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2025 二轮复习专项训练26
直线与圆锥曲线的位置关系
[考情分析] 直线与圆锥曲线的位置关系是命题的热点，尤其是有关弦长计算及存在性问
题，运算量大，能力要求高，突出方程思想、转化化归与分类讨论思想方法的考查，难度
为高档．
【练前疑难讲解】
一、弦长、面积问题
判断方法：通过解直线方程与圆锥曲线方程联立得到的方程组进行判断．
弦长公式：|AB|＝|x1－x2|，
或|AB|＝|y1－y2|.
二、中点弦问题
解决圆锥曲线“中点弦”问题的方法
1．根与系数的关系法：联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，消元得到一元二次方程后，
由根与系数的关系及中点坐标公式求解．
2．点差法：设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将这两点坐
标代入圆锥曲线的方程，并对所得两式作差，得到一个与弦AB 的中点和直线AB 的斜率有
关的式子，可以大大减少计算量．
三、圆锥曲线中二级结论的应用
1．椭圆焦点三角形面积为b2tan (α 为|F1F2|的对角)．
2．双曲线焦点三角形面积为(α 为|F1F2|的对角)．
3．抛物线的有关性质：已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线l 过点F 且与抛物线交
于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
(1)|AB|＝x1＋x2＋p＝(α 为直线l 的倾斜角)．
(2)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．
(3)＋＝.
一、单选题
1．（22-23 高三上·湖北武汉·期末）已知A 是椭圆
：
的上顶点，点
，
是
上异于A 的两点，
是以A 为直角顶点的等腰直角三角形.若满足条件的
有且仅有1 个，则椭圆
离心率的取值范围是（ ）
1
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A．
B．
C．
D．
2．（21-22 高二上·天津和平·期末）双曲线
的两个焦点分别是
，点
是双
曲线上一点且满足
，则
的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（21-22 高二上·安徽淮北·期中）已知椭圆
的右焦点
与抛物线
的焦点重合，过点
的直线交
于
、
两点， 若
的中点坐标为
，则
的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
4．（2022·全国·高考真题）已知O 为坐标原点，点
在抛物线
上，
过点
的直线交C 于P，Q 两点，则（ ）
A．C 的准线为
B．直线AB 与C 相切
C．
D．
5．（2023·云南昆明·模拟预测）在直角坐标系
中，已知抛物线
：
的
焦点为
，过点
的倾斜角为
的直线与
相交于
，
两点，且点
在第一象限，
2
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的面积是
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2023·广东深圳·二模）设抛物线C：
的焦点为F，过抛物线C 上不同的两点A，
B 分别作C 的切线，两条切线的交点为P，AB 的中点为Q，则（ ）
A．
轴
B．
C．
D．
三、填空题
7．（2022 高三·全国·专题练习）过椭圆
的左焦点作倾斜角60°的直线，直线与椭
圆交于A，B 两点，则
．
8．（22-23 高二上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知
，
为椭圆
：
的两个焦点，
P，Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且
，则四边形
的面积为
．
9．（23-24 高二上·河北石家庄·阶段练习）已知椭圆
的一条弦所在的
直线方程是
，弦的中点坐标是
，则椭圆的离心率是 ．
【基础保分训练】
一、单选题
1．（21-22 高二下·海南·期中）已知椭圆
的左、右焦点分别为
、
，过
且斜率为1 的直线交椭圆
于A、
两点，则
等于（ ）
3
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A．
B．
C．
D．
2．（22-23 高三下·海南海口·期中）已知
，
为椭圆
的两个焦点，P 为椭圆上
一点且
，则
的面积为（ ）
A．
B．
C．4
D．
3．（2023·浙江宁波·二模）设椭圆
的右焦点为
，点
在
椭圆外，P，Q 在椭圆上，且P 是线段AQ 的中点．若直线PQ，PF 的斜率之积为
，则
椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
4．（2023·云南·二模）已知椭圆
，
为C 的左、右焦点，P 为C 上一点，
且
，若
交C 点于点Q，则（ ）
A．
周长为8
B．
C．
面积为
D．
5．（2022·全国·模拟预测）双曲线
的左，右焦点分别为
，
，点P 在C 上.
若
是直角三角形，则
的面积为（ ）
4
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A．
B．
C．4
D．2
6．（23-24 高二上·江苏·阶段练习）设椭圆的方程为
，斜率为k 的直线不经过原
点O，而且与椭圆相交于A，B 两点，M 为线段AB 的中点，下列结论不正确的是（ ）
A．直线AB 与OM 垂直
B．若点M 坐标为
，则直线方程为
C．若直线方程为
，则点M 坐标为
D．若直线方程为
，则
三、填空题
7．（23-24 高三上·湖北·开学考试）已知圆
，直线
，当圆
被直线截得的弦长最短时，直线的方程为
.
8．（2023 高三·全国·专题练习）已知
是椭圆
上的点，
分别是椭圆的左、
右焦点，若
，则
的面积为
9．（22-23 高二下·陕西榆林·期末）已知
为双曲线
上两点，且线段
的中点
坐标为
，则直线
的斜率为 .
