专题01
集合压轴题
1.集合的基本概念
(1)集合的概念：我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合．
(2)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、文氏图法．
(4)常见数集的记法
集合
自然
数集
正整数集
整数集
有理
数集
实数集
符号
N
)
(
N
N
或
Z
Q
R
2.集合的基本关系
(1)子集：若对于任意的元素x∈A，都有_
B
x
，则A⊆B.
(2)真子集：若A⊆B，但存在元素x∈B，且
A
x
，则AB.
(3)相等：若A⊆B，且_
A
B
，则A＝B.
(4)空集是_任何集合_的子集，是__任何非空集合的真子集．
(5)若有限集A 中有n 个元素，则A 的子集的个数为2n，非空子集的个数为2n－1，真子集的个数为2n
－1，非空真子集的个数为2n－2.
3.集合的基本运算
(1)交集：A∩B＝_
}
|
{
B
x
A
x
x
且
_；
(2)并集：A∪B＝_
}
|
{
B
x
A
x
x
或
；
(3)补集：若U 为全集，A⊆U，则∁UA＝___
}
|
{
A
x
U
x
x
且
___．
4.集合的运算性质
(1)并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A.
(2)交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B.
(3)补集的性质：A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅；
∁U(∁UA)＝A；∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)；∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)．
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题型一集合的基本概念
例1．
（1）已知集合
3 ,
M
x x
n n
Z ，
3
1,
N
x x
n
n
Z ，
3
1,
P
x x
n
n
Z ，且a
M
，
N
b
，
c
P
，若d
a
b
c
，则．
A．d
M
B．d
N
C．d
P
D．d
M
且d
N
【答案】B
【分析】设
3 ,
3
1,
3
1
a
k b
y
c
m
，得到
3
2
d
k
y
m
，结合集合的表示，即可求解，得到答案．
【详解】由题意，设
3
a
k
，k Z ，
3
1
b
y
，y Z ，
3
1
c
m
，mZ，
则
3
3
1
3
1
3
2
d
k
y
m
k
y
m
，
令t
k
y
m
，则t Z ，且
3
2
3
3 1
3
1
1
d
t
t
t
，t Z，
则d
N
，故选B．
【点睛】本题主要考查了集合的表示方法及其应用，其中解答中根据集合的元素形式，合理运算，结合集
合表示方法求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．
（2）.已知集合A＝{x|x2＋px＋q＝x}，B＝{x|(x－1)2＋p(x－1)＋q＝x＋3}，当A＝{2}时，集合B＝（
）
A．{1}
B．{1，2}
C．{2，5}
D．{1，5}
【答案】D
【分析】根据集合的相等的意义得到x2＋px＋q＝x 即
2
1
0
x
p
x
q
有且只有一个实数解
2
x
,由此求
得p,q 的值，进而求得集合B.
【详解】由A＝{x|x2＋px＋q＝x}＝{2}知，
x2＋px＋q＝x 即
2
1
0
x
p
x
q
有且只有一个实数解
2
x
,
∴22＋2p＋q＝2，且Δ＝(p－1)2－4q＝0.
计算得出p＝－3，q＝4.
则(x－1)2＋p(x－1)＋q＝x＋3 可化为(x－1)2－3(x－1)＋4＝x＋3；
即(x－1)2－4(x－1)＝0；
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则x－1＝0 或x－1＝4，
计算得出x＝1 或x＝5.
所以集合B＝{1，5}．
故选：D .
(3)．已知集合
2
,1,
5
6
A
a
a
a
，若2
A
，则实数a 的值构成的集合为
．
【答案】{2,4}/
4 2
，
【分析】依题意分两种情况2
a
，或
2
2
5
6
a
a
讨论，分别计算可得；
【详解】因为集合
2
,1,
5
6
A
a
a
a
，且2
A
所以2
a
或
2
2
5
6
a
a
（1）当
2
a
时，此时
2
5
6
0
a
a
，
2,1,0
A
符合题意.
（2）当
2
2
5
6
a
a
时，解得
1
a 或
4
a
当
1
a 时，与集合元素的互相性矛盾，舍去；
当
4
a
时，
2,1,4
A
符合题意.
综上可知实数a 的值构成的集合为{2,4}
故答案为：{2,4}
练习题
(1).已知集合
1,2,3,4,6
A
，
,
x
B
x y
A
y
，则集合B 中的元素个数为
．
【答案】13
【分析】由题列举出集合B，即得.
【详解】将x，y 及x
y 的值列表如下，去掉重复的值，可知集合
,
x
B
x y
A
y
中的元素个数为13．
1
2
3
4
6
1
1
2
3
4
6
2
1
2
1
3
2
2
3
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3
1
3
2
3
1
4
3
2
4
1
4
1
2
3
4
1
3
2
6
1
6
1
3
1
2
2
3
1
故答案为：13
（2)．已知
2
1,
,3
A
a
，
2
2,1,
1
B
a
a
.若A
B
，则
a
.
【答案】2
【分析】根据集合A 与集合B 相等列式即可求解
【详解】因为A
B
所以
2
2
2
1
3
a
a
a
解之得：
2
a
故答案为：2
(3)．含有三个实数的集合可表示为
,
,1
b
a a
，也可以示为
2,
,0
a
a
b
，则
2023
2024
a
b
的值为
.
