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微专题 19 直线与圆锥曲线的位置关系
高考定位 直线与圆锥曲线的位置关系是高考的必考内容，涉及直线与圆锥曲线
的相交、相切、弦长、面积以及弦中点等问题，难度中等.
【真题体验】
1.(2021·新高考Ⅱ卷)抛物线y2＝2px(p>0)的焦点到直线y＝x＋1 的距离为，则p＝
( )
A.1
B.2
C.2
D.4
答案 B
解析 抛物线的焦点坐标为，其到直线x－y＋1＝0 的距离d＝＝，
解得p＝2(p＝－6 舍去).
2.(2023·新高考Ⅱ卷)已知椭圆C：＋y2＝1 的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝
x＋m 与C 交于A，B 两点，若△F1AB 面积是△F2AB 面积的2 倍，则m＝( )
A.
B.
C.－
D.－
答案 C
解析 由题意，F1(－，0)，F2(，0)，△F1AB 面积是△F2AB 面积的2 倍，
所以点F1到直线AB 的距离是点F2到直线AB 的距离的2 倍，
即＝2×，
解得m＝－或m＝－3(此时直线与椭圆C 不相交，舍去)，故选C.
3.(2023·全国乙卷)设A，B 为双曲线x2－＝1 上两点，下列四个点中，可为线段
AB 中点的是( )
A.(1，1)
B.(－1，2)
C.(1，3)
D.(－1，－4)
答案 D
解析 法一 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB 的中点为M(x0，y0)，由点A，B 在双曲
线上，
得两式作差，得x－x＝，
即(x1－x2)(x1＋x2)＝，
化简得＝9，
即·＝kAB·＝9，
因此kAB＝9·.
由双曲线方程可得渐近方程为y＝±3x，如图.
对于A，因为kAB＝9×＝9＞3，所以直线AB 与双曲线无交点，不符合题意；
对于B，因为kAB＝9×＝－＜－3，
所以直线AB 与双曲线无交点，不符合题意；
对于C，kAB＝9×＝3，此时直线AB 与渐近线y＝3x 平行，与双曲线不可能有两
个交点，不符合题意；
对于D，因为kAB＝9×＝＜3，所以直线AB 与双曲线有两个交点，满足题意.
法二 选项中的点均位于双曲线两支之间，故A，B 分别在双曲线的两支上且不
关于原点对称，设线段AB 的中点坐标为(x0，y0)，
则|kAB|＝9||＜3，即|y0|＞3|x0|，
结合选项可知选D.
4.(多选)(2024·新高考Ⅱ卷)抛物线C：y2＝4x 的准线为l，P 为C 上动点.过P 作
⊙A：x2＋(y－4)2＝1 的一条切线，Q 为切点.过P 作l 的垂线，垂足为B.则( )
A.l 与⊙A 相切
B.当P，A，B 三点共线时，|PQ|＝
C.当|PB|＝2 时，PA⊥AB
D.满足|PA|＝|PB|的点P 有且仅有2 个
答案 ABD
解析 对于A，易知l：x＝－1，故l 与⊙A 相切，A 正确；
对于B，A(0，4)，⊙A 的半径r＝1，
当P，A，B 三点共线时，P(4，4)，
所以|PA|＝4，|PQ|＝＝＝，故B 正确；
对于C，当|PB|＝2 时，P(1，2)，B(－1，2)，或P(1，－2)，B(－1，－2)，易知
PA 与AB 不垂直，故C 错误；
对于D，记抛物线C 的焦点为F，连接AF，PF，易知F(1，0)，
由抛物线定义可知|PF|＝|PB|，
因为|PA|＝|PB|，所以|PA|＝|PF|，
所以点P 在线段AF 的中垂线上，线段AF 的中垂线方程为y＝x＋，
即x＝4y－，
代入y2＝4x 可得y2－16y＋30＝0，
解得y＝8±，
易知满足条件的点P 有且仅有两个，故D 正确.故选ABD.
