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专题 01 数学文化背景下的高考数学之集合与常用逻辑用语
背景1：中国古代重要的数学著作 孙子算经 下卷有题：今有物，不知其数 三三数之，剩二；五五
数之，剩三；七七数之，剩二 问：物几何？
背景2：1872年德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称
“戴德金分割”），并把实数理论建立在严格的科学基础上，从而结束了无理数被认为“无理”的
时代，也结束了数学史上的第一次大危机.将有理数集 划分为两个非空的子集M与N，且满足
， ，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称 为戴德金分割
背景3：群论是代数学的分支学科，在抽象代数中具有重要地位，且群论的研究方法也对抽象代数的
其他分支有重要影响，例如一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明.群的概念则是
群论中最基本的概念之一，其定义如下：设G是一个非空集合，“· ”是G上的一个代数运算，即对
所有的a、b∈G，有a·b∈G，如果G的运算还满足：① a、b、c∈G，有（a·b）·c=a·（b·c）；②
，使得 ，有 ，③ ， ，使a·b=b·a=e，则称G关于“·”构成一
个群.
背景4：祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是
两个同高的几何体，如在等高处的截面面积恒相等，则体积相等.
背景5：利用名人所做诗词为背景判别充分条件与必要条件
集合知识归纳总结：
1.集合与元素
1、集合元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．
2、元素与集合的关系：属于或不属于，用符号 或 表示．
3、集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
4、常见数集的记法与关系图
集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N N*(或N ) Z Q R
＋2.集合间的基本关系
表示
文字语言 符号语言 图形语言
关系
集合A的所有元素都是集合B的
子集 或
元素（ 则 ）
基本
集合A是集合B的子集，且集合
关系 真子集
或
B中至少有一个元素不属于A
相等 集合A，B的元素完全相同
不含任何元素的集合．空集是任
空集
何集合A的子集
3.集合的基本运算
集合交并补运算的表示
集合的并集 集合的交集 集合的补集
图形语言
符号语言
注：常用二级结论
（1）并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A B A．
（2）交集的性质：A∩ ＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A A B．
⇔ ⊆
（3）补集的性质：A∪ ∅ ( U A)＝U；A∩( U A)＝∅． ∁U ( U A)＝A； ⇔ ⊆
U (A∪B)＝( U A)∩( U B)； ∁∁U (A∩B)＝( U∁ A)∪( U B)． ∁
∁（4）若集合∁ 中含∁有 个元素，则它∁的子集∁个数为 ，真子集个数为 ，非空真子集个数为 ．
常用逻辑用语知识归纳总结：
4.充分条件与必要条件：
若p q，则p是q的充分条件q是p的必要条件。
若p⇒q，则p是q充要条件。
若p⇔q，q p,p是q的充分不必要条件。
若p⇒q，q⇏p,p是q的必要不充分条件。
若条
⇏
件p， ⇒q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，
则由A B可得，p是q的充分条件，q是p的必要条件
①若A⊆ B，则p是q的充分不必要条件；
②若A B，则p是q的必要不充分条件；
③若A＝B，则p是q的充要条件；④若A B且A B，则p是q的既不充分也不必要条件．
充分必要条件判断精髓：
⊈ ⊉
小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件；若两个集
合范围一样，就是充要条件的关系；
5.全称量词：
一般地，“任意”“所有”“每一个”在陈述句中表示所述事物的全体，称为全称量词，用符号“ ”
