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第 05 讲 嵌套函数的高级应用
【典型例题】
例1．（2024·陕西·统考一模）定义在 上的单调函数 ，若对任意实数 ，都有
，若 是方程 的一个解，则 可能存在的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】单调函数 ，对于 ，都有 ，
所以 为常数，
令 （m为常数），
所以 ，所以 ，
即 ，
因为函数 在 上都是增函数，
所以函数 在 上是增函数，
所以 ，
所以 ，
又 ，所以 ，
因为 是方程 的一个解，所以 是方程 的解，
令 ，则 ，
当 时 恒成立，
所以 单调递增，
又 ， ，
所以 ．
故选：C．
例2．（2024·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考一模）已知函数 ，若关于 的不等式
只有两个整数解，则实数 的取值范围是（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】 ，令 得
∴当 时， 单调递增，
当 时， 单调递减，
由当 时， ，当 时，
作出 的大致函数图象如图所示：
（1）若 ，即 ，显然不等式有无穷多整数解，不符合题意；
（2）若 ，则 或 ，由图象可知 有无穷多整数解，不符合题意；
（3）若 ，则 或 ，
由图象可知 无整数解，故 有两个整数解，
且 在 上单调递减，
∴ 的两个整数解必为 ，
又 ，解得 .
故选：A
例3．（2024·内蒙古赤峰·高三统考阶段练习）已知函数 ，关于 的方程
有4个不同的实数根，则实数 的取值范围是（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，函数图象如下所示：
要使关于 的方程 有4个不同的实数根，即 有4个不同的实数根，
令 ， ， ，
则 或 或 ，
因为方程 必有一正一负两个根，所以 ，
且 ， ，所以 ，
所以 ，
函数 在 上单调递增，当 时， ，
所以 ，即
故选：B
例4．（2024·全国·校联考模拟预测）已知函数 ，若关于 的方程 有4个不同的实数根，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】依题意，求导 ，令 ，解得： ，
当 时， ， 单调递增；当 ， ，函数单调递减，且
，
又 时， ；又 时， ；
设 ，显然当 时，方程 有两个实数根，
则要使方程 有4个不同的实数根等价于方程 在 上有两个不同
的实数根，
故 ， ，解得： .
故选：C.
例5．（2024·四川成都·校联考二模）已知函数 ，若关于 的方程
有且仅有5个不同的实数根，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由 ，
设 ，则 ，
又 ，所以， ，
化简得，
即 ， 或 ，
当 时， ， ，
当 ，函数在 单调递增；
当 时， ，函数在 单调递增；
因为 ，所以 ，
又 ，且恒有 ，
从图象趋势看，当 ；当 .
当 时， .
作出函数 的大致图象，如图，
可得 的图象与直线 的图象有2个交点，
所以 的图象与直线 有 个交点.
则 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 .
故选：A.
例6．（2024·河北衡水·高一阶段练习）已知函数 是定义域为 的偶函数，当 时，
，若关于 的方程 ， 有且仅有 个不同实数根，则
实数 的取值范围是 .
【答案】【解析】当 时， 递减，当 时， 递增，由于函数 是定义域为
的偶函数，
则函数 在 和 上递减，在 和 上递增，
当 时，函数 取得最大值 ；当 时，函数 取得最小值 ．
当 时， ；当 时， .
要使关于 的方程 ， ，有且仅有 个不同实数根，
设 ，则 的两根均在区间 ．
则有 ，即为 ，解得 ．
因此，实数 的取值范围是 .
故答案为： .
例7．（2024·安徽合肥·高三合肥市第七中学校考阶段练习）已知函数 ；当
时，则关于 方程 的实根个数为 ．
【答案】
【解析】令 ，可得 ，进而分 和 两种情况，分别讨论 的解的情况，进
而由 ，结合对勾函数的图象性质，可求出符合题意的 的个数.令 ，则 ，.
①当 时， ，易知 在 上单调递增，在 上单调递减，最大值为
，且 ，
所以 有两个解， ， ，
即 或 ；
②当 时， ，根据复合函数的单调性，可知 在 上单调递减，
∵ ，∴ ，
解得 ，即 .
根据函数 的图象可知，满足 的 两个，满足 的 两个，满足
的 两个，且6个值都不相等.综上，关于 的方程 的实根个数为6.
故答案为：6.
例8．（2024·安徽蚌埠·高三统考）关于x的方程 ，给出下列四个命题：
①存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根；②存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根；
③存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根；④存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根.
其中假命题个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
【答案】A
【解析】取 ，则 即为 ，故 ，
解得 或 ，故②正确.
取 ，则 即为 ，
故 ，解得 ，故①正确.
取 ，则 即为 ，
故 或 ，解得 或 或 或 ，
故④正确.