5.(2024·北京卷)若直线y＝k(x－3)与双曲线－y2＝1 只有一个公共点，则k 的一个
取值为________.
答案
解析 由题意，知该双曲线的渐近线方程为y＝±x，
直线y＝k(x－3)过定点(3，0).
因为点(3，0)在双曲线内，所以要使过该点的直线与双曲线只有一个公共点，则
该直线与双曲线的渐近线平行，所以k＝±.
【热点突破】
热点一 中点弦问题
例1 (1)已知双曲线x2－＝1，过点P(1，1)的直线l 与该双曲线相交于A，B 两点，
若P 是线段AB 的中点，则直线l 的方程为( )
A.2x－y－1＝0
B.2x＋y－1＝0
C.2x－y＋1＝0
D.该直线不存在
(2)(2024·邵阳二模)已知直线l：x－2y－2＝0 与椭圆C：＋＝1(a>b>0)相交于A，
B 两点.若弦AB 被直线m：x＋2y＝0 平分，则椭圆C 的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
答案 (1)D (2)C
解析 (1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1≠x2，
代入双曲线方程得
两式相减得x－x＝－，得(x1＋x2)(x1－x2)＝
若P 是线段AB 的中点，则x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，所以＝2，
即直线AB 的斜率为2，
所以直线AB 方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0；
联立得2x2－4x＋3＝0，
则Δ＝16－4×2×3＝－8<0，方程无解，所以直线l 不存在.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
因为弦AB 被直线m：x＋2y＝0 平分，设中点坐标(x0，y0)，
所以＋2×＝x0＋2y0＝0，①
因为点A，B 在直线l：x－2y－2＝0 上，代入可得
两式相减可得x1－x2＝2(y1－y2)，②
又点A，B 在椭圆上，代入可得
两式相减可得＋＝0，
代入①②可得＋＝0，得a2＝4b2，
又椭圆中a2＝b2＋c2，
所以离心率e＝＝＝，故选C.
规律方法 1.处理中点弦问题的常用方法：(1)根与系数的关系；(2)点差法；(3)
常用结论.
2.利用点差法需注意保证直线与曲线相交.
训练1 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，过点F 的直线x－y＋＝0 与椭
圆C 相交于不同的两点A，B.若P 为线段AB 的中点，O 为坐标原点，直线OP
的斜率为－，则椭圆C 的方程为( )
A.＋y2＝1
B.＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝1
答案 B
解析 因为过椭圆上两点A，B 的直线x－y＋＝0 过点F(－，0)，
所以c＝且kAB＝1，
可得kAB＝－·＝－·＝1，
所以＝，即a2＝2b2＝b2＋c2，
所以b＝c＝，a＝2，
所以椭圆C 的方程为＋＝1.故选B.
热点二 弦长问题
例2 已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－1，0)，F2(1，0)，点P
在椭圆E 上.
(1)求椭圆E 的标准方程；
(2)设直线l：x＝my＋1(m∈R)与椭圆E 相交于A，B 两点，与圆x2＋y2＝a2相交
于C，D 两点，当|AB|·|CD|2的值为8 时，求直线l 的方程.
解 (1)因为点P 在椭圆上，根据椭圆定义可得|PF1|＋|PF2|＝2a，
又|PF1|＝＝，|PF2|＝，
所以2a＝＋＝2，
即a＝，因为c＝1，所以b2＝a2－c2＝1，
故椭圆E 的标准方程为＋y2＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立消去x，
整理得(m2＋2)y2＋2my－1＝0，
所以Δ＝8m2＋8>0，y1＋y2＝－，
y1y2＝－，
则|AB|＝
＝
＝.
设圆x2＋y2＝2 的圆心O 到直线l 的距离为d，
则d＝，
所以|CD|＝2＝2
＝2，
则|AB|·|CD|2＝×4×
＝＝8，
解得m＝±1，经验证m＝±1 符合题意.
