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25.2.1 配方法（第2 课时 配方法）（教学设计）
1.教学内容
本节课时是人教版2024 版九年级上册第二十五章《一元二次方程》，第二节《降次----解一元二次方程》，
25.2.1 配方法（第2 课时 配方法）.核心内容为直用配方法解二次项系数为1 和二次项系数不为1 的一元
二次方程.学生在第一课时已掌握直接开平方法、简单的配方变形，本节课在此基础上，系统归纳配方法
解一元二次方程的完整步骤，突破二次项系数不为1 的配方难点，同时结合配方结果判断方程根的情况，
是衔接直接开平方法与公式法的核心过渡课时.
2. 内容解析
配方法是解一元二次方程的基础通法，是推导求根公式的核心依据，也是后续学习二次函数配方变形、最
值求解的重要工具.本节课承接第一课时“完全平方配方填空、简单直接开平方法解方程”的基础，从特
殊方程延伸至一般一元二次方程，实现了一元二次方程解法的系统化、通用化，在本章知识体系中起到承
上启下的关键作用.本节课知识层层递进：先巩固二次项系数为1 的方程配方解法，再突破二次项系数不为
1 的化简配方难点，最后归纳通用解题步骤、拓展根的判别雏形，渗透降次转化的核心数学思想，帮助学
生建立“复杂方程标准化、标准化方程配方降次”的解题思维.
基于以上分析，本节课的教学重点为：掌握用配方法解一元二次方程的通用步骤，能熟练求解二次项系数
为1 和不为1 的一元二次方程.
1. 教学目标
(1)熟练掌握用配方法解二次项系数为1、不为1 的一元二次方程的完整步骤；能通过配方变形将一元二次
方程化为
的标准形式，并根据
的取值判断方程根的情况.
（2）经历“观察方程、变形化简、配方凑形、开方求解”的探究过程，归纳配方法通用解题流程，提升
代数变形、归纳总结和逻辑推理能力.
（3）体会数学转化思想的简洁性，感受代数变形的逻辑性和规律性；通过分层探究、合作交流，增强自
主探究意识和数学学习自信心.
2.目标解析
目标1 通过基础例题、变式练习，让学生精准掌握配方核心——方程两边加一次项系数一半的平方，突破
二次项系数化1 的关键步骤，彻底掌握配方法解题范式，为后续求根公式推导筑牢基础.
目标2 通过对比不同类型一元二次方程的解法差异，引导学生自主归纳步骤、辨析易错点，培养学生举一
反三、规范解题的数学能力，提升代数运算的准确性.
目标3 全程渗透“二次降一次”的转化思想，让学生理解配方法的本质是化未知为已知（将普通一元二次
方程转化为可直接开方的方程），培养学生数学抽象、逻辑推理、数学运算的核心素养.
九年级学生已具备整式变形、完全平方公式、直接开平方法解方程的基础能力，第一课时已初步感知配方
的思路，对“凑完全平方式”有简单认知.但学生存在明显薄弱点：一是代数恒等变形意识薄弱，配方、
移项、系数化1 时容易出现符号错误、漏乘漏加；二是思维固化，对二次项系数不为1 的复杂方程，不会
主动化简转化为熟悉的形式；三是步骤规范性差，解题跳步、格式混乱，难以系统归纳通用方法.同时，
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九年级学生具备一定的自主探究和小组合作能力，适合通过分层例题、对比探究、纠错练习突破难点，掌
握规范解题流程.
基于以上分析，本节课的教学难点确定为：二次项系数不为1 时，先将二次项系数化为1 的变形操作； 配
方时准确确定“一次项系数一半的平方”，保证方程变形的恒等性；根据配方后常数项的正负，判断一元
二次方程根的三种情况.
创设情景，引入新课
1.回顾完全平方公式：
.
2.配方凑形：
3. 提问：如何用直接开平方法解方程
.
(设计意图：唤醒学生旧知，巩固“一次项系数一半的平方”的配方核心规律，回顾直接开平方法的解题
逻辑，为本节课复杂方程的配方变形搭建知识支架，实现新旧知识无缝衔接.)
探究点1 探究二次项系数为1 的方程配方解法
活动1：用配方法解方程
.
追问1：能否将方程转化为
，转化的关键是什么？
学生交流讨论：可以转化，关键是将方程左边转化为一个完全平方式.
追问2：怎样将方程转化为左边转化为一个完全平方式，右边为0 的形式？你能说出理由吗？
学生交流讨论：1. 移项：将常数项移到方程右侧，得
；
2.配方：两边加一次项系数一半的平方
，得
.
3.凑完全平方：
；
4.开方求解：解得
，
师生小结：二次项系数为1 的方程，配方核心是移项后，两边加一次项系数一半的平方.
（设计意图：从简单熟悉的方程入手，让学生完整经历配方解题流程，初步建立规范解题步骤，理解配方
的本质是凑完全平方式，突破基础认知.）
探究点2 探究二次项系数不为1 的方程配方解法
活动2：用配方法解方程
.