取 ，则 即为 ，故 ，或 解得 或 或 ，故③正确.
故选：A.
例9．（2024·广西柳州·统考模拟预测）设函数 （ ， 为自然对数的底数），
若曲线 上存在点 使 成立，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
由题意， 存在 ，使 成立，
即存在 ，使 成立，
所以 ，即 ，
所以
所以存在 ，使 与 有交点，
对 ， ，求导得 ，
设 ，则 ，
令 ，即 ；令 ，即 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
所以 在 上单调递增，
又 ，
，
要使 与 有交点，则 ，
所以 的取值范围是 .
故选：A.
【过关测试】
一、单选题
1．（2024·河南·校联考一模）已知单调函数 的定义域为 ，对于定义域内任意 ，
，则函数 的零点所在的区间为
A． B． C． D．
【答案】C【解析】令 ，则 且 可得 可知 ，写出
，根据零点的存在性定理确定零点所在的区间.根据题意，对任意的 ，都有
，又由 是定义在 上的单调函数，则 为定值，设 ，
则 ，又由 ，∴ ，所以 ，所以 ，所以
，因为 ，所以零点所在的区间为（3，
4）.
2．（2024·陕西·西安市西光中学校联考一模）已知偶函数 满足 ，且当 时，
，关于x的不等式 在 上有且只有30个整数解，则实数a的取值范
围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】 ，
，又函数为偶函数， ，即函数周期为 ，
因为不等式 在 上有且只有30个整数解， 所以不等式在 上恰有3个整数解，
又 ，可知 时， ， 时， ，
所以 在 上递增，在 上递减， ，所以1,2,3满足
不等式，
故 ，且需 解得 .
故选：D
3．（2024·全国·高三专题练习）已知偶函数 满足 ， ，且当 时，
，关于 的不等式 在 上有且只有 个整数解，则实数 的取值
范围是（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【解析】因为偶函数 满足 ，
所以 ，即 ，
所以 的周期为 ，且 的图象关于直线 对称，
由于 上含有50个周期，且 在每个周期内都是轴对称图形，
关于 的不等式 在 上有且只有 个整数解，
所以每个周期有 个整数解，
则关于 的不等式 在 上有 个整数解，
当 时， ，
令 可得 ，令 可得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
因为 ， ，
因为当 时， ，
所以当 时， 在 上有4个整数解，不符合题意，
所以 ，
由 可得 或 ，
显然 在 上无整数解，
故而 在 上有3个整数解，因为
所以3个整数解分别为1，2，3，
所以 ，解得： ，
所以实数 的取值范围是 ，
故选：D．4．（2024·江西赣州·高二校联考期中）已知函数 ，关于x的不等式 有且只有
四个整数解，则实数t的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由 得 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
所以当 时， 有最大值，且 ，
又当 时， ，且 ，
当 时， ， ．
其图象如图所示：
①当 ，由 ，得 ，
即 ，则 ，此时不等式的整数解有无数多个，不合题意；
②当 时，由 得 或 ．
当 时， ，有无数个整数解；
当 时，其解集为(0,1)的子集，不含有整数解；
故 不合题意；
③当 时，由 得 或 ，
当 时，其解集为(0,1)，不含有整数解；
当 时，若不等式有且仅有四个整数解，
又 ， ， ， ，
且 ，因为 在 递增，在 递减，
所以四个整数解只能为2、3、4、5，
所以 ， 即
所以实数 的取值范围为 ．
故选：B.
5．（2024·内蒙古·高三统考阶段练习）已知函数 是定义在 的偶函数，且 .
当 时， ，若方程 有300个不同的实数根，则实数m的取值范
围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】首先由已知确定函数 的周期是4，利用导数研究 在 上的性质，单调性、极值，结合
偶函数性质作出 在 上的图象， 的定义域是 含有50个周期，方程
有300个不同的实数根，那么在 的一个周期内有6个根，令 ，可知方程
有两个不等实根 ，且 ， ，由二次方程根的分布知识可得解．由
知函数的周期为4，当 时， ，则 ，当 时，
， 递减，当 时， ， 递增， ，又 是偶函数，
作出 在 上的图象，如图．
函数 的周期是4，定义域为 ，含有50个周期，
方程 有300个不同的实数根，因此在一个周期内有6个根（这里 ， 不是
方程的根）．
令 ，方程 有两个不等实根 ，且 ， ，设 ，则
，解得 ．
故选：A．6．（2024·吉林四平·高三四平市第一高级中学校考阶段练习）已知函数 ，若关于 的方程
有4个不同的实数根，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】画出函数 的图像
要方程关于 的方程 有4个不同的实数根，
令 ，
则 在 内有两不等实根，
，解得
故选：D.