故所求直线的方程为
x－y－1＝0 或x＋y－1＝0.
易错提醒 1.设直线方程时，需考虑特殊直线，如直线的斜率不存在、
斜率为0 等.
2.涉及直线与圆锥曲线相交时，Δ>0 易漏掉.
3.|AB|＝x1＋x2＋p 是抛物线过焦点的弦的弦长公式，其他情况该公式不成立.
训练2 在平面直角坐标系中，顶点在原点、以坐标轴为对称轴的抛物线C 经过
点(1，2).
(1)求抛物线C 的方程；
(2)已知抛物线C 关于x 轴对称，过焦点F 的直线交C 于A，B 两点，线段AB 的
垂直平分线交直线AB 于点P，交C 的准线于点Q.若|AB|＝|PQ|，
求直线AB 的方程.
解 (1)当焦点在x 轴时，设抛物线C：
y2＝2px(p>0).
将点(1，2)代入得p＝2，
此时抛物线的方程为y2＝4x.
当焦点在y 轴时，设抛物线C：x2＝2py(p>0)，
将点(1，2)代入得p＝，
此时抛物线的方程为x2＝y.
综上，抛物线C 的方程为y2＝4x 或x2＝y.
(2)当抛物线C 的焦点在x 轴时，其方程为
y2＝4x，焦点坐标为(1，0)，准线方程为
x＝－1.
∵当直线AB 的斜率不存在时，
|AB|＝4，|PQ|＝2，不符合题意，
∴直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，
与抛物线的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2).
由消去y 得，
k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
∴Δ＝16k2＋16>0，x1＋x2＝，
∴|AB|＝x1＋x2＋2＝4＋，
∵y1＋y2＝k(x1＋x2)－2k＝，
∴线段AB 的中点P 为，
∴直线PQ 的方程为
y－＝－.
令x＝－1，得y＝＋，
∴Q，
∴|PQ|＝＝2.
由|PQ|＝|AB|得，2＝4＋，解得k＝±，
∴直线AB 的方程为y＝x－
或y＝－x＋.
热点三 面积问题
例3 (2024·泰安模拟)已知圆x2＋y2－x－2y＋m＝0 与x 轴交于点P(1，0)，且经
过椭圆G：＋＝1(a>b>0)的上顶点，椭圆G 的离心率为.
(1)求椭圆G 的方程；
(2)若点A 为椭圆G 上一点，且在x 轴上方，B 为A 关于原点O 的对称点，点M
为椭圆G 的右顶点，直线PA 与MB 交于点N，△PBN 的面积为，求直线PA 的斜
率.
解 (1)∵圆x2＋y2－x－2y＋m＝0 过(1，0)，∴m＝0，
又∵圆x2＋y2－x－2y＝0 过(0，b)，∴b＝2，
又∵∴a2＝9，
∴椭圆G 的方程为＋＝1.
(2)设A(x0，y0)(y0>0)，则B(－x0，－y0)，
由题知x0≠1 且x0≠－3，
则PA：y＝(x－1)，MB：y＝(x－3)，
由解得
∴N，
又∵S△PBN＝S△PBM－S△PNM＝×|PM|×y0＝y0＝，
∴y0＝，又∵＋＝1，∴x0＝±2，
∴直线PA 的斜率kAP＝＝－或.
规律方法 圆锥曲线中求解三角形面积的方法
(1)常规面积公式：S＝×底×高.
(2)正弦面积公式：S＝absin C.
(3)铅锤水平面面积公式；
①过x 轴上的定点：S＝a|y1－y2|(a 为x 轴上定长)；
②过y 轴上的定点：S＝a|x1－x2|(a 为y 轴上定长).
训练3 已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的实轴长为2，左、右两顶点分别为
A1，A2，C 上的一点P(x0，y0)(y0≠0)分别与A1，A2连线的斜率之积为3.
(1)求C 的方程；
(2)经过点(0，1)的直线l 分别与C 的左、右支交于M，N 两点，O 为坐标原点，
△OMN 的面积为，求l 的方程.