表示，
一般地，“存在”“有的”“有一个”在陈述句中表示所述事物的部分，称为存在量词，用符号“ ”表
示，
全称量词命题的否定：
一般地，全称量词命题“ ”的否定是存在量词命题： ．
存在量词命题的否定：
一般地，存在量词命题“ ”的否定是全称量词命题： ．
1 借助数学文化考查集合的概念及表示
中国古代重要的数学著作 孙子算经 下卷有题：今有物，不知其数 三三数之，剩二；五五数之，剩三；
七七数之，剩二 问：物几何？现有如下表示：已知 ， ，
，若 ，则下列选项中符合题意的整数 为（ ）
A． B． C． D．
变式1.中国古代数学专著《孙子算经》中有一问题“今有三女，长女五日一归，中女四日一归，少女三
日一归，问：三女几何日相会？”，则此三女前三次相会经过的天数组成的集合用列举法可表示为
______，此三女相会经过的天数组成的集合用描述法可表示为______.
借助数学文化考查集合的运算
2
（多选）1872年德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称“戴
德金分割”），并把实数理论建立在严格的科学基础上，从而结束了无理数被认为“无理”的时代，也
结束了数学史上的第一次大危机.将有理数集 划分为两个非空的子集M与N，且满足 ，，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称 为戴德金分割.试判断下列选项中，
可能成立的是（ ）
A． 满足戴德金分割
B．M没有最大元素，N有一个最小元素
C．M没有最大元素，N没有最小元素
D．M有一个最大元素，N有一个最小元素
变式1.由无理数引发的数学危机一直延续到 世纪，直到 年，德国数学家戴金德提出了“戴金德分
割”才结束了持续 多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴金德分割，是指将有理数集 划分为两个
非空的子集 与 ，且满足 ， ， 中的每一个元素都小于 中的每一个元素，
则称 为戴金德分割.试判断，对于任一戴金德分割 ，下列选项中一定不成立的是（ ）
A． 没有最大元素， 有一个最小元素
B． 没有最大元素， 也没有最小元素
C． 有一个最大元素， 有一个最小元素
D． 有一个最大元素， 没有最小元素
变式2.戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非空子集A与B，且满足 Q， ，A中
的每一个元素都小于B中的每一个元素．请给出一组满足A中无最大元素且B中无最小元素的戴德金分
割______．
借助数学文化考查高等数学与集合的联系
3
（多选）群论是代数学的分支学科，在抽象代数中具有重要地位，且群论的研究方法也对抽象代数的其
他分支有重要影响，例如一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明.群的概念则是群论中
最基本的概念之一，其定义如下：设G是一个非空集合，“· ”是G上的一个代数运算，即对所有的a、
b∈G，有a·b∈G，如果G的运算还满足：① a、b、c∈G，有（a·b）·c=a·（b·c）；② ，使得
，有 ，③ ， ，使a·b=b·a=e，则称G关于“·”构成一个群.则下列说法正
确的有（ ）
A． 关于数的乘法构成群
B．G={x|x= ，k∈Z，k≠0}∪{x|x=m，m∈Z，m≠0}关于数的乘法构成群C．实数集关于数的加法构成群
D． 关于数的加法构成群
变式1.（多选）当一个非空数集G满足“如果a、 ，则 、 、 ，且 时， ”
时，我们称G是一个数域．以下四个关于数域的命题中真命题的个数是（ ）
A.0是任何数域中的元素；B.若数域G中有非零元素，则 ；
C.集合 是一个数域；D.有理数集Q是一个数域．
借助数学文化考查古诗词与充分条件、必要条件的联
4
系
杜甫在《奉赠韦左丞丈二十二韵》中有诗句：“读书破万卷，下笔如有神.”对此诗句的理解是读书只有读
透书，博览群书，这样落实到笔下，运用起来才有可能得心应手，如有神助一般，由此可得，“读书破
万卷”是“下笔如有神”的（ ）
A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
变式1.毛泽东同志在《清平乐●六盘山》中的两句诗为“不到长城非好汉，屈指行程二万”，假设诗句
的前一句为真命题，则“到长城”是“好汉”的__________条件（填“充分不必要”“必要不充分”
“充要”“既不充分也不必要”）
变式2.必修一课本有一段话：当命题“若 ，则 ”为真命题，则“由 可以推出 ”，即一旦 成立，
就成立， 是 成立的充分条件.也可以这样说，若 不成立，那么 一定不成立， 对 成立也是很必
要的.王安石在《游褒禅山记》中也说过一段话：“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所
罕至焉，故非有志者不能至也”.从数学逻辑角度分析，“有志”是“能至”的（ ）