【答案】1
【分析】根据集合相等的定义及集合中元素的互异性即可求解.
【详解】解：由题意，若
2
a
a
，则
0
a
或1，检验可知不满足集合中元素的互异性，
所以a
a
b
，则
0
b
，
所以
2
1
a ，则
1
a ，
故
2023
2024
1
a
b
.
故答案为：1
.
题型二集合的基本关系
例2
(1)(2023·广东佛山市质检)已知集合A＝{x∈N*|x2－2x－3<0}，B＝{x|ax＋2＝0}，若A∩B＝B，则实数
a 的取值集合为__{－2，－1，0}__．
【解析】
A＝{x∈N*|x2－2x－3<0}＝{1，2}，因为A∩B＝B，所以B⊆A，
当a＝0 时，集合B＝{x|ax＋2＝0}＝∅，满足B⊆A；
当a≠0 时，集合B＝{x|ax＋2＝0}＝－2
a ，
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由B⊆A，A＝{1，2}得－2
a＝1 或－2
a＝2，解得a＝－2 或a＝－1，
综上，实数a 的取值集合为{－2，－1，0}．
(2)已知集合A＝{x|(x＋1)(x－6)≤0}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}．若A∩B＝B，则实数m 的取值范围为
_
]
2
5
,0
[
)
2
,
(
．
【解析】
A＝{x|－1≤x≤6}．
∵A∩B＝B，∴B⊆A.
当B＝∅时，m－1>2m＋1，即m<－2，符合题意．
当B≠∅时，
m－1≤2m＋1，
m－1≥－1，
2m＋1≤6.
解得0≤m≤5
2.
综上，m<－2 或0≤m≤5
2.
（3）．已知集合
2
|
4
0
A
x x
x
，
2
2
|
2(
1)
1
0
B
x x
a
x
a
.
①若A
B
，求a 的值；
②若B
A
，求a 的值.
【答案】①
1
a ；②
1
a 或
1
a .
【分析】①由题
{ 4,0}
A
，集合B 最多两个元素，A
B
，则A
B
，所以集合B 中的方程两根为-4,0，即
可求解；
②分类讨论：B 为空集，单元素集合，两个元素的集合三种情况分别求解即可.
【详解】①由题集合B 最多两个元素，
{ 4,0}
A
，A
B
，则A
B
，所以集合B 中的方程两根为-4,0，
2
2
4(
1)
4(
1)
0
a
a
，即
1
a ，由根与系数的关系，
2
0
1
4
2(
1)
a
a
，解得：
1
a ；
②由题B
A
，B 中最多两个元素，对于方程
2
2
2(
1)
1
0
x
a
x
a
当集合B 时：
2
2
4(
1)
4(
1)
0
a
a
，即
1
a 时，方程无解，B ，符合题意；
当集合B 中只有一个元素时：
2
2
4(
1)
4(
1)
0
a
a
，即
1
a 时，方程的解为
0
x
，
{0}
B
，符合题意；
当B 中有两个元素时：
2
2
4(
1)
4(
1)
0
a
a
，即
1
a 时，方程有两个不同实根，集合B 有两个元素，
此时则A
B
，所以集合B 中的方程两根为
1
2
4,
0
x
x
，由根与系数的关系，
2
0
1
4
2(
1)
a
a
，解得：
1
a ；
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综上所述：
1
a 或
1
a .
【点睛】此题考查通过集合的包含关系求参数的取值，集合B 是方程的解集，在进行分类讨论时应以集合
中元素个数为分类标准方可做到不重不漏.
练习题
（1）.设集合
2
2,
2,4
A
a
a
a
，
0,4
B
，
1,3
C
，若B
A
，
3
A C
，则
a
（
）
A．1
B．2
C．1
D．2
【答案】C
【分析】根据B
A
，
3
A C
，由0
A
且3
A
求解.
【详解】解：由B
A
，
3
A C
，
得0
A
且3
A
，
当
2
2
0
2
3
a
a
a
时，无解；
当
2
2
3
2
0
a
a
a
时，解得
1
a .
经检验，
1
a 满足题意.
故选：C.
(2)．已知集合
{ | 3
4},
{ |1
}
A
x
x
B
x
x
m
，且B
A
，则实数m 的取值范围是
.
【答案】(
,4]
.
【分析】根据集合间的包含关系，分
1
m £ 和
1
m
，两种情况讨论，即可求解.
【详解】由集合
{ |1
}
B
x
x
m
，
若
1
m £ 时，可得B ，此时满足B
A
；
若
1
m
时，要是得到B
A
，则满足
1
4
m
m
，解得1
4
m
，
综上可得，实数m 的取值范围是(
,4]
.
故答案为：(
,4]
.
(3)．已知集合
2
2
0
M
x x
x
a
.
①若
M
，求实数a 的取值范围；
②若
2
0
N
x x
x
且M
N
，求实数a 的取值范围.
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【答案】①
1
a a
；②
1
a a
.
【分析】①由题意得方程
2
2
0
x
x
a
有实数解，再根据一元二次方程有解的条件即可求出；（2）先求出集
合N，分类讨论M
N
成立时的情况，最后把满足题意的值并起来即可．
【详解】①由题意得方程
2
2
0
x
x
a
有实数解，
2
2
4
0
a
，得
1
a ，
实数a 的取值范围是
1
a a
.