解 (1)由题意知a＝1，
则A1(－1，0)，A2(1，0)，C 的方程为x2－＝1.
因为P(x0，y0)在C 上，则x－＝1，
即y＝b2(x－1)，
则P(x0，y0)分别与A1，A2连线的斜率之积为
·＝＝＝b2＝3，
所以C 的方程为x2－＝1.
(2)由题意知，直线l 的斜率存在，设为k，
则l 的方程为y＝kx＋1，
联立消去y
得(3－k2)x2－2kx－4＝0，
令M(x1，y1)，N(x2，y2)，
因为直线l 分别交C 的左、右支于M，N 两点，
则Δ＝4k2＋16(3－k2)>0，x1x2＝<0，
则－<k<，x1＋x2＝，
由于直线l 经过点(0，1)，
则△OMN 的面积S＝|x1－x2|＝，
则|x1－x2|2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝＋＝24，
解得k2＝2 或(舍去)，则k＝±，
所以l 的方程为y＝±x＋1.
【精准强化练】
一、单选题
1.若直线y＝x－1 与椭圆x2＋3y2＝a 有且只有一个公共点，那么a 的值为( )
A.
B.
C.
D.1
答案 C
解析 因为方程x2＋3y2＝a 表示的曲线为椭圆，则a>0，
将直线y＝x－1 的方程与椭圆的方程联立，得
可得4x2－6x＋3－a＝0，
则Δ＝36－4×4×(3－a)＝16a－12＝0，
解得a＝.
2.(2024·遵义模拟)已知椭圆C：＋＝1，过点P 的直线与椭圆C 交于A，B 两点且
AB 的中点为P，则坐标原点O 到直线AB 的距离为( )
A.1
B.
C.2
D.2
答案 B
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
两式相减得＋＝0，
由条件可知，x1＋x2＝1，y1＋y2＝3，
即＋＝0，
并且由对称性可知，x1≠x2，所以＝－1，
所以直线AB 的斜率为－1，
所以直线AB 的方程为y－＝－，
即x＋y－2＝0，
所以原点O 到直线AB 的距离d＝＝.
3.(2024·泸州三模)已知点M(4，4)在抛物线C：y2＝2px(p>0)上，F 为C 的焦点，
直线MF 与C 的准线相交于点N，则|MN|＝( )
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 将点M(4，4)代入抛物线方程y2＝2px，可得16＝2p×4，解得p＝2，
所以抛物线C 的方程为y2＝4x，
所以F(1，0)，准线方程为x＝－1，
所以直线MN 的斜率k＝＝，
所以直线MN 的方程为y＝(x－1)，
令x＝－1，得y＝－，所以N，
所以|MN|＝＝.
4.已知F1为椭圆＋＝1 的左焦点，过F1作倾斜角为的直线与椭圆交于A，B 两点，
O 为坐标原点，则△AOB 的面积为( )
A.
B.
C.
D.3
答案 A
解析 如图，因为直线AB 的倾斜角为60°，
所以斜率为，
又直线AB 过点F1(－，0)，
所以直线AB：y＝(x＋)，
联立
消去x 并整理得11y2－12y－36＝0，
Δ＝144＋4×11×36>0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1＋y2＝，y1y2＝－，
所以|y1－y2|＝＝＝，
所以S△AOB＝·|OF1|·|y1－y2|＝××＝.
5.已知抛物线C：y2＝4x，圆F：(x－1)2＋y2＝1，直线l：y＝k(x－1)(k≠0)自上而
下顺次与上述两曲线交于M1，M2，M3，M4四点，则下列各式结果为定值的是(
)
A.|M1M2|·|M3M4|
B.|FM1|·|FM4|
C.|M1M3|·|M2M4|
D.|FM1|·|M1M2|
答案 A
解析 如图，分别设M1，M2，M3，M4四点的横坐标为x1，x2，x3，x4，
由y2＝4x 得焦点F(1，0)，准线l0：x＝－1，
由定义得，|M1F|＝x1＋1，
又|M1F|＝|M1M2|＋1，所以|M1M2|＝x1，
同理|M3M4|＝x4，由消去y 整理得
k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0(k≠0)，
则x1x4＝1，即|M1M2|·|M3M4|＝1.