四、解答题
10．（23-24 高二上·河南南阳·期末）已知椭圆C：
（
，
）的长轴为
5
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，短轴长为4．
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)设直线l：
与椭圆C 交于不同两点A、B，且
，求直线
的方程．
11．（24-25 高二上·北京·阶段练习）已知椭圆
长轴长为4，且椭圆
的离心率
，其左右焦点分别为
．
(1)求椭圆
的方程；
(2)设斜率为
且过
的直线与椭圆
交于
两点，求
的面积．
12．（23-24 高二上·安徽滁州·阶段练习）已知圆
的圆心
是抛物线
的焦
点．
(1)求抛物线
的方程；
(2)若直线交抛物线
于
两点，且点
是弦
的中点，求直线的方程．
【能力提升训练】
一、单选题
1．（2023·山东临沂·一模）已知双曲线
的左、右焦点分别为
，过
的直线与
的左、右两支分别交于点
，且
，则
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2023·山西·模拟预测）已知抛物线
的焦点为F，准线为l，过F 且斜
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率为
的直线与C 交于A，B 两点，D 为AB 的中点，且
于点M，AB 的垂直平分
线交x 轴于点N，四边形DMFN 的面积为
，则
（ ）
A．
B．4
C．
D．
3．（21-22 高二上·江苏盐城·期末）椭圆
中以点
为中点的弦所在直线斜
率为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
4．（2023·山东临沂·一模）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，
沿平行于抛物线对称轴的方向射出．反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射
后必过抛物线的焦点．已知抛物线
，
为坐标原点，一束平行于
轴的光线从
点
射入，经过
上的点
反射后，再经过
上另一点
反射后，沿直
线
射出，经过点
，则（）
A．
B．延长
交直线
于点
，则
，
，
三点共线
C．
D．若
平分
，则
5．（2022·湖南永州·二模）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：椭圆的
两条切线互相垂直，则两切线的交点位于一个与椭圆同中心的圆上，称此圆为该椭圆的蒙
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日圆.已知椭圆
的离心率为
，
、
分别为椭圆的左、右焦点，
点
在椭圆上，直线
，则（ ）
A．直线与蒙日圆相切
B．
的蒙日圆的方程为
C．记点
到直线的距离为
，则
的最小值为
D．若矩形
的四条边均与
相切，则矩形
的面积的最大值为
6．（23-24 高三上·湖北武汉·阶段练习）直线
过抛物线
的焦点
且与该抛物线交于M，N 两点，设O 为坐标原点，则下列说法中正确的是（ ）
A．
B．抛物线E 的准线方程是
C．以MN 为直径的圆与定直线相切
D．
的大小为定值
三、填空题
7．（2024·辽宁大连·一模）已知抛物线
的焦点分别为
，点
分别在(
上，且线段
平行于x 轴.若
是等腰三角形，则
.
8．（2023·湖北·模拟预测）已知
为抛物线
的焦点，直线
与
交于
，
，
与
的另一个交点为
，
与
的另一个交点为
.若
与
的面积之比为
，则
.
9．（21-22 高二上·上海杨浦·期末）过点
作斜率为
的直线与双曲线
相交于A，B 两点，若M 是线段
的中点，则双曲线
的离心率为 .
四、解答题
10．（23-24 高二上·吉林长春·阶段练习）已知椭圆
的离心率为
，
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椭圆上的点到焦点的最小距离是
．
(1)求椭圆
的方程；
(2)倾斜角为
的直线交椭圆于
两点，已知
，求直线的一般式方程．
11．（22-23 高二下·陕西安康·期中）已知椭圆
的一个焦点为
，
且离心率为
.
(1)求椭圆
的方程；
(2)不过原点
的直线
与椭圆C 交于
两点，求
面积的最大值及此时直
线的方程.
12．（23-24 高二上·河北·期中）已知P 是圆C：
上一动点，过P 作x 轴的垂线，
垂足为Q，点M 满足
，记点M 的轨迹为E．
(1)求E 的方程；
(2)若A，B 是E 上两点，且线段AB 的中点坐标为
，求
的值．
13．（2023·广东肇庆·二模）设抛物线方程为
，过点
的直线
分别与抛物线
相切于
两点，且点
在
轴下方，点
在
轴上方.
(1)当点
的坐标为
时，求
；
(2)点
在抛物线上，且在
轴下方，直线
交
轴于点
.直线
交
轴于点
，且
.若
的重心在
轴上，求
的取值范围.
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14．（2024·全国·高考真题）已知双曲线
，点
在
上，
为常
数，
．按照如下方式依次构造点
：过
作斜率为
的直线与
的左
支交于点
，令
为
关于
轴的对称点，记
的坐标为
.
(1)若
，求
；
(2)证明：数列
是公比为
的等比数列；
(3)设
为
的面积，证明：对任意正整数
，
.
15．（21-22 高三上·河南·阶段练习）已知椭圆
的右焦点为F，直线l 与椭圆
C 交于A，B 两点．
(1)若
，且直线l 的斜率为4，求直线
(点
为坐标原点)的斜率．
(2)若直线，的斜率互为相反数，且直线l 不与x 轴垂直，探究：直线l 是否过定点?若是，
求出该定点坐标；若不是，请说明理由．
10