②
2
0
0, 1
N
x x
x
，且M
N
，
当M ，
2
2
4
0
a
，得
1
a ；
当M 蛊
时，
当
0
时，
1
a ，此时
1
M
，满足M
N
，符合题意.
当
0
时，
1
a ，M 中有两个元素，
若M
N
，则M
N
=
，从而
1 0
2
1
0
a
，无解.
综上，实数a 的取值范围为
1
a a
.
【点睛】本题主要考查一元二次方程有解的条件以及解法，子集的定义应用，意在考查学生的分类讨论意
识．
题型三集合的基本运算
例3：（1）．设集合U R ，集合
1
M
x x
，
1
2
N
x
x
，则
2
x x
（
）
A．
U M
N
ð
B．
U
N
M
ð
C．
U M
N
ð
D．
U
M
N
ð
【答案】A
【分析】由题意逐一考查所给的选项运算结果是否为
|
2
x x
即可.
【详解】由题意可得
|
2
M
N
x x
，则
|
2
U M
N
x x
ð
，选项A 正确；
|
1
U M
x x
ð
，则
|
1
U
N
M
x x
ð
，选项B 错误；
| 1
1
M
N
x
x
，则
|
1
U M
N
x x
ð
或
1
x
，选项C 错误；
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|
1
U N
x x
ð
或
2
x
，则
U
M
N
ð
|
1
x x 或
2
x
，选项D 错误；
故选：A.
（2）．已知集合
{ 0
3}
A
x
x
∣
，
{ 2
6}
B
x
x
∣
，则A
B
（
）
A．{ 3
6}
x
x
∣
B．{ 0
6}
x
x
∣
C．{ 2
3}
x
x
∣
D．{ 0
2}
x
x
∣
【答案】C
【分析】直接利用交集的定义即可求解.
【详解】因为
{ 0
3}
A
x
x
∣
，
{ 2
6}
B
x
x
∣
，所以A
B
{ 2
3}
x
x
∣
故选：C.
（3）．集合
|
5
2
0
A
x
x
x
，集合
|
1
2
1
B
x m
x
m
.
①当
3
m
时，求A
B
，A
B
；
②若A
B
B
，求实数m 的取值范围.
【答案】①
{
2
7}
A
B
x
x
∣
，
{ 2
5}
A
B
x
x
∣
(2)
2
1,2
【分析】①分别求解两个集合，再求集合的交，并集；
②由条件可知，B
A
，再分B 和B 两种情况，求实数m 的取值范围.
【详解】①解不等式(
)(
)
5
2
0
x
x
-
+
£
，得2
5
x
，
所以
{
2
5}
A
x
x
∣
，
当
3
m
时，则
{ 2
7}
B
x
x
∣
，
所以
{
2
7}
A
B
x
x
∣
，
{ 2
5}
A
B
x
x
∣
；
②因为A
B
B
，所以B
A
当B 时，
1
2
1
m
m
，即
2
m ，此时B
A
；
当B 时，
2
m ，则
1
2
2
1
5
m
m
，解得: 1
2
m
，
综上所述，实数m 的取值范围是
2
1,2
.
（4）某城市数、理、化竞赛时，高一某班有26 名学生参加数学竞赛，25 名学生参加物理竞赛，23 名学生
参加化学竞赛，其中参加数、理、化三科竞赛的有7 名，只参加数、物两科的有6 名，只参加物、化两科
的有8 名，只参加数、化两科的有5 名．若该班学生共有51 名，则没有参加任何竞赛的学生共有（
）名
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A．7
B．8
C．9
D．10
【答案】D
【分析】画出图，由题意求出分别单独参加物理、数学和化学的人数，即可求出参赛人数，进而求出没有
参加任何竞赛的学生.
【详解】画三个圆分别代表数学、物理、化学的人，
因为有26 名学生参加数学竞赛，25 名学生参加物理竞赛，23 名学生参加化学竞赛，
参加数、理、化三科竞赛的有7 名，只参加数、化两科的有5 名，
只参加数、物两科的有6 名，只参加物、化两科的有8 名，
所以单独参加数学的有
26
6
7
5
8
人，
单独参加物理的有
25
6
7
8
4
人，单独参加化学的有
23
5
7
8
3
，
故参赛人数共有8
4
3
6
7
8
5
41
人，
没有参加任何竞赛的学生共有51 41 10
人.
故选：D.
练习题
（1）．已知集合
2
2
0
A
x x
x
，
3,
B
x x
x
N ，则A
B
（
）
A．
2
B．{0,1,2,3}
C．{1,2}
D．{0,2}
【答案】D
【分析】解出集合
,
A B ，利用交集含义即可得到答案.
【详解】
2
2
0
2,0
A
x x
x
，
3,
N
0,1,2,3
B
x x
x
，
所以
0,2
A
B
，
故选：D.
（2）．已知集合
0,1,2,3
A
，
2
1,
B
x x
n
n
A
，P
A
B
，则P 的子集共有（
）
A．2 个
B．4 个
C．6 个
D．64 个
【答案】D
【分析】先求出集合B ，再求出集合P ，从而可求出其子集的个数.