6.已知过双曲线C：－＝1 的左焦点F 的直线l 与双曲线左支交于点A，B，过原
点与弦AB 中点D 的直线交直线x＝－于点E，若△AEF 为等腰直角三角形，则
直线l 的方程可以为( )
A.x＋(3－2)y＋2＝0
B.x－(3＋2)y＋2＝0
C.x＋(3－2)y－2＝0
D.x＋(3＋2)y＋2＝0
答案 A
解析 F(－2，0)，则由题意可设l：x＝my－2(m≠±)，
因为若△AEF 为等腰直角三角形，且∠AEF 为直角，
所以直线EF 的方程为y＝－m(x＋2)，
令x＝－，得y＝－m，即E.
设A(x1，y1)，有|EF|＝|AF|可得，即＝＝，
解得y1＝±.
又－＝1，所以x1＝－，所以m＝±(3－2)，
从而直线l 的方程为x＋(3－2)y＋2＝0 或x－(3－2)y＋2＝0.
7.(2024·东北三省三校二联)双曲线C：－＝1 的右焦点为F，双曲线C 上有两点
A，B 关于直线l：3x＋y－8＝0 对称，则|FA＋FB|＝( )
A.2
B.4
C.2
D.4
答案 B
解析 由题意知，c＝＝4，F(4，0)，
设AB 的中点为S，连接FS，
因为l 为线段AB 的垂直平分线，故可设AB：x－3y＋m＝0，A(x1，y1)，B(x2，
y2)，
由
可得6y2－6my＋m2－12＝0(*)，
故y1＋y2＝m，则x1＋x2＝3(y1＋y2)－2m＝m，
故AB 的中点为，
因为AB 的中点在直线3x＋y－8＝0 上，
故3×＋－8＝0，
故m＝4，此时Δ＝36m2－24m2＋12×24>0，且S(2，－2)，
故|FA＋FB|＝2|FS|＝2＝4.
8.(2024·浙江名校协作体联考)抛物线y2＝4x 的焦点为F，过点M(，0)的直线与抛
物线相交于A，B 两点，与抛物线的准线相交于点C.若|BF|＝3，则＝( )
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 由抛物线y2＝4x 得抛物线的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1，设
A(x1，y1)，B(x2，y2)，
过A，B 分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为E，N，则|BF|＝|BN|＝x2＋1＝
3，所以x2＝2，把x2＝2 代入y2＝4x，可得y2＝±2，即点B(2，－2)或B(2，2).
当点B(2，－2)时，点A 在x 轴上方，即y1>0，如图1，由y＝4x1，
可得y1＝2，
即A(x1，2)，
因为M(，0)且kAM＝kMB，即＝，所以x1＝3，
所以|AE|＝3＋1＝4，所以＝＝.
当点B(2，2)时，点A 在x 轴下方，即y1<0，
如图2，由y＝4x1，可得y1＝－2，
即A(x1，－2)，
因为M(，0)且kAM＝kMB，
即＝，解得x1＝3，
所以|AE|＝3＋1＝4，所以＝＝.
综上，可得＝.故选A.