7．（2024·江西宜春·统考一模）已知函数 是定义域为 的偶函数当 时，
,，若关于 的方程 ，有且仅有 个不同实数根，
6
则实数 的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】作出 的图象如下，
又∵函数y=f（x）是定义域为R的偶函数，
且关于x的方程 ，a，b∈R有且仅有6个不同实数根，
∴x2+ax+b=0的两根分别为 或 ；
由韦达定理可得 ，
若 ，则 ，即 ；
若 ，则 ，即 ；
从而可知 或 ；
故选C．
8．（2024·陕西西安·高二交大附中分校校考阶段练习）已知函数 是定义域为 的偶函数，当时， ，若关于 的方程 有且仅有8个不同的
实数根，则实数 的取值范围是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令 ，因为 是定义域为 的偶函数，画出 的图象如下：
由图象可知：当 时， 有4个根，
要想 有且仅有8个不同的实数根，
则 要有两个不相等的实数根 ，且 ，
令 ，
则 ，解得： .
故选：A
9．（2024·上海·高三校考阶段练习）函数 是定义域为 的偶函数，当 时，
，若关于 的方程 ，有且仅有6个不同实数根，则
实数 的取值范围是（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【解析】函数 是定义域为 的偶函数，当 时， ，
的图象如图所示，
结合图象，得 是增区间， 是减区间，
当 时， 取最大值是2，；当 时， 取最小值是0，
是部分图象的渐近线．
设 ，依题意，符合题意有两种情况：
① ．此时 则
② 此时 则 综上，实数 的取值范围是
．故选D．
10．（2024·河北衡水·统考一模）已知函数 ，则关于 的方程
的实根个数不可能为
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【答案】A
【解析】由基本不等式可得，
或 ；
作函数 的图象如下，①当 时， 或 ，
故方程 的实根个数为4；
②当 时， 或 或 ，
故方程 的实根个数为6；
③当 时， 或 或 或 ，
故方程 的实根个数为8；
④当 时， 或 或 或 ，
故方程 的实根个数为7；
⑤当 时， 或 或 ，
故方程 的实根个数为4；
⑥当 时， 或 ，
故方程 的实根个数为3；
⑦当 时， ，
故方程 的实根个数为2．
故选： ．
11．（2024·河南鹤壁·高三鹤壁高中校考阶段练习）若函数 是 上的单调函数，且对任意实数 ，都
有 ，则 （ ）A．1 B． C． D．0
【答案】C
【解析】∵对任意实数 ，都有 ，
令 ，则 .
又 ，
∴ ，
∵函数 是 上的单调函数，解得 .
∴ ，∴ .
故选：C.
12．（2024·湖南长沙·高一周南中学校考开学考试）已知函数 是定义域为 的偶函数，当 时，
若关于 的方程 有且只有7个不同实数根，则实数
的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】依题意，画出 图象如下图所示，
当 时， ，
依题意关于 的方程 有且只有 个不同实数根.
设 ，则方程 必有两个根 ，且 ，
，所以 .
故选：B13．（2024·全国·高三专题练习）设函数 ．若方程 有解，则 的取值范围为
（ ）
A． B． C． D． ，
【答案】A
【解析】设 ，则 ，则方程 等价为 ，即 ，
，即 ， 在 时有解，
即 ， 在 时成立，
设 ，
当 时， 取得最大值 ，
，即 ，
故选： ．
14．（2024·安徽阜阳·统考二模）设函数 ，若曲线 是自然对数的底
数）上存在点 使得 ，则 的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ,所以 在 上有解
因为 ,( 易证 ) ,所以函数 在 上单调递增,因此由 得 在 上有解，即 ,因为
，选C.
15．（2024·河南郑州·郑州一中校考一模）设函数 （ ）， 为自然对数的底数，若曲
线 上存在点 ，使得 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵曲线 上存在点
∴
函数 （ ）在 上是增函数，根据单调性可证
即 在 上有解，分离参数， ， ，根据 是增函数可知，
只需 故选A.
16．（2024·江西南昌·高三专题练习）设函数 （ ， 为自然对数的底数），若曲线
上存在 使得 ，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由 ，可得 ，其中 是函数 的反函数，若曲线 上存在
使得 ，因为函数 （ ， 为自然对数的底数），所以
， ，因为 ，所以 ，因此命题“若曲线 上存在 使
成立”转化为“存在 ，使 ”，即 的图像与函数 的图像在
上有交点，∵ 的图像与 的图像关于直线 对称，∴ 的
图像与函数 的图像的交点必定在直线 上，由此可得， 的图像与直线 的图像在 上
有交点，根据 ，化简整理得 ，记 ，在同一坐标系内
作出它们的图像，可得，所以 ，解得 ，即实数 的取值范围为 ，故B，C，D错误.