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【详解】因为
0,1,2,3
A
，
2
1,
B
x x
n
n
A
，
所以
1,0,3,8
B
，
所以
1,0,1,2,3,8
P
，则P 的子集共有
6
2
64
个，
故选：D
（3）．已知全集U R ，
3
1
A
x
x
，
0
2
B
x
x
，则图中阴影部分表示的集合为（
）
A．
3
0
x
x
B．
3
0
x
x
C．
3
2
x
x
D．
0
1
x
x
【答案】A
【分析】根据韦恩图表达的集合A 和B 之间的关系，求解阴影部分所表达的集合即可．
【详解】根据韦恩图，阴影部分表达的是集合A 中不属于集合B 的元素组成的集合，即
3
0
x
x
.
故选：A.
（4）．已知集合
2
4
5
0
A
x x
x
，集合
2
2
B
x
a
x
a
.
①若
1
a ，求A
B
和A
B
；
②若A
B
B
，求实数a 的取值范围.
【答案】①
2
5
A
B
x
x
，
1
1
A
B
x
x
(2)
1
2
a
【分析】①先化简集合A，B，再利用集合的交集和并集运算求解；
②由A
B
B
，得到B
A
，分B
和B
求解.
【详解】①解：
1
5
A
x
x
，
2
1
B
x
x
，
∴
1
1
A
B
x
x
，
2
5
A
B
x
x
；
②∵A
B
B
，
∴B
A
，
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若B
，则2
2
a
a
，
∴
2
a
，
若B
，则
2
2
2
1
2
5
a
a
a
a
，
∴
1
2
2
a
，
综上
1
2
a
.
（5）．已知集合U 为全体实数，
3
M
x x
或
4
x
，
2
3
N
x
a
x
a
.
①若
1
a ，求
U M
N
ð
；
②若M
N
N
，求实数a 的取值范围.
【答案】①
1
1
x
x
；②
, 3
3,
.
【分析】①把
1
a 代入，利用补集、交集的定义求解作答.
②根据给定条件，结合集合的包含关系分类求解作答.
【详解】①当
1
a 时，
1
1
N
x
x
，而
{ | 3
4}
U M
x
x
ð
，
所以
1
1
U M
N
x
x
ð
.
②由M
N
N
，得N
M
，
当N 时，2
3
a
a
，解得
3
a ，满足M
N
N
；
当N 时，2
3
a
a
，即
3
a
，则有
3
a 或2
3
4
a
，解得
3
a 或
7
2
a
，
因此
3
a ，
所以实数a 的取值范围是
, 3
3,
.
题型四创新提升能力题
1．用C(A)表示非空集合A 中的元素个数，定义A*B＝
,
,
C A
C B
C A
C B
C B
C A
C A
C B
若A＝{1，2}，B＝{x|(x2
＋ax)·(x2＋ax＋2)＝0}，且A*B＝1，设实数a 的所有可能取值组成的集合是S，则C(S)等于（
）
A．1
B．3
C．5
D．7
【答案】B
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【分析】根据题意可得
1
C B 或
3
C B
，进而讨论a 的范围，确定出
C B ，最后得到答案.
【详解】因为
2
C A
，
*
1
A B ，所以
1
C B 或
3
C B
，
由
2
0
x
ax
+
=
，得
1
2
0,
x
x
a
，
关于x 的方程
2
2
0
x
ax
，
当
=0
时，即
2 2
a
时，易知
3
C B
，符合题意；
当
0
>
时，即
2 2
a
或
2 2
a
时，易知0，-a 不是方程
2
2
0
x
ax
的根，故
4
C B
，不符合题意；
当
<0
时，即2 2
2 2
a
时，方程
2
2
0
x
ax
无实根，
若a=0，则B={0}，
1
C B ，符合题意，
若2 2
0
a
或0
2 2
a
，则
2
C B
，不符合题意.
所以
0,2 2, 2 2
S
，故( )
3
C S =
.
故选：B.
【点睛】对于新定义的问题，一定要读懂题意，一般理解起来不难，它一般和平常所学知识和方法有很大
关联；另外当
<0
时，容易遗漏a=0 时的情况，注意仔细分析题目.
2．设集合S，T，SN*，TN*，S，T 中至少有两个元素，且S，T 满足：
①对于任意x，yS，若x≠y，都有xyT
②对于任意x，yT，若x<y，则y
x
S；
下列命题正确的是（
）
A．若S 有4 个元素，则S∪T 有7 个元素
B．若S 有4 个元素，则S∪T 有6 个元素
C．若S 有3 个元素，则S∪T 有5 个元素
D．若S 有3 个元素，则S∪T 有4 个元素
【答案】A
【分析】分别给出具体的集合S 和集合T，利用排除法排除错误选项，然后证明剩余选项的正确性即可.