二、多选题
9.已知椭圆E：＋＝1 的右焦点为F2，直线x－y＋3＝0 与椭圆交于A，B 两点，
则( )
A.△ABF2的周长为20
B.△ABF2的面积为
C.线段AB 中点的横坐标为－
D.线段AB 的长度为
答案 ACD
解析 依题意，直线x－y＋3＝0 过椭圆E：＋＝1 的左焦点F1(－3，0)，椭圆长
轴长2a＝10，
所以△ABF2的周长|AF2|＋|AB|＋|BF2|＝|AF2|＋|AF1|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝20，
A 正确；
由
消去y 得41x2＋150x－175＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，x1x2＝－，
因此线段AB 中点的横坐标为
＝－×＝－，C 正确；
线段AB 的长度为·＝·＝，D 正确；
点F2(3，0)到直线x－y＋3＝0 的距离d＝＝3，
所以△ABF2的面积S＝|AB|·d
＝××3＝，B 错误.
10.(2024·邯郸二模)设抛物线E：x2＝2py(p>0)的焦点为F，过点P(0，3)的直线与
抛物线E 相交于点A，B，与x 轴相交于点C，|AF|＝2，|BF|＝10，则( )
A.E 的准线方程为y＝－2
B.p 的值为2
C.|AB|＝4
D.△BFC 的面积与△AFC 的面积之比为9
答案 BD
解析 设直线AB 的方程为y＝kx＋3，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立可得x2－2pkx－6p＝0，
所以x1＋x2＝2pk，x1x2＝－6p，
因为x2＝2py，所以y＝，
故y1y2＝＝＝9，
因为|AF|＝2，|BF|＝10，
由抛物线定义可得y1＝2－，y2＝10－，
则＝9，解得p＝2 或p＝22，
因为y1＝2－>0，所以p＝2，则E 的准线方程为y＝－1，故B 正确，A 错误；
又E 的方程为x2＝4y，y1＝2－＝1，y2＝10－＝9，
把y1＝1 代入x2＝4y 可得x＝4y1＝4，x＝4y2＝36，
不妨设A(－2，1)，B(6，9)，则|AB|＝8，故C 错误；
设F 到直线AB 的距离为d，△BFC 的面积S△BFC＝|BC|d，
△AFC 的面积S△AFC＝|AC|d，
则△BFC 的面积与△AFC 的面积之比＝＝＝9，故D 正确.
11.(2024·湘潭模拟)已知F1，F2 为双曲线C：x2－y2＝λ(λ>0)的左、右焦点，点
M(1，)满足MF1·MF2＝0，N 为双曲线C 的右支上的一个动点，O 为坐标原点，
则( )
A.双曲线C 的焦距为4
B.直线MF2与双曲线C 的左、右两支各有一个交点
C.△NOM 的面积的最小值为1
D.∠ONM<
答案 ACD
解析 对于A，因为MF1·MF2＝0，所以MF1⊥MF2，
则|MO|＝|OF1|＝|OF2|，
又|MO|＝＝2，
所以c＝2，双曲线C：－＝1 的焦距2c＝4，故A 正确；
对于B，由A 知，F2(2，0)，双曲线渐近线方程为y＝±x，
则直线MF2的斜率为＝－<－1，
所以直线MF2与双曲线的右支有两个交点，故B 错误；
对于C，因为kOM＝，
设直线l：y＝x＋m 与双曲线右支相切，
联立消去y，
得2x2＋2mx＋2＋m2＝0，
则Δ＝(2m)2－8(2＋m2)＝0，
解得m＝－2 或者m＝2(舍去)，
则直线OM 与l 之间的距离为d＝＝1，
所以△NOM 的面积最小值为|OM|·d＝1，故C 正确；
对于D，由C 可知，直线l：y＝x－2 与双曲线右支的切点为(，1)，
直线OM 与l 两平行线之间的距离为1，
且|OM|＝2，N 到OM 中点的距离大于1，
所以∠ONM<，故D 正确.
三、填空题
12.设斜率为2 的直线l 过抛物线y2＝ax(a>0)的焦点F，且和y 轴交于点A，若
△OAF(O 为坐标原点)的面积为4，则a 的值为________.
答案 8
解析 抛物线y2＝ax 的焦点坐标，|OF|＝，
直线l 的点斜式方程为y＝2，在y 轴的截距是－.