追问1：此方程与例上面讲的方程有何不同？
二次项系数不为1
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追问2：如何转化为熟悉的方程形式？并解方程.
学生自主解题：
1. 化系数为1：方程两边同时除以2，得
；
2. 移项：
；
3. 配方：两边加
，得
；
4. 开方求解：解得
，
.
（设计意图：通过对比设问，引发学生认知冲突，自主发现“二次项系数不为1 需先化简”的关键步骤，
突破本节课核心难点，掌握复杂方程的转化思路.）
探究点3：归纳配方法通用解题步骤
活动3：结合上面两例题，归纳配方法解一元二次方程
的步骤.
学生交流讨论：
1. 化：二次项系数化为1（方程两边同除以二次项系数）；
2. 移：常数项移到方程右边；
3. 配：方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
4. 整：左边写成完全平方形式，右边合并常数项；
5. 开：根据平方根的意义开平方；
6. 解：解两个一元一次方程，得出方程的根.
（设计意图：通过小组合作归纳，将零散的解题过程系统化、流程化，培养学生归纳概括能力，帮助学生
形成标准化解题思维.）
探究点4：探究方程根的情况
活动4：配方后方程为
，
的取值对根有什么影响？
学生交流讨论，师生共同总结：
1. 当
时，方程有两个不相等的实数根
，
；
2. 当
时，方程有两个相等的实数根
；
3. 当
时，方程无实数根.
(设计意图：延伸配方的应用价值，初步渗透根的判别知识，为后续课时学习埋下伏笔，完善学生的知识
体系.)
典型例题
例１.解下列方程:
(1)
; (2)
; (3)
.
【分析】(1)方程二次项系数为1,直接运用配方法.
(2)方程二次项系数为2,移项、两边同除以2,再用配方法.
（3）类似（2）运用配方法.
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【详解】解:（1）移项，得
.
配方，得
.
由此可得
，
即
.
（2）移项，得
.
二次项系数化为1，得
配方，得
.
由此可得
，
即
.
（3）移项，得
.
二次项系数化为1，得
配方，得
.
原方程无实数解.
（设计意图：落实本节课重点知识，规范解题书写过程，提升学生分析问题、解决问题能力.）
课本课堂练习（P8）第1 题、第2 题（1、2、3）.
（设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的
理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略）
1.阅读下面的材料：
为解方程
，我们可以将
视为一个整体，然后可设
，则
，
原方程可化为
，用配方法解得
，
．
当
时，
，
，
；
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当
时，
，
，
．
综上所述，原方程的解为
，
，
，
．
(1)根据材料解方程：
；
(2)已知实数
，
满足
，求
的值．
【详解】（1）解：设
，则原方程可化为
，
用配方法解得
，
．
当
时，
，无实数根；
当
时，
，解得
．
综上所述，原方程的解为
，
．
（2）解：令
，则原方程可化为
，
，
解得
，即
．
∴
．
∴
的值为7．
(设计意图:强化本节课核心知识的拓展．)
1．（2025.包头·校考期中）解方程：
【详解】：
解得
．
2．（2025.阿克苏校考）解方程：
；
【详解】解：
，
移项得
，
配方得
，即
，
或
，
解得
，
.
3．（2025·青浦·八年级校考期中）配方法解方程：
【详解】解：
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∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
．
4.（2025 宁国校考）用配方法解方程
，判断方程根的情况.
【详解】解：解题过程：移项得
，配方得(
，
∵ 平方数非负，
，∴ 方程无实数根.
（设计意图：在学习完知识后加入中考等真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检
验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力）
1.知识与技能：（1）配方法适用所有一元二次方程，分为二次项系数为1 和不为1 两种题型；（2）通用
六步解题法：化系数→移项→配方→整理→开方→求解；（3）可通过配方后为
，
正负判断
一元二次方程根的三种情况.
2. 思想方法：本节课核心运用转化思想，将陌生的一般一元二次方程，转化为熟悉的可直接开平方法求
解的完全平方方程，实现“降次求解”，这是解方程的核心思想.
3. 易错提醒：（1）二次项系数不为1 时，必须先整体除以二次项系数，再配方，不可直接配方；（2）配
方时，必须方程两边同时加常数，只加左边会破坏方程恒等性；（3）加的常数是化简后一次项系数一半
的平方，注意区分原系数和化简后的系数；（4）移项务必变号，开平方时不要遗漏正负号；（5）配方后
右边为负数时，直接判定无实数根，无需继续求解.
(设计意图：对本课的知识进行总结，有利于学生对增强学习的主动性与连贯性. ）
必做题：课本习题25.2 第1（1、2），课堂练习2（3、4、5）.
探究性作业：课本习题25.2 第1（3、4）.
（设计意图：对本节课的知识进行巩固训练 ）
主板书
25.2.1 配方法（第2 课时 ）
一、核心依据
副板书
典型例题
（预留区域，课堂书写化简、检验例题）
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二、解题步骤
三、根的情况
四、易错警示
例题
学生练习板演