【详解】首先利用排除法：
若取
1,2,4
S
，则
2,4,8
T
，此时
1,2,4,8
S
T
，包含4 个元素，排除选项C；
若取
2,4,8
S
，则
8,16,32
T
，此时
2,4,8,16,32
S
T
，包含5 个元素，排除选项D；
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若取
2,4,8,16
S
，则
8,16,32,64,128
T
，此时
2,4,8,16,32,64,128
S
T
，包含7 个元素，排除选项B；
下面来说明选项A 的正确性：
设集合
1
2
3
4
,
,
,
S
p p
p
p
，且
1
2
3
4
p
p
p
p
，
*
1
2
3
4
,
,
,
p p
p
p
N
，
则
1
2
2
4
p p
p p
，且
1
2
2
4
,
p p
p p
T
，则
4
1
p
S
p
，
同理
4
2
p
S
p
，
4
3
p
S
p
，
3
2
p
S
p
，
3
1
p
S
p
，
2
1
p
S
p
，
若
1
1
p ，则
2
2
p
，则
3
3
2
p
p
p
，故
3
2
2
p
p
p
即
2
3
2
p
p
，
又
4
4
4
2
3
1
p
p
p
p
p
，故
4
4
2
2
3
2
p
p
p
p
p
，所以
3
4
2
p
p
，
故
2
3
2
2
2
1,
,
,
S
p
p
p
，此时
5
2
2
,
p
T p
T
，故
4
2p
S
，矛盾，舍.
若
1
2
p
，则
3
2
3
1
1
p
p
p
p
p
，故
3
2
2
1
1
1
,
p
p
p
p
p
p
即
3
2
3
1
2
1
,
p
p
p
p
，
又
4
4
4
4
1
2
3
1
p
p
p
p
p
p
p
，故
4
4
1
3
3
1
p
p
p
p
p
，所以
4
4
1
p
p
，
故
2
3
4
1
1
1
1
,
,
,
S
p
p
p
p
，此时
3
4
5
6
7
1
1
1
1
1
,
,
,
,
p
p
p
p
p
T
.
若q
T
，则
3
1
q
S
p
，故
1
3
1
,
1,2,3,4
i
q
p i
p
，故
3
1 ,
1,2,3,4
i
q
p
i
，
即
3
4
5
6
7
1
1
1
1
1
,
,
,
,
q
p
p
p
p
p
，故
3
4
5
6
7
1
1
1
1
1
,
,
,
,
p
p
p
p
p
T
，
此时
2
3
4
4
5
6
7
1
1
1
1
1
1
1
1
,
,
,
,
,
,
,
S
T
p p
p
p
p
p
p
p
即S
T
中有7 个元素.
故A 正确.
故选：A.
【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去
解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看
本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜
法宝.
3．全集
,
Z,
Z
U
x y x
y
，非空集合S
U
，且S中的点在平面直角坐标系xOy 内形成的图形关于x 轴、
y 轴和直线y
x
均对称.下列命题：
①若
1,3
S
，则
1, 3
S
；
②若
0,4
S
，则S中至少有8 个元素；
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③若
0,0
S
，则S中元素的个数一定为偶数；
④若
,
4,
Z,
Z
x y x
y
x
y
S
，则
,
4,
Z,
Z
x y
x
y
x
y
S
.
其中正确命题的个数是
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】S中的点在平面直角坐标系xOy 内形成的图形关于x 轴、y 轴和直线y
x
均对称.
所以当
,x y
S
，则有
,x
y
S
，
,x y
S
，
,y x
S
，
进而有：
,x
y
S
，
,y x
S
，
,y
x
S
，
,y
x
S
①若
1,3
S
，则
1, 3
S
，正确；
②若
0,4
S
，则
0, 4
S
，
4,0
S
，
4,0
S
，能确定4 个元素，不正确；
③根据题意可知，
,x y
S
，若
0
0
x
y
，
能确定4 个元素，当
0
0
x
y
，
也能确定四个，当
0
0
x
y
，
也能确定8 个所以
0,0
S
，则S中元素的个数一定为偶数正确；
④若
,
4,
Z,
Z
x y x
y
x
y
S
，由S中的点在平面直角坐标系xOy 内形成的图形关于x 轴、y 轴和直
线y
x
均对称可知，
,
4,
Z,
Z
x y x
y
x
y
S
，
,
4,
Z,
Z
x y
x
y
x
y
S
，
,
4,
Z,
Z
x y
x
y
x
y
S
，即
,
4,
Z,
Z
x y
x
y
x
y
S
，故正确，
综上：①③④正确.
故选C.
点睛：图象的变换：（1）平移：左加右减，上加下减；
（2）对称：①
f x 变为
f
x
，则图象关于y 轴对称；
②
f x 变成
f x
，则图象关于x 轴对称；
③
f x 变成
f
x
，则图象关于原点对称；
④
f x 变成
f
x ，则将x 轴正方向的图象关于y 轴对称；
⑤
f x 变成
f
x ，则将x 轴下方的图象关于x 轴对称.
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4．对集合
1,2,3,
,
A
n
的每一个非空子集，定义一个唯一确定的“交替和”，概念如下：按照递减的次序
重新排列该子集，然后从最大的开始，交替减加后面的数所得的结果.例如：集合
1,2,4,6 的“交替和”为
6
4
2
1
3
，集合
3 8, 的“交替和”为8
3
5
，集合
6 的“交替和”为6，则集合A 所有非空子集的“交替
和”的和为（
）
A．
2n
n
B．
1
2n
n
C．
1 2n
n n
D．
1
1 2n
n n
【答案】B
【分析】将此集合分成两类，并在两类集合之间建立一一映射关系后根据“交替和”的定义即可求出答案.
