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2025-2026 学年高二数学上学期期中模拟卷
强化卷·全解全析
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：人教B 版 选择性必修第一册。
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的。
1．设直线的一个方向向量是
，则直线斜率是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据题意，结合直线的方向向量的定义，即可求解.
【详解】由题意知，直线的一个方向向量是
，
根据直线方向向量的定义，可得直线斜率为
.
故选：B.
2．若
是空间的一个基底，且
不能构成空间的一个基底，则
（ ）
A．
B．
C．
D．0
【答案】A
【分析】设
，
，
，由基底概念可知
不共线，再由
不能构成基底可
得
共面，由共面向量基本定理确定待定系数即得解.
【详解】由题意，
是空间的一个基底，
设
，
，
，则
不共线．
因为
不能构成空间的一个基底，则
共面，
所以存在实数
使得
，
即
，
所以
，解得
，
，
．
故选：A.
3．空间直角坐标系中，点
关于
平面的对称点是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】可知点关于
平面的对称点的横坐标和竖坐标不变，纵坐标变为原来的相反数，从而得出答案．
【详解】根据对称点坐标规律，空间直角坐标系中点
关于
平面的对称点是
.
故选：A.
4．在平面直角坐标系
中，圆
的标准方程为
，若直线
上至少存在一
点，使得以该点为圆心，半径为1 的圆与圆
有公共点，则的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．-1
【答案】B
【分析】先求出圆心与半径，由题意，只需
与直线
有公共点即可．
【详解】圆
的方程为
，即圆
是以
为圆心，1 为半径的圆；
又直线
上至少存在一点，使得以该点为圆心，1 为半径的圆与圆
有公共点，
只需圆
与直线
有公共点即可．
设圆心
到直线
的距离为
，
则
，即
，
．
的最大值是
．
故选：B．
5．设
是互不重合的平面，m，n 是互不重合的直线，给出四个命题：
①若m∥
，m∥
，则
∥
②若
⊥
，
⊥
，则
⊥
③若m⊥
，m⊥
，则
∥
④若m∥
，n⊥
，则m∥n
其中正确命题的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】A
【分析】根据线面位置关系的判定定理、性质定理，以及推论，逐项判定，即可求解.
【详解】对①，若m∥
，m∥
，则
与
平行或相交，①错误；
对②，若
⊥
，
⊥
，则
与
平行或相交，②错误；
对③，若m⊥
，m⊥
，则
∥
成立，③正确；
对④，若m∥
，n⊥
，则m⊥n，④错误；
故选：A.
6．已知直线
与椭圆
交于
两点，椭圆的左、右焦点分别为
、
，
四边形
为矩形，若
，则椭圆
的离心率是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据矩形的边角关系，结合椭圆的定义和性质，可直接求其离心率.
【详解】如图：
设
，则
，因为四边形
为矩形，所以
.
所以
，
.
所以
.
故选：C
7．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如星形线等．某星形线如图所示，已知该曲线上一点
的坐标可以表示为
，若
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．2
D．
【答案】D
【分析】根据同角三角函数的基本关系及立方和公式化简求值即可.
【详解】
，
，
，
令
，则
，
，即
，
，
，
，
解得
，
故选：D
8．已知
为
的外接圆圆心，
，
，则
的最大值为（ ）
A．2
B．
C．1
D．
【答案】D
【分析】根据已知画出示意图，利用向量数量积的运算律有
，再应用数量积的定
义、数形结合求最值.
【详解】如图所示，因为
为
的外接圆圆心，
，
，
所以
，且
，
所以
，
所以当
反向共线时，
取到最大值
.
故选：D
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，
全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分。
9．已知椭圆
，则（ ）
A．
的取值范围为
B．若
的焦点在
轴上，则
C．若
，则
的焦距为6
D．若
，则
的离心率为
【答案】CD
【分析】根据方程表示椭圆求参数范围，再结合其它各项椭圆性质求参数范围、焦距、离心率，即可判断
各项的正误.
