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§4.2 同角三角函数基本关系式及诱导公式
课标要求 1.理解同角三角函数的基本关系式sin2α+cos2α=1，sin α
cosα =tan α(α ≠π
2 +k π ，k ∈Z).2.掌握诱导
公式，并会简单应用.
1.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin
2 α +cos
2 α =1
.
(2)商数关系：sin α
cosα =tan
α (α ≠π
2 + k π ，k ∈Z).
2.三角函数的诱导公式
公式
一
二
三
四
五
六
角
2kπ+α(k∈Z)
π+α
-α
π-α
π
2
-α
π
2
+α
正弦
sin α
-sin
α
-sin
α
sin
α
cos
α
cos
α
余弦
cosα
-cos
α
cos
α
-cos
α
sin
α
-sin
α
正切
tan α
tan
α
-tan
α
-tan α
口诀
奇变偶不变，符号看象限
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)sin(π+α)=-sin α 成立的条件是α 为锐角.( × )
(2)若α，β∈R，则sin2α+cos2β=1.( × )
(3)若α∈R，则tan α= sin α
cosα 恒成立.( × )
(4)若sin(kπ-α)=1
3(k∈Z)，则sin α=1
3.( × )
2.(多选)已知x∈R，则下列等式恒成立的是( )
A.sin(-x)=sin x
B.sin(
3 π
2 - x)=cosx
C.cos(
π
2 + x)=-sin x
D.cos(x-π)=-cosx
答案 CD
解析 sin(-x)=-sin x，故A 不成立；
sin(
3 π
2 - x)=-cosx，故B 不成立；
cos(
π
2 + x)=-sin x，故C 成立；
cos(x-π)=-cosx，故D 成立.
3.已知sin α-cosα=5
4 ，则sin 2α 等于( )
A.- 9
16
B.- 7
16
C. 7
16
D. 9
16
答案 A
解析 ∵(sin α-cosα)2=sin2α+cos2α-2sin αcosα=1-sin 2α=25
16，∴sin 2α=- 9
16.
4.已知α 是第三象限角，sin α=-3
5，则tan α= .
答案 3
4
解析 由题意得cosα=-4
5 ，故tan α= sin α
cosα =3
4 .
1.熟记同角三角函数的基本关系式的几种变形
(1)sin2α=1-cos2α=(1+cosα)(1-cosα)；
cos2α=1-sin2α=(1+sin α)(1-sin α)；
(sin α±cosα)2=1±2sin αcosα.
(2)sin α=tan αcosα(α ≠π
2 +k π ，k ∈Z).
2.谨防两个易误点
(1)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.
(2)“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π
2 的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化，
应用时要注意.
题型一 同角三角函数基本关系式
例1 (1)(2025·昭通模拟)若sin θ=-2cosθ，则sin θ(sin θ+cosθ)等于( )
A.-6
5
B.-2
5
C.2
5
D.6
5
答案 C
解析 因为sin θ=-2cosθ，所以tan θ=-2，
所以sin θ(sin θ+cosθ)=sinθ(sinθ+cosθ)
sin
2θ+co s
2θ
=tan
2θ+ tanθ
tan
2θ+1
=4 -2
4+1=2
5.
(2)(2024·沈阳模拟)已知α∈(0，π)，且sin α+cosα=1
5，则tan α 等于( )
A.-3
4
B.3
4
C.-4
3
D.4
3
答案 C
解析 方法一 sin α+cosα=1
5，
则(sin α+cosα)2=1+2sin αcosα= 1
25，
即sin αcosα=-12
25，
又因为α∈(0，π)，故sin α>0，cosα<0，α∈(
π
2 ，π)，
故(sin α-cosα)2=1-2sin αcosα=49
25，
因为α∈(
π
2 ，π)，则sin α-cosα=7
5，
结合sin α+cosα=1
5可得
sin α=4
5 ，cosα=-3
5，
则tan α=-4
3 .
方法二 sin α+cosα=1
5⇒cosα=1
5-sin α，
代入sin2α+cos2α=1，
得sin2α+(
1
5 -sin α)
2
=1，
化简得25sin2α-5sin α-12=0，
解得sin α=4
5(sin α =- 3
5 舍去)，
所以cosα=1
5-sin α=-3
5，
所以tan α= sin α
cosα =-4
3 .
思维升华 (1)利用sin2α+cos2α=1 可以实现角α 的正弦、余弦的互化，利用sin α
cosα =tan α
(α ≠π
2 +k π ，k ∈Z)可以实现角α 的弦切互化.
(2)形如asin α +bcosα
c sin α +d cosα ，asin2α+bsin αcosα+ccos2α 等类型可进行弦化切.