【详解】解：由题意得：
集合
1,2,3,
,
A
n
的非空子集中，除去集合
n ，还有2
2
n 个非空集合，将这2
2
n 个子集分成两类：
第一类: 包含n 的子集；第二类：不包含n 的子集；
在第二类和第一类子集之间建立如下的对应关系：
:
i
i
f
A
A
n
，其中
iA 是第二类子集，显然这种对应
是一一映射
设
iA 的“交替和”为k ，则
iA
n
的“交替和”为n
k
，这一对集合的“交替和”的和等于n ，所以集合A 的所
有非空集合的“交替和”总和为
1
1 (2
2)
2
2
n
n
n
n
n
故选：B
1．已知集合A 的元素满足条件:若a∈A，则1
1
a
a
∈A(a≠1)，当1
3 ∈A 时，则集合A 中元素的个数是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【分析】列举出满足集合描述的元素，即可得答案.
【详解】∵1
3 ∈A，∴
1
1
3
1
1
3
=2∈A.∵2∈A，∴1
2
3
1
2
∈A.∵3
∈A，∴1 3
1
1 3
2
∈A.
∵
1
2
∈A，∴
1
1
1
2
1
3
1
2
∈A.∴集合A 中有
1 1
3,
,
,2
2 3
四个元素.
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故选：D
2．当一个非空数集G 满足：如果a ，b
G
，则a
b
，a
b
，ab
G
，且
0
b
时，a
G
b
时，我们称G 就
是一个数域.以下关于数域的说法：
0
①是任何数域的元素；②若数域G 有非零元素，则2019
G
；③集合
{ |
2
}
P
x x
k
k
Z
，
是一个数域．④有理数集是一个数域.其中正确的选项是（
）
A．①②④
B．②③④
C．①④
D．①②
【答案】A
【分析】根据数域的定义代入数值分析即可得解.
【详解】对于①，当a
b
且,a b
G
时，a
b
G
所以0 是任何数域的元素，①正确；
对于②，当
0
a
b
时，且,a b
G
时，由数域定义知
1
a
G
b
，
所以1+1=2
G
，1+2=3
G
,...1+2018=2019
G
，故选项②正确；
对于③，当
2,
4
a
b
时，
1
2
a
b
G
,故选项③错误；
对于④，如果a ，b
Q
Î
，则则a
b
，a
b
，abQ ,且
0
b
时，a
b Q ,所以有理数集是一个数域.
故选：A
3．集合
1
A
x x
或
3
x
，
1
0
B
x ax
若B
A
，则实数a 的取值范围是（
）
A．
1 ,1
3
B．
1 ,1
3
C．
,1
0,
D．
1 ,0
0,1
3
【答案】A
【分析】根据B
A
，分B 和B 两种情况讨论，建立不等关系即可求实数a 的取值范围．
【详解】
B
A
，
①当B 时，即
1
0
ax
无解，此时
0
a
，满足题意．
②当B 时，即
1
0
ax
有解，
当
0
a
时，可得
1
x
a
，
要使B
A
，则需要
0
1
1
a
a
，解得0
1
a
．
当a<0时，可得
1
x
a
，
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要使B
A
，则需要
0
1
3
a
a
，解得
1
0
3
a
，
综上，实数a 的取值范围是
1 ,1
3
．
故选：A．
4．若集合
1
|
2
1 ,
9
A
x x
k
k
Z ，
4
1
|
,
9
9
B
x x
k
k
Z ，则集合A ，B 之间的关系表示最准确的
为（
）
A．A
B
B．B
A
C．
=
A B
D．A 与B 互不包含
【答案】C
【分析】对k 分奇偶进行讨论，即可判断集合A ，B 之间的关系.
【详解】对于集合A ，当
2
k
n n
Z 时，
4
1
|
,
9
9
A
x x
n
n
Z ，当
2
1
k
n
n
Z 时，
4
1
|
,
9
9
A
x x
n
n
Z ，所以
=
A B .
故选：C.
5．（多选题）已知集合
{
1
7}
A
x
x
∣
，
{
2
2
1}
B
x a
x
a
∣
，若使B
A
成立的实数a 的取值集合
为M，则M 的一个真子集可以是（
）
A．(
,4]
B．(
,3]
C．
3,4
D．
4,5
【答案】BC
【分析】根据题意B
A
讨论B 和B 情况，求得实数a 的取值范围，可得集合M,即可得答案.
【详解】由题意集合
{
1
7}
A
x
x
∣
，
{
2
2
1}
B
x a
x
a
∣
，
因为B
A
，所以当B 时，
2
2
1
a
a
，即
3
a
；
当B 时，有1
2
2
1
7
a
a
，解得3
4
a
，
故
(
,4]
M
,则M 的一个真子集可以是(
,3]
或
3,4 ，
故选：BC.
6．（多选题）对于集合
2
2,
Z,
Z
M
a a
x
y
x
y
，给出如下结论，其中正确的结论是（
）
A．如果
2
1,
N
B
b b
n
n
，那么B
M
B．若
2 ,
N
C
c c
n n
，则存在c
C
，满足c
M
C．如果
1
2
,
a
M a
M
，那么
1
2
a a
M
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D．如果
1
2
,
a
M a
M
，那么
1
2
a
a
M
【答案】ABC
【分析】A 选项：令
1
x
n
Z，y
n
Z，得
2
2
1
2
1
a
n
n
n
，即可得B
M
；
B 选项：分别分析x
y
和x
y
同奇和同偶两种情况，去判断；
C 选项：设
2
2
1
1
1
a
x
y
，
2
2
2
2
2
a
x
y
，求出
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
1
a a
x x
y y
x y
x y
，即可得到
1
2
a a
M
；
D 选项：求出
1
2
a
a
，得到
1
2
a
M
a
.
