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重难点21：破解圆锥曲线垂直弦：圆锥曲
线中垂直弦的定点、定值、最值、范围问
题
（培优固本提能讲义）
知识网络·核心根基深扎牢....................................................................................1
实战演练·能力进阶攀高峰....................................................................................3
题型一、内接直角三角形斜边过定点............................................................3
题型二、两相互垂直弦的中点连线过定点....................................................4
题型三、两相互垂直弦的距离问题（含定值，最值，范围）....................6
题型四、两相互垂直弦的面积问题（含最值，范围）................................8
题型精析・方法突破提能力................................................................................9
题型
1 ：内接直角三角形斜边过定点（直角定点需为定点）
如图所示圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）内接直角三角形斜边过定点。
解题策略：设斜边所在的直线为y=kx+ b，联立圆锥曲线利用韦达定理得出根与系数的关
系，再得出两直角边所在的直线斜率，利用乘积为-1（或数量积为0）即可得出定点。
注意：讨论斜率不存在的情况。
知识网络・核心根基深扎牢
题型归纳
举一反三
题型精析・方法突破提能力
题型
2 ：两相互垂直弦的中点连线过定点（两垂直弦交点需为定点）
如图所示圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）过定点（垂直弦的交点过定点，一般为
圆锥曲线焦点）的垂直弦的中点所在直线过定点。
解题策略：设其中垂直弦所在的直线（点斜式，注意两直线斜率为负倒数关系），联立圆
锥曲线利用韦达定理得出根与系数的关系，利用中点坐标公式求出中点坐标，再由中点坐
标即可得出定点。
注意：讨论斜率不存在的情况。
题型
3 ：两相互垂直弦的距离问题（含定值，最值，范围）
定值：相互垂直弦的弦长倒数和（或平方和）为定值。
解题策略：联立直线与圆锥曲线，求出根与系数的，利用弦长公式求出弦长，最后求倒数
和即可。
最值或范围：相互垂直弦的弦长和有最值。
解题策略：联立直线与圆锥曲线，求出根与系数的，利用弦长公式求出弦长，再求弦长和
的最值或范围（其中可能需要用换元法化简，需要把分子化为常数，分母化为二次型的函
数，再求最值或范围）。
题型
4 ：两相互垂直弦的面积问题（含最值，范围）
最值或范围：相互垂直弦组成四边形的面积的最值或面积问题。
解题策略：联立直线与圆锥曲线，求出根与系数的，利用弦长公式求出弦长，再利用面积
等于对角线乘积的一半求出四边形面积（利用换元法+基本不等式/二次函数求最值，一般
是将分母化为基本不等式类型或二次函数类型）。
实战演练・能力进阶攀高峰
题型一、内接直角三角形斜边过定点
【1-1】设椭圆E: x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)过M (2,❑√2)，N (❑√6,1)两点，O 为坐标原点
(1)求椭圆E 的方程;
(2)设E 的右顶点为D，若直线l: y =kx +m与椭圆E 交于A，B 两点(A，B 不是左右顶
点)且满足|⃑DA +⃑DB)=|⃑DA −⃑DB)，证明:直线l 过定点，并求该定点坐标.
【1-2】已知双曲线C : x
2
2 −y
2=1和点A(2,1)，作直线l与C的两支分别交于点M，N，使
得AM ⊥AN．若AM，AN斜率均存在，求证：直线MN过定点．
典例探究
【典型例题 1】已知椭圆C 的中心在原点，一个焦点为F1(−❑√3,0)，且C 经过点
P(
❑√3, 1
2)．
(1)求C 的方程；
(2)设C 与y 轴的正半轴交于点D，直线l：y=kx+m 与C 交于A、B 两点（l 不经过D
点），且AD⊥BD．证明：直线l 经过定点
举一反三
【1-3】P(1,2)是抛物线y
2= 4 x上的一个定点，A ,B是抛物线上两个动点，如果
PA ⊥PB，问：动直线AB是否过定点？定点坐标是什么？
【2-1】已知椭圆E：x
2
a
2 + y
2
b
2 =1（a>b>0）的短轴长为2❑√3，过左焦点F (−1,0)作两条互
相垂直的直线l1，l2，分别交椭圆E于A，B和C，D四点．设AB，CD的中点分别为M，
题型二、两相互垂直弦的中点连线过定点
典例探究
【典型例题】已知椭圆x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)经过点(
❑√3,−
❑√3
2 )，且椭圆的离心率e = 1
2．
(1)求椭圆的方程；
(2)过椭圆的右焦点F作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点A ,C及B , D，设线段
AC ,BD的中点分别为P ,Q．求证：直线PQ恒过一个定点．
举一反三
N．
(1)求椭圆E的方程；
(2)直线MN是否经过定点？若是，求出定点坐标；若否，请说明理由．
【2-2】已知抛物线C : y
2=2 px( p>0)仅经过A1(2,2❑√2), A2(3,❑√6), A3(3,−❑√6)中的
一点.
(1)求C的方程；
(2)过C的焦点F作两条互相垂直的直线，分别交C于点E , H和点M , N，设线段
EH , MN的中点分别为P ,Q，求证：直线PQ过定点.
【2-3】已知椭圆E: x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)过点(2,❑√2)，且离心率e =
❑√2
2
.
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)若点F为椭圆E的右焦点，过F作两条互相垂直的直线，且分别与椭圆E相交得到
弦AB，CD.设弦AB，CD的中点分别为M，N.证明：直线MN必过定点.
【3-1】设椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)经过点( 2
3 , 2❑√6
3
)，且其左焦点坐标为(−1,0)．
(1)求椭圆的方程；
(2)过椭圆的右焦点作两条相互垂直的直线l，m，其中l交椭圆于M，N，m交椭圆于
题型三、两相互垂直弦的距离问题（含定值，最值，范围）
典例探究
【典型例题】已知椭圆Γ : y
2
a
2 + x
2
b
2 =1(a>b>0)的离心率为
❑√3
2 ，若Γ与圆
E: x
2+( y −3
2)
2
=1相交于M，N 两点，且圆E 在Γ内的弧长为2
3 π．
(1)求a，b的值；
(2)过椭圆Γ的上焦点作两条相互垂直的直线，分别交椭圆Γ于A，B、C，D，求证：
1
| AB| +
1
|CD| 为定值．
举一反三
P，Q，求| MN |+| PQ|的最小值．
【3-2】已知点M 到点F（1，0）和直线x＝﹣1 的距离相等，记点M 的轨迹为C．
（1）求轨迹C 的方程；
（2）过点F 作相互垂直的两条直线l1、l2，曲线C 与l1交于点P1、P2，与l2交于点
Q1、Q2，试证明：
1
|P1P2)
+
1
|Q1Q2)
= 1
4
．
【3-3】已知椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的短轴为2，椭圆上的点到焦点的最短距离为
2−❑√3.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知椭圆的右顶点和上顶点分别为M , N，斜率为1
2
的直线l与椭圆C交于P、Q
两点，求证：直线MP与NQ的斜率之和为定值；
（3）过右焦点F2作相互垂直的弦AB ,CD，求| AB|+|CD|的最小值.
题型四、两相互垂直弦的面积问题（含最值，范围）
典例探究
【典型例题】已知椭圆E: x
2
a
2 + y
2
b
2 =1 (a>b>0)的上顶点为B，右焦点为F，点B、F 都在
直线3 x + ❑√3 y −3=0上．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)若圆x
2+ y
2=1的两条相互垂直的切线l1,l2均不与坐标轴垂直，且直线l1,l2分别与E
相交于点A，C 和B，D，求四边形ABCD面积的最小值．
