设 ，
因为向量 ，且 与 的夹角为钝角，
所以
所以 ，
不妨令
所以
，
故答案为： .
9．（2023·广西玉林·统考三模）记数列 的前n项和为 ，已知向量 ， ，若 ，
且 ，则 通项为 ．
【答案】
【分析】由平面共线向量的坐标表示可得 ，利用 与 的关系求出数列的通项公式，即可求解.
【详解】∵ ，∴ ，
当 时， ，得 ，
当 时， ， ，
两式作差得： ，即 ，
所以 是以 为公比，1为首项的等比数列，
则 ，
又 不符合上式，所以 .故答案为： .
10．（2023·全国·高三专题练习）已知向量 ， ， ．若 ，则 = ．
【答案】2
【分析】用已知向量坐标表示线性组合向量，再利用向量平行的坐标表示求λ即可.
【详解】由题意， ，所以 ，
故答案为： .