【详解】由题设
，可得
，A 错；
若
的焦点在
轴上，则
，可得
，B 错；
若
，则
的焦距为
，C 对；
若
，则
的离心率为
，D 对.
故选：CD
10．一个袋子中有大小相同，标号分别为1，2，3，4 的4 个小球．采用不放回方式从中任意摸球两次，一
次摸一个小球．设事件A=“第一次摸出球的标号小于3”，事件B=“第二次摸出球的标号小于3”，事件C=“两
次摸出球的标号都是偶数”，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【分析】利用古典概型的概率计算方法求相应事件的概率，判断各项是否正确即可.
【详解】由题意，摸球两次的样本空间
事件
，
事件
，所以
，
，
所以
，
，
，
.
故选：AC
11．在平面直角坐标系
中，把到定点
，
的距离之积等于
的点的轨迹称为伯努
利双纽线，记为曲线C，设
是C 上的一点，则（ ）
A．
B．C 的方程为
C．存在两个点P 使得
D．
的最大值为
【答案】ABD
【分析】利用等面积法可判断A，利用定义求轨迹方程可判断B，利用
的点在
轴上，再利用
方程求解即可判断C，利用余弦定理和中线长定理来求解可判断D.
【详解】由等面积法得
，则
，
所以
，故A 正确；
由双纽线的定义可得
，即
，
即
，
整理得
，
则C 的方程为
，故B 正确；
令
，得
，解得
，
所以C 上满足
的点P 有一个，故C 错误；
在
中，由余弦定理得
，
故
，又
，
所以
，
所以
，则
，
所以
，故D 正确．
故选：ABD
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．直线
的倾斜角为 ．
【答案】
【分析】利用直线方程来判断斜率的大小，再利用反三角来表示倾斜角大小即可.
【详解】由直线
化为斜截式可得：
，
所以该直线的斜率为
，
设直线
的倾斜角为
，则
，
即
，
故答案为：
13．直线
与圆
交于
，
两点，则
（
为坐标原点）的取
值范围是 .
【答案】
【分析】先求出直线经过的定点，再借助向量的中线性质，结合数量积运算，根据圆的性质得解.
【详解】由
得
，
直线
经过直线
和
的交点
，
设线段
中点为
，则
，
，
则
，
又由圆的性质知，
，
当且仅当
，
，
，
共线时（此时
，
重合），
，
当且仅当
时（此时
，
重合），
，
的取值范围是
.
故答案为：
.
14．如图，已知二面角
的大小为
，点
分别在平面
内，
，
，垂足分别为
．若
，直线
与平面
所成的角为
，则线段
的长为 ．
【答案】
【分析】过点
作
，过点
作
交直线
于点
，连结
，得到
即为二面角
的平面角，再由线面垂直的判定和性质及线面角定义得
即为直线
与平面
所成的角，
根据已知求线段长.
【详解】如图，过点
作
，过点
作
交直线
于点
，连接
．
因为
，所以
，又
，所以
即为二面角
的平面角，
故
，从而
，
．
由
且
，
，
平面
，得
平面
，
由
平面
，故
，结合
，
，
，得
，
所以
即为直线
与平面
所成的角，故
．
由
，
，得
，所以
．
在直角梯形
中，
，
，
，
所以
．
故答案为：
四、解答题：本题共5 小题，共77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（13 分）15．已知直线：
，圆
：
.
(1)若不经过第三象限，求
的取值范围；
(2)当圆心
到直线的距离最大时，求此时直线的方程.
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】（1）化直线的方程为斜截式，再由已知列出不等式求解.
（2）求出圆
的圆心及直线所过的定点，借助几何意义确定圆心
到直线的距离最大的条件，进而求
出直线方程.
【详解】（1）直线：
化为
，
由不经过第三象限，得
，解得
，
所以
的取值范围是
.
（2）圆
：
的圆心
，直线：
恒过定点
，
当且仅当
时，点
到直线的距离最大，此时直线
的斜率
，
直线的斜率
，直线的方程
.
