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专题05 瓜豆原理之直线轨迹型（几何最值模型）
模型解读.....................................................................................................................................1
常见类型讲解.............................................................................................................................2
真题演练.....................................................................................................................................3
巩固练习.....................................................................................................................................5
压轴真题强化.............................................................................................................................6
“种瓜得瓜，种豆得豆”，这句古语在数学中找到了共鸣。数学中的“瓜豆”主要指的是初中
数学中常考的动点轨迹问题。这类问题基本上可以分为两大类：一类是动点在直线（或线段、射
线）上的运动，另一类是动点在圆弧上的运动。在解题过程中，如果遇到两个或以上的动点，且其
中一个动点在直线（或线段、射线）上移动，那么另一个动点所求的轨迹也往往是直线（或线段、
射线）；同样，若一个动点在圆弧上移动，那么另一个动点也将在圆弧上移动，并且两者所经过的
弧度保持一致。这类问题仿佛是在遵循一种自然的规律，就如同在播种与收获的过程中，我们在一
条轨道上播下“瓜”的种子，便会在另一条轨道上收获“豆”的果实。因此，我们将这类问题统称
为“瓜豆原理”。本章我们将讨论“瓜豆原理”中的直线轨迹型类问题。
专题目录
模型解读
1、如图，P 是直线BC 上一动点，连接AP，取AP 中点Q，当点P 在BC 上运动时，Q 点轨迹是？
P
Q
A
B
C
解析：当P 点轨迹是直线时，Q 点轨迹也是一条直线．
做法：分别过A、Q 向BC 作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中，因为AP=2AQ，所以QN 始
终为AM 的一半，即Q 点到BC 的距离是定值，故Q 点轨迹是一条直线．
N
C
B
A
Q
P
M
2、如图，在△APQ 中AP=AQ，∠PAQ 为定值，当点P 在直线BC 上运动时，求Q 点轨迹？
解析：当AP 与AQ 夹角固定且AP:AQ 为定值的话，P、Q 轨迹是同一种图形。
做法：当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q 点的位置，连线即可，比如Q 点的起始位
置和终点位置，连接即得Q 点轨迹线段。
常见类型讲解
3、确定动点轨迹的方法
当某动点与定直线的端点连接后的角度不变时，该动点的轨迹为直线；
当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线；
当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线；
观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等特殊位置考虑；
若动点轨迹用上述方法不都合适，则可以将所求线段转化（常用中位线、矩形对角线、全等、相
似）为其他已知轨迹的线段求最值。
（2021·四川广元·中考真题）如图，在
中，
，
，点D 是
边的中点，
点P 是
边上一个动点，连接
，以
为边在
的下方作等边三角形
，连接
．则
的最小值是（ ）
A．
B．1
C．
D．
（2022·湖南湘西·统考中考真题）如图，在Rt△ABC 中，∠A＝90°，M 为BC 的中点，H 为AB 上一
点，过点C 作CG∥AB，交HM 的延长线于点G，若AC＝8，AB＝6，则四边形ACGH 周长的最小值
真题演练
是（ ）
A．24
B．22
C．20
D．18
（2022·贵州毕节·中考真题）如图，在
中，
，点P 为
边上任
意一点，连接
，以
，
为邻边作平行四边形
，连接
，则
长度的最小值为
_________．
（2023·四川雅安·统考中考真题）如图，在
中，
．P 为边
上一动点，
作
于点D，
于点E，则
的最小值为 ．
（2021·辽宁锦州·中考真题）在△ABC中，AC = AB，∠BAC =α，D 为线段AB 上的动点，连接