∴S△OAF＝××＝4，即a2＝64，
又a>0，∴a＝8.故答案为8.
13.(2024·娄底模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，下顶点为A，过
A，F 的直线l 与椭圆C 交于另一点B，若直线l 的斜率为1，且|AB|＝，则椭圆C
的标准方程为________.
答案 ＋＝1
解析 设F(c，0)，
由题意知，b＝c，a＝c，直线l 的方程为y＝x－c，
与椭圆C 的方程联立化简得3x2－4cx＝0，
所以xA＝0，xB＝c，
故|AB|＝·|xB－xA|＝c＝，
解得c＝，
所以b＝，a＝2，椭圆C 的方程为＋＝1.
14.(2024·合肥调研)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个焦点的坐标为(1，0)，一条
切线的方程为x＋y＝7，则C 的离心率e＝________.
答案
解析 联立直线与椭圆方程
可得(a2＋b2)x2－14a2x＋49a2－a2b2＝0，
则有Δ＝196a4－4(a2＋b2)(49a2－a2b2)＝0，
化简得a4b2＋a2b4＝49a2b2，
又a>b>0，故a2＋b2＝49，
又椭圆的一个焦点的坐标为(1，0)，
故有a2－b2＝1，则a2＝25，故a＝5，则e＝.
四、解答题
15.(2024·新高考Ⅰ卷)已知 A(0，3)和P 为椭圆C：＋＝1(a>b>0)上两点.
(1)求C 的离心率；
(2)若过P 的直线l 交C 于另一点B，且△ABP 的面积为9，求l 的方程.
解 (1)由题知解得
∴c＝＝，
∴C 的离心率e＝＝.
(2)|PA|＝＝，
设点B 到直线PA 的距离为h，
则△ABP 的面积为S＝|PA|·h＝9，解得h＝.
易知直线PA：x＋2y－6＝0，设B(x0，y0)，
则
解得或
∴B(0，－3)或B，
故l 的方程为y＝x－3 或y＝x.
16.(2024·南通调研)已知点A(2，1)在双曲线C：－＝1(a>1)上，直线l 交C 于P，
Q 两点，直线AP，AQ 的斜率之和为0.
(1)求l 的斜率；
(2)若tan∠PAQ＝2，求△PAQ 的面积.
解 (1)将点A(2，1)代入－＝1 中，得－＝1，即a4－4a2＋4＝0，
解得a2＝2，故双曲线方程为－y2＝1；
由题意知直线l 的斜率存在，设l：y＝kx＋m，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则联立直线与双曲线－y2＝1，得(2k2－1)x2＋4kmx＋2m2＋2＝0，
需满足2k2－1≠0，Δ＝8(m2＋1－2k2)>0，
故x1＋x2＝－，x1x2＝，
kAP＋kAQ＝＋＝＋＝0，
化简得2kx1x2＋(m－1－2k)(x1＋x2)－4(m－1)＝0，
故＋(m－1－2k)－4(m－1)＝0，
即2k2＋(m＋1)k＋m－1＝0，即(k＋1)(m＋2k－1)＝0，
由题意可知直线l 不过A 点，即m＋2k－1≠0，
故l 的斜率k＝－1.
(2)设直线AP 的倾斜角为α，由tan∠PAQ＝2，
∴＝2，得tan ＝(负值舍去)，
由直线AP，AQ 的斜率之和为0，可知2α＋∠PAQ＝π，即tan ＝，
则tan ＝＝，得kAP＝tan α＝，即＝，
联立＝，及－y＝1 得x1＝，y1＝，
将x1＝，y1＝代入l：y＝－x＋m 中，得m＝，
故x1＋x2＝，x1x2＝，
而|AP|＝|x1－2|＝|x1－2|，
|AQ|＝|x2－2|，
由tan∠PAQ＝2，得sin∠PAQ＝，
故S△PAQ＝|AP|·|AQ|sin∠PAQ＝|x1x2－2(x1＋x2)＋4|＝＝.