(3)对于sin α+cosα，sin αcosα，sin α-cosα 这三个式子，利用(sin α±cosα)2=1±2sin αcosα，可以知一求二.
跟踪训练1 (1)(2024·广州模拟)已知sin α-cosα=√2
2 ，则tan α+
1
tan α 的值为( )
A.-1
4
B.-4
C.1
4
D.4
答案 D
解析 sin α-cosα=√2
2 ，
则(sin α-cosα)2=1-2sin αcosα=1
2，
解得sin αcosα=1
4 ，
tan α+
1
tan α = sin α
cosα +cosα
sin α =sin
2α +co s
2α
sin α cosα
=
1
sin α cosα =
1
1
4
=4.
(2)(2023·全国乙卷)若θ∈(0，π
2)，tan θ=1
2，则sin θ-cosθ= .
答案 -√5
5
解析 因为θ∈(0，π
2)，则sin θ>0，cosθ>0，
又因为tan θ= sinθ
cosθ =1
2，则cosθ=2sin θ，
且cos2θ+sin2θ=4sin2θ+sin2θ=5sin2θ=1，
解得sin θ=√5
5 或sin θ=-√5
5 (舍去)，
所以sin θ-cosθ=sin θ-2sin θ=-sin θ=-√5
5 .
题型二 诱导公式
例2 (1)若sin(π+α)=1
3，则sin(π-α)+cos(
π
2 -α)等于( )
A.-2
3
B.2
3
C.2√2
3
D.-2√2
3
答案 A
解析 sin(π+α)=-sin α=1
3，sin α=-1
3，sin(π-α)+cos(
π
2 -α)=sin α+sin α=2sin α=-2
3.
(2)(2024·沧州模拟)已知cos(
π
4 + x)=1
3，则sin(
5 π
4 - x)等于( )
A.-1
3
B.1
3
C.2√2
3
D.-2√2
3
答案 A
解析 因为cos(
π
4 + x)=1
3，
所以sin(
5 π
4 - x)=sin[π +(
π
4 - x)]
=-sin(
π
4 - x)
=-sin[
π
2 -(
π
4 + x)]
=-cos(
π
4 + x)=-1
3.
思维升华 诱导公式的两个应用
(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.
(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了.
跟踪训练2 (1)(2024·镇江模拟)已知α 为锐角，且cos(α + π
6)=3
5，则sin(
5 π
6 -α)等于( )
A.3
5
B.-4
5
C.4
5
D.±4
5
答案 C
解析 因为α 为锐角，且cos(α + π
6)=3
5，所以α+π
6 也是锐角，
所以sin(α + π
6)=√
1-co s
2(α + π
6)
=√
1-(
3
5)
2
=4
5 ，
所以sin(
5 π
6 -α)=sin[π -(α + π
6)]
=sin(α + π
6)=4
5 .
(2)tan(π -α )cos(2π -α )sin(-α + 3 π
2 )
cos(-α - π )sin(- π -α )
的值为 .
答案 -1
解析 原式=- tan α·cosα·(-cosα )
cos(π +α )·[-sin(π +α )]= tan α·co s
2α
-cosα·sin α =- sin α
cosα ·cosα
sin α =-1.
题型三 同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用
例3 (1)(2024·商洛模拟)已知sin(5π+α)=5sin(
9 π
2 +α)，则sin 2α+sin2α 等于( )
A.- 9
26
B.11
26
C.15
26
D.20
13
答案 C
解析 因为sin(5π+α)=5sin(
9 π
2 +α)，
所以-sin α=5cosα，可得tan α= sin α
cosα =-5，
所以原式=sin2α + sin
2α
sin
2α +co s
2α
=2sin α cosα + sin
2α
sin
2α +co s
2α
=2tan α +tan
2α
tan
2α +1
=2×(-5)+(-5)
2
(-5)
2+1
=15
26.
(2)已知α∈(0，π
2)，β∈(
π
2 ，π)，且sin(
π
2 +α)=√3cos(β - π
2)，√3sin(π+α)=sin(
π
2 - β)，则β-α=
.
答案 2π
3
解析 由题意得{
cosα =√3sin β ，①
-√3sin α =cos β ，②
由①2+3×②2得，cos2α+9sin2α=3，
又cos2α+sin2α=1，所以sin2α=1
4 ，
又α∈(0，π
2)，所以sin α=1
2，则α=π
6 .
将α=π
6 代入①，得sin β=1
2，
因为β∈(
π
2 ，π)，所以β=5 π
6 ，则β-α=2π
3 .
思维升华 (1)利用同角三角函数基本关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，
灵活使用公式进行变形.
(2)注意角的范围对三角函数值符号的影响.