【详解】A 选项：当
1
x
n
Z，y
n
Z时，
2
2
1
2
1
a
n
n
n
，又
2
1
b
n
，
N
n
，所以B
M
，
故A 正确；
B 选项：
2
2
a
x
y
x
y
x
y
，x
y
和x
y
同奇或同偶，
当同奇时，
x
y
x
y
为奇数，2n 为偶数；
当同偶时，
x
y
x
y
能被4 整除，但2n 不一定能被4 整除，所以存在c
C
，满足c
M
，故B 正确；
C 选项：设
2
2
1
1
1
a
x
y
，
2
2
2
2
2
a
x
y
，则
2
2
2
2
1
2
1
1
2
2
a a
x
y
x
y
2
2
1
2
1
2
1
2
2
1
x x
y y
x y
x y
M
Î
，故C 正确；
D 选项：
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
a
a
x
x
y
y
M
，故D 错.
故选：ABC.
7．已知集合
{
2
4},
{
,
}
A
x
x
B
x x
a a
R
∣
∣
．
（1）若A
B
，则实数a 的取值范围是
．
（2）若A
B
A
，则实数a 的取值范围是
．
（3）若A
B
B
，则实数a 的取值范围是
．
【答案】
(
,4)
(
, 2)
(
, 2)
【分析】利用集合间的关系，即可得出答案.
【详解】（1）若A
B
，得
4
a
，
所以实数a 的取值范围是(
,4)
.
（2）A
B
A
，即A
B
，所以
2
a ，
所以实数a 的取值范围是(
, 2)
.
（3）若A
B
B
，即A
B
，所以
2
a ，
则实数a 的取值范围是(
, 2)
.
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故答案为：(
,4)
；(
, 2)
；(
, 2)
.
8．“生命在于运动”，某学校教师在普及程度比较高的三个体育项目——乒乓球、羽毛球、篮球中，会打乒
乓球的教师人数为30，会打羽毛球的教师人数为60，会打篮球的教师人数为20，若会至少其中一个体育项
目的教师人数为80，且三个体育项目都会的教师人数为5，则会且仅会其中两个体育项目的教师人数
为
．
【答案】20
【分析】由三元容斥原理求解即可.
【详解】首先设
A
x x
是会打兵兵球的教师}，
B
x x
是会打羽毛球球的教师}，
C
x x
是会打蓝球的教师}，
根据题意得
card
30
A
，
card
60
B
，
card
20
C
，
card
80
A
B
C
，
card
5
A
B
C
，
再使用三元容斥原理得：
card
card
card
card
card
card
A
B
C
A
B
C
A
B
B
C
card
card
C
A
A
B
C
，
有
card
card
card
35
A
B
B
C
C
A
，
而
card
card
card
A
B
B
C
C
A
中把A
B
C
的区域计算了3 次，
于是要减掉这3 次，才能得到会且仅会其中两个体育项目的教师人数.
因此会且仅会其中两个体育项目的教师人数为35
3 5
20
.
故答案为：20.
9．已知
2
2
2
|
2
8
0 ,
|
12
0
A
x x
x
B
x x
ax
a
.
(1)若A
B
，求a 的值；
(2)若B
A
，求实数a 的取值范围.
【答案】(1) 2
(2)
4
a
或
4
a < - 或
2
a .
【分析】（1）先求出集合A ，再利用条件A
B
，根据集合与集合间的包含关系，即可求出a 值；
（2）对集合B 进行分类讨论：B 和B ，再利用集合与集合间的包含关系，即可求出a 的范围；
【详解】（1）由方程
2
2
8=0
x
x
，解得
2
x 或
4
x
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所以
2,4
A
，又A
B
，
2
2
|
12
0
B
x x
ax
a
，
所以
2,4
B
，即方程
2
2
12
0
x
ax
a
的两根为
1
2
x 或
2
4
x
，
利用韦达定理得到：2
4
a
，即
2
a ；
（2）由已知得
2,4
A
，又B
A
，
所以B 时，则
2
2
4(
12)
0
a
a
，即
2
16
0
a
，解得
4
a
或
4
a < - ；
当B 时，
若B 中仅有一个元素，则
2
2
4(
12)
0
a
a
，即
2
16
0
a
，解得
4
a ，
当
4
a
时，
2
B
，满足条件；当
4
a 时，
2
B
，不满足条件；
若B 中有两个元素，则B
A
，利用韦达定理得到，
2
2
4
( 2) 4
12
a
a
，解得
2
a ，满足条件.
综上，实数a 的取值范围是
4
a
或
4
a < - 或
2
a .
10．已知集合
2
3
2
0
A
x x
x
，
2
1
0
B
x x
ax
a
，
2
2
0
C
x x
mx
.
(1)命题p ：“
x
B
，都有x
A
”，若命题p 为真命题，求实数a 的值；
(2)若A
C
C
，求实数m 的取值范围.
【答案】(1)
2
a
或
3
a .
(2){
|
3
m m
或2 2
2 2}
m
.
【分析】（1）由题设有
{1,2}
A
、B
A
，讨论
2
a
、
2
a
分别判断是否符合题设，并确定a 的值；
（2）由题设有C
A
，讨论集合C ，并利用一元二次方程根与系数关系、判别式求m 的取值范围.