（15 分）16．如图，在平行六面体
中，
，
．设
，
，
．
(1)用基底
表示向量
；
(2)求异面直线
与
所成的夹角；
(3)证明：
平面
．
【答案】(1)
．
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）利用向量加法法则即可求解；
（2）判断
即可；
（3）和（2）同理证明
，根据线面垂直判定定理即可证明．
【详解】（1）已知
，
，
，
∴
；
（2）∵
，
∴
∵
，∴
，
∴异面直线
与
所成的夹角为
；
（3）
，
和（2）同理可得
，即
，
∵
，
，
平面
，
，
∴
平面
．
（15 分）17．已知圆
，线段AB 的一端A 点在圆上运动，另一个端点
.
(1)求线段
的中点
的轨迹方程；
(2)记（1）中的轨迹为
，若过点
的直线被轨迹
截得的线段长为
，求直线的方程.
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】（1）设
，
，利用中点公式得
，根据点在圆上求轨迹方程；
（2）设
（注意验证斜率不存在的情况），并确定圆
的半径和圆心，应用几何法求弦长，列
方程得圆心到直线的距离为
，最后应用点线距离公式列方程求参数
，即可得.
【详解】（1）设
，
，则
，得
，A 点在圆上运动，
代入
得
，则
所以
的轨迹方程为
；
（2）若直线斜率不存在时，
，
代入圆的方程有
，可得
此时，弦长为
，显然与题设不符，所以直线的斜率存在，
设
，而圆
的半径为
，圆心为
，其到直线的距离为
，
则弦长
，得
，
由
，得
，得
，
整理得
，解得
，
所以
，即
.
（17 分）18．在三棱锥
中，
两两垂直，
，
底面
，点
在平面
的下方，且
.以
为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系
.
(1)直接写出
四点的坐标；
(2)求
；
(3)求
与平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)
(2)8
(3)
【分析】（1）写出点的坐标即可；
（2）求出
，计算即可；
（3）求得平面
的一个法向量
，利用向量法可求得
与平面
所成角的正弦值.
【详解】（1）
.
（2）因为
，
所以
.
（3）依题意可得
是平面
的一个法向量，
，
所以
与平面
所成角的正弦值为
.
（17 分）19．已知椭圆
的左、右顶点分别为
.过点
的直线交椭圆
于
P、Q 两点.
(1)若
的离心率为
，求
的值；
(2)若
为等腰三角形且
在第一象限，求点
的坐标；
(3)设直线OQ 交椭圆
于另一点
，若
，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据离心率以及椭圆方程计算可得
；
（2）画出图形，由
为等腰三角形，验证
与
、
与
是否相等，数形结合易知
，根据两点距离公式建立方程组，解之即可求解；
（3）设
，
：
，联立椭圆方程，利用韦达定理和平面向量数量积的坐标表
示建立关于
的方程，结合判别式即可求解.
【详解】（1）由题意知
，
椭圆焦点在
轴上，
，则
，则
，
因此
..
（2）当
时，椭圆
，其中
，
如下图所示：
设点
，且
，
因为
为等腰三角形，且
在第一象限，已知
，
由椭圆对称性和点
位置可知，
，
若
，则
，
所以
，可得
，
又因为
在椭圆
上，所以
，即
，
将
代入
中，得到
，
展开并化简可得：
，
即
，进一步变形为
，
，则此方程无实数解；故
；
若
，则
，
将
代入可得
，展开并化简：
，即
，
因式分解为
，解得
或
（舍去），
将
代入椭圆方程可得
，所以
.
（3）设直线
的方程为
，
将
代入椭圆方程
，得到
，
展开并整理可得
，
由
得
由韦达定理可得
，
因为
与
关于原点对称，所以
，
又
，则
，
根据向量数量积求解：已知
，则
，
将
代入上式可得：
整理得
将
代入上式可得：
，即
，
因为
，所以
，
所以
，又
，所以
.