A．充分条件 B．必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
变式2.王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中“攻破楼兰”是“返
回家乡”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件借助数学文化考查数学背景与充分条件、必要条件的
5
联系
祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几
何体，如在等高处的截面面积恒相等，则体积相等.设A，B为两个同高的几何体，p：A，B的体积相等，
q：A，B在等高处的截面面积恒相等，根据祖暅原理可知，p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
变式1.在我国南北朝时期，数学家祖暅在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容
异”．其意思是，用一组平行平面截两个几何体，若在任意等高处的截面面积都对应相等，则两个几何
体的体积必然相等．根据祖暅原理，“两几何体A、B的体积不相等”是“A、B在等高处的截面面积不
恒相等”的条件（ ）
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
1．集合论是德国数学家康托尔（G.Cantor）于19世纪末创立的.在他的集合理论中，用 表示有限
集合中元素的个数，例如： ，则 .若对于任意两个有限集合 ，有
.某校举办运动会，高三（1）班参加田赛的学生有14人，参
加径赛的学生有9人，两项都参加的有5人，那么高三（1）班参加本次运动会的人数共有（ ）
A．28 B．23 C．18 D．16
2．在数学漫长的发展过程中，数学家发现在数学中存在着神秘的“黑洞”现象．数学黑洞：无论怎样设
值，在规定的处理法则下，最终都将得到固定的一个值，再也跳不出去，就像宇宙中的黑洞一样．目前已经发现的数字黑洞有“123黑洞”、“卡普雷卡尔黑洞”、“自恋性数字黑洞”等．定义：若一个n位
正整数的所有数位上数字的n次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数．已知所有一位正整数的自
恋数组成集合A，集合 ，则 的子集个数为（ ）
A．3 B．4 C．7 D．8
3．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”意思是说两个同高的几何体，若在等高处的截面积恒相等，则
体积相等．设 为两个同高的几何体， 在等高处的截面积不恒相等， 的体积不相等，根
据祖暅原理可知， 是 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．给定整数 ，有 个实数元素的集合 ，定义其相伴数集 ，如果 ，
则称集合 为一个 元规范数集．（注： 表示数集 中的最小数）．对于集合
，则（ ）
A． 是规范数集， 不是规范数集 B． 是规范数集， 是规范数集
C． 不是规范数集， 是规范数集 D． 不是规范数集， 不是规范数集
5.《墨经》上说：“小故，有之不必然，无之必不然体也，若有端.大故，有之必然，若见之成见也.”则
“有之必然”表述的数学关系一定是（ ）
A．充分条件 B．必要条件
C．既不充分也不必要条件 D．不能确定
6．数学家康托尔创立了集合论，集合论的产生丰富了现代计数方法.记 为集合 的元素个数， 为
集合 的子集个数，若集合 满足：① ， ；②
，则 的最大值是（ ）
A. 99 B. C. D. 96
7．（多选）中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二；
五五数之，剩三；七七数之，剩二问：物几何?”现有如下表示：已知 ，， ，若 ，则下列选项中符合题意的整数
为（ ）
A．8 B．128 C．37 D．23
8.（多选）在整数集 中，被4除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为 ，
，则下列结论正确的为（ ）
A． B．
C． D．整数 属于同一“类”的充要条件是“ ”
9.若一个非空数集 满足：对任意 ，有 ， ， ，且当 时，有 ，则称 为
一个数域，以下命题中：
（1）0是任何数域的元素；（2）若数域 有非零元素，则 ；
（3）集合 为数域；（4）有理数集为数域；
真命题的个数为________
10．设S、T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数 满足：（ⅰ） ；
（ⅱ）对任意 ，当 时，恒有 ．那么称这两个集合“保序同构”．现给出以下
3对集合：
① ，B为正整数集；
② ， ；
③ ， ．
其中，“保序同构”的集合对的序号______．（写出所有“保序同构”的集合对的序号）