DC，将DC 绕点D 顺时针旋转α得到DE，连接CE，BE．
（1）如图1，当α =60°时，求证：△CAD≌△CBE；
（2）如图2，当tanα = 3
4
时，
探究AD 和BE 之间的数量关系，并说明理由；
若AC =5，H 是BC 上一点，在点D 移动过程中，CE+ EH是否存在最小值？若存在，请直接写出
CE+ EH的最小值；若不存在，请说明理由．
1、如图，长方形
中，
，
，E 为
上一点．且
，F 为
边上的一个动点
连接
，将
绕着点E 顺时针旋转
到
的位置，其中点B、点F 的对应点分别为点
H、点G，连接
和
，则
的最小值为（ ）．
A．
B．3
C．
D．
2、如图，在
中，
，
，点
，
分别是
，
边上的动点，连结
，
，
分别是
，
的中点，则
的最小值为（ ）
A．12
B．10
C．9.6
D．4.8
3、如图在△ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2．D 是AB 上一动点，以DC 为斜边向右侧作
等腰Rt△DCE，使∠CED＝90°，连接BE，则线段BE 的最小值为____________．
巩固练习
4、如图，菱形ABCD 的边长为4，∠BAD＝120°，E 是边CD 的中点，F 是边AD 上的一个动点，将
线段EF 绕着点E 顺时针旋转60°得到线段EF'，连接AF'、BF'，则△ABF'的周长的最小值是
___________．
5、预备知识：(1)在一节数学课上，老师提出了这样一个问题：随着变量t 的变化，动点
在平面直角坐标系中的运动轨迹是什么？
一番深思熟虑后，聪明的小明说：“是一条直线”，老师问：“你能求出这条直线的函数表达式
吗？”
小明的思路如下：设这条直线的函数表达式为
，
将点
代入得：
，整理得
∵t 为任意实数，等式恒成立，∴
，
∴
，
∴这条直线的函数表达式为
请仿照小明的做法，完成问题：随着变量t 的变化，动点
在平面直角坐标系中的运动轨迹
是直线l，求直线l 的函数表达式．
问题探究：(2)如图1，在平面直角坐标系中，已知
，
，且
，
，
则点C 的坐标为_________．
结论应用：(3)如图2，在平面直角坐标系中，已知点
，Q 是直线
上的一个动点，
连接
，过点P 作
，且
，连接
，求线段
的最小值．
一、单选题
1．（2021·山东泰安·中考真题）如图，在矩形
中，
，
，点P 在线段
上运
动（含B、C 两点），连接
，以点A 为中心，将线段
逆时针旋转60°到
，连接
，则线
段
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．3
2．（2024·四川乐山·中考真题）如图，在菱形
中，
，
，点P 是
边上一
个动点，在
延长线上找一点Q，使得点P 和点Q 关于点C 对称，连接
交于点M．当点
P 从B 点运动到C 点时，点M 的运动路径长为（ ）
压轴真题强化
A．
B．
C．
D．
二、填空题
3．（2023·黑龙江绥化·中考真题）如图，
是边长为
的等边三角形，点
为高
上的动点．
连接
，将
绕点
顺时针旋转
得到
．连接
，
，
，则
周长的最小值是
．
4．（2022·广东广州·中考真题）如图，在矩形ABCD 中，BC＝2AB，点P 为边AD 上的一个动点，
线段BP 绕点B 顺时针旋转60°得到线段BP'，连接PP' ，CP'．当点P' 落在边BC 上时，∠PP'C 的
度数为 ； 当线段CP' 的长度最小时，∠PP'C 的度数为
5．（2023·辽宁·中考真题）如图，线段
，点
是线段
上的动点，将线段
绕点
顺时针
旋转
得到线段
，连接
，在
的上方作
，使
，点
为
的中点，连接
，当
最小时，
的面积为 ．
6．（2024·江苏连云港·中考真题）如图，在
中，
，
，
．点P 在边
上，过点P 作
，垂足为D，过点D 作
，垂足为F．连接
，取
的中点
E．在点P 从点A 到点C 的运动过程中，点E 所经过的路径长为 ．
7．（2023·海南·中考真题）如图，在正方形
中，
，点E 在边
上，且
，点
P 为边
上的动点，连接
，过点E 作
，交射线
于点F，则
．若点M 是
线段
的中点，则当点P 从点A 运动到点B 时，点M 运动的路径长为 ．
三、解答题
8．（2021·湖北十堰·中考真题）已知等边三角形
，过A 点作
的垂线l，点P 为l 上一动点
（不与点A 重合），连接
，把线段
绕点C 逆时针方向旋转
得到
，连
．
（1）如图1，直接写出线段
与
的数量关系；
（2）如图2，当点P、B 在
同侧且
时，求证：直线
垂直平分线段
；
（3）如图3，若等边三角形
的边长为4，点P、B 分别位于直线
异侧，且
的面积等
于
，求线段
的长度．
9．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，点
依次在直线上，点
固定不动，且
，分别以
为边在直线同侧作正方形
、正方形
，
，直角边
恒过点
，直角边
恒过点
．
(1)如图，若
，
，求点
与点
之间的距离；
(2)如图，若
，当点
在点
之间运动时，求
的最大值；
(3)如图
，若
，当点
在点
之间运动时，点
随之运动，连接
，点
是
的中
点，连接
，则
的最小值为_______．