跟踪训练3 (1)若sin(3π+α)=1
2，α∈(π ，3 π
2 )，则tan(2 025π-α)等于( )
A.-1
2
B.-√3
2
C.-√3
D.-√3
3
答案 D
解析 因为sin(3π+α)=1
2，
所以sin α=-1
2，又α∈(π ，3 π
2 )，
所以cosα=-√1- sin
2α=-√3
2 ，tan α=√3
3 ，
所以tan(2 025π-α)=tan(π-α)=-tan α=-√3
3 .
(2)已知α 为锐角，且2tan(π-α)-3cos(
π
2 + β)+5=0，tan(π+α)+6sin(π+β)-1=0，则sin α 的值是( )
A.2√5
5
B.2√7
7
C.3√10
10
D.1
3
答案 C
解析 由已知得{
3sin β -2tan α +5=0，
tan α -6sin β -1=0，
消去sin β，得tan α=3，
∴sin α=3cosα，代入sin2α+cos2α=1，
化简得sin2α= 9
10，
又α 为锐角，∴sin α>0，则sin α=3√10
10
.
课时精练
(分值：80 分)
一、单项选择题(每小题5 分，共20 分)
1.(2024·成都模拟)若角α 的终边位于第二象限，且sin α=1
2，则sin(
π
2 +α)等于( )
A.1
2
B.-1
2
C.√3
2
D.-√3
2
答案 D
解析 ∵sin α=1
2，且角α 的终边位于第二象限，
∴cosα=-√1- sin
2α=-√
1-(
1
2)
2
=-√3
2 ，
则sin(
π
2 +α)=cosα=-√3
2 .
2.以下四个数中，与sin 2 026°的值最接近的是( )
A.-1
2
B.1
2
C.-√2
2
D.√2
2
答案 C
解析 sin 2 026°=sin(360°×5+226°)=sin 226°=sin(180°+46°)=-sin 46°，
∵sin 45°=√2
2 ，∴sin 2 026°的值最接近-√2
2 .
3.若tan θ=2
3cosθ，则sin θ 等于( )
A.3
5
B.1
2
C.√5
5
D.-1
2
答案 B
解析 因为tan θ= sinθ
cosθ =2
3cosθ，
所以sin θ=2
3cos2θ=2
3(1-sin2θ)，
所以2sin2θ+3sin θ-2=0，
即(2sin θ-1)(sin θ+2)=0，
解得sin θ=1
2或sin θ=-2(舍去).
4.(2025·信阳模拟)若cos(α - π
2)
sin 2α
=√3
2 ，则sin4α+cos4α 等于( )
A.3-2√2
3
B.3+2√2
3
C.7
9
D.5
9
答案 D
解析 由cos(α - π
2)
sin 2α
=
sin α
2sin α cosα =
1
2cosα =√3
2 ，
得cosα=√3
3 ，则cos2α=1
3，
sin2α=1-cos2α=2
3，
故sin4α+cos4α=(sin
2α +co s
2α )
2-2sin2αcos2α
=1-2×2
3×1
3=5
9.
二、多项选择题(每小题6 分，共12 分)
5.在△ABC 中，下列等式一定成立的是( )
A.sin A + B
2
=-cosC
2
B.sin(2A+2B)=-cos2C
C.tan(A+B)=-tan C
D.sin(A+B)=sin C
答案 CD
解析 sin A + B
2
=sin(
π
2 - C
2)=cosC
2 ，故A 错误；
sin(2A+2B)=sin[2(π-C)]=sin(2π-2C)=-sin 2C，故B 错误；
tan(A+B)=tan(π-C)=-tan C，故C 正确；
sin(A+B)=sin(π-C)=sin C，故D 正确.
6.(2024·吕梁模拟)已知sin α-cosα=√5
5 ，0≤α≤π，则下列选项中正确的有( )
A.sin αcosα=2
5
B.sin α+cosα=3√5
5
C.tan α=1
2
D.cos2α=-3
5
答案 ABD
解析 由sin α-cosα=√5
5 ，
得(sin α-cosα)2=1-2sin αcosα=1
5，
所以sin αcosα=2
5，故A 正确；
因为sin αcosα=2
5，α∈[0，π]，
所以sin α>0，cosα>0，
又因为(sin α+cosα)2=1+2sin αcosα=9
5，
所以sin α+cosα=3√5
5
，故B 正确；
由sin α-cosα=√5
5 ，sin α+cosα=3√5
5
，
得sin α=2√5
5
，cosα=√5
5 ，
所以tan α=2，故C 错误；
cos2α=cos2α-sin2α=(cosα-sin α)(cosα+sin α)=(- √5
5 )×3√5
5
=-3
5，故D 正确.
三、填空题(每小题5 分，共10 分)
7.已知sin(α + π
3)=12
13，则cos(
π
6 -α)= .