【详解】（1）
2
3
2
0
1,2
A
x x
x
，
因为命题p ：“
x
B
，都有x
A
”是真命题，所以B
A
，
因为
2
1
1
1
0
x
ax
a
x
a
x
，
所以当
2
a
时，
{1,
1}
B
a
，则
1
2
a
，即
3
a
；
当
2
a
时，
{1}
B
，显然B 是A 的真子集.
综上，
2
a
或
3
a
.
（2）由A
C
C
可得C
A
，
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当
{1,2}
C
时，
2
Δ
8
0
1 2
m
m
，即
3
m
；
当
{1}
C
时，
2
Δ
8
0
1 1
m
m
，无解；
当
{2}
C
时，
2
Δ
8
0
2
2
m
m
，无解；
当C 时，
2
8
0
m
，解得2 2
2 2
m
；
综上，m 的取值范围{
|
3
m m
或2 2
2 2}
m
.
11．若集合
{ | 2
4},
{ |
0}
A
x
x
B
x x
m
．
(1)若
3
m
，全集U
A
B
，试求
(
)
U
A
B
ð
．
(2)若A
B
A
，求实数m 的取值范围．
【答案】(1){ | 3
4}
x
x
(2)[4,
)
【分析】（1）当
3
m
时，求得
{ |
3}
B
x x
，得到
{ |
4}
U
x x
和
{ |
}
3
4
U
x
B
x
ð
，结合集合的交并补
运算即可得解.
（2）求得
{ |
}
B
x x
m
，结合题意得到A
B
，结合集合的包含关系，即可求解.
【详解】（1）当
3
m
时，可得
{ |
3
0}
{ |
3}
B
x x
x x
，
因为
{ | 2
4}
A
x
x
，可得
{ |
4}
U
A
B
x x
，
则
{ |
}
3
4
U
x
B
x
ð
，所以
(
)
{ | 3
4}
U
A
B
x
x
ð
．
（2）因为
{ | 2
4},
{ |
0}
{ |
}
A
x
x
B
x x
m
x x
m
，
由A
B
A
，可得A
B
，所以
4
m
，
即实数m 的取值范围是[4,
)
.
12．给定正整数
2
k
，设集合
1
2
,
,
,
0,1 ,
1,2,
,
k
i
M
x x
x
x
i
k
．对于集合M 的子集A，若任取A
中两个不同元素
1
2
,
,
,
k
y y
y
，
1
2
,
,
,
k
z z
z
，有
1
2
1
2
k
k
y
y
y
z
z
z
，且
1
1
y
z
，2
2
y
z
，…，k
k
y
z
中有且只有一个为2，则称A 具有性质P．
(1)当
2
k
时，判断
1,0 , 0,1
A
是否具有性质P；（结论无需证明）
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(2)当
3
k
时，写出一个具有性质P 的集合A；
(3)当
4
k
时，求证：若A 中的元素个数为4，则A 不具有性质P．
【答案】(1)A 不具有性质P；
(2)
1,1,0 , 1,0,1
A
；
(3)证明见解析.
【分析】（1）根据题设新定义即可判断；
（2）根据定义即可写出；
（3）若A 中的元素个数为4，假设A 具有性质P，设
1
2
3
4
1
2
3
4
y
y
y
y
z
z
z
z
m
，然后根据条件推
出矛盾，进而即得.
【详解】（1）根据题设定义可知
1,0 , 0,1
A
不具有性质P；
（2）当
3
k
时，
1,1,0 , 1,0,1
A
，1 1 0
1 0 1
，且1 1
，1
0
，0+1中有且只有一个为2，满足性
质P；
（3）当
4
k
时，若A 中的元素个数为4，假设A 具有性质P，
即任取A 中两个不同元素
1
2
3
4
,
,
,
y y
y
y
，
1
2
3
4
,
,
,
z z
z z
，
有
1
2
3
4
1
2
3
4
y
y
y
y
z
z
z
z
，①
1
1
y
z
，
2
2
y
z
，
3
3
y
z
，
4
4
y
z
中有且只有一个为2．②
设
1
2
3
4
1
2
3
4
y
y
y
y
z
z
z
z
m
；则
0,1,2,3,4
m
．
当
1
m 时，由①得
1,0,0,0 , 0,1,0,0 , 0,0,1,0 , 0,0,0,1
A
，不满足②，矛盾．
当
2
m
时，由①得
1,1,0,0 , 1,0,1,0 , 1,0,0,1 , 0,1,1,0 , 0,1,0,1 , 0,0,1,1
A
，
由②得
1,1,0,0 与
0,0,1,1 不同时在A 中；
1,0,1,0 与
0,1,0,1 不同时在A 中；
1,0,0,1 与
0,1,1,0 不同时
在A 中，所以A 中元素个数至多为3，矛盾．
当
3
m
时，由①得
1,1,1,0 , 1,1,0,1 , 1,0,1,1 , 0,1,1,1
A
，不满足②，矛盾．
当
0
m
或
4
m
时，不满足A 中的元素个数为4，矛盾．
所以假设不成立，即A 不具有性质P．
【点睛】数学中的新定义题目解题策略：①仔细阅读，理解新定义的内涵；②根据新定义，对对应知识进
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