文档文本内容
2025-2026 学年高二数学上学期期中模拟卷
提升卷·考试版
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：人教B 版 选择性必修第一册。
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的。
1．设圆
的一条切线与x 轴､y 轴分别交于点A､B，则
的最小值为（ ）
A．4
B．
C．6
D．
2．下列关于空间向量的说法正确的是（ ）
A．任意两个空间向量不一定共面
B．模相等的两个向量是相等向量
C．平行于同一个平面的向量叫做共面向量D．空间中任意三个向量都可以构成空间的一个基底
3．一束光线自点
出发，被
平面反射到达点
被吸收，那么光线所经过的距离是
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知曲线
，则
的最大值，最小值分别为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．如图所示的六面体
中，平面
平面
，
，若
，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．2
6．已知椭圆
与函数
的图象相交于四个不同的点，其中两个点为
、
，且在这两点处椭圆的切线斜率均与函数
在该点的导数相等．则椭圆
的
离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．如图，在棱长为2 的正方体
中，
是正方形
的中心，
是
内（包括边
界）的动点，满足
，则点
的轨迹长度是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知直线
与圆
有公共点，且公共点的横､纵坐标均为整数，则满足
的有（ ）
A．40 条
B．46 条
C．52 条
D．54 条
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，
全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分。
9．已知曲线
，则（ ）
A．若
，则曲线
表示圆，且半径为
B．若
，则曲线
表示双曲线，且渐近线为
C．若
，
，则曲线
表示两条直线
D．若
，则曲线
表示焦点在
轴上的椭圆
10．下列说法正确的是（ ）
A．甲、乙两人独立地破译一份密码，已知各人能破译的概率分别为
，
，则密码被成功破译的概率
为
B．一箱12 罐的饮料中有2 罐有奖券，从中任意抽取2 罐，这2 罐中有奖券的概率为
C．一个袋子中有4 个红球，n 个绿球，不放回地从中随机取出两个球，若取出的两球都是红球的概率
为
，则
D．甲、乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，相比3 局2
胜制，5 局3 胜制对甲更有利
11．平面内到定点
、
轴、
轴的距离之和等于4 的点的轨迹是如图所示的曲线
，它由4 部分组
成，每部分都是双曲线上的一段，设
是该曲线上一点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．当
都是整数时，
称为格点，则
上有2 个格点
C．
的最大值为
D．
在第一象限对应的双曲线的离心率为
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．若函数
在
处切线的倾斜角大于
，则
的取值范围为 ．
13．函数
的最大值为 ，最小值为 ．
14．在三棱锥
中，
，
为锐角三角形，
与底面
所成角的正切值为
，则该三棱锥内切球的半径与外接球的半径之比为 ．
四、解答题：本题共5 小题，共77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（13 分）15．
的两条高线方程分别为
和
是
的一个顶点，
求
所在直线的方程．
（15 分）16．空间中，我们将至少两条坐标轴不垂直的坐标系称为“空间斜坐标系”．类比空间直角坐标
系，
分别为“空间斜坐标系”中三条数轴（
轴、
轴、
轴）正方向的单位向量，若向量
，则
与有序实数组
相对应，称向量
的斜坐标为
，记作
．如图，
在平行六面体
中，
，
，
，
．以
为基底建立“空间斜坐标系”．
(1)若点
在平面
内，且
平面
，求
的斜坐标；
(2)若
的斜坐标为
，求平面
与平面
的夹角的余弦值．
（15 分）17．已知曲线
的方程为
.
(1)求
与
轴的公共点的个数.
(2)设
，
，证明：
上存在无数个点
，使得
为定值.
(3)过点
的直线与
交于四个不同的点，求的斜率的取值范围，并证明这四个点的横坐标的乘积
小于
.
（17 分）18．如图，四棱锥
的底面
是正方形，
，侧面
是等边三角形，平面
平面
，
在线段
上.
(1)若
为
的中点，求证：
平面
.
(2)求侧面
与底面
所成二面角的余弦值
(3)若
与
所成角的正弦值为
，求
（17 分）19．已知椭圆
的左、右顶点分别为
，且椭圆
过点
，离心率
为
．
(1)求椭圆
的方程；
(2)过动点
作椭圆
的切线，切点为
，
在
轴上方．
（i）证明：直线
与直线
的斜率之比为定值；
（ii）若
，过点
作直线交椭圆
于
两点，过
作
的平行线，交
于点
，
交
于点
，此时
，求满足条件的所有直线
的斜率．