答案 12
13
解析 因为sin(α + π
3)=12
13，
所以cos(
π
6 -α)=sin[
π
2 -(
π
6 -α)]
=sin(α + π
3)=12
13.
8.(2024·广州模拟)若tan(2 024π-α)=-2，则sin2α+sin2α
tan α = .
答案 6
5
解析 因为tan(2 024π-α)=-2，
所以tan α=2，
sin2α+sin2α
tan α =sin2α+
2sin α cosα
sin α
cosα
=sin2α+2cos2α=sin
2α +2co s
2α
sin
2α +co s
2α
=tan
2α +2
tan
2α +1
=6
5.
四、解答题(共28 分)
9.(13 分)已知f(α)=sin(α -3 π )cos(2π -α )sin(-α + 3 π
2 )
cos(- π -α )sin(- π -α )
.
(1)化简f(α)；(4 分)
(2)若α=-31π
3 ，求f(α)的值；(4 分)
(3)若cos(-α - π
2)=1
5，α∈[π ，3 π
2 ]，求f(α)的值.(5 分)
解 (1)f(α)=sin(α -3 π )cos(2π -α )sin(-α + 3 π
2 )
cos(- π -α )sin(- π -α )
=-sin α·cosα·(-cosα )
-cosα·sin α
=-cosα.
(2)若α=-31π
3 ，
则f(- 31π
3 )=-cos(- 31π
3 )=-cosπ
3 =-1
2.
(3)由cos(-α - π
2)=1
5，可得sin α=-1
5，
因为α∈[π ，3 π
2 ]，所以cosα=-2√6
5
，
所以f(α)=-cosα=2√6
5
.
10.(15 分)已知关于x 的方程2x2-(√3+1)x+m=0 的两个根为sin θ，cosθ，θ∈(0，2π)，求：
(1)
sinθ
1-
1
tanθ
+ cosθ
1- tanθ 的值；(6 分)
(2)方程的两根及此时θ 的值.(9 分)
解 (1)由题意得sin θ≠cosθ，
sinθ
1-
1
tanθ
+ cosθ
1- tanθ =
sin
2θ
sinθ -cosθ +
co s
2θ
cosθ -sinθ =sin θ+cosθ=√3+1
2
.
(2)由已知得sin θcosθ=m
2 ，
所以(sin θ+cosθ)2=sin2θ+cos2θ+2sin θcosθ=1+m=4 +2√3
4
，解得m=√3
2 ，
所以方程2x2-(√3+1)x+√3
2 =0 的两根为√3
2 ，1
2，
又因为θ∈(0，2π)，
所以当{
sinθ = √3
2 ，
cosθ = 1
2
时，θ=π
3 ；
当{
sinθ = 1
2 ，
cosθ = √3
2
时，θ=π
6 .
每小题5 分，共10 分
11.已知α，β∈(0，π
2)，且满足sin αcosβ-2cosαsin β=0，则tan(2π+α)+tan(
π
2 - β)的最小值为( )
A.2
B.√2
C.1
D.2√2
答案 D
解析 因为sin αcosβ-2cosαsin β=0，α，β∈(0，π
2)，所以tan α>0，tan β>0，tan α=2tan β，
所以tan(2π+α)+tan(
π
2 - β)=tan α+
1
tan β =2tan β+
1
tan β ≥2√2，当且仅当tan β=√2
2 时，等号成立.
12.希罗平均数(Heronianmean)是两个非负实数的一种平均，设a，b 是两个非负实数，则它们的希罗平均数
H=a+√ab+b
3
.在Rt△ABC 中，C=π
2 ，则sin A，sin B 的希罗平均数的取值范围为 .
答案 (
1
3 ，√2
2 ]
解析 在Rt△ABC 中，C=π
2 ，则0<A<π
2 ，0<B<π
2 ，0<sin A<1，0<sin B<1，且A+B=π
2 ，所以sin B=sin
(
π
2 - A)=cosA，则sin A，sin B 的希罗平均数
H=sin A +sin B+√sin A sin B
3
=sin A +cos A +√sin A cos A
3
，
设t=sin A+cosA=√2sin(A + π
4)，
又A∈(0，π
2)，则A+π
4 ∈(
π
4 ，3 π
4 )，sin(A + π
4)∈(
√2
2 ，1]，故t∈(1，√2]，
所以sin AcosA=t
2-1
2
，
所以H=f(t)=√2t +√t
2-1
3√2
，t∈(1，√2]，
因为y=√2t 和y=√t
2-1在(1，√2]上单调递增，
所以函数f(t)在(1，√2]上单调递增，
因为f(1)=1
3，f(t)max=f(√2)=√2
2 ，
所以sin A，sin B 的希罗平均数的取值范围为(
1
3 ，√2
2 ].