故选：A．
17．（2024·湖北·高三校联考期中）设函数 .若曲线 上存在点 ，使得
，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可得存在 ， ，使 成立，即 在 ， 上有解，即 ，
， ．利用导数可得函数的单调性，根据单调性求函数的值域，可得 的范围．由题意可得
， ， ，
曲线 上存在点 ， 使得 ，
存在 ， ，使 成立．
函数 在它的定义域内单调递增，
下面证明 ．
假设 ，则 （c） ，不满足 ．
同理假设 ，则不满足 ．
综上可得： ．
则问题等价于方程 ， 有解，即 在 有解，分离参数可得
，令 ，∵ ，所以函数 在 上单调递增，
所以 ，所以 .
故选：A.18．（2024·广东广州·高二统考期末）设函数 （ 为自然对数的底数），若曲线
上存在点 使得 ，则 的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】法一：由题意可得，
，
而由 可知 ，
当 时， ＝ 为增函数，
∴ 时， ．
∴ 不存在 使 成立，故A，B错；
当 时， ＝ ，
当 时，只有 时 才有意义，而 ，故C错．故选D．
法二：显然，函数 是增函数， ，由题意可得，
，而由 可知 ，
于是，问题转化为 在 上有解．
由 ，得 ，分离变量，得 ，
因为 ， ，
所以，函数 在 上是增函数，于是有 ，
即 ，应选D．
19．（2024·河北衡水·校考一模）设函数 ，若曲线 上存在点 ，
使得 成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】C
【解析】 ，
当 时， 取得最大值 ，当 时， 取得最小值 ，
即函数 的取值范围为 ， ，
若 上存在点 ， 使得 成立，
则 ， .
又 在定义域上单调递增.
所以假设 ，则 （c） ，不满足 .
同理假设 ，也不满足 .
综上可得： . ， .
函数 ，的定义域为 ，
等价为 ，在 ， 上有解
即平方得 ，
则 ，
设 ，则 ，
由 得 ，此时函数单调递增，
由 得 ，此时函数单调递减，
即当 时，函数取得极小值，即 （1） ，
当 时， （e） ，
则 .
则 .
故选： .
20．（2024·黑龙江哈尔滨·哈师大附中校考三模）设函数 ，若曲线 上
存在 ，使得 成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，
所以 ，即 ，
所以由题意存在 使得 成立，即 在区间 上有解，也即方程 有解，
所以问题转化为方程 有解，
令 ，
则 ，
故函数 单调递增，又 ，
所以， .
故选：D．
21．（2024·上海徐汇·高一上海市第二中学校考期末）关于x的方程 ，给出下列四个
命题，其中假命题的个数是（ ）．
①存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根；
②存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根；
③存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根；
④存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根；
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【解析】取 ，则 即为 ，
故 ，解得 ，故①正确.
取 ，则 即为 ，故 ，
解得 ，或 ，故②正确.
取 ，则 即为 ，
故 ，或 解得 ，或 ，或 ，故③正确.
取 ，则 即为 ，
故 或 ，
解得 ，或 ，或 ，或 ，故④正确.
故选：A
22．（2024·浙江宁波·高一镇海中学校考期中）已知 ，若方程恰好有三个互不相等的实根，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
【答案】D
【解析】 ，
当 时， 的对称轴为 ，则单调增区间为 ，减区间为 ，
当 时， 的对称轴为 ，则单调增区间为 ，减区间为 ，
的图象如图所示，
令 ，则 可化为 ，
要使方程 恰好有三个互不相等的实根，
则方程 有两个不同的实根 ，且 ，或方程 有两
个相等的根 ，
令 ，
当 时， ，解得 ，
当 时， ，得 ，
综上， 或 ，
故选：D
二、填空题
23．（2024·全国·高三专题练习）已知 是定义在 上的单调函数，且对任意的 ，都有
，则方程 的解所在的区间是 ．(填序号)
①(0,1)；②(1,2)；③(2,3)；④(3,4)．
【答案】②【解析】根据题意，对于方程 ，得 且是唯一的值，设 ，
则 ，又 ，所以 ，此方程有唯一解 ，
所以 ，方程 ，即方程 ，
设 ，则该函数为 上的增函数．
又 ，
所以方程 的解在区间 内．
故答案为：②.
24．（2024·江苏淮安·统考一模）已知函数 ，若关于x的不等式 的解集为
空集，则实数a的取值范围是 ．
【答案】 .
【解析】根据 ，先将 转化为 ，再根据 的解
集为空集，由 求解.因为 ，
又因为不等式 的解集为空集，
所以 ，
解得
所以实数a的取值范围是
故答案为：
